Phần I. Mở đầu
Chơng trình môn Toán THPT Ban KHTN và Ban KHXH&NV đã có
một số điều chỉnh. Học sinh chuyên ban đến năm học lớp 12 mới đợc học:
Bất phơng trình mũ và bất phơng trình logarit.
Để giải dạng toán Bất phơng trình mũ và bất phơng trình logarit, các
em đợc SGK thí điểm và giáo viên bộ môn Toán giới thiệu sử dụng chủ yếu
các phơng pháp giải nh: phơng pháp biến đổi tơng đơng, phơng pháp đặt ẩn
phụ, phơng pháp logarit hóa và đa về cùng cơ số hoặc sử dụng các phép biến
đổi logarit. Sử dụng phơng pháp hàm số để giải bất phơng trình mũ và bất
phơng trình logarit hầu nh không đợc SGK thí điểm đề cập đến. Vì vậy, đa số
học sinh khi tham gia học chủ đề tự chọn môn toán hoàn toàn lúng túng và
cảm thấy rất khó khăn trong việc xác định cách giải dạng toán này bằng phơng pháp hàm số. Nhận thấy tình hình này, khi đợc phân công giảng dạy chủ
đề tự chọn môn toán cho hai lớp 12A 3, 12A5 tôi đã luôn chú ý rèn luyện học
sinh kỷ năng giải bài toán Bất phơng trình mũ và bất phơng trình logarit
bằng phơng pháp hàm số.
Đề tài Dạy học sinh sử dụng phơng pháp hàm số để giải bất phơng
trình mũ và bất phơng trình logarit nhằm góp phần nghiên cứu, tìm tòi phơng pháp dạy học sao cho giúp học sinh học Ban KHTN hoặc Ban
KHXH&NV đều hiểu và vận dụng tốt phơng pháp hàm số để giải bất phơng
trình mũ và bất phơng trình logarit tùy theo mức độ từng ban.
Vì điều kiện thời gian và phạm vi nghiên cứu đề tài còn hạn hẹp, đối tợng nghiên cứu chủ yếu là Ban KHTN và số tiết chủ đề tự chọn quá ít trong
một năm học nên đề tài không tránh khỏi hạn chế. Rất mong nhận đợc những
góp ý quí báu từ tổ chuyên môn, Hội đồng khoa học nhà trờng, Hội đồng
khoa học Sở GD-ĐT và các đồng nghiệp để đề tài đợc hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cám ơn.

Phần II. Nội dung
I.Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số:
1.Phơng pháp:
Cách 1: Thực hiện theo các bớc.
Bớc 1: Chuyển bất phơng trình về dạng:
f(x) > k

2.Ví dụ minh họa:
a.Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số giải bất phơng trình mũ:
Ví dụ 1: Giải bất phơng trình:
2x + 3x + 1 > 6x
(1)
Cách giải:
Bớc 1: Chia hai vế của bất phơng trình cho 6x > 0, ta có:
x

x

x

1
1
1
+ + >1
3
2
6

(2)

Bớc 2: Xét hàm số:

x

x

y = f(x) = 1 + 1 + 1

(1)

2
2
2
2 sin x + 3cos x m.3sin x

Cách giải:
Bớc 1: Chia hai vế bất phơng trình cho 3sin
2

3

sin x

Sáng kiến kinh nghiệm

2

1 sin
+ 3

3

2

sin 2 x

x



m

sin 2 x

(2)

.

Hàm số y = g(x) là hàm số nghịch biến vì y = g(x) là tổng của
hai hàm số nghịch biến y = 2
3

sin 2 x

Bớc 3: Nhận xét:
Ta có:
0 sin2x 1

, y = 1
9

sin 2 x

1
1
0
0
sin 2 x
sin 2 x

3 2( x 1) +1 3 x x 2 4 x + 3

Cách giải:
Bớc 1: Tìm điều kiện của bất phơng trình (1):
x-1 0 x 1.
Chuyển bất phơng trình về dạng:
3 2( x 1) +1 + 2( x 1) 3 x + x 2 2 x + 1
3 2( x 1) +1 + 2( x 1) 3( x 1) +1 + ( x 1) 2

(2)

Bớc 2: Xét hàm số:
y = h(x) = 3x+1+x2.
Hàm số y = h(x) là hàm số đồng biến trên [1, + ).
Thật vậy:
với mọi x1, x2 [1, + ), x1< x2, ta có:
h(x2) - h(x1) = 3 x +1 + x2 (3 x +1 + x1 ) = 3.(3 x 3 x ) + ( x2 x1 ) >0
Bớc 3: Khi đó, bất phơng trình(2) đợc biến đổi nh sau:
x 1 2(x-1) (x-1)2
h( 2( x 1) ) h(x-1) 2( x 1) x-1

2
x
1
x - 4x +3 0 x 2 .
Bớc 4: Kết luận:
Vậy, tập nghiệm của bất phơng trình là: S = [2, + )
2

1

Bớc 3: Khi đó bất phơng trình (2) đợc viết dới dạng:
k[(m2-1)x] < k(x-4m+3) (m2-1)x < x-4m+3
(m2-1)x - (x-4m+3) < 0
(3)

Vậy, bất phơng trình (1) vô nghiệm
bất phơng trình (3) vô nghiệm
2

1

2

1


m = 1
m2 1 = 0


m=1

(m 2 4m + 3) 0
1 m 3

Bớc 4: Kết luận:
Vậy, bất phơng trình có nghiệm khi m =1.

b.Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số giải bất phơng trình
logarit:

Ví dụ 2: Giải bất phơng trình:
x2+(log2x-2)x+log2x-3>0.
Bớc 1: Điều kiện x> 0.
Sáng kiến kinh nghiệm

4

(1)


có:

Coi bất phơng trình (1) là bất phơng trình bậc hai theo ẩn x, ta
=(log2x-2)2-4(log2x-3) = log 22 x -8log2x + 16 = (log2x-4)2.

Do đó:
(1) (x+1)(x+log2x-3) > 0 x+log2x-3 > 0
log2x > 3 -x
Bớc 2: Xét hàm số:
y = f(x) = log2x và y = g(x) = 3-x
Ta thấy: +hàm số y = f(x) = log2x đồng biến.
+hàm số y = g(x) = 3-x nghịch biến.
Bớc 3:Nhận xét:
+Với x>2, ta có:

(2).

(2)

f ( x) > f (2) = 1

>0
x < 3

7x


(*)

Biến đổi bất phơng trình về dạng:
2

2

log3 x x 12 + x x 12 log3(7-x) + 7-x
(2)
Bớc 2: Xét hàm số:
y = f(x)=log3x + x.
Hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên (0, + ) và tổng của hai
hàm số đồng biến y = log3x và y = x.
Bớc 3: Khi đó (2) đợc biến đổi nh sau:
2
f( x x 12 ) f(7-x)



(*)
x 2 x 12 7-x
x2-x-12 (7-x)2

Sáng kiến kinh nghiệm


(m + 1) x + 4 > 0

(*)

Biến đổi bất phơng trình về dạng:
2
2 ( m +1) x + 4 + lg[(m + 1) x + 4] > 2 m m 2 + lg(m 2 m 2) (2)

Bớc 2: Xét hàm số:
y = f(x) = 2x + lgx.
Hàm số y = f(x) đồng biến với mọi x > 0.
Bớc 3: Khi đó, bất phơng trình (2) biến đổi nh sau:
f[(m+1)+4] > f(m2-m-2)
(m+1)+4 > m2-m-2
g(x) = (m+1)x - m2+m+6 > 0
Vậy, bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x [0,1]

(3)


m2 m 2 > 0

g ( x) = (m + 1) x m 2 + m + 6 > 0 x [0,1]
m > 2 m < 1

m>2
2
y g ( m) .
1.Bất phơng trình có nghiệm min
x D

y g ( m) .
2.Bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x max
x D

Chú ý:
Tơng tự cho bất phơng trình f(x,m) g(m), với những kết luận sau:
y g ( m) .
1.Bất phơng trình có nghiệm min
x D

y g ( m) .
2.Bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x max
x D
2.Ví dụ minh họa:
a.Sử dụng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số giải bất phơng
trình mũ:
Ví dụ 1: Xác định m để bất phơng trình:
m.9x - 3x - 1 0
(1)
nghiệm đúng với mọi x.
Cách giải:
Bớc 1: Đặt t = 3x, điều kiện t > 0.
Khi đó, phơng trình (1) có dạng :
t 1

mt2 - t - 1 0


+

2
0

-

+

1
4

y

0

Bớc 3: Kết luận:

1

Vậy bất hơng trình nghiệm đúng với mọi t > 0 m .
4
Ví dụ 2: Tìm m để bất phơng trình sau:
1 2

x

x
2


, y = 0 1 t = t t = .

2 1 t 2 t
Giới hạn: lim y = 1 , lim y = 1 .
t 0

3.Bảng biến thiên:
t

t 1

1
2

0

y

+

1

0

-

2

y

Bớc 2: Xét hàm số:
y=

t
t 1

.

1.Miền xác định D = (1, + ).
2.Đạo hàm:
y =

t2

( t 1) 3

, y = 0 t - 2 = 0 t = 2.

lim y = +
Giới hạn: t
+

Sáng kiến kinh nghiệm

8


3.Bảng biến thiên:
t
y

f(x,m) = g(m)
Bớc 2: Xét hàm số:
log 2 ( x 2 2 x + 3)
3
y=
4

1.Miền xác định:
Điều kiện: -x2-2x+3 > 0 -3 < x
Vậy để bất phơng trình nghiệm đúng mọi x (-2, 0) điều kiện là:

Sáng kiến kinh nghiệm

9


m y(0) m 9
16

log 2 3

.

log 3
Chú ý: y(0) = y(-2) = 9
.
2

16

Phần III.Kết luận.
Trong năm học vừa qua , bản thân tôi đã áp dụng đề tài vào thực tiễn
dạy học trong môn học chủ đề tựu chọn đối với hai lớp 12A 3, 12A5.Bằng cáh
đa ra phơng pháp giải cụ thể, lấy nhiều ví dụ minh họa và sử dụng kết hợp
nhiều phơng pháp dạy học tích cực, chủ động và sáng tạo, tôi nhận thấy rằng:
Học sinh hiểu và đã nắm đợc phơng pháp hàm số để giải bất phơng
trình mũ và bất phơng trình logarit.
Giúp học sinh thấy đợc ý nghĩa của tính đơn điệu của hàm số, ý nghĩa
của bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong việc giải

xuất bản giáo dục.
4.Giải tích 12-SGK thí điểm - Ban KHTN - Bộ 2 - Nhà xuất bản giáo dục.
5.Bài tập Giải tích 12-Ban KHTN - SGK thí điểm - Bộ 2 - Nhà xuất bản giáo
dục.

ý kiến nhận xét của Tổ chuyên môn.

Sáng kiến kinh nghiệm

11


Phần I. Đại số và giải tích
Chơng I.
Hàm số lợng số lợng giác
và phơng trình lợng giác.
Bài 1: Hàm số lợng giác.
-Tốt.
Bài 2: Phơng trình lợng giác cơ bản.
-Tăng thêm thời lợng: 1 tiết(Giúp học sinh có thời gian luện tập).
-Giảm thời lợng 1tiết về bài Thực hành tính toán trên máy tính CASIO-FX
500MS hoặc loại máy tính tơng đơng.
Bài: Ôn tập chơng I
-Tốt.
Chơng II.
Sáng kiến kinh nghiệm

12



nghiệm khách quan.
Chơng III.
Dãy số- Cấp số cộng và cấp số nhân
Bài 1: Phơmg pháp quy nạp toán học.
-Tốt.
Bài 2: Dãy số.
-Theo phân phối chơng trình: 2 tiết. Nếu chia:
+Lý thuyết: 1 tiết-> kiến thức quá nhiều.
+Bài tập: 1tiết-> tốt
Bài 3: Cấp số cộng.
- Theo phân phối chơng trình: 2 tiết. Nếu chia:
+Lý thuyết: 1 tiết-> kiến thức quá nhiều.
+Bài tập: 1tiết-> tốt
Bài 4: Cấp số cộng.
- Theo phân phối chơng trình: 2 tiết. Nếu chia:
+Lý thuyết: 1 tiết-> kiến thức quá nhiều.
+Bài tập: 1tiết-> tốt
Sáng kiến kinh nghiệm

13


Phần II. Hình học
Chơng I.
Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
Bài 1: Phép tịnh tiến.
-Theo phân phối chơng trình: 1tiết, phần hớng dẫn bài tập quá nhiều học sinh
nắm không kịp.
Bài 2: Phép đối xứng trục.
-Tốt.