A-phần mở đầu
Chơng 1
Cơ sở lý luận
Đ1. một số vấn đề về phát triển năng lực giải toán bồi dỡng học sinh giỏi.
1. Năng lực, năng lực giải toán học.
1.1. Năng lực.
Năng lực là các thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu
cầu của một hoạt động nhất định đảm bảo cho hoạt động đó có hiệu quả. Năng
lực có thể chia thành 2 loại: Năng lực chung và năng lực riêng biệt.
- Năng lực chung là những năng lực cần thiết cho lĩnh vực hoạt hoạt động
khác nhau, chẳng hạn những thuộc tính về thể lực về trí tuệ (quan sát, trí nhớ, t
duy, tởng tợng, ngôn ngữ) là những điều kiện cần thiết để giúp cho nhiều lĩnh
vực hoạt động có hiệu quả.
- Năng lực riêng biệt (năng lực chuyên biệt, chuyên môn) là sự thể hiện
độc đáo các phẩm chất riêng biệt, có tính chuyên môn nhằm đáp ứng nhu cầu
của một lĩnh vực hoạt động chuyên biệt với kết quả cao. Chẳng hạn năng lực
toán học, năng lực âm nhạc, năng lực thể dục thể thao.
Hai loại năng lực trên luôn bổ sung và hỗ trợ cho nhau.
1.2. Năng lực toán học.
Trong tâm lý học năng lực toán học đợc hiểu theo 2 nghĩa với hai mức độ:
Một là theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc
học toán, đối với việc nắm giáo trình toán ở phổ thông, nắm một cách nhanh
nhất và có hiệu quả các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tơng ứng .
Hai là theo năng lực sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu khoa học tức là
năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, khách
quan cống hiến cho loài ngời những công trình toán học có giá trị đối với sự
1
Nhìn nhận bài toán dới nhiều nội dung khác nhau (khía cạnh khác nhau). Từ đó
vận dụng những kiến thức đó để giải quyết bài toán.
- Khả năng chuyển từ bài toán khó thành nhiều bài toán đơn giản hơn
phải huy động các kiến thức có liên quan đến khái niệm, những khái niệm cơ
bản từ đó lựa chọn trong số kiến thức đó kiến thức gần gũi với dữ kiện để giải
quyết bài toán.
2. Vấn đề giải bài toán bồi dỡng học sinh giỏi.
2.1. Vai trò của giải bài tập toán.
- Hình thành và khắc sâu tri thức kỹ năng, kỹ xảo toán học của những giai
đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
-Bồi dỡng thế giới quan duy vật biện chứng hứng thú học tập, niềm tin và phẩm
chất đạo đức ngời lao động mới.
- Bài tập nhằm phát triển năng lực t duy của học sinh đặc biệt là rèn luyện
những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của t duy khoa học.
- Bài tập nhằm đánh giá kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán
và trình độ phát triển của học sinh.
Khi nói đến vai trò, vị trí của việc giải bài tập nhà s phạm, nhà giáo dục học
G.Polya có viết: "Việc dạy giải toán phải là một bộ phận của nhiều giáo trình,
của mọi quá trình toán học có ích trong phổ thông". Nắm vững môn toán, đó là
"Biết giải toán không chỉ các bài toán thông thờng mà cả những bài toán đòi hỏi
t duy độc lập nhất định, có óc phán đoán, tính độc đáo và sáng tạo. Bởi vậy
nhiệm vụ hàng đầu và chủ yếu nhất của giáo trình toán học trờng trung học phải
nhấn mạnh mặt phơng pháp của quá trình giải toán.
A.A.Xtotiar trong "Giáo dục môn học Toán " cho rằng "Dạy học qua bài
tập toán là vấn đề đã biết từ lâu và đợc thảo luận rộng rãi trong các tài liệu giáo
dục toán học. Tuy nhiên cho đến nay vẫn cha có cách giải quyết thoả đáng. Cách
3
nh: Tìm giao điểm của 2 đờng thẳng đã đợc xác định nào đó, dựng đờng thẳng đi
qua 1 điểm và vuông góc với một đờng thẳng cho trớc, dựng đờng tròn với tâm
và bán kính đã cho v.v...
- Quy tắc còn đợc xác định bởi biểu thức liên hệ giữa toạ độ (x,y) của
điểm M với toạ độ (x',y') của điểm M' = (M) đối với hệ toạ độ Oxy cho trớc
nào đó.
x' = x + 1
y' = y 3
Ví dụ: Phép biến hình cho bởi hệ thức:
Phép biến hình này gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ
v (1, -3).
1.3. Các ví dụ về phép biến hình.
Ví dụ 1. Cho đờng thẳng thuộc P: Phép đặt tơng
ứng mỗi điểm M với điểm M' đối xứng với M qua
đợc gọi là phép đối xứng trục. là trục đối xứng.
Thờng kí hiệu phép đối xứng trục là Đ .
Ta có Đ(M) = M' ( hình bên).
Ví dụ 2. Cho điểm O cố định trong mặt phẳng P. Phép đặt tơng ứng với mỗi
điểm M với điểm M' đối xứng với M qua O đợc gọi
là phép đối xứng tâm O. Điểm O đợc gọi là tâm của
phép đối xứng đó. Kí hiệu:
Phép đối xứng tâm O là ĐO. Ta có ĐO(M) = M'.
6
chính điểm M đợc gọi là phép đồng nhất.
Kí hiệu: Phép đồng nhất là e. Ta có e(M) = M: MP.
2. Tích các phép biến hình.
2.1. Định nghĩa. Trong hình học ta thờng phải thực hiện nhiều phép biến hình
liên tiếp nhau. Nếu ta dùng phép biến hình : P P để biến một điểm M bất kỳ
của P thành một điểm M' rồi lại dùng phép biến hình thứ hai g : P P để biến
M' thành M" ta có:
: M M'; g : M' M'' hay M' = (M) và M" = g(M').
Khi đó phép biến hình h biến M thành M" gọi là tích của 2 phép biến hình
và g và kí hiệu h = g.
Ta có : h(M) = g(M) = M'' = g(M') = g[(M)]
2.2. Ví dụ.
i/ Xét 2 phép biến hình là 2 phép tịnh tiến véc tơ Tv và Tu . Giả sử M là
điểm bất kỳ của P.
Gọi M' = Tu (M) và M" = Tv (M')
7
Theo định nghĩa ta có.
MM ' =
phép quay và ứng dụng của phép quay để giải toán .
Đối với phép đồng dạng: chỉ nêu định nghĩa và một số tính chất cơ bản ứng
dụng của nó trong việc giải toán hình học. Đa ra khái niệm tam giác đồng dạng,
cách dựng một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, nêu các trờng hợp đồng
dạng của một tam giác ( Đ3.Tr 66. HH 8 các trờng hợp đồng dạng của 2 tam
giác).
Định lý 1: Nếu 2 góc của 2 tam giác này lần lợt bằng 2 góc của tam giác
kia thì 2 tam giác này đồng dạng .
= A ' , B = B ' ta chứng minh.
Chứng minh : Gỉa sử A'B'C' và ABC có A
A'B'C' ABC .
Đặt trên tia AB đoạn thẳng AM = A'B'. Qua M vẽ đờng thẳng MN BC (N trên
10
= A ' (gt).
tia AC) . Khi đó AMN ABC . Xét AMN và A'B'C' có A
AM = A'B' (Cách dựng).
AM N =
A' B C ' (cùng
bằng góc AB C ).
Do đó
AMN =
AC
(1).
Nhng AM = A'B' nên suy ra
A' B'
AN
=
(2).
AB
AC
So sánh (1) và (2) AN = A'C' . Nh vậy AMN và A'B'C' có.
A = A ' (gt).
11
AM = A'B' ( cách dựng) AMN = A'B'C' (c . g. c)
Suy ra: A'B'C' ABC. (đpcm) .
AN = A'C'
*Qua cách chứng minh 2 định lý trên dựng AMN = A'B'C', hai tam giác
bằng nhau nếu ta hiểu theo ngôn ngữ phép biến hình thực chất là tồn tại phép dời
biến A'B'C' AMN.
Còn AMN ABC (theo cách dựng một tam giác đồng dạng với tam
giác đã cho). Có thể hiểu rằng tồn tại phép vị tự biến AMN
riêng( chơng III ) . Còn về tích các phép biến hình :
Phép quay đợc định nghĩa.
Cho2 đờng thẳng a và b cắt nhau tại 0
với mỗi điểm M ta xác định điểm M' nh sau:
Trớc hết lấy M1 đối xứng với M qua a sau đó
lấy M' đối xứng M1 qua b. Phép đặt điểm M' tơng
ứng điểm M nh vậy gọi là phép quay quanh điểm O.
12
Nh vậy phép quay đợc định nghĩa thông qua việc thực hiện liên tiếp 2 phép
đối xứng trục Đa và Đb . Phép quay là tích của 2 phép đối xứng trục.
Phép đối xứng trợt: đợc định nghĩa.
Cho 1 đòng thẳng d và một véc tơ
v song
song với d. Với mỗi điểm M ta xác định điểm M'
theo quy tắc sau đây.
Trứớc hết lấy điểm M1 đối xứng với M qua d sau đó lấy điểm M' sao cho:
M 1 M ' = v . Quy tắc trên ta gọi là phép đối xứng trợt.
Nh vậy, phép đối xứng trợt cũng đợc trình bày dới dạng thực hiện liên tiếp
2 phép dời hình hay đợc trình bày dới dạng tích của phép đối xứng trục (Đd) và
phép tịnh tiến véc tơ Tv . Dạng chính tắc của phép đồng dạng.
Định lý (Tr 90 HH10). Mỗi phép đồng dạng tỷ số k đều có thể xem là kết
quả của việc thực hiện liên tiếp một phép vị tự tỷ số k và một phép dời hình.
u +v .
Dựa vào tích các phép biến hình định nghĩa phép biến hình đảo ngợc (5.Đ1
Tr6): Cho phép biến hình : P P ta xác định đợc -1: P P sao cho:
: M M' thì -1: M'
M . Phép biến hình -1 nh thế gọi là phép biến
hình đảo ngợc của phép biến hình . Rõ ràng mỗi phép biến hình có duy nhất 1
phép biến hình đảo ngợc -1 và -1 = -1 = e.
Ví dụ: Phép đảo ngợc của Tv là Tv1 = Tv
(g )-1=-1 g-1
Từ Tr7 Tr13 SGK trình bày phép dời hình tính chất áp dụng để giải toán
Đ3 (Tr13). Sự xác định của phép dời hình. Hình bằng nhau.
14
1. Định lý: Cho hai bằng nhau ABC và A'B'C'cóAB =A'B' , BC = B'C',
CA = C'A' bao giờ cũng có một và chỉ một phép dời hình : P P biến A
thành A', B thành B', C thành C'.
Đây là một định lý quan trọng về sự xác định phép dời hình. Chứng minh
định lý đợc trình bày dựa trên tích của các phép đối xứng trục. Từ định lý suy ra
hệ quả quan trọng đó là:
Hệ quả: "Mỗi phép dời hình đều có thể xem là tích của nhiều nhất 3 phép
đối xứng trục".
SGK đã đề cập tới tích của các phép đối xứng trục và phép quay đợc trình
bày trên quan điểm tích của 2 phép đối xứng trục có trục cắt nhau (định lý).
Đ4 . (Tr 17). Tích 2 phép đối xứng trục. Phép quay.
tự đó.
Bài tập 40 (Tr129): Chứng minh rằng tích của 2 phép vị tự là một phép vị
hoặc một phép tịnh tiến.
Đ4. Phép đồng dạng.
Sau khi định nghĩa phép đồng dạng SGK khẳng định: Phép đảo ngợc của
phép đồng dạng tỷ số k là phép đồng dạng tỷ số 1/k. Tích của 2 phép đồng dạng
tỷ số k1với phép đồng dạng tỷ số k2 là phép đồng dạng tỷ số k1.k2.
Có định lý rất quan trọng đợc nêu ra có ứng dụng lớn trong giải bài tập
và sách giáo khoa đã chứng minh rõ ràng và cụ thể định lý này.
Định lý: "Mỗi phép đồng dạng có thể xem là tích của 1 phép vị tự và một
phép dời hình, hoặc tích của một phép dời hình và một phép vị tự ".
Toàn bộ chơng I đã định nghĩa rõ tích các phép biến hình ở dạng tổng quát
trong đó tích của các phép dời hình và phép vị tự đợc trình bày khá đầy đủ chi
tiết. Trong phần bài tập có khai thác nhiều về vấn đề tích các phép biến hình, bổ
sung phần lý thuyết cha đợc trình bày và ứng dụng tích các phép biến hình để
giải mốt số bài toán.
Tóm lại, vấn đề tích biến hình đã đợc quan tâm đa vào nội dung giảng dạy
ở trờng phổ thông.
4.3. Một số tài liệu viết về tích biến hình.
16
Tích biến hình cũng đã đợc nhiều nhà viết sách quan tâm sử dụng tính biến
hình để giải toán.
. Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình trong mặt phẳng, NXBGD 1997.
. Lê Mậu Thống, Lê Mậu Thảo, Chuyên đề phép biến hình đại số véc tơ
hình 11, NXB Trẻ 95.
. Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải..., Toán bồi dỡng hình học 10, Nhà xuất
bản Hà Nội, 1995.
Chơng 2
xây dựng hệ thống lý thuyết về tích các
phép biến hình -ứng dụng của nó vào giải toán hình
học -hệ thống bài tập áp dụng
I - Một số vấn đề chung
Bên cạnh những phơng pháp truyền thống nh: Phơng pháp véc tơ, phơng
pháp toạ độ thì thông qua việc dạy học phép biến hình chúng ta còn cung cấp
cho học sinh một số công cụ giải toán mớivà rất hiệu quả đó là công cụ giải toán
bằng phơng pháp biến hình (tích biến hình).
ở trờng phổ thông phép biến hình đợc xem là công mới giúp học sinh giải
đợc hàng loạt bài toán hình học nh: Chứng minh tính chất hình học, tìm tập hợp
điểm ( trong mp), dạng toán dựng hình, cực trị hình học...
18
Để giải bài toán bằng phơng pháp sử dụng tích các phép biến hình, trớc hết
phải xây dựng hệ thống kiến thức về tích các phép biến hình. Đó là cơ sở lý
thuyết đầu tiên vận dụng vào việc giải toán bằng tích biến hình. Sau khi truyền
thụ những kiến thức đó để có năng lực giải toán bằng tích biến hình đòi hỏi học
sinh phải có năng lực chuyển giả thiết , kết luận bài toán về ngôn ngữ biến hình
(ngôn ngữ tích các phép biến hình). Mỗi bài toán ngời ta cho không phải lúc
nào cũng diễn giải bằng ngôn ngữ biến hình. Các bài toán hầu hết ở dạng tổng
hợp, biểu diễn bằng ngôn ngữ hình học. Vì vậy cần rèn luyện năng lực chuyển
đổi ngôn ngữ từ quan hệ hình học sang ngôn ngữ biến hình (tích biến hình).
Khi giải bài toán bằng tích biến hình ta thờng đi theo 3 bớc:
Bớc 1: Chuyển đổi ngôn từ ngôn ngữ hình học thuần tuý sang ngôn ngữ biến
1.3. Phép tịnh tiến:
Kí hiệu: Tv (Phép tịnh tiến theo vec tơ v ).
Tv : M
M' MM ' = v .
1.4. Phép vị tự:
k
Kí hiệu: Vo (Phép vị tự tỷ số k).
Vok : M
M' OM ' = k OM
1.5.Phép đồng dạng:
: là phép đồng dạng ( thờng ký hiệu S (O,k, ).
: A A' AB = kAB.
B B'
1.6. Phép quay:
- Phép tịnh tiến Tv ( v o ): Không có điểm bất động.
k
- Phép vị tự Vo (k1): O là điểm bất động duy nhất .
- Phép quay Qo : O là điểm bất động.
Chú ý: Điểm bất động thờng còn đợc gọi cách khác là: Điểm bất biến, điểm
kép.
c/ Nếu trong phép biến đổi điểm : Mọi điểm đều bất động thì đợc gọi là
phép biến đổi đồng nhất. Kí hiệu: e (hoặc id).
e: là phép đồng nhất M: e(M) = M
2.2. Tích của 2 phép biến hình:
a/ Cho 2 phép biến hình : P P
g:PP
M (M) = M' M'' = g(M) =g[(M)].
Suy ra:
g : P P .
Mà g : P P
M M'' = g (M).
M M'' = g[(M)].
Vậy tích của 2 phép biến hình là 1 phép biến hình.
b/ e: P P và : P P
Ta có M P: e(M) = e[(M)] = (M), e(M) = [e(M)] = (M) .
II - Tích các phép biến hình
Khi xét các phép dời hình cần chú ý: Phép đối xứng trục có thể coi là cơ sở,
từ đó ta có thể xây dựng tất cả các phép dời khác. Tích của hai phép đối xứng
trục là phép tịnh tiến (nếu các trục song song), là phép quay ( nếu hai trục cắt
nhau). Ngời ta có thể chứng minh đợc rằng mọi phép dời hình đều là tích của
không quá không quá ba phép đối xứng trục.
Khi xét tới tích các phép dời hình có các định lý:
i/ Tích 2 phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến và phep tịnh tiến lại
phân tích đợc thành nhiều cách khác nhau thành tích 2 phép đối xứng tâm.
22
ii/ Tích hai phép đối xứng trục cắt nhau là một phép quay và mọi phép
quay cũng đơc phân tích thành nhiều cách khác thành tích của hai phép đối
xứng trục có trục cắt nhau đi qua tâm.
iii/ Tích của hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến và mọi phép tịnh
tiến đều đợc phân tích thành nhiều cách khác nhau thành tích hai phép tịnh
tiến thích hợp.
Đó là các định lý cơ sở, từ đó có thể xây dựng tích của hai hay nhiều phép
dời hình với nhau. Bây giờ chúng ta khẳng định lại điều đó và xét các ứng dụng
của các phép biến hình vào giải toán.
Đ1. Tích các phép đối xứng tâm, tịnh tiến
1.1. Tích hai phép đối xứng tâm.
Định lý 1. Tích của hai phép đối xứng tâm
là một phép tịnh tiến.
Chứng minh: Cho ĐO : M M' và
ĐO:
có nhiều cách khác nhau chọn điểm O1 (đpcm).
Định lý 3. Tích của một phép tịnh tiến với một phép đỗi xứng trục qua tâm
hoặc một phép đối xứng qua tâm với một phép tịch tiến là một phép đối xứng
qua tâm.
Chứng minh: Giả sử có phép tịnh tiến Tv và phép đối xứng tâm ĐO1. .Xét
T
tích Tv .ĐO1 , ĐO1. Tv . Giả sử O2 là ảnh của O1 qua phép tịnh tiến 1 v .
2
Theo định lý1: Tv = ĐO2.ĐO1
(1)
Nhân vào hai vế của (1) về phía bên phải với Đ O1.Ta có: Tv o ĐO1= ĐO2ĐO1.
ĐO1 = ĐO2.(do ĐO1ĐO1= e).
Chứng minh tơng tự :
Gọi O'2 là ảnh của O1 qua
khi đó Tv = ĐO1ĐO2'
T1
2
v
(2)
Nhân 2 vế của (2) với ĐO1 vào bên trái.
Ta có: ĐO1 Tv = ĐO1ĐO1ĐO2' = ĐO2'
2 k 1O2 k
T2O1O2 .
T2( O O ) .
1 2k
Vậy ĐO2kĐO2k-1...ĐO2 ĐO1 = T2 ( O1O2 k ) .
Với n=2k+1 Phép đối xứng tâm. Tacó:
ĐO2k+1ĐO2k.ĐO2k-1...ĐO2ĐO1 = ĐO2k+1 T2 ( O1O2 k ) .
CMT
Theo định lý 3: ĐO2k+1 T2 ( O1O2 k ) = ĐO.(trong đó O là ảnh của O2k+1 qua T( O1O2 k ) )
(đpcm).
25
Copyright: Tài liệu đại học ©