BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
Sự biến thiên của hàm số và ứng dụng
Mục lục

Loại 1. Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số 3
A. Tóm tắt lý thuyết 3
B. Một số ví dụ 4
C. Bài tập 11
D. Hướng dẫn và đáp số 13
Loại 2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số 17
A. Tóm tắt lý thuyết 17
B. Một số ví dụ 18
C. Bài tập 21
D. Hướng dẫn và đáp số 22
Loại 3. Ứng dụng xét phương trình 25
A. Tóm tắt lý thuyết 25
B. Một số ví dụ 26
C. Bài tập 35
D. Hướng dẫn và đáp số 36
;
a b
nếu:
1
x

,


2
;
x a b
 ,
1 2
x x



.
+)
f
được gọi là nghịch biến trên


;
a b
nếu:
1
x


a b
. Khi đó
+)


' 0
f x




;
x a b
 


f
đồng biến trên


;
a b
.
+)


' 0
f x





;
a b
.

Ứng dụng xét tính đơn điệu của hàm số: Để xét tính đơn điệu của hàm số


y f x
 , ta
làm như sau:
+) Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
+) Bước 2: -) Tính


'
f x
.
-) Tìm nghiệm của phương trình


' 0
f x

.
-) Xét dấu của


'

f x x x x x
     
,


'
f x
có hai nghiệm là
1
x
 
và
3
x

.
+) Bảng biến thiên:
+∞
-∞
f x( )
f ' x( ) +
+
_
0
0
-25
7
+∞3-1
-∞
x



1;3
 .
Chú ý.
1. Giới hạn tại vô cực của hàm đa thức: Xét đa thức bậc
n



1
1 1 0

n n
n n
f x a x a x a x a


    
(
*
n

,
0
n
a

).
Ta có

n
n
x
n
n
a n
a n
f x
a n
a n

 


 



 


 

.
2. Một số quy tắc xét dấu:
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5

g x ax bx c
  
(
0
a

,
2
4
b ac
   ). Ta có ba trường
hợp sau đây:
TH1:
0
 
:


0
ag x


x

.
TH2:
0
 
:




0
ag x




1 2
x x x
 
,


0
ag x




1
2
x x
x x





.

a 0

là hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của


P x
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
-
1 2 n
x x x
 
 
là các nghiệm của


P x
,
-
1
k
, …,
n
k
là các số nguyên dương,
i

đi qua nghiệm bội
chẵn.
d. Hệ quả (của quy tắc xét dấu đa thức): Nếu một đa thức bậc
n
có
n
nghiệm phân biệt thì đa
thức đó đổi dấu liên tiếp khi
x
đi qua các nghiệm.
Ví dụ 2. Xét chiều biến thiên của hàm số


3 2
3 3 1
f x x x x
    
.
Giải
+)


TXÑ
.
+)
   
2
2
' 3 6 3 3 1 0
f x x x x

x
f x

 
,


lim
x
f x

 
.
+) Kết luận:
f
nghịch biến trên

.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta thấy


' 0
f x



;
x a b
  , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc


;
a b



f
đồng biến trên


;
a b
.
+)


' 0
f x




;
x a b
  , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc




3 2 3 2 2
f ' x 12x 12x 24x 24 12 x x 2x 2 12 x 1 x 2
          
.
+) Bảng biến thiên:
_
-7+16 2
-7-16 2
16
0
2
+∞
f x( )
f ' x( )
+
+
_
0
0
+∞
02
∞
x



lim
x

x
f x
x



.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
Giải
+)


TXÑ
1
2
\ 
.
+)
 
 


7
2
1 2x
1

x
x x x
x
x
f x
x
  


   
 
,
 


1
2
lim
x
f x


 
,
 


1
2
lim

2
3
3 5
3 4 7 0
lim lim 0
3 5 1 1
x
x x
x x
x x
x x
x x
 
 
 
  
      
(lũy thừa bậc cao nhất ở mẫu là
3
x
).
* Cách xác định các giới hạn một phía:


 
0
lim
x x
f x
g x

g x
cùng dấu với


0
f x





 
0
lim
x x
f x
g x


 
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
+)
0
a x
 

+)
0
a x
 



0
;
x a x
  :


g x
cùng dấu với


0
f x





 
0
lim
x x
f x
g x

lim
x x
f x
g x


 
.
Ví dụ 5. Xét sự biến thiên của hàm số
2
1
1
x x
y
x
 


.
Giải
+) TXĐ


\ 1


.
+)
 
2

y
'
+∞
∞
x

 
2
1
1
1
lim lim lim
1
1
1
x x x
x
x x
x
f x
x
x
  
 
 
   


,
 


1
2
lim
x
f x

 

 
 
 
.
+) Kết luận:
f
đồng biến trên


;0
 và


2;

, nghịch biến trên


0;1
và


(


1;1
x  ).
+) Bảng biến thiên
+
_
_
0
1
00
1
0
1
_
y
y'
+∞
∞
x

+) Kết luận: hàm số đồng biến trên


1;0
 , nghịch biến trên


0;1

1;1
x   .
+) Bảng biến thiên
2
+
_
_
0
2
2
1
0
1
_
y
y'
+∞
∞
x

+) Kết luận: hàm số đồng biến trên


1;0
 , nghịch biến trên


0;1
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

1;1
x  . Vậy


1;1
TXÑ   .
+)
2
2 2
2 1
' 2
1 1
x x x
y
x x
 
  
 
,


1;1
x  .


1;1
x   , ta có
' 0
y




2
5
x

.
+) Bảng biến thiên
5
2
-2
-1
+
_
0
1
2
5
_
f x( )
f ' x( )
+∞
∞
x

+) Kết luận: hàm đã cho đồng biến trên


2
5

y x 3x 3x 5
   
.
4)
4 3
1
2
y x x x 5
   
.
5)
4 3 2
y 3x 22x 51x 36x 1
     
.
6)
5 3
4
5
8
y x x
   
.
7)
2 x
1 x
y




y

 .
12)
x 1
3 x
y

 .
13)
y x 2 3 x
   
.
14)
2
y x 2x 3
  
.
15)
2
y x
 
.
16)
2
2
y x x
  .
17)
4 4

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
2)
4
y x
x
 
nghịch biến trên các khoảng


2;0
 ,


0;2
.
3)
3 x
y
2x 1



nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
4)
2
2x 3x


2;

, đồng biến trên


4;2
 .
3) Hàm số đồng biến trên

.
4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng


; 1
 
và


1
2
;2
, đồng biến trên các khoảng


1
2
1;
 và


3
2
; 
và


3
2
;

, nghịch biến trên


3 3
2 2
;

.
Lưu ý: Trong bài tập này, đạo hàm không đổi dấu khi
x
đi qua
0
.
7) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định (nghịch biến trên các khoảng


; 1
 
và



4;

, đồng biến trên các khoảng


0;2
và


2;4
.
10)
+)


\ 0;2
TXÑ 

. +)
 
 
2
4 1
2
'
x
x x
y



,
0
lim
x
y


 
,
0
lim
x
y


 
,
2
lim
x
y


 
,
2
lim
x
y

 
2
2
2
3 1
1
'
x
x
y


 .
+) Bảng biến thiên:
_
_
3
2
3
2
0
0
_
f x( )
f ' x( ) +
_
0
0
+∞1-1
∞

12)
+)


0;TXÑ
 
. +)
1
6
'
x
x x
y

 .
+) Bảng biến thiên:
3
2
+∞
+∞
+
_
0
1
0
_
f x( )
f ' x( )
+∞
∞


.
13) Hàm số nghịch biến trên


1
2
2;
 , đồng biến trên


1
2
;3
.
13) Hàm số nghịch biến trên


; 1
 
, đồng biến trên


1;
 
.
15) Gợi ý:
 
2
2 2



0;1
và


2;

.
17)
+)


2;5
TXÑ  .
+)
   
3 3
4 4
1 1 1
4
2 5
'
x x
y
 
 
 
 
 

2
2;
x


 
 
 
 
3
4
3
4
3
1 2
4
3
2
3
1 2
4
3
5
x
x






3
5
+
_
0
7
2
2
_
f x( )
f ' x( )
+∞
∞
x

+) Hàm số nghịch đồng trên


7
2
2;
, nghịch biến trên


7
2
;5
.
Các câu 18) 19) 20) có cách giải tương tự câu 17)
18) Hàm số đồng biến trên
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
17
Loại 2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số
A. Tóm tắt lý thuyết
Trong loại toán này, ta quan tâm đến hai bài toán sau đây
1. Bài toán 1. Số khoảng đơn điệu của hàm số
* Hàm bậc ba:
3 2
y ax bx cx d
   
(
0
a

). Ta có:
2
' 3 2
y ax bx c
  
,
'
y

 Hai khoảng đồng biến là


1
;
x
 và


2
;x

.
 Một khoảng nghịch biến là


1 2
;
x x
.


1 2
;
x x
.


0


 Nghịch biến trên
* Hàm bậc bốn trùng phương:
4 2
y ax bx c
  
(
0
a

).
Ta có:


3 2
2
' 4 2 4
b
a

 .




 Hai khoảng nghịch biến là


2
;
b
a
   và


2
0;
b
a
 .
 Hai khoảng đồng biến là


2
;0
b
a
  và



b
a
  và


2
;
b
a
 
.


0



y
đồng biến trên


;0
 , nghịch biến trên


;0
 .
* Hàm “
baäc nhaát
baäc nhaát


 
 
không đổi dấu trên tập xác định. Do đó:
+)
0
ad bc
 



y
đồng biến trên từng khoảng xác định
+)
0
ad bc
 



y
nghịch biến trên từng khoảng xác định
2. Bài toán 2. Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng.
* Phương pháp 1:
f
đồng biến (nghịch biến) trên


;
a b




' 0
f x




;
x a b
  .
+)
f
nghịch biến trên


;
a b





' 0
f x







x
 



hàm số đồng biến trên

.
* TH2:
0
m




'
y
có hai nghiệm phân biệt
1
12
m
x
  
,
2
12
m
x


 
,
lim
x
y

 
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
19
+) Vậy, trong trường hợp này, hàm số đồng biến trên ;
12
m
 
  
 
 
 
và ;
12
m
 
 
 
 
 

'
y

là tam thức bậc hai có hệ số của
2
x
là
1 0
 
,
' 2 5
m
  
. Do
đó hàm số nghịch biến trên

khi và chỉ khi
' 0
 



5
2
m
 
.
Chú ý: Điều kiện để tam thức bậc hai có dấu không đổi.
Xét tam thức bậc hai




 

.
+)


0
t x


x
 




0
0
a



 

.

Ví dụ 3. Tìm
m


1
x m
x m



 

.
Bảng biến thiên:
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
20
m+1
m
+∞
-∞
y
y' +
+
_
0
0
y m+1( )
y m( )
+∞
-∞

1;2
khi và chỉ khi




   
1;2 ;
1;2 1;
m
m
 

  





2
0
m
m





.
Ví dụ 4. Xét sự biến thiên của hàm số


,
'
y
đổi dấu đúng một lần khi
x
đi qua
0
.
+) Bảng biến thiên:
4
+∞
+
_
f x( )
f ' x( )
0
+∞
0
∞
x

lim
x
y

 

m
 
,
'
y
đổi dấu liên tiếp khi
x
đi qua
các nghiệm.
+) Bảng biến thiên:
m
2
4
4 -
4 -
m
2
4
4
+∞
+∞
-m/2
- -m/2
_
0
f x( )
f ' x( )
+
+
_


,
đồng biến trên


2
;0
m
 và


2
;
m

.
Ví dụ 5. Tìm
m
để hàm số
1
4
mx
x m
y


 đồng biến trên từng khoảng xác định.
Giải
+)





2
4 0
m
 



2
2
m
m



 

.
C. Bài tập
Tìm
m
để
1)




3 2 2

. (
2
3
m

).
4)
   
3 2
1
3
y x m 1 x m 3 x 4
      
đồng biến trên


0;3
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
22
5)


4 2
1 4
y mx m x
   



x
 




3
m
 
hoặc
2
m

.
2) Tương tự câu 1) ta có:
1
m
 
hoặc
1
m

.
3)
TH1:
0
m


0
m




y
là hàm bậc ba có




2
' 2 1 3 2
y mx m x m
    
(
2
' 2 4 1
m m
    
).
+)
0
' 0
m



 

 

:
' 0
y


x
 




y
nghịch biến trên

(loại).
+)
0
' 0
m



 




2 6

.
Do đó:
y
đồng biến trên


2;








2
2; ;x
  



2
2
x




2
1 2 4 1



, kết hợp với


*
ta có
2 6
2
3 2
m

  .
+)
0
' 0
m



 

:
y
đồng biến trên


1 2
;
x x



2
2
15
1
2 4
' m m 4 m 0 m
        
).
'
y
có hai nghiệm
phân biệt
1
'
1x m 

 ,
2
'
1x m 

 .
+) Bảng biến thiên
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
23

 
, lim
x
y

 
.
+)
y
có một khoảng đồng biến là


1 2
;
x x
nên:
y

đồng biến trên


0;3







1 2


2
2
m m 4 m 1
m m 4 4 m

   



   




2 2
2 2
m 1 0
m 1 0
m m 4 m 2m 1
4 m 0
4 m 0
m m 4 m 8m 16

 



 




12
7
m 1
m 1
m 3
m 4
m 4
m












 








đồng biến trên


1;3
.
TH1:
0
m




2
4
y x
 



y
đồng biến trên


0;

(thỏa mãn).
TH2:
0
m






0 1
m
 
:
y
đồng biến trên


0;

(thỏa mãn).
+)
 
4 0
2 1 0
m
m




 





;0
m
m

 ,


1
2
;
m
m


.
Trong trường hợp này:
y
đồng biến trên


1;3



1
2
1
m
m


 
4 0
2 1 0
m
m




 





0
m

:
y
có các khoảng đồng biến là


1
2
;
m
m

  ,

9
m
m





1
17
m
 
(thỏa mãn
0
m

).
Kết hợp những giá trị
m
tìm được ta có
1
17
m
 
hoặc
0 1
m
 
.
6)



; 0 *
g x m  , ta biến đổi
tương đương phương trình về dạng


f x m

(bước
này được gọi là cô lập tham số).
Do đó, việc xét phương trình


*
được đưa về xét sự
tương giao của đường thẳng :
d y m

với đồ thị hàm
số




y f x C
 .
m
d
O



C
.
 Số nghiệm của phương trình


*
bằng số điểm chung của đường thẳng
d
với


C
.
 Nghiệm của


*
là hoành độ điểm chung của
d
và


C
.