CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC

I. Đònh nghóa
Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M
trên đường tròn lượng giác mà sđ

AM
=
β
với
02
≤
β≤ π

Đặt
k2 ,k Zα=β+ π ∈
Ta đònh nghóa:
sin OKα=
cos OHα=
sin
tg
cos
α
α=
α
với
cos 0α≠
cos
cot g
sin
α


()
o
90
2
π

sinα

0
1
2

2
2

3
2

1
cosα

1
3
2

2
2

1

1tg
cos
+α=
α
với
()
kkZ
2
π
α≠ + π ∈

2
2
1
tcotg
sin
+=
α
với
(
)
kkZα≠ π ∈

IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai
π
; phụ chéo)
a. Đối nhau:
α
và
−α

()
()
()
sin sin
cos cos
tg tg
cot g cotg
π−α = α
π−α =− α
π−α =− α
π−α =− α

c. Sai nhau
π
: vaø
α π+α
(
)
()
()
()
sin sin
cos cos
tg tg
cot g cot g
π+α =− α
π+α =− α
π+α = α
π+α = α


π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠e.Sai nhau
2
π
: vaø
α
2
π
+α

sin cos
2
cos sin
2
tg cotg
2
cot g tg
2
π
⎛⎞
+α = α
⎜⎟
⎝⎠
π

cos x k 1 cosx,k Z
tg x k tgx,k Z
cotg x k cotgxV. Công thức cộng
(
)
()
()
sin a b sinacosb sinbcosa
cos a b cosacosb sinasinb
tga tgb
tg a b
1tgatgb
±= ±
±=
±
±=
∓
∓VI. Công thức nhân đôi
=
=−=− =
=
−
−
=

sin a 1 cos2a
2
1
cos a 1 cos2a
2
1 cos2a
tg a
1 cos2a
=−
=+
−
=
+IX. Công thức chia đôi
Đặt
a
ttg
2
=
(với )
ak2≠π+ π
MATHVN.COM
www.MATHVN.com
/>2
2
2
2
2t

sina sinb 2cos sin
22
sin a b
tga tgb
cosacosb
sin b a
cotga cotgb
sina.sin b
+−
+=
+−
−=−
+−
+=
+−
−=
±
±=
±
±=XI. Công thức biển đổi tích thành tổng
() ()
() ()
()()
1
cosa.cosb cos a b cos a b
2
1

)
2
44 22 22 2
sin a cos a 1 sin a cos a 2sin acos a 1 2sin acos a+−= + − −=−
2

Và:
(
)
(
)
()
66 224224
4422
22 22
22
sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1
sin a cos a sin acos a 1
1 2sinacosa sinacosa 1
3sin acos a
+−= + − +
=+ − −
=− − −
=−
−

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
/>Do đó:
44 22

1
cosx
2
=−
và
x
2
π
<
<π

Ta có:
22
2
1cosxsinx12cosxcosx
A
sinx sin x
⎛⎞
++−+
=
⎜⎟
⎝⎠

(
)
2
21 cosx
1cosx
A.
sinx sin x

<<π
nên
sin

x 0>
Vậy
3
sinx
2
=
Do đó
244
A
sinx 3
3
===
3Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x:
a.
A =−

4422 2
2cos x sin x sin xcos x 3sin x+ +
b.
2cotgx1
tgx1 cotgx1
+
−−

≠
≠

Ta có:
2cotgx
B
tgx1 cotgx1
1
+
=+
−−

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
/>1
1
22
tgx
B
1
tgx1 tgx11tgx
1
tgx
+
+
⇔= + = +
−−
−
1tgx
−

⎢⎥
⎣⎦
−
Ta có:
*
22
22
22
cos b sin c
cotg b.cot g c
sin b.sin c
−
−

2
22
22
cotg b 1
cot g bcotg c
sin c sin b
=−−

(
)
(
)
22 222
cot g b 1 cot g c 1 cot g b cotg bcotg c 1=+−+− =−
(1)
*

=−
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦

1cosa 1cosa
1
2sina 1 cosa
+−
⎡
⎤
=−
⎢
⎥
+
⎣
⎦

1cosa2cosa
.c
2sina 1 cosa
+
==
+
otga
(2)

www.MATHVN.com
/>Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
tg
ta được
A,tgB,tgC
3
tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC++≥

3
P3P⇔≥
32
P3
P33
⇔≥
⇔≥

Dấu “=” xảy ra
==
⎧
π
⎪
⇔⇔=
⎨
π
<<
⎪
⎩
tgA tgB tgC
ABC
3

Đặt với thì
tcos2x= 1t1−≤ ≤
()
4
4
1
y1t
8
=−+
t

=>
()
3
3
1
y' 1 t 4t
2
=− − +

Ta có : Ù
()

y' 0=
3
3
1t 8t−=
⇔
1t

b/ Do điều kiện :
sin
và
co
nên miền xác đònh
x 0≥ s x 0≥
π
⎡⎤
=π+π
⎢⎥
⎣⎦
Dk2, k2
2
với
∈
k

Đặt
tcos= x
x
với thì
0t1≤≤
42 2
tcosx1sin==−
Nên
4
sin x 1 t=−
Vậy

=
xD
max y y 0 1,

(
)
∈
=
=−
xD
min y y 1 1

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
/>
Bài 7: Cho hàm số
44
ysinxcosx2msinxcos=+− x

Tìm giá trò m để y xác đònh với mọi x

Xét
44
f (x) sin x cos x 2m sin x cos x=+−
()
()
2
22 2
fx sinx cosx msin2x 2sinxcosx=+ − −
2


⇔
()
2
gt t 2mt 2 0=+ −≤
[
]
t1,1−
t
∀∈
Do
∀
nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t
2
'm 20Δ= + > m
1
, t
2
Lúc đó t t
1
t
2
g(t) + 0 - 0
Do đó : yêu cầu bài toán ⇔
12
t11
≤
−< ≤

⇔ ⇔

⎨
⎪
≤
⎪
⎩
⇔
11
m
22
−≤ ≤

Cách khác :

gt
()
2
t 2mt 2 0=+ −≤
[
]
t1,∀∈− 1

{
}
[,]
max ( ) max ( ), ( )
t
gt g g
∈−
⇔≤


Bài 8 : Chứng minh
4444
357
A sin si n sin sin
16 16 16 16 2
π πππ
=+++
3
=

Ta có :
7
sin

sin cos
16 2 16 16
πππ π
⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠
πππ
⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠
55
sin cos cos
16 2 16 16
π3

π πππ
=+++
544 44
33
sin cos sin cos
16 16 16 16
ππ π
⎛⎞⎛
=+++
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
π
⎞
⎟
⎠22
11
1 sin 1 sin
28 2 8
3
π
π
⎛⎞⎛
=− +−
⎜⎟⎜

π
π
=
⎝⎠
3
do sin cos
88
⎛⎞
⎜⎟13
2
22
=
−=Bài 9 : Chứng minh :
oooo
16 sin 10 .sin 30 .sin 50 .sin 70 1
=

Ta có :
o
o
Acos10 1
A
cos10 cos10
==

1
o
A
4 sin 20 cos 20 . cos 40
cos1 0
=

⇔
()
oo
o
1
A
2sin40 cos40
cos1 0
=

⇔
o
o
oo
1cos10
A
sin 80 1
cos10 cos10
===Bài 10 : Cho
A

A
BC
1tg .tg tg
22 2
+
=
−

⇔
A
BC A
tg tg tg 1 tg tg
222 2
⎡⎤
+=−
⎢⎥
⎣⎦
B
2

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
/>⇔
A
CBCAB
tg tg tg tg tg tg 1
22 22 22
++
=


(*)
⇔
cot g tg 2tg 4tg 8
32 32 16 8
ππ π π
⎡⎤
−−−
⎢⎥
⎣⎦
=

⇔
2cotg 2tg 4tg 8
16 16 8
ππ π
⎡⎤
−−
⎢⎥
⎣⎦
=

⇔
4cotg 4tg 8
88
ππ
−=

⇔
8cotg 8
4

33
ππ
⎛⎞⎛
+++−
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎠

()
11 414
1cos2x 1cos2x 1cos 2x
22 323
⎡
π⎤ ⎡ π ⎤
⎛⎞ ⎛
=+ ++ + ++ −
⎜⎟ ⎜
⎞
⎟
⎢
⎥⎢
⎝⎠ ⎝
⎥
⎠
⎣
⎦⎣ ⎦

31 4 4

⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦

3
2
=

b/ Ta có :
cos a cosb sin b cos a sin a cos b
cot ga cot gb
sin a sin b sin a sin b
−
−=−=

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
/>(
)
sin b a
sin a sin b
−
=

Do đó :
(
)
()
sin 2x x
1

cot g8x cot g16x 4
sin16x sin 8x sin16x
−
−= =

Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được
111 1
cot gx cot g16x
sin 2x sin 4x sin 8x sin16x
−=+++Bài 13 : Chứng minh :
+
=
30 20
8sin 18 8sin 18 1

Ta có: sin18
0
= cos72
0
⇔ sin18
0
= 2cos
2
36
0
- 1
⇔ sin18

⇔ (sin18
0
– 1)(8sin
3
18
0
+ 8sin
2
18
0
– 1) = 0
⇔ 8sin
3
18
0
+ 8sin
2
18
0
– 1 = 0 (do 0 < sin18
0
< 1)
Cách khác :
Chia 2 vế của (1) cho ( sin18
0
– 1 ) ta có
( 1 ) ⇔ 8sin
2
18
0

)
2
44 22 2
sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x+= + −
22
2
1sin2
4
=−
x()
1
11cos4
4
=− −
x31
cos 4x
44
=+

b/ Ta có : sin6x + cos6x
()

)
+= + −
2
88 44 4
sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x
4

()
=+ −
2
4
12
3cos4x sin2x
16 16

()
()
⎡
⎤
=+ + − −
⎢
⎥
⎣
⎦
2
2
111
9 6cos4x cos 4x 1 cos4x
16 8 2


333
in 3x.sin x cos 3x .cos x cos 2x+=
()
(
)
33 3 3
3sinx 4sinxsinx 4cosx 3cosxcosx=− + −
466
3sin x 4 sin x 4 cos x 3cos x=−+−
4

()
(
)
44 66
3sin x cos x 4sin x cos x=−−−
()
(
)
2222
3 sin x cos x sin x cos x=− +
()
(
)
224224
4 sin x cos x sin x sin x cos x cos x−− + +
22
3cos2x 4 cos 2x 1 sin x cos x
⎡
⎤

cos 2x=

Cách 2 :
Ta có :
si

33
n 3x .sin x cos 3 x .cos x+
3sin x sin 3x 3cos x cos 3x
sin 3x cos 3x
44
−+
⎛⎞⎛
=+
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎠

()
()
22
31
sin 3x sin x cos3x cos x cos 3 x sin 3x
44
=++−

MATHVN.COM
www.MATHVN.com

Ta có :
(
)
oo oo
cos12 cos18 4 cos15 cos21 cos 24+−
o

(
)
oo o o
2cos15 cos 3 2cos15 cos 45 cos 3=− +
o

oo o o oo
2cos15 cos 3 2cos15 cos 45 2cos15 cos 3=− −

oo
2cos15 cos45=−

()
oo
cos 60 cos 30=− +
31
2
+
=−Bài 17 : Tính
2o 2 o

oo
51 1 5
Pcos20cos20
42 2 4
=+ − = Bài 18 : Chứng minh :
oooo
83
tg30 tg40 tg50 tg60 cos 20
3
+++=
o

Áp dụng :
(
)
sin a b
tga tgb
cos a cos b
+
+=

Ta có :
()
(
)
oo oo
tg50 tg40 tg30 tg 60+++

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
/>oo
oo
cos 30 cos10
2
cos10 cos30
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎝⎠

po
oo
cos 20 cos10
4
cos10 cos 30
=

o
83
cos 20
3
=

Baøi 19 : Cho
A
BCΔ
, Chöùng minh :


A.cot gB cot gB.c ot gC cot gC.cot gA 1++=
g/
++=
A
BC AB
cotg cotg cotg cotg .cotg .cotg
22222
C
2a/ Ta coù :
()
A
BAB
sin A sin B sin C 2sin cos sin A B
22
+
−
++= + +

A
BAB AB
2sin cos cos
22 2
+− +
⎛⎞
=+
⎜⎟

⎜⎟
⎝⎠
−

A
BAB AB
2cos cos cos 1
22 2
+− +
⎡⎤
=−
⎢⎥
⎣⎦
+

A
BA B
4cos sin sin 1
22 2
+
⎛⎞
=− − +
⎜⎟
⎝⎠

CAB
4sin sin sin 1
222
=+


()
1 cosC cos A B cosC=− − −
⎡
⎤
⎣
⎦
do
(
)
(
)
cos A B cosC+=−
()
(
)
1 cosC cos A B cos A B=− − + +
⎡
⎤
⎣
⎦

12cosC.cosA.cosB=−
e/ Do nên ta có
ab C+=π−

()
tg A B tgC+=−
⇔
tgA tgB
tgC

g/ Ta có :
A
BC
tg cot g
22
+
=

⇔
A
B
tg tg
C
22
cot g
AB
2
1tg tg
22
+
=
−

⇔
A
B
cot g cot g
C
22
cot g

2Bài 20 : Cho
A
BCΔ
. Chứng minh :
cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0

Ta có : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1)
= 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos
2
C
= - 2cosCcos(A - B) + 2cos
2
C
= - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC
Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0 MATHVN.COM
www.MATHVN.com
/>Bài 21 : Cho
A
BCΔ
. Chứng minh :
cos3A + cos3B + cos3C = 1 -
3A 3B 3C
4 sin s in s in
22

⎜⎟
⎝⎠
3C
2

3C
cos
22
π
⎛⎞
=− −
⎜⎟
⎝⎠

3C
sin
2
=−

Do đó : cos3A + cos3B + cos3C
(
)
2
3A B
3C 3C
2sin cos 2sin 1
22 2
−
=− − +


3C 3A 3B
4 sin sin sin 1
222
=− +Bài 22 : A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh :
sin A sin B sin C A B C
tg tg cot g
cos A cos B cosC 1 2 2 2
+−
=
+−+

Ta có :
2
A
BAB CC
2sin cos 2sin cos
sin A sin B sin C
22 2
AB AB C
cos A cos B cosC 1
2cos cos 2sin
22 2
2
+
−
−
+−

⎢⎥
⎣⎦
==
−
+
−
⎡⎤
+
+
⎢⎥
⎣⎦

A
B
2sin .sin
C
22
cot g .
AB
2
2cos .cos
22
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
=

MATHVN.COM
www.MATHVN.com

π
=−
vậy
A
BC
tg cot g
22 2
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠

⇔
A
B
tg tg
1
22
A
BC
1tg tg tg
22 2
+
=
−

⇔
A
BC A
tg tg tg 1 tg tg

⇔
A
BC BC A BC CB
sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos 1
2 22 22 2 22 22
⎡⎤⎡
−+ +
⎢⎥⎢
⎣⎦⎣
⎤
=
⎥
⎦

⇔
A
BC A BC
sin cos cos sin 1
22 22
++
+=

⇔
A
BC
sin 1
2
++
=


CAB
2sin cos 4 2sin
22
C
2
−
=+−

CAB C
2sin cos sin 4
22 2
−
⎡⎤
=
−+
⎢⎥
⎣⎦

CAB AB
2sin cos cos 4
22 2
−+
⎡⎤
=
−+
⎢⎥
⎣⎦

CA B
4sin sin .sin 4

⎥
⎣
⎦

CA
4 cos cos cos
22
=
B
2
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
(*) ⇔
A
BC ABC
sin sin sin sin sin sin 1
222222
A
BC ABC
cos cos cos cos cos c os
222 222
+
++=

⇔
A
BC B AC C AB
sin cos cos sin cos cos sin cos cos
222 222 222
⎡⎤⎡⎤⎡

A
BC A BC
sin .cos c os sin 1
22 22
++
+=

⇔
A
BC
sin 1
2
++
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦

⇔
sin 1
2
π
=
( hiển nhiên đúng)
Bài 25 : Cho
A
BCΔ . Chứng minh:
A
BC
sin sin sin

222 222
+
−
+
==

−
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
==
A
B
CAB
cos
cos .cos
2
22
A
BC A
cos .cos .cos cos cos
222 2
B
2

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
/>Do đó : Vế trái
A


Cách 2 :
Ta có vế trái
BC AC AB
cos cos cos
22
BC CA AB
cos cos cos cos cos cos
22 22 2
+++
=++
2
2

BC BC AC AC
cos cos sin sin cos cos sin sin
22 22 22 2
BC CA
cos cos cos cos
22 22
−−
=+
2

A
BA
cos cos sin sin
22 2
AB
cos cos

A
B
cot g ,c ot g ,cot g
22
C
2
theo tứ tự tạo cấp số cộng.
Chứng minh
A
C
cot g .cot g 3
22
=

Ta có :
A
B
cot g ,c ot g ,cot g
22
C
2
là cấp số cộng
⇔
A
CB
cot g cot g 2 cot g
22
+=
2


sin sin cos
22 2
C
(do 0<B<
π
nên
B
cos 0
2
>
)
⇔
A
CAC
cos cos sin sin
22 22
2
AC
sin .sin
22
−
=
⇔
A
C
cot g cot g 3
22
=

Do đó :
1A B C A B C
tg tg tg cotg cotg cotg
22 2 2 2 2 2
⎡⎤
+++ + +
⎢⎥
⎣⎦

1A B C1 A B C
tg tg tg cotg cotg cotg
22 2 22 2 2 2
⎡
⎤⎡
=+++ ++
⎤
⎢
⎥⎢ ⎥
⎣
⎦⎣ ⎦

1A A1B B1C C
tg cot g tg cot g tg cot g
22 222 222 2
⎡
⎤⎡ ⎤⎡
=+ ++ ++
⎤
⎢

246
cos cos cos
777
πππ
++=
1
2
−
3

d/
+=
33
sin 2x sin 6x cos 2x.cos 6x cos 4x
e/
oooo
tg20 .tg40 .tg60 .tg80 3
=

f/
ππππ
+++=
25 83
tg tg tg tg cos
691833
π
9

g/
7

oooo
tg5 . tg55 .tg65 .tg75 1
=

2. Chứng minh rằng nếu
(
)
()
()
sin x 2sin x y
xy 2k1 kz
2
=+⎧
⎪
⎨
π
+≠ + ∈
⎪
⎩

thì
sin
()
cos
y
tg x y
y
+=
−
2

(
)
(
)(
22
C cos x a sin x b 2 cos x a sin x b sin a b=−+−−−−−
)

5. Cho
A
BCΔ
, chứng minh :
a/
cosC cos B
cot gB cot gC
sin B cos A sin Ccos A
+=+

b/
333
A
BC 3A3B3
sin A sin B sin C 3cos cos cos cos cos cos
222 2 2 2
++= +
C

c/
A
BC B AC


b/
π
=++
9
y4x sinx
x
với
0x
<
<∞

c/
2
y2sinx4sinxcosx 5=+ +

7. Tìm giá trò lớn nhất của :
a/
y sin x cos x cos x sin x=+

b/ y = sinx + 3sin2x
c/
2
ycosx 2cosx=+−

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
/>Chương 2 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN
uk
cot gu cot gv
uvk'
≠π
⎧
=⇔
⎨
=+ π
⎩Đặc biệt :
sin u 0 u k=⇔=π
π
=
⇔=+πcos u 0 u k
2

(
sin u 1 u k2 k Z
2
π
=⇔= + π ∈
)

cos u 1 u k2
=
⇔= π

()

32
4 cos x 3cos x 4 2 cos x 1 3cos x 4 0
−
−−+−=

⇔
32
4cos x 8cos x 0
−
=
⇔
(
)
2
4cos x cosx 2 0
−
=

⇔
(
)
==cosx 0hay cosx 2 loại vìcosx 1≤

⇔
()
xkk
2
π
=+π∈Z


⎧
⎫
∈
⎨
⎬
⎩⎭

Bài 29 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2004)
Giải phương trình :
()( )
(
)
2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x *−+=−Ta có (*) ⇔
()
(
)
(
)
−+=2cos x 1 2sin x cos x sin x 2 cos x 1−

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
/>⇔
()( )
2cos x 1 2sin x cos x sin x 0
−
+−

ZBài 30 : Giải phương trình
+
++=cos x cos 2x cos 3x cos 4x 0 (*)

Ta có (*)
⇔
()
(
)
cos x cos 4x cos 2x cos 3x 0+++=

⇔
5x 3x 5x x
2cos .cos 2 cos .cos 0
22 22
+=

⇔
5x 3x x
2cos cos cos 0
22 2
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠

⇔

(
)
22 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x *+=+

Ta có (*) ⇔
()()()()
1111
1 cos 2x 1 cos6x 1 cos 4x 1 cos 8x
2222
−+−=+++

⇔
()
cos2x cos6x cos4x cos8x−+ =+
⇔
2cos 4x cos2x 2 cos 6x cos 2x−=
⇔
(
)
2cos2x cos6x cos4x 0+=

⇔
4 cos 2x cos5x cos x 0
=

⇔
cos 2x 0 cos 5x 0 cos x 0
=
∨=∨=

−
<x1 3

MATHVN.COM
www.MATHVN.com
/>Ta có : (*)⇔
()
17
sin x.cos4x 1 cos 4x 2 1 cos x
22
⎡π⎤
⎛⎞
2
−
−=−−
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
−
⇔
−+ =−−
11 3
sin x cos 4x cos 4x 2 sin x
22 2

⇔
1
sin x cos 4x cos 4x 1 2sin x 0
2

⎢
π
⎛
⎢
=− = −
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎣
⎞
⇔
π
⎡
=
−+ π
⎢
⎢
π
⎢
=
+π
⎢
⎣
xk
6
7
x2
6
2
h

π
=
−

π
−< + π<
7
2h2
6
4

⇔
π
π
−− < π< − ⇔− − < < −
ππ
77172
2h24 h
6612
7
12

⇒
h = 0
⇒
π
=
7
x
6

ππ
==
7
xhayx
66Bài 33 : Giải phương trình
(
)
33 3
sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x *+=

Ta có : (*)⇔
()
(
)
33 3 3 3
sin x 4 cos x 3cos x cos x 3sin x 4 sin x sin 4x−+ − =

⇔
33 3 3 33 3
4 sin x cos x 3sin x cos x 3sin x cos x 4 sin x cos x sin 4x−+− =
⇔
()
22 3
3sin x cos x cos x sin x sin 4x−=
⇔
3
3

Bài 34 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2002)
Giải phương trình :
(
)
22 22
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6a *−=−

Ta có : (*)⇔
()()()()
11 1 1
1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x
22 2 2
−−+=− −+

⇔
cos 6x cos 8x cos10x cos12x+= +
⇔
2cos7xcosx 2cos11xcosx=
⇔
(
)
2cos x cos7x cos11x 0−=

⇔
cos x 0 cos7x cos11x=∨ =
⇔
π
=+π∨ =± + πxk7x11xk
2
2

π
=− = ∨ =

⇔
2
xk2tg2x1
34
tg
π
π
=± + π∨ = =

⇔
()
π
ππ
=± + π∨ = + ∈
2
xk2xk,k
382
ZBài 36: Giải phương trình
(
)
++ =+
23
cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x.cos x cos x 8 cos x.cos 3x *