ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ HOÀNG CÚC

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHO
HỌC SINH TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG LƢỢNG GIÁC Ở
TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2013

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHO
HỌC SINH TRONG DẠY HỌC LƢỢNG GIÁC Ở TRƢỜNG TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN
TOÁN)

Mã số: 60 14 10

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: Tiến sĩ Lê Phê Đô


Trong các môn khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí quan trọng và
nổi bật. Công việc dạy toán của giáo viên nhằm rèn luyện cho học sinh tư
duy toán học cùng những phẩm chất của con người lao động mới để các
em vững vàng trở thành những chủ nhân tương lai của đất nước.
Ở trường phổ thông dạy toán học là dạy hoạt động toán học. Đối với học
sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các
bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không
thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư
duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt
động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy
học toán ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài
tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán. Như
vậy việc hướng dẫn cho học sinh giải toán là một trong những khâu then
chốt, chiến lược trong quá trình dạy học môn toán.
Hơn nữa, hiện nay một bộ phận không nhỏ học sinh chúng ta học môn
toán một cách rất thụ động, rập khuôn theo những dạng bài toán mà các
thầy giáo, cô giáo hay các sách đã chỉ sẵn mà không chịu suy nghĩ tìm
đường lối giải, đặt vấn đề trở lại đối với bài toán đó, lời giải đó.

4


Chính vì vậy, gặp một bài toán mà các em chưa từng tiếp xúc thì việc tìm
lời giải cho bài toán đối với rất nhiều học sinh là rất khó khăn , không thể
tự tim
̀ đường lố i giải được . Quá trình tìm đường lối giải có tính chất quan
trọng, quyết định nhất trong việc giải một bài toán. Quá trình này là cơ sở
cho việc rèn luyện khả năng tư duy, làm việc sáng tạo - một khả năng
không thể thiếu đối với một người giải toán.
Lươ ̣ng giác là mô ̣t trong những phân môn quan tro ̣ng và chiế m nhiề u thời

- Thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm tính hiệu quả của đề tài.
4. Giả thuyết nghiên cứu
Các biện pháp sư phạm hợp lý nhằm rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải
các bài toán lượng giác nếu được vận dụng tốt sẽ có vai trò quyết định
trong việc rèn luyện phương pháp suy luận và khả năng tư duy của học
sinh trong toàn bộ quá trình dạy toán và học toán từ đó góp phần nâng cao
chất lượng học toán ở trường THPT.
5. Các phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận dạy học môn toán
- Nghiên cứu đề tài và luận văn của đồng nghiệp
- Nghiên cứu tài liệu tham khảo, các báo và tạp chí
- Thực nghiệm sư phạm
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm có 3
chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận của đề tài.
Chương 2: Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện khả năng tìm tòi
lời giải các bài toán cho học sinh trong dạy học lượng giác ở trường
trung học phổ thông.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

6


CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
1.1 Dạy học giải bài tập toán
1.1.1 Vai trò, vị trí và chức năng của bài tập toán học
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Thông qua giải bài
tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng
và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động

Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời
nhau. Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể
tức là hàm ý nói đến việc thực hiện chức năng ấy được tiến hành một cách
tường minh và công khai. Hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông
phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện đầy đủ các chức năng có
thể có của một bài tập. Các chức năng của mỗi bài tập toán phụ thuộc vào nội
dung và phương pháp khai thác lời giải của nó. Điều đó định hướng cho việc
lựa chọn bài tập của giáo viên, tránh tình trạng ra bài tập một cách tùy hứng
hoặc chỉ chủ trọng đến số lượng thuần túy. Tóm lại người giáo viên chỉ có thể
khám phá và thực hiện được những chức năng đó bằng năng lực sư phạm và
trình độ nghệ thuật dạy học của mình.
1.1.2 Các yêu cầu đối với lời giải bài toán:
Để phát huy tác dụng và khai thác tốt các chức năng của bài tập toán học,
trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải.
a) Lời giải không có sai lầm:
Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không có sai sót về kiến thức toán học, về
phương pháp suy luận, về kĩ năng tính toán, về kí hiệu, hình vẽ, kể cả không
có sai lầm về ngôn ngữ diễn đạt. Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh thói
quen xem xét, kiểm tra lại kết quả giải toán và lời giải của mình, qua đó giáo
dục ý thức trách nhiệm đối với công việc, đồng thời phát triển óc phê phán.
Cần giúp học sinh kiểm tra kết quả bằng cách đối chiếu bài làm với từng câu
hỏi của đề bài, xét tính hợp lí của đáp số với đầu bài hoặc bằng cách tìm một
phương pháp giải khác nếu có thể, rồi so sánh các kết quả giải được theo các

8


phương pháp khác nhau. Cũng cần yêu cầu học sinh kiểm tra lại bằng hình
thức vận dụng linh hoạt những kiến thức đã học chứ không chỉ đơn thuần
bằng cách so sánh với đáp số cho sẵn như nhiều học sinh vẫn làm.

1.1.3 Dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán
Trong môn toán ở trường phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc
không có thuật toán để giải. Đối với những bài toán ấy, hãy cố gắng hướng
dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải. Đây là cơ hội rất tốt để giáo
viên trang bị cho học sinh một số tri thức phương pháp – phương pháp giải
toán, phương pháp toán học hóa – nhằm rèn luyện và phát triển ở họ năng lực
tư duy khoa học. Biết đề ra cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi
gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và trong chừng mực nào đó sử
dụng khéo léo những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G.
Pôlya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học
là thể hiện kinh nghiệm và năng lực sư phạm của người giáo viên trong quá
trình dạy học giải bài tập toán. Đó là lời khuyên của người có kinh nghiệm
giải toán chứ không phải là những bản chỉ dẫn có tính chất thuật toán. Tiếp
thu những lời khuyên này, mỗi người có thể thực hiện khác nhau, cả về cách
thức lẫn thời gian, để đi đến kết quả, và có thể có người không đi đến kết quả.
Điều đó nói lên tính chất khó khăn, phức tạp của việc truyền đạt phương pháp
và kinh nghiệm giải toán chứ không hề phủ nhận vai trò của việc này. Không
có thuật toán nào để giải mọi bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua dạy học
giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh cách thức, kinh
nghiệm tiến tời nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán. “
Tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh” ( Polya, 1975 ).
Phương pháp tìm tòi lời giải của Pôlya thường được tiến hành theo 4 bước:
- Tìm hiểu nội dung của bài toán
- Xây dựng chương trình giải
- Thực hiện chương trình giải
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

10




Bài toán đề cập mối quan hệ giữa ba cạnh của tam giác. Hãy huy động
những định lí, tính chất đã biết về quan hệ giữa các cạnh của tam giác:
a>b–c
a b2 + c2 – 2bc

Tương tự ta có: b2 > c2 + a2 – 2ca
c2 > a2 + b2 – 2ab
cộng từng vế và ước lược ta sẽ có điều phải chứng minh.
Hãy tiếp tục thử với bất đẳng thức thứ 2, nếu được ta sẽ có cách giải
khác, bằng không thì cũng là một bước luyện tập. Nếu làm như trên thì ta
được :
a2 + b2 + c2 > - ( ab + bc + ca ) là điều hiển nhiên nhưng không
phải là điều cần chứng minh.
Thử chọn phép biến đổi khác, để xuất hiện bình phương của mỗi cạnh,
nhân 2 vế của bất đẳng thức với a ta được :
a2 < ab + ac
tương tự :

b2 < ab + bc
c2 < ac + bc


Có học sinh giải như sau:
Điều kiện: cos2x ≠ 0 tức là x 


4

k


2



Thay sin x  cosx  2 cos x   phương trình rồi ước lược ta được:
4




cos x    cos2x
4




  2x  k2




mãn điều kiện đã nêu. Với phương tiện đơn giản là đường tròn đơn vị, cần lưu
ý học sinh biểu diễn cả điều kiện lẫn các giá trị (2) trên đó mới thấy trong các
giá trị này phải loại đi những trường hợp ứng với k = 1, 4, 7, …nghĩa là
nghiệm của phương trình có dạng: x 
Hoặc viết theo cách khác: x 


12


12

k

2
với k  1  3t ( t nguyên )
3

 k2 ; x  

7
 k2
12

Cần phải nhìn lại xem đã xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán
hay chưa, nhất là bài toán có liên quan đến những đối tượng hay quan hệ có
nhiều khả năng xảy ra hoặc bài toán có chứa tham biến. Bằng cách này sẽ dần
dần luyện tập cho học sinh thói quen nhìn nhận vấn đề một cách toàn diện,
theo nhiều khía cạnh, tránh phiến diện, hời hợt.
Trong quá trình giải bài tập, cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải

7
49
7
là các góc nhọn dương ) để được:

1
48
11
cosb 
1  cos2b  
7
7
4
Đặt x = cosb > 0 sẽ đi đến phương trình:

48
x 11
1  x2  
7
7 4
Giải phương trình này ta được x  cosb 

1
71
còn giá trị x  
bị loại
2
98

Có một cách giải quyết khác. Hãy chú ý tìm mối quan hệ giữa góc b cần phải

a)

Hoạt động học toán của học sinh là hoạt động nhằm lĩnh hội các tri

thức, khái niệm, kỹ năng giải quyết các vấn đề toán học. Nó bao gồm việc
định hướng tìm tòi, lập kế hoạch thực hiện, bản thân hoạt động và kiểm tra
hiệu quả của nó. Vấn đề tâm lý chủ yếu ở đây là hứng thú tìm tòi, lòng ham
hiểu biết và mong muốn hoàn thiện bản thân. Nếu sự hứng thú không được
hình thành thì bản thân sự lĩnh hội sẽ diễn ra thấp hơn nhiều so với tiềm năng
sẵn có ở học sinh.

15


Động cơ học toán đúng đắn và phù hợp phải gắn liền với nội dung toán
học, nghĩa là nắm vững các khái niệm, định lý, hệ quả, quy luật phát triển
toán học, kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, kỹ năng ứng dụng toán học
vào thực tiễn,…
Động cơ này lại được cụ thể hóa thành từng nhiệm vụ học tập của hoạt
động học toán. Để giải quyết nhiệm vụ đó, học sinh phải tiến hành một loạt
các hành động với các thao tác tương ứng và được diễn ra theo các giai đoạn
sau:
- Tiếp nhận nhiệm vụ đề ra chương trình hành động.
- Thực hiện các hành động và các thao tác tương ứng.
- Điều chỉnh hoạt động học toán dưới sự chỉ đạo, hướng dẫn của giáo
viên, của sự tự điều chỉnh và tự kiểm tra của bản thân.
- Phân tích các kết quả thu được của hoạt động học, từ đó dần hình thành
được phương pháp học tập có hiệu quả cho mình.
b)


Trong ú hnh ng d oỏn t v trớ trung tõm ca hỡnh vuụng, cỏc
cp hnh ng trớ tu i lp nhng thng nht nh: ng viờn t chc, tỏch
bit kt hp c t cỏc nh i nhau ca hỡnh vuụng, cỏc thao tỏc trớ
tu c t trờn cỏc cnh ca hỡnh vuụng y.
C ch hot ng c túm tt nh sau: t nhng chi tit c ng viờn
i n cỏi ton th cú t chc. T mt t chc, mt chi tit phõn bit c
tỏch ra nghiờn cu ri li c liờn kt li vi nhau cú th dn n vic
thay i quan nim ca ngi gii bi toỏn. Cũn cỏc thao tỏc trớ tu s xut
hin khi ngi gii thc hin cỏc nhim v nhn thc.
Trong quỏ trỡnh gii toỏn, c mt ln trớ tu vn hnh theo c ch trờn l
mt ln ngi gii toỏn li nhỡn bi toỏn cỏc khớa cnh khỏc nhau. Tt nhiờn
s cú ln kt qu ca hot ng khụng em li li gii ca bi toỏn nhng ú
cng l b ớch bi ta loi b c mt con ng v hn th na, hc sinh li
mt ln na c rốn luyn nng lc gii toỏn.
1.3 Quan nim v vn dy gii toỏn
Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài tập là một yêu
cầu quan trọng đối với mọi học sinh. Có thể chia bài tập toán học ra làm hai
loại:

a) Loại có sẵn thuật toán.
Để giải loại này học sinh phải nắm vững các quy tắc giải đã học rèn luyện
kỹ năng, kỹ xảo. Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạp hơn.
Yêu cầu cho học sinh là:

17


- Nắm vững quy tắc giải đã học.
- Nhận dạng đúng bài toán
- Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo


trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách
giải bài toán lại là có thể và cần thiết.
1.4

Các yêu cầu trong việc giảng dạy bài tập nhằm rèn luyện khả năng

tìm tòi lời giải các bài toán cho học sinh
Bài giảng không thể chỉ dừng lại ở mức độ trình bày một lời giải đúng
đắn, đầy đủ và mạch lạc mà phải biết cách hướng dẫn học sinh thực hành việc
giải toán theo yêu cầu của phương pháp tìm lời giải. Nói gọn lại là việc rèn
luyện học sinh giải các bài toán trong các giờ bài tập phải làm tốt cả hai khâu:
Tìm tòi lời giải và lời giải.
Để làm tốt khâu giảng dạy phần tìm tòi lời giải cho học sinh, trước hết
người học sinh cần phải tự rèn luyện để làm tốt yêu cầu đó.
Vấn đề này thuộc về nhận thức. Cần xác định rằng nếu không có phần tìm
tòi lời giải các bài toán khi giảng dạy thì vai trò của người thầy giáo chưa đáp
ứng đúng yêu cầu.
Việc rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán cần tiến hành theo
trình tự từ thấp đến cao:
- Tập dần từ những bài toán dễ, không phải là lời giải mà là công việc tìm
tòi lời giải đơn giản.
- Từ các bài toán đã có lời giải hay, hãy thực hành việc tìm lời giải khi đã
có lời giải bài toán đó.
- Đến mức cao hơn, rèn luyện toàn bộ quá trình một cách đầy đủ. Từ một
bài toán chưa có lời giải, tìm cách phân tích để tìm lời giải rồi đi đến giải bài
toán đó.
Tóm lại, việc rèn luyện khả năng tìm tòi lời giải các bài toán là một công
việc khó khăn. Phải có thói quen tốt là khi nghiên cứu một bài toán thì phải
bắt đầu từ quá trình tìm tòi lời giải.

lại phải nhìn bài toán dưới dạng đặc thù, riêng lẻ. Nhìn bài toán trong bối

20


cảnh chung chưa đủ, lại phải biết nhìn bài toán trong các điều kiện cụ thể và
biết nhìn bài toán đã cho trong mối tương quan đối với các bài toán khác.
Trong việc nhìn bài toán, có thể xem điều nêu ra dưới đây là một lời
khuyên hay cũng là một châm ngôn cần ghi nhớ: Trong mỗi bài toán, mỗi ký
hiệu, mỗi con số, mỗi biểu thức và các điều kiện đã cho cũng như kết quả của
bài toán chứa đựng (trong lòng chúng ) những điều muốn nói ra. Người làm
toán phải tìm cách “nói giúp” những điều muốn nói của các con số, các kí
hiệu và các yếu tố có mặt trong bài toán đó. Nói đúng những điều mà mọi cái
đó muốn nói ra, người làm toán đã khám phá được bài toán và từ đó mới có
cơ sở để định hướng đường lối giải bài toán. Mặt này cũng là một thước đo
khả năng biết làm toán của người học sinh.
Ví dụ 1:
Giải phương trình: tan2x + cot 2x + 2tanx + 2cotx = 6 với 0 < x


4

. Từ đó ta có x 


4


4

là nghiệm

duy nhất của phương trình.
Một mặt khác, cách nhìn một bài toán còn mang ý nghĩa khám phá bài toán
đó. Một trong các nhiệm vụ của việc khám phá đó là tìm cách lột bỏ hình thức
“ có tính chất ngụy trang” của bài toán để xác định đúng thực chất của bài
toán. Tác giả của bài toán thường hay “tô son trát phấn” cho các bài toán vốn
có bản chất “hiền lành” trở thành con “ ngoáo ộp” đối với người làm toán.
Mạnh dạn tìm cách lột bỏ cái vỏ bọc bề ngoài của một bài toán cũng là một
công việc cân làm đối với người giải toán.
Ví dụ 2:
Giải phương trình:

1
1
9
3
1
 cos4 x  cos2 x 

+ cos 4 x - cos 2 x =  cos 2 x - 
16
2
4


2


9
3
3
+ cos 4 x - cos 2 x =  cos 2 x - 
16
2
4


2

Như vậy tính vô tỉ trong bài toán chỉ còn là cái áo ngụy trang mà thôi, vì do

A2 | A | và khi đó phương trình được đưa về thực chất là:
cos2 x 

1
3 1
 cos2 x  
4
4 2


Xem t 

1
là độ dài đoạn thẳng nối điểm M có hoành độ t và điểm A có
4

hoành độ

1
3
; t  là độ dài đoạn thẳng nối điểm M và điểm B có hoành độ
4
4

3
1
, phương trình có dạng mới: MA + MB =
4
2
Bài toán mới được phát biểu lại là: Xác định vị trí điểm M trên trục số sao cho
tổng các khoảng cách từ M đến A và B bằng
Khi đó độ dài đoạn AB bằng

1
.
2

1
cho nên dễ thấy rằng bài toán được thỏa mãn

chung đã được xác định trong nội dung những tri thức về loại toán đó mà
người làm toán phải biết và phải nhớ. Cái khó khăn chủ yếu về mặt này là mỗi
bài toán nói chung tuy nằm trong một thể loại nào đó nhưng lại có những vẻ
riêng biệt của nó. Người làm toán phải biết nắm vững cái chung lại phải phát
hiện đúng cái đặc thù, cái riêng của mỗi bài toán để chọn được đường lối
thích hợp nhất.
Một mặt đáng chú ý là ở các bài toán có nhiều cách giải, người làm toán cần
có một cách đánh giá đúng ưu, nhược điểm của từng lời giải để rút ra bài học
đáng ghi nhớ cho việc giải toán.
c) Rèn luyện khả năng lựa chọn phương pháp và công cụ cũng như các
công thức biến đổi thích hợp.
Một mặt nữa cần lưu ý khi xác định đường lối giải một bài toán là phải gắn
liền việc xác định đường lối với việc lựa chọn phương pháp và công cụ. Có
những trường hợp bài toán đã cho có đường lối giải đúng, tuy vậy việc chọn
phương pháp và công cụ không thích hợp nên vẫn không đi tới đích của lời
giải được. Vì vậy, việc rèn luyện một tầm nhìn bao quát, bao gồm các việc:
xác định đường lối, chọn lựa công cụ và phương pháp để thực hiện đường lối
đó là cần thiết đối với người giải toán.
Việc lựa chọn phương pháp và công cụ có tính chất kỹ thuật. Tuy vậy tính
sáng tạo của học sinh có tác dụng đáng kể trong quá trình dẫn bài toán từ chỗ
đã có phương hướng đúng đến lời giải của bài toán . Chọn được phương pháp,
công cụ tối ưu thì có được lời giải tốt nhất. Điều này lại càng cần thiết đối với
các bài toán có nhiều lời giải. Quá trình phân tích và cách nhìn bài toán đóng
góp phần quan trọng trong công việc này. Nói một cách cụ thể hơn là: Vì có
những đặc điểm nào đó mà bài toán giải được bằng các phương pháp này hay
công cụ khác. Ngay cả việc sử dụng một công thức toán học cũng phải linh
hoạt, phải biết sử dụng công thức theo chiều nào, dưới dạng nào trong các
dạng vốn có của một công thức.

25