MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Trong thời đại ngày nay không một ai có thể nghi ngờ về vai trò
quan trọng của toán học trong đời sống xã hội cũng như trong sự phát triển
của khoa học, kinh tế và kỹ thuật, v.v Chính sự thâm nhập ngày càng sâu
rộng của toán học vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học hiện đại là bằng
chứng sinh động nhất để khẳng định điều đó. Đặc biệt, khi loài người bước
sang thế kỷ XXI, thì nền kinh tế tri thức đã bắt đầu phát triển và có ảnh
hưởng mạnh mẽ trong phạm vi quốc tế. Đặc điểm nổi bật của nền kinh tế tri
thức là vai trò ngày càng to lớn của những đổi mới liên tục về công nghệ
trong sản xuất và vị trí chủ đạo của thông tin và tri thức với tư cách là
nguồn lực cơ bản tạo nên sự tăng trưởng và năng lực cạnh tranh của nền
kinh tế. Do vậy, trong nền kinh tế hiện đại luôn luôn xuất hiện các yếu tố
phi tuyến, có nghĩa là những mô hình không thể giải được nếu chỉ vận dụng
các công cụ suy luận phân tích và tính toán định lượng của toán học truyền
thống. Ở đây, để toán học phát huy được sức mạnh của mình trong việc giải
quyết các nhiệm vụ kinh tế - xã hội hiện đại thì nhất thiết trong quá trình
xây dựng các mô hình, toán học phải có sự kết hợp với các phương pháp
khoa học khác (chẳng hạn như phương pháp tin học). Nếu thực hiện được
sự kết hợp đó, thì những khó khăn nảy sinh do sự xuất hiện các yếu tố phi
tuyến sẽ được khắc phục nhờ các phương pháp mô hình hóa và mô phỏng
bằng đồ họa máy tính. Điều đó có nghĩa là năng lực nhận thức của con
người được phát triển nhờ vào sự trực cảm và sự suy luận định tính.
Thực trạng trên đã chứng tỏ rằng, toán học có vai trò to lớn trong
nhận thức khoa học. Nhưng lý do nào đã làm cho toán học có được sức
mạnh đó? Theo chúng tôi, điểm mấu chốt là ở chỗ, đối tượng của toán học
có những nét đặc thù rất khác biệt so với các đối tượng của các khoa học
1
khác. Chính vì vậy, hơn lúc nào hết, chúng ta phải phân tích được một cách
đúng đắn, nghiêm túc và rõ ràng bản chất của đối tượng toán học từ lập
trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng.

không tùy tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, đầy đủ hơn" [25, tr. 179].
Chính vì những lý do nêu trên, chúng tôi đã chọn đề tài "Vấn đề
nhận thức luận qua sự phân tích đối tượng của toán học" làm đề tài cho
luận án của mình.
2. Tình hình nghiên cứu đề tài
Xung quanh vấn đề triết học trong toán học (trong đó có vấn đề
nhận thức luận) ở Việt Nam và nước ngoài đã có nhiều công trình đề cập
tới và nghiên cứu trên nhiều góc độ khác nhau. Các công trình đó bao gồm
các tác phẩm kinh điển của chủ nghĩa Mác - Lênin, các sách tham khảo, các
bài viết trong các tạp chí khoa học và các kỷ yếu khoa học trong và ngoài
nước. Trong số các tác phẩm kinh điển có các tác phẩm chính như: "Các
bản thảo toán học" của C. Mác; "Biện chứng của tự nhiên", "Chống Đuy-
rinh" của Ph.Ăngghen; "Chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa kinh nghiệm phê
phán", "Bót ký triết học" của V.I. Lênin. Trong số các tác phẩm nghiên cứu
có các cuốn: "Một số vấn đề triết học về cơ sở của toán học" của V.N.
Mơlôtsi; "Sự phát triển của nhận thức và toán học" của A. Nưsanbaev và
G. Shliakhin (tiếng Nga); "Về bản chất của tri thức toán học" của G.I.
Ruzavin (tiếng Nga); "Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học,
dạy, nghiên cứu toán học" (hai tập) của Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn; "Kỷ
yếu hội nghị ứng dụng toán học toàn quốc lần thứ nhất" của Hội Toán học
Việt Nam - Bộ Công nghiệp (2000), v.v Chóng ta có thể khái quát những
tư tưởng chính của các công trình đó ở các khía cạnh sau đây:
Thứ nhất, các công trình đó đã tập trung vào phân tích khả năng
ứng dụng to lớn của toán học trong các ngành khoa học khác nhau.
3
Thứ hai, các công trình đó đã đề cập đến vấn đề mối quan hệ của
toán học với thế giới hiện thực.
Thứ ba, vai trò nhận thức của toán học được đề cập đến thông qua
việc khẳng định toán học như một công cụ của các khoa học cụ thể khác
trong việc khám phá ra những tri thức mới.

toán học qua các thời đại lịch sử khác nhau, dùa vào các tác phẩm kinh
điển, sách báo, tạp chí, những công trình khoa học trong nước và ngoài nước.
- Luận án vận dụng phương pháp luận chung là phương pháp duy
vật biện chứng và các phương pháp khác như mô tả, phân tích, tổng hợp,
lôgíc và lịch sử, so sánh v.v
5. Những đóng góp mới về mặt khoa học của luận án
Trước hết, chúng tôi phải khẳng định rằng, cái mới của luận án ở
đây không phải là một phát minh khoa học độc đáo hoặc một vấn đề hoàn
toàn mới mẻ chưa hề được đề cập đến. Cái mới mà luận án đạt được là ở
chỗ, xuất phát từ lập trường duy vật biện chứng tác giả đã phân tích một
cách có hệ thống và cô đọng những vấn đề về nguồn gốc, bản chất và quá
trình phát triển của đối tượng toán học.
Từ đó, tác giả làm rõ tính độc lập tương đối của nhận thức toán học
trong quá trình nhận thức nói chung. Tính độc lập tương đối của nhận thức
toán học được thể hiện ở chỗ, toán học là một khoa học có tính trừu tượng rất
cao nhưng nó lại thể hiện sự phản ánh tích cực, sáng tạo của con người về thế
giới khách quan; ở lôgic phát triển nội tại của mình, đặc biệt là ở nét đặc thù
trong việc kiểm nghiệm tính chân lý của toán học.
Tất cả các điều nói trên được luận án làm sáng tỏ đã khẳng định giá
trị nhận thức của toán học thông qua sự phân tích đối tượng của nó, đặc
5
biệt là trong điều kiện phát triển mạnh mẽ và phức tạp của khoa học hiện
đại.
6. Ý nghĩa của luận án
- Những kết quả nghiên cứu của luận án đã góp phần làm sáng tỏ
quan điểm khoa học của chủ nghĩa duy vật biện chứng về sự khẳng định
toán học là một bộ môn khoa học rất hiện thực. Từ đó làm rõ vai trò của
toán học trong nhận thức khoa học và tính quy luật trong sù phát triển của
đối tượng toán học.
Luận án có thể dùng làm tài liệu tham khảo trong nghiên cứu, giảng

và phân chia sản phẩm. Phép đếm đã nảy sinh từ nhu cầu cần thiết là xác
định số lượng động vật trong một bầy và số lượng sản phẩm thu hoạch mùa
màng. Khi con người đã biết sản xuất thì nhu cầu về sự cân đối, đồng bộ
ngày càng tăng, chỉ có đếm chưa đủ, cần phải cân, đong, đo đạc, so sánh và
7
sắp xếp thứ tự. Lúc đầu, nhu cầu chính xác còn thấp, số lượng việc đong,
đo, ước lượng chưa nhiều, người ta có thể đong đo trực tiếp hoặc ước lượng
bằng kinh nghiệm, chẳng hạn như dùng nước hay cát để đong mà so sánh
các thể tích. Chính sự đo lường các đại lượng là nguyên nhân xuất hiện các
phân số. Đồng thời các nhu cầu đơn giản nhất về đo diện tích các khu đất,
đo thể tích các vật thể khác nhau, đo các chi tiết kiến trúc, đã mang lại sự
tích lũy tài liệu thực tế to lớn về hình học. Có thể nói rằng, lượng tài liệu
khổng lồ về hình học đã được tích lũy ở thời Ai Cập cổ đại. Lịch sử còn ghi
lại việc phải đo đạc lại đất đai sau mỗi vụ lụt của sông Nin khiến cho lưu
vực sông Nin là cái nôi sinh ra môn hình học.
Những tài liệu toán học ở Babylon cổ đại chủ yếu là chỉ ra các phương
pháp khác nhau để giải các bài toán số học, trong đó có cả các phương pháp
không liên quan trực tiếp đến nhu cầu kinh tế. Do đó, chúng ta có đầy đủ cơ
sở để khẳng định rằng, một phần công việc hệ thống hóa và tinh chế lý
thuyết các tư liệu thực tế về số học và hình học đã bắt đầu được thực hiện
ngay trong toán học tiền Hy Lạp, đặc biệt là toán học Babylon và Ai Cập.
Nói tóm lại, đây là thời kỳ hình thành những khái niệm đầu tiên của
toán học. Các tri thức toán học của thời kỳ này gắn liền với những nhu cầu
của đời sống kinh tế. Các khái niệm như số và hình xuất phát trực tiếp từ
những khách thể hiện thực, tức là từ những sự vật cụ thể, cảm tính. Toán
học chưa được xem là một khoa học lý thuyết trừu tượng, vì thế thời kỳ này
được coi là thời kỳ phôi thai và ra đời của toán học, hay nói chính xác hơn,
đây là thời kỳ hình thành toán học như là một khoa học. Đối tượng của toán
học thời kỳ này gắn liền với các khách thể cụ thể.
Thời kỳ thứ hai trong sự phát triển của toán học bắt đầu từ những

lần đầu tiên người ta đã xây dựng nó bằng phương pháp tiên đề. Trong số
các tác phẩm lý luận về toán học, tiêu biểu nhất là tác phẩm "Cơ sở" của
9
nhà toán học Hy Lạp cổ đại Ơclít. Tác phẩm này xuất hiện vào thế kỷ thứ
ba trước công nguyên, những nguyên lý nổi tiếng trong đó là nguồn cung
cấp tri thức toán học cho các thế hệ sau đó trong suốt một thời gian dài.
Đồng thời, nó cũng là một tác phẩm mẫu mực về cách lập luận toán học
một cách sáng sủa. Tóm lại, ở giai đoạn này, toán học từ trình độ kinh
nghiệm đã tiến lên trình độ lý luận. Tuy vậy, lý luận này mới chỉ dừng ở
chỗ phát hiện ra những mối liên hệ có tính quy luật được thể hiện trong các
định lý, các công thức, trong những sự vật và hiện tượng tĩnh tại, riêng lẻ. Do
sự kìm hãm của chế độ phong kiến, cơ học và vật lý chưa phát triển được, vì
thế vận động lúc đó chưa thể đi vào toán học được, chính vì thế mà từ tác
phẩm "Cơ sở" của Ơclít trở đi đến hết thế kỷ XVI, toán học không tiến xa
hơn được bao nhiêu, chỉ đến thế kỷ XVII toán học mới bắt đầu vượt xa hơn
thời kỳ cổ đại.
Giai đoạn thứ ba trong sự phát triển của toán học được bắt đầu từ
thế kỷ thứ XVII. Thời kỳ Phục hưng ở châu Âu đã giải phóng cho xã hội
loài người thoát khỏi những sự kìm hãm của chế độ phong kiến, mở đường
cho khoa học và công nghệ phát triển. Nhu cầu nghiên cứu các dạng vận
động cơ học và vật lý đã thúc đẩy toán học bước sang mét giai đoạn mới.
Những vấn đề như vận tốc, gia tốc tức thời, thêm vào đó là phương pháp
tọa độ của Đêcactơ đã làm nảy sinh và phát triển mạnh mẽ các phép tính vi
phân, tích phân. Có thể nói rằng, vào thời kỳ này sự vận động đã thực sự đi
vào toán học. Trọng tâm của toán học hướng vào việc nghiên cứu sự biến
thiên của các hàm số theo các biến số, sự nghiên cứu đạo hàm rồi nguyên
hàm và tích phân. Phương pháp tọa độ đã cho phép biểu diễn các hàm số
bằng đồ thị, chính điều đó làm nảy sinh ra hình học giải tích rồi hình học vi
phân. Những khái niệm như đạo hàm, tích phân được liên hệ chặt chẽ với
các khái niệm tiếp tuyến, độ cong, độ dài, diện tích, thể tích, v.v Những

11
như là một khoa học nghiên cứu các tính chất của các đại lượng, bởi vì
chúng đếm được và đo được. Nhưng đồng thời trong thời gian đó, các nhà
bác học có tầm nhìn xa hơn lại cho rằng, đối tượng của toán học không thể
hạn chế trong việc nghiên cứu các đại lượng. Chẳng hạn, Đêcactơ, mặc
dù thừa nhận toán học là khoa học về đại lượng và đo lường, nhưng đồng
thời ông cũng nhấn mạnh giá trị to lớn của quan hệ thứ tự đối với nó. Nhìn
chung, Đêcactơ, Lepnitxơ và một số các nhà toán học khác đã nhìn thấy
bản chất của toán học trong phương pháp suy diễn của nó nhiều hơn là
trong nội dung của nó. Chính vì vậy, các ông đều cho rằng, toán học có thể
được áp dụng không chỉ đối với các đại lượng, mà còn đối với các đối
tượng muôn hình muốn vẻ khác, trong đó bao gồm cả các suy luận, song
những ý tưởng đó đã vượt xa thời đại của mình, nên chúng đã không được
thừa nhận và phổ biến.
Tóm lại, với sự phát triển của cơ học, thiên văn, vật lý, vận động đã
đi vào trong toán học làm nảy sinh ra các phép tính vi phân, tích phân làm
nền tảng cho lý thuyết các hàm số thực và số phức, lý thuyết các phương
trình vi phân thường và các phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các
chuỗi, hình học giải tích và hình học vi phân cùng với các phép biến đổi
hình học. Toán học đã phát triển rực rỡ trong các thế kỷ XVII và XVIII,
nhưng đối tượng của nó vẫn là các số và các hình theo nhận thức thông
thường. Toán học đó mới chỉ phục vụ chủ yếu cho cơ học, thiên văn học,
vật lý học cổ điển và cho các lĩnh vực kỹ thuật vận dụng ba lĩnh vực khoa
học này. Ph.Ăngghen viết:
Trước hết là thiên văn học, một ngành đã vì thời tiết mà
tuyệt đối cần thiết cho những dân téc chăn nuôi và làm ruộng.
Thiên văn học chỉ có dùa vào toán học mới phát triển được. Do
đó mà người ta phải nghiên cứu cả toán học - Sau đó, đến một
giai đoạn phát triển nhất định của nông nghiệp và trong những
12

một lý thuyết mô tả các tính chất toán học của không gian xung quanh
chóng ta. Việc từ bá quan điểm hẹp hòi như thế, thừa nhận khả năng có các
sự giải thích khác nhau đối với các hệ tiên đề có một ý nghĩa hết sức to lớn
cho sự tổng quát hóa đối tượng hình học.
Thứ ba, sù tổng quát hóa đối tượng hình học có thể đạt được theo
con đường tăng số chiều của không gian. Cùng với không gian ba chiều
thông thường, ta có thể xây dựng các loại không gian nhiều chiều khác
nhau, thậm chí vô hạn chiều trừu tượng. Các không gian trừu tượng nhiều
chiều và vô hạn chiều đã được áp dụng có hiệu quả trong nhiều vấn đề của
vật lý lý thuyết và hóa lý.
Điều kiện chín muồi để xuất hiện tư tưởng có thể thay thế tiên đề về
đường thẳng song song của Ơclít bằng một tiên đề phủ định nó, còn có cơ sở
triết học sâu sắc của nó. Như chúng ta đã biết, xét về mặt triết học, vào thời kỳ
đó quan niệm về không gian đã có những thay đổi căn bản. Không gian
không còn được quan niệm đơn giản như là một cái lồng bao la nhốt chúng
ta, mà là một hình thức tồn tại của vật chất, nên tính chất của không gian ở
vùng nào thì tùy thuộc vào quy luật bố trí các phần tử vật chất ở trong vùng
đó; chẳng hạn, nếu các phần tử vật chất được bố trí theo hình cầu thì ta có
hình học cầu, còn nếu bố trí theo mặt phẳng thì ta có hình học phẳng.
Thời kỳ mới của sự phát triển toán học cũng đã làm thay đổi về chất
khoa đại số học. Nếu như trước đây đại số ưu tiên nghiên cứu các vấn đề
gắn liền với việc giải các phương trình, thì bây giê trung tâm chú ý của nó
là nghiên cứu các phép toán đại số khác nhau được cho trong các tập hợp
với bản chất tùy ý. Đương nhiên, không phải trước kia đại số không nghiên
cứu các phép toán, cộng, trừ, nhân, chia, v.v., nhưng trước đây người ta cho
rằng các phép toán này chỉ liên quan tới các đại lượng, còn đối tượng của lý
thuyết đại số hiện đại thì là các cấu trúc khác nhau đủ loại. Trong mối liên
14
hệ đó, không Ýt các đại số được sáng tạo một cách đặc biệt với các quy tắc
tính hoàn toàn khác đối với các quy tắc tính trên các số. Tất cả các điều đó cho

có thể sử dụng tất cả các định lý được rót ra từ các tiên đề. Điều này đã làm
giảm nhẹ rất nhiều quá trình nghiên cứu. Ở đây, một câu hỏi được đặt ra:
Vì sao các cấu trúc toán học lại phù hợp với "thực tế thực nghiệm"? Chúng
ta chỉ có thể nhận được câu trả lời đúng đắn cho vấn đề này, nếu ta xuất
phát từ sự thừa nhận nội dung khách quan của các cấu trúc toán học và đối
tượng toán học nói chung. Chính các quan hệ số lượng và các hình thức
không gian của thế giới hiện thực được phản ánh trong các cấu trúc toán
học. Chúng hoàn toàn không phải là những sự sáng tạo tùy ý, mà bản thân
chúng có tính chất khách quan, tồn tại một cách độc lập với ý thức của
chúng ta. Hoàn toàn rõ ràng rằng, trong thực tế, các cấu trúc toán học
không tồn tại một cách riêng biệt dưới dạng thuần túy. Nhưng trong nghiên
cứu khoa học, chúng ta có thể tạm thời lãng quên điều đó và xem xét chúng
một cách riêng biệt. Có thể nói rằng, tính hợp lý của phương pháp nêu trên
có cơ sở trong chính bản thân hiện thực. Chúng ta có thể trừu tượng hóa
được các đặc tính về chất của các đối tượng và các quá trình là do trong
bản thân thế giới khách quan, trong bản thân các đối tượng và các quá trình
tồn tại các quan hệ mà trong phạm vi đã biết không phân biệt về chất. Cấu
trúc của các quan hệ như thế là như nhau, hoặc như các nhà toán học
thường nói đó là đẳng cấu đối với các sự vật rất khác nhau về nội dung cụ
thể.
1.1.2. Đối tượng hiện thực và đối tượng trực tiếp của toán học
Trong khoảng thời gian nhiều thế kỷ giữa những người đại diện cho
quan điểm duy vật và duy tâm về đối tượng của toán học đã diễn ra một cuộc
đấu tranh rất quyết liệt. Nhưng dù ở đâu và cho dù cuộc đấu tranh Êy mở rộng
16
đến đâu đi chăng nữa, nó vẫn xoay quanh vấn đề: Đối tượng của toán học
là gì? Mối quan hệ giữa toán học với thế giới hiện thực diễn ra như thế
nào?
Như chóng ta đã biết, đối với các nhà duy tâm chủ quan, những
khái niệm cơ bản và những quy luật toán học chỉ là sản phẩm sáng tạo tự

toán học, Ăngghen đã đứng trên lập trường của chủ nghĩa duy vật biện
chứng khẳng định rằng, lao động giữ vai trò quyết định trong quá trình phát
triển tư duy của con người. Đồng thời, theo Ăngghen, cơ sở chủ yếu nhất
và gần gũi nhất của tư duy con người chính là sự cải tạo tự nhiên do hoạt
động thực tiễn của con người, cùng với điều đó, trí tuệ của con người được
phát triển phù hợp với việc họ đã học tập cách thức cải tạo tự nhiên như thế
nào. Trên cơ sở đó, khi giải quyết vấn đề đối tượng của toán học, Ăngghen
đã chú ý đến tính hai mặt của nó. Theo ông, toán học là một khoa học trừu
tượng, nó nghiên cứu những đối tượng trừu tượng, mặc dù những đối
tượng Êy suy cho cùng đều phản ánh hiện thực khách quan. Các trừu tượng
toán học như số, điểm, đường, các nhóm, các cấu trúc v.v. chính là đối
tượng trực tiếp của toán học. Đồng thời, Ăngghen cũng nhấn mạnh rằng, sự
nghiên cứu các đối tượng trừu tượng không phải là mục đích tự thân của
toán học, mà chung quy lại toán học có nhiệm vụ của mình là phản ánh
hiện thực. Từ đó, đối tượng trực tiếp của toán học có mối liên hệ chặt chẽ
với sự nghiên cứu những hình thể xác định của các mặt của thế giới hiện
thực, đó là: Tự nhiên, xã hội và nhận thức của con người. Tất cả những cái
đó có thể xem như là đối tượng gián tiếp của toán học.
Tóm lại, đối tượng trực tiếp của toán học chính là các hệ thống các
trừu tượng toán học, nó được hiểu là tập hợp các đối tượng trừu tượng cùng
với các quan hệ tồn tại giữa chúng. Những đối tượng nói trên được lý
18
tưởng hóa, có nghĩa là chúng là những đối tượng lý tưởng không tồn tại
trong hiện thực khách quan, mà toán học thiết lập chúng để phản ánh thế
giới hiện thực. Đối tượng trực tiếp của toán học rất trừu tượng, phong phú
và đa dạng, nhưng chúng ta có thể nhận biết được nó nhờ các tính chất có
trong định nghĩa của nó. Nếu như đối tượng trừu tượng là cái tương tự với
đối tượng hiện thực, thì nó chỉ mô tả một số khía cạnh nhất định của khách
thể vật chất bằng các tính chất đặc biệt nào đó được trừu tượng hóa khỏi tất
cả các tính chất còn lại của đối tượng vật chất đó. Những đối tượng vật chất

hoặc vô hạn. Trong toán học, sự lý tưởng hóa thường có ở việc đưa các đặc
điểm số lượng của các đối tượng hiện thực tới những giới hạn nhất định. Ví
dụ, đối tượng là điểm thì cả ba kích thước của khách thể hiện thực được
đưa tới 0, còn đối với đường thì một kích thước đi tới vô hạn, còn hai kích
thước tiến tới 0.
Trên thực tế, sự lý tưởng hóa ở các mức độ khác nhau thường diễn
ra trong tất cả các khoa học. Điều này được giải thích rằng, các khoa học
trong khi nghiên cứu các đối tượng vật chất, đã thiết lập trực tiếp các quy
luật của mình cho các đối tượng được lý tưởng hóa ở một mức độ nhất định
nào đó. Khoa học càng chính xác thì sự lý tưởng hóa các đối tượng được
nghiên cứu bởi nó càng có tính chất hệ thống hơn. Chẳng hạn, cơ học cổ
điển chỉ có quan hệ với các trừu tượng hóa của vật thể như: điểm vật chất,
vật thể rắn tuyệt đối và chất lỏng lý tưởng. Như vậy, trong toán học sự lý
tưởng hóa có ý nghĩa đặc biệt, bởi vì đối tượng của toán học chỉ là các quan
hệ số lượng và hình thức không gian của thế giới hiện thực được tách ra ở
dạng thuần túy, có nghĩa là được trừu tượng hóa khỏi nội dung của chúng.
Nhà toán học người Nga là Alecxanđrov đã nhận xét rằng, hình thức được
trừu tượng hóa khỏi nội dung với tư cách như một khách thể độc lập, do đó,
đối tượng trực tiếp của toán học chính là những số, chứ không phải tổng số
20
các đối tượng và là những hình hình học chứ không phải là vật thể hiện
thực trong tự nhiên. Ví dụ, trong tự nhiên có những mối liên hệ đa dạng của
các đại lượng biến thiên, dạng thuần túy của mối liên hệ đó được thể hiện
trong toán học như là những đối tượng lý tưởng - đó là hàm số, v.v
Trong lịch sử toán học, vấn đề tồn tại của đối tượng toán học luôn
luôn được nhiều trường phái triết học quan tâm đến, chẳng hạn, các số 1,
các không gian n chiều và vô số chiều tồn tại theo nghĩa nào, v.v Từ quan
điểm mácxít về đối tượng hiện thực và đối tượng trực tiếp của toán học, lẽ
đương nhiên, chúng ta không thể quy đối tượng toán học về các đồ vật đơn
nhất được tri giác cảm tính như quan điểm duy tâm chủ nghĩa. Về vấn đề

không tồn tại giống như đối tượng độc lập nằm giữa chủ thể và đối tượng hiện
thực, bởi vì chúng chỉ là những hình thức thể hiện của hiện thực và bản
thân hiện thực xuất hiện không phải là tập hợp các sự vật đơn nhất, mà xuất
hiện như một tổng thể phức tạp phân chia thành các bộ phận bên trong nó.
Nếu chúng ta biến các phương tiện để biểu diễn đối tượng toán học thành
bản thân các đối tượng hiện thực là không đúng. Các đối tượng toán học
trừu tượng không phải là đối tượng của nhận thức, mà là cái cần có trong
đầu óc con người để trong thực tế có thể nhìn thấy khía cạnh này hay khía
cạnh khác của các quan hệ số lượng và các hình thức không gian. Như vậy,
sự tồn tại của các đối tượng trực tiếp toán học luôn luôn gắn liền với sự
phản ánh các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện
thực.
Quan điểm cho rằng toán học chỉ quan hệ với thực tại thông qua các
đối tượng trừu tượng của bản thân toán học sẽ đóng khung các nhà khoa
học trong khuôn khổ của các mảnh thực tại đã được lý tưởng hóa và không
22
thể giải thích được sự kiện gia tăng của các tri thức toán học. Nhận thức
toán học quan hệ không phải với các đối tượng trừu tượng, mà là với các
hình thức không gian và quan hệ số lượng của thực tại. Nếu chúng ta chỉ
thao tác một cách độc lập các đối tượng toán học trừu tượng, mà không liên
hệ gì với hiện thực khách quan thì không thể đi tới những kết quả mới. Bản
thân các đối tượng toán học trừu tượng chỉ là sản phẩm "tĩnh tại" của nhận
thức và chỉ khi nào gắn liền với mặt này hay mặt khác của thực tại, chúng
mới trở nên sinh động, phong phó.
Đối tượng trực tiếp của toán học đóng vai trò quan trọng trong việc
hình thành các quy luật của lý thuyết toán học, bởi vì, các mối quan hệ
trong toán học luôn luôn hiện diện một cách trực tiếp như là hệ thống các
mối quan hệ giữa các đối tượng trừu tượng nào đó. Ví dụ, các tiên đề hình
học được thiết lập một cách trực tiếp để phản ánh các mối quan hệ như tính
liên thuộc, tính thứ tự, tính song song, tính liên tục, tính toàn đẳng, v.v. của

cứu những sự phụ thuộc khác nhau giữa các đại lượng hoặc giữa các số
biểu thị chúng. Nhưng có một thực tế rất rõ ràng là: Cho dù các loại đại lượng
khác nhau, và sự phụ thuộc giữa chúng có quan trọng đến đâu đối với các
ứng dụng hiện thực của toán học, thì chúng cũng không thể bao trùm toàn
bé sự đa dạng của các quan hệ số lượng và hình dạng không gian khác
nhau.
Trong toán học nói chung, các khái niệm của số và hình phản ánh
quan hệ về lượng đơn giản nhất, bởi vì, các hình trong không gian thông
thường là đối tượng đầu tiên của sự nghiên cứu hình học, cho nên theo thãi
quen, các quan hệ và các tính chất mà hình học nghiên cứu được thừa nhận
là các dạng không gian. Nhưng rõ ràng các hình trong không gian trừu
tượng nhiều chiều hoặc vô hạn chiều không thể đồng nhất với các hình của
không gian ba chiều thông thường. Mặc dù những hình đó phản ánh các
24
tương quan thực tế nào đó của thế giới thực tại, nhưng không phải là các
dạng không gian theo ý nghĩa thông thường của ngôn ngữ.
Nhà toán học hiện đại người Nga là A.N. Kolmôgôrôv cho rằng,
chúng ta có thể xem các dạng và các quan hệ không gian bất kỳ như là
trường hợp riêng của các quan hệ số lượng, bởi vì chúng biểu thị đặc tính
của đối tượng và hiện tượng chỉ ở bề ngoài, không phân biệt về nội dung cụ
thể của chúng. Việc tách biệt các dạng không gian từ líp tổng quát các quan
hệ về lượng chỉ nhấn mạnh đặc điểm của các dạng này và chỉ ra tính độc
lập tương đối của hình học trong hệ thống toán học. Với quan điểm đó,
chúng ta có thể xác định một cách ngắn gọn rằng, toán học là một khoa học
về các quan hệ số lượng của thế giới hiện thực, tức là các quan hệ mà trong
phạm vi nhất định không tùy thuộc nội dung cụ thể của các đối tượng và
các hiện tượng. Tóm lại, tư tưởng về tập hợp, ánh xạ, đẳng cấu với phương
pháp tiên đề hiện đại là tư tưởng lớn của thời đại, đặc trưng cho giai đoạn
"toán học hiện đại".
Theo quan điểm duy vật biện chứng, đối tượng trực tiếp của toán