BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Có nhiều phương pháp để tính tích phân hàm vô tỷ (hàm chứa căn), tuy nhiên trong chương trình
ôn thi đại học, ta chỉ cần quan tâm đến hai dạng sau đây.
Dạng 1: Biểu thức trong căn là một nhị thức bậc nhất


;
n
I R x ax b dx
 

,
trong đó


;
n
R x ax b

là một hàm phân thức hữu tỷ đối với
x
và
n
ax b

2
;
R x ax bx c
 
là một hàm phân thức hữu tỷ đối với
x
và
2
ax bx c
 
,
0
a

.
Đặt
2
t ax bx c
  
.
Trong trường hợp phương pháp này không sử dụng được, ta chuyển qua dùng phương pháp 2.
Phương pháp 2: Biến đổi căn của tam thức bậc hai về một trong các kiểu sau và áp dụng cách
đặt ẩn phụ tương ứng.
Kiểu Phép đặt ẩn phụ
 
2 2
a f x
 ,
0
x

2 2
t
 
 
 
 
 

 
2 2
f x a

,
0
x


 
cos
a
f x
t
 ,
 
0; \
2
t


 

dx tdt

 

 

.
Đổi cận
0
x




1
t

,
1
x




0
t

.
Suy ra
I

 
 
 

4
15

.
Ví dụ 2. [ĐHA04] Tính
2
1
1 1
x
I dx
x

 

.
Giải
Đổi biến
1
t x
 



2
1
2

I

1
3
0
2
1
t t
dt
t





1
2
0
2
2 2
1
t t dt
t
 
   
 

 



1
dx
I
x x



.
Giải
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3
Ta có
   
64
3 2
6 6
1
dx
I
x x



.
Đổi biến:
6




2
t

.

I

2
5
3 2
1
6
t
dt
t t


2
3
1
6
1
t
dt

 
    
 
 
 

11 6ln3 6ln 2
  
.
Ví dụ 4. [ĐHA05]
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x





.
Giải
Ta có
 
2
0
2cos 1 sin
1 3cos



 


. Đổi cận:
0
x




2
t

,
2
x





1
t

.

I


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4

3
2 2
2 2
9 3
1 1
t t
 
 
 
 
 
 34
27
 .
Ví dụ 5. Tính
3
3
2
0
1


2 2
1
x t
xdx tdt

 



. Đổi cận:
0
x




1
t

,
3
x 


2
t

.


 

4
3

.
Ví dụ 6. Tính
2
2
2
1
dx
I
x x



.
Giải
Ta có
2
2 2
2
1
xdx
I
x x








3
t  .
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5

I

 
3
2
1
1
tdt
t t


3
2
1

du
dt
u
t
u






 


. Đổi cận
1
t




4
u


,
3
t 



2
0
1 2 2
dx
I
x x x

  

.
Giải
Ta có


 
1
2 2
0
1
2 1 2 2
x dx
I
x x x x


   

.
Đổi biến:
2

x




5
t  .

I

 
5
2
2
1
tdt
t t


5
2
2
1
dt
t



   
   
 
 
   
 



ln 5 1 ln 5 1 ln 2
    
.
Ví dụ 8. Tính
1
2
1
2
8 2
dx
I
x x


 

.
Giải

.
Đổi cận
1
2
x
 



6
t

 
,
1
x




0
t

.
Do đó
6 6
0 0
6
0
3cos

,
;
2 2
t
 
 
 
 
 



2
2
2
2
1
2 2
cos
cos
2 2
sin cos
sin
cos
1 1 tan tan
tan
dt
t
t
dt


3
4
2
sin cos
dt
t t



3
4
2 2
cos
sin cos
tdt
t t





BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG

sin
u t

,
0
t




0
u

,
6
t





1
2
t

)



 

 

3 3
2 2
2 2
2 2
1 1 1
ln
2 1
u
u u

 
   
2 3
ln 2 1 ln 2 3 2
3
      .
Ví dụ 10. Tính
2
2
2
1
dx

2
cos
cos
1
tdt
t
t
t
dx dt
t
x
 

.
Đổi cận
2
x 



4
t


,
2
x




3
4
2
sin
1 sin
d t
t






BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8

3
4
1 1 sin
ln
2 1 sin
t
t

3 2
dx
I
x



. 2)
1
0
2 1
xdx
I
x



.
3) [ĐHD12]
4
0
4 1
2 1 2
x
I dx
x


 


0
sin 2
cos 4sin
x
I dx
x x




.
7)
ln2
0
1
x
I e dx
 

. 8)
1
2
0
1
5
I x x dx
 

.
9)


.
12)
6
2
2 3
9
dx
I
x x



.
13)
4
2
4 3
3
4
x
I dx
x



. 14)
2
2
2

x x



.