Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 •
• • •
NGUYỄN THỊ QUẾ
PHƯƠNG PHÁP EULER GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐAI SỐ
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUÂN VĂN THAC SĨ TOÁN HOC • • •
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS.Tạ Duy Phượng (Viện Toán học), người Thầy
đã hướng dẫn tác giả hoàn thành Luận văn này. Trong suốt thời gian qua Thầy đã
không quản ngại khó khăn và nhiệt tình chỉ dạy, giúp đỡ để em có thể hoàn thành
Luận văn này.
Xin cảm ơn trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học nơi tác giả đã hoàn
thành chương trình cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các Thầy cô.
Và tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Gia đình, bạn bè đã luôn ở bên, thông cảm,
tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi để tôi hoàn thành Luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 20lị Tác
giả
Nguyễn Thị Quế
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong Luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng
mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã được cảm ơn và các thông
tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 6 năm
20lị Tác giả
Nguyễn Thị Quế
3

Phương pháp xốp xỉ tích phân
Phương pháp Euler
Qui tắc cầu phương cơ bản
Định lí tồn tại nghiệm
Phép nội suy
1.5.
và Euler cải tiến
22
34
41
41
41
4
2

4
5
Phương pháp Euler cho hệ phương trình
1.6.
1.7.
7
Ôn định và sai số của phương pháp Euler
Bậc xấp xỉ
1.7.1.
1.7.2.
1.7.3.
1.7.4.
Tính ổn định
Tính hội tụ
Ước lượng sai số

nghiên cứu tính chất nghiệm theo các dữ
liệu đầu vào (vế phải của phương trình, điều kiện ban đầu, điều kiện biên, tham
số, ) và G I Ả I S Ố

phương trình vi phân (tìm nghiệm xấp xỉ).
P H Ư Ơ N G P H Á P Đ Ư Ờ N G G Ấ P K H Ú C E U L E R

là một trong những
pH Ư Ơ N G P H Á P C Ỗ Đ I Ể N

(classical methods) giải số phương trình vi phân.
Do độ hội tụ thấp nên phương pháp Euler ít được áp dụng hơn so với phương
pháp Runge- Kutta. Tuy nhiên, gần đây, s. Smale (1981) đã phát hiện ra mối
quan hệ hữu cơ giữa phương pháp Newton giải hệ phương trình phi tuyến với
phương pháp Euler giải hệ phương trình vi phân. Điều này gợi sự quan tâm
mới đối với phương pháp Euler.
Có nhiều cách giải thích phương pháp Euler (tiếp tuyến của đường cong
nghiệm, xấp xỉ đạo hàm, khai triển Taylor, ). Trong [1] đã giải thích phương
pháp Euler như là trường hợp riêng của bài toán X Ấ P X Ỉ T Í C H P H Ẫ N .

Cách
tiếp cận này cho phép hiểu thống nhất phương pháp Euler và các cải biên của
nó trong bức tranh chung của các phương pháp giải hệ phương trình vi phân
thường.
Do nhu cầu của các bài toán kĩ thuật, công nghệ và kinh tế (hệ rôbôt, hệ hóa
học hoặc vật lí phức tạp, hệ điều khiển và kinh tế, ), bắt đầu từ những năm
1980 trở lại đây, lí thuyết P H Ư Ơ N G T R Ì N H V I P H Â N Đ Ạ I S Ố

được quan
tâm mạnh mẽ. Phương pháp Euler cũng đã được sử dụng và cải biên để giải các

Luận văn có hai nhiệm vụ:
1) Nghiên cứu phương pháp Euler giải phương trình, hệ phương trình vi phân
thường và phương trình vi phân đại số.
2) Thực hành tính toán trên máy giải phương trình, hệ phương trình vi phân
thường bằng phương pháp Euler.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp số giải phương trình, hệ
phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu liên quan đến phương pháp số giải phương
trình, hệ phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đại số.
5. Đóng góp của luận văn
Hy vọng Luận văn là một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và
học viên cao học về phương pháp Euler giải phương trình, hệ phương trình vi
phân thường và phương trình vi phân đại số.
6. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích, giải tích số, giải tích hàm, giải
tích phức, để tiếp cận và giải quyết vấn đề.
Thu thập, nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan,
đặc biệt là các bài báo và các sách mới về vấn đề mà luận
văn đề cập tới.
Chương 1 Phương pháp Euler và Euler cải
biên giải phương trình, hệ phương trình vi
phân thường
1.1. Phép nội suy và bài toán cầu phương cơ bản
1.1.1. Phép nội suy
Trong các bài toán thực tế, ta thường chỉ đo được giá trị của hàm số У

=

Ĩ { T )


) trên đoạn [a, B ] .

Bài toán nội suy tổng quát được phát biểu
như sau.
Giả sử không biết công thức giải tích của hàm số Y

= F ( T

) nhưng biết bảng
giá trị của Y

chỉ tại các điểm T I , I

= 1, , N ,

tức là ta chỉ biết các giá trị Ui = =
1,,n. Ngoài ra ta không có thông tin gì thêm
về hàm Y

= F ( T ) .
Bài toán đặt ra là: Tìm giá trị của Y { = F ( T

)) tại vị trí Ĩ

nào đó. Giá trị của
Y

đều xấp xỉ được (địa phương) bằng đa thức. Thật vậy, ta có
Định lý 1.1.1. Giả sử hàm f(t) liên tục trên đoạn [a, 6]. Khiấy với
mỗi
e > 0 cho trước tồn tại một đa thức P(t) sao cho
I F ( T )

— P ( T

)I < € V Ớ I M Ọ I T

G (a, B

).
Định lí nói rằng, đa thức nội suy P ( T

) nằm trong e-ống có trục là
đường cong F ( T ) .
Bài toán nội suy một hàm số bằng đa thức được phát biểu như sau: Cho các
mốc nội suy A

< T

0

< T I < ■ ■ ■ < T

N

< B .


0,1,2, , N .

đã cho.
Như vậy, các hệ số D Ị

của đa thức cần tìm phải thoả mãn hệ phương trình
đại số tuyến tính
t™a
0
+ t™
1
ữi + + a
n
_ií
0
+ ữ
n
= Ho,
t™ao + t™
1
dị+ +a
n
-ịti + a
n
=
yi,