BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
TRẦN XUÂN TRƯỜNG
BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN
ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN SÓNG TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
TRẦN XUÂN TRƯỜNG
BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN
ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN SÓNG TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn
Mạnh Hùng , người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn
tác giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn tới Tiến sĩ Nguyễn Hữu Thọ, Bộ
môn Toán học- Trường Đại học Thủy Lợi đã có những góp ý quý báu
cho tác giả trong quá trình làm luận văn. Tác giả cũng xin được gửi lời
cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

p
(Ω) . . . . . . . . . 6
1.3.2. Không gian L
∞
(Ω) . . . . . . . 6
1.3.3. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . 7
1.4. Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . 8
Chương 2. Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối
với phương trình truyền sóng trong miền không trơn . . . . 12
2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . 12
2.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . . 13
2.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng. . . . 15
2.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng. . . . . . . 18
Chương 3. Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất
đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn 21
3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . 21
3.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng. . . . . . . 22
3.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng. . . . 22
v
3.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng. . . . . . . 25
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Khi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng chúng ta đã biết được các
vấn đề cơ bản liên quan đến phương trình Laplate, phương trình truyền
sóng, phương trình truyền nhiệt. Đó là các phương trình đơn giản lần
lượt đại diện cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng là phương trình loại
Eliptic, Hypebolic, Parabolic. Ta thấy rằng, điều kiện tồn tại nghiệm
theo nghĩa thông thường đòi hỏi khá nhiều yếu tố khắt khe như tính

không có điều kiện ban đầu đối với phương trình truyền sóng trong miền
không trơn.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp sử dụng trong luận văn là sử dụng các công cụ của giải
tích hàm, phương pháp Galerkin.
2
6. Những đóng góp mới của đề tài
Nhận được các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm hoặc tổng kết hoặc
xét những trường hợp đặc biệt của những bài toán đã được giải.
3
Chương 1
Không gian Sobolev
1.1. Các kí hiệu
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R
n
, n ≥ 2 và S = ∂Ω là biên của
nó, Ω = Ω ∪ ∂Ω.
Kí hiệu: Ω
b
a
= Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (a, b) , 0 ≤ a < b < ∞} là
trụ trong R
n+1
;
Mặt xung quanh của nó là:
S
b
a
= ∂Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)} ;
Ω

n
. Ta kí hiệu
u = (u
1
, , u
n
) và D
p
u = ∂
|p|
u/∂x
p
1
1
∂x
p
n
n
= u
x
p
1
1
x
p
n
n
là đạo hàm suy
rộng cấp p theo biến x = (x
1

C
k
(Ω) =
o
C (Ω) ∩ C
k
(Ω),
ở đó
o
C (Ω) là tập hợp tất cả các hàm liên tục trong Ω với giá compact
thuộc Ω;
o
C
∞
(Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact
trong Ω, x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
.
Cho X là không gian Banach với chuẩn .
X
. Kí hiệu L
∞
(0, T ; X) là
không gian bao gồm tất cả các hàm u (., t) nhận giá trị trong không gian

v (x, t) w (x, t) dxdt
1.2. Trung bình hóa
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử θ(x) là một hàm không âm thuộc
0
C
∞
(R
n
)
sao cho θ(x) = θ(−x), θ(x) = 0 nếu |x| > 1 và

R
n
θ(x) = 1. Hàm θ(x)
được gọi là nhân trung bình hóa.
Định nghĩa 1.2.2. Nếu hàm u ∈ L
p
(Ω), p ≥ 1, thì hàm
u
h
(x) = h
−n

Ω
θ

x − y
h

u(y)dy

=



Ω
|u|
p
dx


1
p
Hơn nữa, L
p
(Ω) là một không gian đầy đủ nên L
p
(Ω) là một không gian
Banach.
Đặc biệt, với p = 2, không gian L
2
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô
hướng
(f, g) =

Ω
f (x) g (x)dx
1.3.2. Không gian L
∞
(Ω)
Định nghĩa 1.3.2. Cho Ω là một miền trong không gian R

p
ψ (x) dx = (−1)
|p|

Ω
v (x) ψ (x) dx
Với mọi ψ ∈
o
C
∞
(Ω)
* Không gian W
m
(Ω)
Định nghĩa 1.3.4. Giả sử Ω là một miền trong không gian R
n
. Ta định
nghĩa W
m
(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) ∈ L
2
(Ω), x ∈
Ω, sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α| ≤ m, thuộc L
2
(Ω)
và được trang bị chuẩn:
u
W
m
(Ω)




|α|≤1

Ω
|D
α
u|
2
dx


1
2
* Không gian W
l,k
(e
−γt
, Ω
T
)
7
Định nghĩa 1.3.5. Ta định nghĩa W
l,k
(e
−γt
, Ω
T
) là không gian bao

u|
2
+

|j|≤k
|u
t
j
|
2


e
−2γt
dxdt < ∞
Đặc biệt W
1,1
(e
−γt
, Ω
∞
h
) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈
L
2
(Ω
∞
h
), sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng cấp một thuộc L
2


|α|≤1
|D
α
u|
2
+

|j|≤1
|u
t
j
|
2


e
−2γt
dxdt < +∞
0
W
l,k
(e
−γt
, Ω
T
) là không gian con của W
l,k
(e
−γt

−γt
, Ω
∞
h
) và bằng 0 gần biên.
1.4. Một số bất đẳng thức cơ bản
* Bất đẳng thức Cauchy theo ε
Cho a, b là các số thực dương và ε > 0. Khi đó:
ab ≤ εa
2
+
b
2
4ε
.
Chứng minh
Ta có: a.b =

(2ε)
1
2
a

.
b
(2ε)
1
2
.
8

Cho u, v ∈ R
n
. Khi đó, ta có:
|uv| ≤ |u| |v| .
Trong không gian Hilbert (H), chuẩn của phần tử u được lấy là u =

(u, u). Đối với u, v ∈ (H) ta có bất đắng thức Cauchy- Schwarz:
|uv| ≤ u v
Chứng minh
Cho ε > 0 và chú ý 0  |x ± εy|
2
= |x|
2
± 2ε.xy + |ε.y|
2
Do đó:
±xy ≤
1
2ε
|x|
2
+
ε
2
|y|
2
.
Cưc tiểu hoá vế trái, đặt: ε =
|x|
|y|

0
, T ) thì
u (t) ≤ Φ (t
0
) + L

t
t
0
e
L(t−s)
Φ

(s) ds, ∀t ∈ [t
0
, T ) .
Ta nhận thấy rằng nếu Φ ≡ C ≡ const trên [t
0
, T ) thì từ bất đẳng thức
trên ta suy ra bất đẳng thức Grolwall- Belman thông thường, tức là:
u (t) ≤ Ce
L(t−t
0
)
, ∀t ∈ [t
0
, T ) .
Chứng minh
Đặt y(t) =


0
) = 0 và do đó
z(t) ≤

t
t
0
e
−Ls
Φ(s)ds, ∀t ∈ [t
0
, T ) ,
y(t) ≤

t
t
0
e
L(t−s)
Φ(s)ds, ∀t ∈ [t
0
, T ) .
Do đó:
u(t) ≤ Φ(t) + Ly(t) ≤ Φ(t) + L

t
t
0
e
L(t−s)

Φ

(s)ds
= Φ (t) − Φ(t
0
)e
L(t−t
0
)
+

t
t
0
e
L(t−s)
Φ

(s)ds.
Từ đó ta suy ra:
u (t) ≤ Φ (t
0
) + L

t
t
0
e
L(t−s)
Φ

≤ C
1
(t)y(t) + C
2
(t),
ở đó C
1
(t) và C
2
(t) là các hàm khả tổng không âm trên đoạn [0, T]. Khi
đó
y(t) ≤e

t
0
C
1
(τ)dτ

y(0) +

t
0
C
2
(ξ)e
−

ξ
0

trù mật trong không gian
0
W
1,1
2,0
(Ω
T
)
11
Chương 2
Bài toán biên có điều kiện ban đầu
thứ nhất đối với phương trình
truyền sóng trong miền không trơn
Trong chương này, luận văn nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm
suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương
trình truyền sóng trong miền không trơn, kết quả nhận được là tính giải
được của bài toán trong trụ Ω
∞
h
với đáy có biên không trơn.
2.1. Đặt bài toán
Xét toán tử vi phân cấp 2
L (x, t, D) =
n

i,j=1
∂
∂x
i


(x, t) ξ
i
ξ
j
≥ µ
1
|ξ|
2
(2.2)
với mọi ξ ∈ R
n
\ {0} và (x, t) ∈ Ω
∞
h
, ở đây µ
1
= const > 0
12
Xét bài toán sau trong trụ Ω
∞
h
L (x, t, D) u − u
tt
= f (x, t) , (2.3)
với điều kiện ban đầu
u|
t=h
= u
t
|

) , u (x, h) = 0
và với mọi T > 0 đúng đẳng thức:
−
n

i,j=1

a
ij
u
x
j
, η
x
i

Ω
T
h
+ u
t
, η
t

Ω
T
h
= f, η
Ω
T

Ta xét bất đẳng thức sau Bất đẳng thức Garding mở rộng:
Giả sử hệ số a
ij
của (2.1) thỏa mãn điều kiện (2.2) và liên tục trong Ω
∞
h
.
13
Khi đó tồn tại các hằng số γ
1
> 0 và γ
2
sao cho:
n

i=j=1

Ω
a
ij
(x, t)u
x
j
u
x
i
≥ γ
1
n


ij
không phụ thuộc vào t, i, j = 1, 2, , n. Tức là: a
ij
(x, t) = a
ij
(x)
với i, j = 1, 2, , n. Do u(x, t) ∈
o
W
1,1
(Ω
∞
h
) nên với mỗi t hàm u ∈
o
W
1
(Ω
∞
h
). Ta có:
n

i,j=1

Ω
a
ij
u
x

ij
(x, t) − a
ij
(x)| ≤ ,  > 0 đủ nhỏ. Ta có:
n

i,j=1

Ω
a
ij
(x, t) u
x
j
u
x
i
dx ≥
n

i,j=1

Ω
a
ij
(x) u
x
j
u
x

j=1


u
x
j


2
dx − C
1
n

i=1

Ω
|u
x
i
|
2
dx − γ
2

Ω
|u (x, t)|
2
dx
≥ C
2

∞
h
với mọi i, j = 1, n. Do vậy, với mỗi t
0
tồn tại
14
δ > 0 đủ nhỏ sao cho:
|a
ij
(x, t) − a
ij
(x, t
0
)| ≤ , ∀t ∈ (t
0
− δ, t
0
+ δ) ,
 là số đã chọn trong bất đẳng thức (2.7)
Chọn một phủ mở hữu hạn bao gồm các khoảng có độ dài 2δ như trên
I
1
, I
2
, , I
N
Xét phân hoạch đơn vị:
1 =
N


j
dx ≥ C
3
n

i=1

Ω
|u
x
i
|
2
dx − γ
2

Ω
|u (x, t)|
2
dx,
C
3
là một hằng số lớn hơn 0, không phụ thuộc vào u, t.
Định lí được chứng minh.
Từ định lí này ta có bổ đề sau
Bổ đề 2.2.1. Giả sử điều kiện (2.2) thoả mãn. Khi đó tồn tại 2 hằng
số µ
0
> 0, λ
0

(x,t)∈Ω
∞
h





∂a
ij
∂t





≤ µ; 1 ≤ i, j ≤ n, µ = const > 0.
15
Khi đó bài toán (2.3) − (2.5) có không quá một nghiệm suy rộng trong
W
1,1
(e
−γt
, Ω
∞
h
) với γ > 0
Chứng minh
Giả sử bài toán (2.3) − (2.5) có hai nghiệm suy rộng u
1

i,j=1

a
ij
u
x
j
, η
x
i

Ω
T
h
+ u
t
, η
t

Ω
T
h
= 0. (2.9)
với mọi η ∈
0
W
1,1
(e
−γt
, Ω

b
h
+ η
tt
, η
t

Ω
b
h
= 0 (2.10)
Sử dụng giả thiết a
ij
= a
ji
và tích phân từng phần (2.10), ta được
− B (η, η) (h) + Re

(a
ij
)
t
η
x
j
, η
x
i

Ω

L
2
(Ω)
− Re

(a
ij
)
t
η
x
j
, η
x
i

Ω
∞
h
(2.12)
Vì λ
0
η (x, h)
2
L
2
(Ω)
= 2λ
0
Re η

i=1
|η
x
i
|
2
+ |η|
2

dxdt + C
2

Ω
∞
h
|η
t
|
2
dxdt (2.13)
ở đây C
i
= const > 0, i = 1, 2 chỉ phụ thuộc vào µ và λ
0
Đặt:
v (x, t) =

t
h
u (x, s) ds,





∂η
∂t
(x, b)




2
dx+(λ
1
− bC
2
)

Ω
|v
i
(x, b)|
2
dx (2.14)
≤ C
1

Ω
∞
h

Ω





∂η
∂t
(x, b)




2
+
n

i=1
|v
i
(x, b)|
2

dx
Khi đó, từ (2.14) suy ra
dy
db
≤ Cy(b), ∀b ∈

h,

(x, t). Định lý được chứng minh
2.4. Sự tồn tại nghiệm suy rộng
Định lý 2.4.1. Giả sử rằng
(i) f ∈ L
2
(Ω
∞
h
)
(ii) sup
(x,t)∈Ω
∞
h




∂a
ij
∂t




≤ µ; 1 ≤ i, j ≤ n, µ = const > 0
Khi đó bài toán (2.3)−(2.5) có nghiệm suy rộng u (x, t) ∈ W
1,1
(e
−γt
, Ω

tuyến tính của nó là
0
W
1
(Ω) và hệ này trực chuẩn trong L
2
(Ω).
Đặt:
u
N
(x, t) =
N

k=1
c
N
k
(t) ϕ
k
(x)
18
ở đây c
N
k
, k = 1, , N là nghiệm của hệ phương trình vi phân thường
cấp hai sau:
−
n

i,j=1

(h) =
d
dt
c
N
k
(h) = 0 (2.16)
Giả sử τ là số dương: τ < T. Nhân (2.13) với
dc
N
k
(t)
dt
và lấy tổng theo l từ
1 đến N, sau đó lấy tích phân đẳng thức thu được theo t từ h đến τ và
cộng vào đẳng thức trên với liên hợp phức của nó và sử dụng giả thiết
a
ij
= a
ji
. Lấy tích phân từng phần và áp dụng (2.16), ta suy ra:


u
N
t
(., τ)


2

)
t
u
N
x
j
, u
N
x
i

Ω
T
h
= −2Re

f, u
N
t

Ω
T
h
Đặt
y
N
(t) =

t
h

dτ.
Khi đó, từ (2.13) và sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy ra
∂y
N
∂t
≤ C(y
N
(t) + f
L
2
(Ω
∞
h
)
).
Từ đây và từ Bổ đề 1.4.1 ta được


u
N


2
W
1,1
(Ω
∞
h
)
≤ C

0
W
1,1
(Ω
∞
h
),
nên u ∈
0
W
1,1
(Ω
∞
h
) và u(x, h) = 0. Ta chứng minh u(x, t) thỏa mãn đồng
19