Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
Toán học là bộ môn khoa học đòi hỏi sự nhạy bén trong tư duy, chặt
chẽ trong suy luận, cẩn thận trong tính toán, với nhiều học sinh thì đây là
một môn học khó.
Đối với Hình học lớp 10, chương Véctơ bao gồm các nội dung khá mới
lạ khiến cho các em học sinh mới bước vào lớp 10 gặp không ít khó khăn
trong quá trình tiếp thu kiến thức. Phần lớn các em thiếu sự nhạy bén cần
thiết trong tư duy là do không nắm vững kiến thức, như vậy song song với
việc bổ sung các kiến thức thiếu hụt của mình, các em cần tăng cường làm
bài tập nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức.
Để giúp học sinh có một hệ thống các bài tập phong phú hơn, đồng thời
thuận lợi hơn trong quá trình tự học tập ở nhà thông qua các bài tập mẫu
được trình bày theo từng bài học, tôi đã biên soạn tập “Tài liệu giúp học
sinh rèn luyện giải bài tập chương Véctơ – Hình học 10”.
2. Giới hạn đề tài.
Với mục đích áp dụng các kiến thức cơ bản nhằm củng cố lí thuyết,
đồng thời để phù hợp nội dung chương trình cũng như thực tế giảng dạy.
các bài tập có thể sẽ không đầy đủ các dạng, và không trình bày phần toạ
độ trên trục.
Trường THPT Pleime Trang 1
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
B. NỘI DUNG
I. Cơ Sở lí luận:
Lí thuyết và bài tập Toán học không tách rời mà có mối quan hệ mật
thiết, bổ trợ cho nhau: Nắm được lí thuyết mới có thể làm được bài tập, làm
nhiều bài tập để nắm vững kiến thức hơn. Tuy nhiên trong mối quan hệ đó
đóng vai trò then chốt vẫn là phần lí thuyết, phần kiến thức, bởi lẽ nắm
vững kiến thức thì bài toán nào cũng sẽ tìm ra cách giải quyết. Chính vì vậy
mà các bài tập ở đây sẽ được biên soạn theo cấu trúc bài học trong sách

r
.
• Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Trường THPT Pleime Trang 2
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
• Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu
a b, ,
r
r
để biểu diễn vectơ.
+ Qui ước: Vectơ
0
r
cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.Mọi vectơ
0
r

đều bằng nhau.
1.2. Bài tập mẫu
Bài tập 1: Cho hai điểm phân biệt A, B. Lập các véctơ có điểm đầu và
điểm cuối lấy từ hai điểm trên.
Giải:
Ta lập được các véctơ:
AB, BA, AA, BB
uuur uuur uuur uuur
Bài tập 2. Cho hình bình hành ABCD. Hãy chỉ ra các véctơ (
0≠
r

,
BA CD=
uuur uuur
,
AD BC=
uuur uuur
,
CB DA=
uuur uuur

Bài tập 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB=a. Tính độ dài các
véctơ
AC, BC
uuur uuur

Giải:

ABC
∆
vuông cân tại A nên: AC=AB=a
và BC=
2 2
AB AC a 2+ =
(Pi-ta-go)
Ta có:
AC AC a, BC BC a 2= = = =
Bài tập 4. Cho
∆
ABC. Hãy dựng
CD BA=

Hướng dẫn: Tương tự bài tập 2 mục 1.2, chú ý thêm các véctơ-không
Bài tập 3. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a, H là trung điểm BC.
Tính
AH
Hướng dẫn :
ABC∆
đều, H là trung điểm BC nên
AH BC⊥
, dùng định lí
Pi- ta-go trong tam giác vuông để tính AH
Bài tập 4. Cho tam giác ABC vuông tại B. Hãy dựng
AD BC=
uuur uuur
a. Tứ giác ABCD là hình gì?.
b. Nếu ABC là tam giác vuông cân tại B, là tam giác đều thì tứ giác
ABCD tương ứng là hình gì?.
Hướng dẫn: Tương tự bài tập 4 mục 1.2, cần chú ý thêm các điều kiện :
Hình bình hành có 1 góc vuông, 1 góc vuông và 2 cạnh kề bằng nhau, hai
cạnh kề bằng nhau.
1.4. Bài tập tự rèn luyện
Bài tập 1. Cho ∆ABC có A′, B′, C′ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,
CA, AB.
a. Chứng minh:
BC C A A B
′ ′ ′ ′
= =
uuuur uuur uuuur
.
b. Tìm các vectơ bằng
B C C A,

• Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
.
• Tính chất:
a b b a
+ = +
r r
r r
;
( ) ( )
a b c a b c+ + = + +
r r
r r r r
;
a a0
+ =
r
r r
b) Hiệu của hai vectơ
• Vectơ đối của
a
r
là vectơ
b
r
⇔
a b 0+ =
r r
r

BA
uur
. Kí hiệu là
−AB
uuur
. Vậy -
AB
uuur
=
BA
uur
• Vectơ đối của
0
r
là
0
r
.
•
( )
a b a b− = + −
r r
r r
.
• Qui tắc trừ: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có:
OB OA AB− =
uuur uuur uuur
.
• Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔

b.
AB AC CB− =
uuur uuur uuur
(quy tắc trừ)
AB CB AB BC AC− = + =
uuur uuur uuur uuur uuur
Bài tập 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=a, AD=b. Tính
AB AD ;+
uuur
AD DC−
uuur
,
AC BD ;+
uuur
Giải:
Ta có
•
AB AD AC+ =
uuur uuur
(Q. tắc hbh)

2 2
AB AD AC AC a b⇒ + = = = +
uuur uuur
•
AD DC AD CD BC CD BD− = + = + =
uuur uuur uuur uuur
2 2
AD DC BD BD a b⇒ − = = = +
uuur uuur

uuur
)
b.
DA DC DA AB DB+ = + =
uuur uuur uuur uuur uuur
(thay
DC
ur
bởi
AB
uuur
)
Tương tự cho hai ý còn lại
Bài tập 4. Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng:
AB CD AD CB
+ = +
uuur uuur uuur uuur
Giải:
Cách 1: Dùng quy tắc ba điểm
Ta có:
AB CD AD DB CB BD+ = + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur

AD CB BD DB
AD CB BB
AD CB
= + + +
= + +
= +
uuur uuur uuur uuur

Thật vậy :
GM GN GP GA AM GB BN GC CP
+ + = + + + + +
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur

(GA GB GC) (AM BN CP)
= + + + + +
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur(GA GB GC) (AM MP PA)
= + + + + +
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur0 0
0
= +
=
r r
r
Chú ý : Có thể gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm
ABC, MNP
∆ ∆
. Ta chứng
minh:
GG ' 0 G G '= ⇒ ≡
uuuur r
2.3. Bài tập áp dụng
Bài tập 1. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường

AD BE CF AE BF CD+ + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
Hướng dẫn: Dùng quy tắc ba điểm hoặc quy tắ trừ như bài 4, mục 2.2
Bài tập 4. Cho ∆ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ,
BCPQ, CARS. Chứng minh:
RJ IQ PS 0+ + =
uur uur uur
r
.
Trường THPT Pleime Trang 7
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
Hướng dẫn: Sử dụng quy tắc ba điểm và tính chất véctơ đối
2.4. Bài tập tự rèn luyện
Bài tập 1. Cho ∆ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện:
MA MB MC 0− + =
uuur uuur uuur r
.
Bài tập 2. Đoạn thẳng AB có trung điểm I . M là điểm tuỳ ý không nằm
trên đường thẳng AB . Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI.
a. Chứng minh:
BN BA MB− =
uuur uur uuur
.
b. Tìm các điểm D, C sao cho:
NA NI ND NM BN NC;+ = − =
uuur uur uuur uuur uuur uuur
.
Bài tập 3. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý.
a. Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho

r
cùng hướng với
a
r
nếu k
≥
0,
ka
r
ngược hướng với
a
r
nếu k < 0.
+
ka k a.=
r r
.
• Tính chất:
( )
k a b ka kb+ = +
r r
r r
;
k l a ka la( )+ = +
r r r
;
( )
k la kl a( )=
r r
ka 0=

Trường THPT Pleime Trang 8
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
x ma nb= +
r
r r
.
Chú ý:
• Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M là trung điểm của AB ⇔
MA MB 0+ =
uuur uuur
r
⇔
OA OB OM2+ =
uuur uuur uuur
(O tuỳ ý).
• Hệ thức trọng tâm tam giác:
G là trọng tâm ∆ABC ⇔
GA GB GC 0+ + =
uuur uuur uuur
r
⇔
OA OB OC OG3+ + =
uuur uuur uuur uuur
(O tuỳ ý).
3.2. Bài tập mẫu.
Bài tập 1. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính
AB AC AD+ +
uuur uuur uuur
.

điểm tuỳ ý. Chứng minh:
+ + + = +OA OB OC OD OG GD4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur
Giải:
Ta có:
+ + +OA OB OC OD
uuur uuur uuur uuur
= + + + + + + + +OG GA OG GB OG GC OG GD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= +4OG GD
uuur uuur
uuur
Bài tâp 4. Cho ∆ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các
Trường THPT Pleime Trang 9
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
điểm M, N, P sao cho
= =3 , 3 ,MB MC NA CN
uuur uuur uuur uuur
+ = 0PA PB
uur uuur
r
a. Tính
PM PN,
uuur uuur
theo
AB AC,
uuur uuur
b. Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.
Giải:

Giải:
Ta có:
OA OB 2OM; OC OD 2ON+ = + =
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuuur
Nên
OA OB OC OD 2OM 2ON+ + + = +
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur

2(OM ON)
2.0 0
= +
= =
uuuur uuur
r r

3.3. Bài tập áp dụng
Bài tập 1. Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Gọi I, J lần lượt là trung điểm
của AB và CD. Chứng minh:
a. Nếu
AB CD=
uuur uuur
thì
AC BD=
uuur uuur
b.
AC BD AD BC IJ2+ = + =
uuur uuur uuur uuur uur
.
c. Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh:
GA GB GC GD 0

Hướng dẫn: Quy tắc ba điểm và tọng tâm
Bài tập 3. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB =
2MC. Chứng minh:
AM AB AC
1 2
3 3
= +
uuur uuur uuur
.
Hướng dẫn: Tương tự bài 4, mục 3.2
Bài tập 4. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC.
Hãy phân tích vectơ
AM
uuur
theo các vectơ
OA OB OC, ,
uuur uuur uuur
.
Hướng dẫn: Tương tự bài 4, mục 3.2
3.4. Bài tập tự rèn luyện
Bài tập 1. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung
điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho
CN NA2=
uuur uuur
. K là trung điểm của
MN. Chứng minh: a.
AK AB AC
1 1
4 6
= +

Bài tập 3. Cho hình bình hành ABCD.
a. Chứng minh rằng:
AB AC AD AC2+ + =
uuur uuur uuur uuur
.
b. Xác định điểm M thoả mãn điều kiện:
AM AB AC AD3 = + +
uuur uuur uuur uuur
.
Bài tập 4. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
AB, CD, O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta
có:
SA SB SC SD SO4+ + + =
uur uur uur uuur uuur
.
Bài tập 5. Cho tứ giác ABCD.
a. Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho:
GA GB GC GD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur
r
(G đgl
Trường THPT Pleime Trang 11
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
trọng tâm của tứ giác ABCD).
b.Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có:
( )
OG OA OB OC OD
1
4
= + + +

r r
.
•Tính chất: Cho
a x y b x y k R( ; ), ( ; ),
′ ′
= = ∈
r
r
,
A A B B C C
A x y B x y C x y( ; ), ( ; ), ( ; )
:
+
x x
a b
y y

′

=
= ⇔

′
=


r
r
+
a b x x y y( ; )

0).
+
B A B A
AB x x y y( ; )= − −
uuur
.
+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:
A B A B
I I
x x y y
x y;
2 2
+ +
= =
.
+Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
A B C A B C
G G
x x x y y y
x y;
3 3
+ + + +
= =
.
+Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k
≠
1:
A B A B
M M
x kx y ky

r r
r
Tương tự ta có:
= − = = −
1
( ; 5); (3;0); (0; 2)
3
b c d
r r
r
Bài tập 2. Viết dưới dạng
u xi yj= +
r r
r
khi biết toạ độ của vectơ
u
r
là:
u u u u(2; 3); ( 1;4); (2;0); (0; 1)= − = − = = −
r r r r
Giải:

(2; 3) 2 3 ; ( 1;4) 4 ;
(2;0) 2 ; (0; 1)
= − ⇔ = − = − ⇔ = − +
= ⇔ = = − ⇔ = −
u u i j u u i j
u u i u u j
r r r r
r r r r

r r
Bài tập 4. Cho tam giác ABC có A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2).
a. Tìm toạ độ các véctơ:
AB AC BC, ,
uuur uuur uuur
.
b. Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c. Tìm toạ độ trung điểm I của AB, trọng tâm G của tam giác ABC.
Giải:
a.
AB (1;5), AC ( 2;0), BC ( 3; 5)= = − = − −
uuur uuur uuur
b. ABCD là hình bình hành
AD BC⇔ =
uuur uuur

D A C B
D D
D A C B D D
x x x x
x 1 3 x 2
y y y y y 2 5 y 7
− = −
− = − = −

 
⇔ ⇔ ⇔
  
− = − + = − = −
 

+ − +
 
= ==


G là trọng tâm tam giác ABC nên
A B C
G G
A B C
G
G
x x x
1 2 1 2
x x
2 1
3 3 3
G( ; )
y y y 2 3 2 1
3 3
y
y
3 3
3
+ +
+ −


= = =



r
Hướng dẫn: Tương tự bài 1, mục 4.2
Bài tập 2. Viết dưới dạng
u xi yj= +
r r
r
khi biết toạ độ của vectơ
u
r
là:
u u u u(1;3); (4; 1); (1;0); (0;0)= = − = =
r r r r
.
Hướng dẫn: Tương tự bài 2, mục 4.2
Bài tập 3. Cho
a b(1; 2 ), (0;3)= − =
r
r
. Tìm toạ độ của các vectơ sau:

u a b v b w a b
1
3 2 ; 2 ; 4
2
= − = + = −
r r r
r r r r r
.
Hướng dẫn: Tương tự bài 3, mục 4.2
Bài tập 4. Cho

b. Áp dụng hai véctơ bằng nhau thì toạ độ tương ứng bằng nhau
c. Giả sử
c ka hb= +
r r r
. Áp dụng hai véctơ bằng nhau thì toạ độ tương
ứng bằng nhau để tìm 2 số k và h
Bài tập 5. Cho ba điểm A(1; −2), B(0; 4), C(3; 2).
a. Tìm toạ độ các vectơ
AB AC BC, ,
uuur uuur uuur
.
b. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
c. Tìm tọa độ điểm M sao cho:
CM AB AC2 3= −
uuur uuur uuur
.
d. Tìm tọa độ điểm N sao cho:
AN BN CN2 4 0+ − =
uuur uuur uuur
r
.
Hướng dẫn:
Câu a và b tương tự bài 4, mục 4.2
Câu c, d áp dung hai véctơ bằng nhau thì toạ độ tương ứng bằng nhau
4.4. Bài tập tự rèn luyện
Bài tập 1. Cho ∆ABC có A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2).
a. Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
b. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài tập 2. Cho A(2; 3), B(−1; −1), C(6; 0).
a. Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

1. Hình học 10, NXB Giáo Dục, 2007
2. Bài tập hình học 10, NXB Giáo Dục, 2007
3. Hướng dẫn thực hiện điều chỉnh nội dung dạy học môn Toán, cấp THPT.
Trường THPT Pleime Trang 17
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh

MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
2. Giới hạn của đề tài
B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lí luận
II. Nội dung cụ thể về “Tài liệu giúp học sinh rèn luyện giải bài
tập chương véctơ – Hình học 10”
1. Bài 1. Các Định Nghĩa
2. Bài 2. Tôngt Và Hiệu Của Hai Véctơ
3. Bài 3. Tích Véctơ Với Một Số
4. Bài 4. HỆ TrỤC Toạ Độ
III. Kết quả áp dụng trong thực tế tại trường THPT Pleime
C. KẾT THÚC VẤN ĐỀ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trang
1
1
2
2
2
2
5
9