Dao động tự do của màng
1) bài toán tổng quát: dao động của màng hình vuông cạnh b bài toán trở thành
tìm nghiệm của phương trình
'' 2 '' ''
( ) 0
tt xx yy
u a u u− + =
(1)
thỏa mãn các điều kiện đầu
0
( , )
t
u f x y
=
=
(2)
'
0
( , )
t
u F x y
=
=
(3)
và các điều kiện biên là
0
0
x x b
u u
= =
= =

t x y x y t x y t
T X Y a X Y T a X Y T− − =
chia cả hai vế cho
2
( ) ( ). ( )t x y
a T X Y
( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) ( )
" " "
t x y
t x y
T X Y
a T X Y
λ
= + =
(6)
(7)
Từ (7) ta có
{
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
"
" 0
( ) ( )
" " ( ) 0
( ) ( )
" "

( ) ( )
( ) ( )
" "
x y
x y
X Y
X Y
λ β
= − =
( )
( )
( )
( )
"
"
x
x
y
y
X
X
Y
Y
β
λ β
=
− =






2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
"
" "
t t
x y
x y
T a T
X Y
X Y
λ
λ

=


+ =


Giải phương trình
( ) ( )
" 0
x x
X X
β
− =

=



→ ↔
 



X
k(x)
=Bsinlπx/b
( ) ( )
" ( ) 0
y y
Y Y
λ β
− − =
Giải phương trình
( ) ( )
" ( ) 0
y y
Y Y
λ β
− − =
với β= -c
2
Đặt λ-β=γ với γ=-δ
2
nghiệm của phương trình có dạng Y

" 0
l k
T a T
b b
π π
 
+ + =
 ÷
 
Phương trình có nghiệm
2 2 2 2
, ( ) 3 4
os sin
k l t
a a
T A c l k t A l k t
b b
π π
= + + +
, ( , , ) ( ) ( )k l x y t k x l y
u x y t=
=
2 2 2 2
, ,
os sin sin sin
k l k l
a a k x k y
a c l k t b l k t
b b b b
π π π π

k l
k x k y
f x y f x y a
b b
π π
∞ ∞
=
= =
= ⇔ =
∑∑
Trong đó a
k,l
là hệ số khai triển của chuỗi furie
,
0 0
2 2
( , )sin sin
b b
k l
k x k y
a f x y dxdy
b b b b
π π
=
∫∫

( )
,
x,y,t
0

( ) 0
tt xx yy
u a u u− + =
(1) thỏa mãn các điều kiện đầu
(2)
'
0
( , )
t
u F x y By
=
= =
(3) và các điều kiện biên là
0
0
x x b
u u
= =
= =
(4)
(5)
sử dụng phương pháp tách biến furie
( ) ( ) ( )
" . . "
x y t
tt
u X Y T=

( ) ( ) ( )
" " . .

(7)
Từ (7) ta có
{
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
"
" 0
( ) ( )
" " ( ) 0
( ) ( )
" "
x
x x x
y y y
y
X
X X X
x y
Y Y Y
x y
Y
X Y
X Y
β
β
λ β
λ β
λ

y y b
u u
= =
= =
2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
"
" "
t t
x y
x y
T a T
X Y
X Y
λ
λ

=


+ =


( )
( )
( )
( )
"

X
X X X
Y Y Y
Y
β
β
λ β
λ β
=
− =
− − =
− =


⇔



Giải phương trình
( ) ( )
" 0
x x
X X
β
− =
Ngiệm của phương trình có dạn: X
(x)
=Acoscx + Bsincx từ điều kiện biên
0
0

 



x
k(x)
=Bsinlπx/b
Giải phương trình
( ) ( )
" ( ) 0
y y
Y Y
λ β
− − =
( ) ( )
" ( ) 0
y y
Y Y
λ β
− − =
với β= -c
2
Đặt λ-β=γ với γ=-δ
2
nghiệm của phương trình có dạng Y
(y)
=A
1
cosδy + A
2

 
+ + =
 ÷
 
Phương trình có nghiệm
2 2 2 2
, ( ) 3 4
os sin
k l t
a a
T A c l k t A l k t
b b
π π
= + + +
, ( , , ) ( ) ( )k l x y t k x l y
u x y t=
=
2 2 2 2
, ,
os sin sin sin
k l k l
a a k x k y
a c l k t b l k t
b b b b
π π π π
 
+ + +
 
 
2 2 2 2

∞ ∞
=
= =
= ⇔ =
∑∑
Trong đó a
k,l
, là hệ số khai triển của chuỗi furie
,
0 0
2 2
( , )sin sin
b b
k l
k x k y
a f x y dxdy
b b b b
π π
=
∫∫

,
0 0
2 2
Axsin sin
b b
k l
k x k y
a dxdy
b b b b

l
b l y b
I c
l b l
π
π π
− −
 
= = − −
 
2
0
sin
b
k x
I x dx
b
π
=
∫
2
2
0
0
os os ( 1)
b
b
k
xb k x b k x b
I c c dx

∞ ∞
=
= =
= ⇔ =
∑∑

Trong đó b
k,l
là hệ số khai triển của chuỗi
,
0 0
2 2
( , )sin sin
b b
k l
k x k y
b F x y dxdy
l b k b b b
π π
π π
=
∫∫
3
0
sin
b
k x
I dx
b
π

os os ( 1)
b
b
l
yb l y b l x b
I c c dx
l b l b l
π π
π π π
− −
= + = −
∫
, 3 4
2 2 2 2 4
4 4
( 1) [( 1) 1]
l k
k l
B Bb
b I I
kl b k l
π π
= = − − −
vậy
2 2 2 2
( , , )
2 2 2 4
0 0
4 ( 1) 4
[( 1) 1] os ( 1) [( 1) 1]sin sin sin

l k
l k
a
b
ω π
+
=
được gọi là tần số riêng của màng hình chữ nhật
Dao động
2 2 2 2
, ( , , ) , ,
2 2
( os sin )sin sin
k l x y t k l k l
l k l k k x k y
u a c at b at
b b b b
π π
π π
+ +
= +
còn được gọi là
dao động riêng của màng mỗi điểm của màng thực hiện một dao đông điều hòa với
tần số ω
l,k
khi màng dao động ta có hình ảnh của màng
+ các đường thẳng song song với các trục tọa độ được gọi là các đường nút (l-1;k-1
đường nút)
+ điểm mà các màng lệch cực đại so với trạng thái đứng yên là điểm bụng(l.k>=1)
thì có l.k điểm bụng