B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI
» HỌC
» s u PHẠM
» HÀ NỘI
• 2
KHOA: VẬT LÝ
VŨ THỊ LAN
•
LÝ THUYẾT CHUYẺN PHA LOẠI II TRONG MÔ
HÌNH GINZBURG - LANDAU HAI THAM SỐ
TRẬT T ự
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
T.s NGUYỄN TRÍ LÂN
HÀ NỘI 2015
i
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bảy tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới T i ế n sĩ N g u y ễ n T r í L â n - Viện
Vật lý thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Thầy đã hướng dẫn tận
tình, đầy hiệu quả, thường xuyên chỉ bảo. giúp đỡ, động viên, tạo môi trường làm việc
Lời cảm ơ n ............................................................................................................................................................................
i
Lời cam đ o a n ......................................................................................................................................................................
ii
Mục
ii
l ụ c .....................................................................................................................................................................................
Mở đầu
1
Lý do chọn đề t à i ................................................................................................................................................................
1
Mục đích nghiên c ứ u .....................................................................................................................................................
2
Nhiệm vụ nghiên c ứ u .....................................................................................................................................................
2
1.3.1
1.4
Lý thuyết chuyển pha của Landau.................................................................................................
Lý thuyết chuyển pha trong hệphức hợp................................................................................................ 13
1.4.1
Lý thuyết Landau trong hệ phức hợp............................................................................................ 13
1.4.2
Lý thuyết Ginzburg - Landau...............................................................................................................16
Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau
18
2.1
Tham số trật t ự ...................................................................................................................................................18
2.2
Phiếm hàm Ginzburg - Landau một tham số trật t ự ................................................................19
2.2.1
2.3
ii
Mục lục
2.4 Một số ứng dụng của lý
số trật tự đối vói các hệ
3
A
thuyết chuyển pha bậc haiGinzburg - Landau hai tham
phức hợp.......................................................................................................... 35
Kết luận
37
Tài liệu tham khảo
38
Tích phân Gaussian và tích phân phiếm hàm
39
M ở đầu
Lí do chọn đề tài
1
M ở đầu
về chuyển pha.
Hiện tượng chuyển pha bậc hai xảy ra khi một trạng thái mới với đối xứng rút gọn phát
triển một cách liên tục từ trạng thái m ất trậ t tự tại Iihiệt độ cao. P ha trật tự mới hình
thành có tính đối xứng thấp hơn trong mô tả vi mô ban đầu
hiện tượng phá vỡ đối xứng
tự phát. Theo hình thức luận Landau, để mô tả trạng thái trậ t tự, một vài tham số trậ t
tự vĩ mô được định nghĩa nhằm phản ánh các đặc trưng và cường độ của tính đối xứng
bị phá vỡ. Hệ thức năng lượng tự do phụ thuộc vào tham số trậ t tự, do vậy, được gọi là
phiếm hàm năng lượng Ginzburg
Landau, ghi nhận ý tưởng nguyên thuỷ của Landau
và Ginzburg trong lý thuyết chuyên pha bậc hai.
Lý thuyết chuyên pha bậc hai Ginzburg
cứu chuyển pha kim loại
Landau đặc biệt thành công trong các nghiên
siêu dẫn, thuận từ
sắt từ, ngưng tụ Bose - Einstein, lỏng
nghiên cứu các hệ phức hợp nói chung và các hệ vật lý nói riêng.
Nhiệm vụ nghiên cứu
• Xây (lựng phiếm hàm Ginzburg
Landau hai tham số trậ t tự trong một số hệ phức
hợp.
2
M ở đầu
• Thực hiện một số tính toán giải tích đồi với phiếm hàm Ginzburg
Landau hai
tham số trậ t tự tổng quát.
Đối tượng nghiên cứu
• Lý thuyết chuyên pha bậc hai Ginzburg
• Phiếm hàm Ginzburg
Landau.
Landau hai tham số trậ t tự.
phân kỳ. Sự chuyển pha liên tục của hệ được miêu tả trong lý thuyết Ginzburg-Landau.
Đầu tiên chúng ta nghiên cứu về hiện tượng chuyển pha từ chất khí sang chất lỏng (
hay còn gọi là hiện tượng ngưng tụ của chất khí ). Các giai đoạn chuyển pha của hiện
tương này được mô tả bằng biểu đồ pha như hình vẽ
Trong đồ thị (P , T ), hiện tượng chuyên pha được mô tả theo đường cong có (lạng một
nửa hình Parabol và đi qua điểm tới hạn có tọa độ là (TC, P C).
Trong đồ thị ( P , v — V Ị N ) quá trình chuyến pha (liễn ra trong một khoảng
ngắn, khi hỗn hợp chất khí và chất lỏng có mật độ
pg = 1/vg,
và ở nhiệt độ
T < Tc.
Không phân biệt được mật độ chất khí và chất lỏng khi ở gần Tc,
4
thời gian
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
p
Hình 1.1.1.: Chuyển pha Lỏng - Khí
Hình 1.1.2.: Chuyển pha Lỏng - Khí
5
pha. Mặt khác, khi chúng ta đun sôi nước ta thấy nước chuyển đổi từ chất lỏng sang chất
khí gọi lả chuyển pha loại / , tham số trậ t tự là m ật độ xác định và mật độ tại điểm tới
hạn, p — pc có bước nhảy tại điểm tới hạn và kèm theo một nhiệt lượng (entropy của hệ
Q l = TCA S ).
Tuy nhiên chúng ta có thể nhận thấy sự khác nhau trong hai trường lìỢp trên bằng
thực nghiệm:
Đối với chất sắt từ giá trị cường độ từ trường
6
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
H = 0.
Ờ nhiệt độ ,
T > Tc,
mooinen từ trung bình ,
M = 0.
Đối với nhiệt (tộ .
T < Tc,
rnoornen từ tăng liên tục từ 0. Đây là chuyến pha loại I I .
Còn đối với chất lỏng nhiệt độ không phụ thuộc vào áp suất mà phụ thuộc vào m ật độ.
Đây là chuyển pha loại I .
- SECTION 1.2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Phân loại chuyển pha.
Bây giờ chúng ta xét sự chuyến pha, tức là sự chuyến trạng thái của hệ từ pha
= ( d- ị \ ,
\ ỹ T ) 'p
Vì thế chuyển pha loại I I là nhiệt dung ( hoặc nhiệt dung riêng ) không liên tục.
Hình 4. chuyến pha loại 1 và chuyển pha loại 2
Thí dụ đặc trưng nhất về chuyển pha loại hai lả chuyến pha từ chất (lẫn điện thường
sang chất siêu clẫn. Như chúng ta đã biết, ở nhiệt độ đủ thấp, trong rất nhiều kim loại
xảy ra hiện tượng chuyển pha sang rạng thái mới, trạng thái siêu dẫn. Ớ trạng thái này
các tính chất nhiệt động và điện tử của kim loại khác xa so với tính chất của nó ở trạng
thái thường. Có thể hầu hết các vấn đề này là, khi kim loại bị làm lạnh xuống dưới một
nhiệt độ tới hạn xác điịnh nào đó, nó chấm dứt ngay lập tức sự có m ặt của điện trở đối
với dòng điện..., không có sự tiêu hao năng lưựng xảy ra khi dòng đi qua vật siêu dẫn.
Chuyển pha từ trạng thái thường sang trạng thái siêu dẫn là chuyển pha loại I I với đặc
trưng là nhiệt dung của kim loại có bước nhảy tại nhiệt độ chuyến pha.
- SECTION 1.3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các lý thuyết chuyển pha.
Các định luật đơn lẻ trong vùng lân cận của điểm tới hạn được đặc trưng bởi tập hợp
các hàm số mũ. Các hàm số mũ mô tả hiện tượng chuyển pha là các hàm tích phân nhiệt
động lực học. Đáng chú ý là một số quá trình chuyên pha khác nhau như chuyến pha chất
8
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
lỏng sang chất khí và chuyển pha sắt từ có thể được mô tả bằng cùng một hàm mũ tổng
Ánh hưởng của thế nhiệt động học:
Tại điểm tới hạn (là điểm ở đó xảy ra liiện tượng chuyển pha liên tục vói tham số không
gian) các tham số biến mất trong quá trình liên tục, khi đó cấu trúc của quá trình chuyển
pha đối xứng. Trong lý thuyết Landau tham số trậ t tự tp được coi là một biến vĩ mô, mô
9
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
tả một trạng thái cân bằng chưa đầy đủ. giá trị cân bằng được tìm thấy nhỏ đúng bằng
thế nhiệt động học
Xét hệ kín tại điểm giới hạn thì các tham số trậ t tự là nhỏ nhưng xa điểm tới hạn hệ
có thể được giả định là một hàm đồng nhất và thế nhiệt động lực học là hàm của các
tham số thứ tự và các biến trạng thái. Thế nhiệt động lực học được khai triển bằng hàm
của tham số trậ t tự và các biến số trạng thái ban đầu là nhiệt độ và áp suất như sau:
G (p , T, ip) = Go (P , T ) + a
, và, m ặ c d ù h à m c ủ a p và T đ ư ợ c coi là k h ô n g đổi. với A > 0 giá
G sys (T, H \ m) = Fsys (T, m) - ạ 0V H . m .
(1.3.4)
Chọn m nhỏ
10
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
G : ỒGỊỗĩìì, = ỖFsyaỊỏm — ụ,0V H = Ị-IqV ỉĩ — fi0V H —>■0.
Trong quá trình cân bằng chúng ta có h (T, m ) = H và trong đó m = m (T, H ) = M ì ầ
moomen từ hóa trong quá trình cân bằng và lấy đạo hàm ta được kết quả
dGgys = —S d T - ị i o V M A H .
(1.3.5)
Năng lượng phụ thuộc vào tham số trậ t tự m =1 711 I . Khi đó có thế I11 Ở rộng F
F (T, m) = Ftì (T ) + a 2 (T) m 2 H— ữ 4 (T) m 4 + ....
(1.3.6)
Gỉa sử
a 2 {T)
T < T ,c
Mối quan hệ được xác định bằng hàm mũ giới hạn Ị3, nó mô tả tham số trậ t tự ọ giống
như hàm biểu diễn sự phụ thuộc của tham số trậ t tự vào nhiệt độ của điểm tới hạn
Tc
(1.3.10)
F (T, M o) = F0 (T ) - ^ { T c - T ) 2 ;T < Tc
r SUBSUBSECTION 1.3
giả thiết rằng tại nhiệt độ chuyến pha, r thay đối dấu, vì vậy
(1.3.12)
r = a (T -T c)
Cực tiểu năng lượng tự do xuất hiện khỉ
(T > Ta)
(1.3.13)
(■T < Tc)
vì vậy khi T < Tc, có hai cực tiểu của hàm năng lượng tự do. Lưu ý rằng
12
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
• Nếu chúng ta làm lạnh hệ trong một trường ngoài nhỏ, dấu của tham số trậ t tự cho
biết dấu của trường :
(1.3.14)
Nhánh cắt này dọc theo trục nhiệt độ của giản đồ pha, là một ví dụ về điều kiện biên
chuyển pha loại một. Điểm T — Tc , h — 0 ở đây nằm ở cuối đường cắt nhánh gọi là
” điểm tới h ạ n ” .
Nếu u < 0 năng lượng tự do trở nên không bị giới hạn bên dưới. Đế xử lí vấn đề này,
năng lượng tự do Landau phải đưực khai triển theo ĩị) tới bậc sáu:
dmiz[mi, { m i+1 — n i ị ) / a , ...].
ỉ=\
ước tính của z bằng cách áp dụng một điểm cực tiểu hoặc gần đúng trường trung bình
cho các thành phần phiếm hàm:
13
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
Với
m i n m [/3H[m,h]]
là cực tiểu m ật độ năng lượng tự do Landau.
2+, um 4—_hm.
7
tft( m ,1 h)J = ---v = —
2m
Trong vùng lân cận điểm tới hạn m là nhỏ và ta xác định được giá trị của m bằng cách
chỉ việc giữ lại năng lượng thấp nhất của sự khai triển của /(m ,/z ) phụ thuộc nhạy cảm
vào dấu của t.
1, Đ ối với t > 0, cực tiể u x ả y r a k h i m — h .t , m —)• o kh i h —»■ 0 b á o h iệ u đ â y là h à n h
vi thuận từ.
2, Đối với t < 0, hàm f ( m , h ) bây giờ suy biến cực tiểu tại một giá trị khác 0 nào đó
của m. Do đó, m ột giá trị cực tiểu của hàm Hanilton Ginzburg - Landau cho thấy hành
vi thuận từ ứng với t > 0 và hành vi sắt từ ứng với t < 0, chúng ta có thế xác định được
m = \ --------{ V —í / ,
t> 0
t < 0
Nhiệt năng: cho h = 0 , m ật độ năng lượng tự do được xác định bởi:
ị
f ( m , h = 0)X =
,
|/t=0= í°’
*
ự 2/ 1 6 u ,
1> 0
t
Xi
dh
dh
|/i=0, Xi
dm
t + 12uĩh2 |,1=0
í
í
[-2Í,
t > 0
t < 0
Phương trình State:
15
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
m = (h / A u ) l/'Ầ
~ h 1/s.
Lý thuyết trường trung bình của Lanđau chỉ thích ứng với cấu hình năng lượng tối
thiểu.
r SUBSECTION 1.4.2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
n = 3nam châm đẳng hướng.
Cả
3trường hựp trên đều diễn ra trong không
gian một chiều (d = 1) và hai chiều
( R nm .
ßH[ 111] =
Tịnh tiến và đối xứng quay trong x: cuối cùng dẫn đến một hàm Hamilton:
Tổng quan về hiện tượng chuyển pha.
Phương trình (1.4.2) được biểu diễn như trên là hàm Hamilton Ginzburg - Landau.
17
CHƯƠNG 2
Lý thuyết chuyển pha bậc hai Ginzburg - Landau
I - SECTION 2.1
pha xảy ra ngay cả trong nhiều cấu trúc không gian, và có một bằng chứng rất tốt đó là
chúng ta đang sống trong một vũ trụ phá vỡ đối xứng, đã trải qua một hoặc nhiều hơn
sự chuyển pha mà nó phá vỡ sự suy biến giữa các lực cơ bản, và gần đây nhất là vụ 110
Big Bang.
Lý thuyết Landau kết hợp mỗi sự chuyển pha với sự phát triển của một ” tham số trậ t
tự ” ĩp ngay khi nhiệt độ sụt xuống dưới n h iệ t độ chuyển pha TC'-
(T > Tc)
0
y I ^0 l> 0
(T < Tc)
Tham số trậ t tự có thế là một số thực, một số phức, một vector hay một spinor, nói
chung. I1 Ó là một vector thực n thành phần ĩịì (x) = (ï/>i, ^ 21
V'rt)-
Sự đẹp đẽ của lí thuyết Landau là ở chỗ sự biểu diễn vi mô chính xác cho tham số trật
tự không đòi hỏi phát triển một lí thuyết về các hệ quả vĩ mô của phá vỡ đối xứng. Lý
thuyết Ginzburg-Landau về siêu dẫn đã có trước lí thuyết vi mô 7 năm. Lí thuyết Landau
cung cấp một sự mô tả thô các tính chất của vật chất. Nhìn chung, sự mô tả tham số
trậ t tự là tốt ỏ' các phạm vi dài lớn hơn độ dài kết hợp ”£()”• Với các phạm vi dài lớn hơn
độ dài kết hợp, các cấu trúc bên trong của tham số tr ậ t tự là không thích đáng và cư
xử như một hàm biến đổi trơn mà Ĩ1 Ó đã quên nguồn gốc vi Ĩ11 Ô của nó. Tuy nhiên vật lí
ở các phạm vi nhỏ hơn độ (lài kết hợp cần một sự
II1Ô
F g l
M =
I
d dx f G L
[ỳ (s) ,
(z) , h (x)] ,
(2 .2 . 1 )
ĨGL
h\ = ị (V ^ ) 2 +
+ hiỊỉ.
Có hai điểm được tạo ra ở đây
• Lí thuyết Ginzburg Landau chỉ có hiệu lực ở gần điểm tới hạn, nơi tham số trậ t tự
là đủ nhỏ để cho phép một khai triển bậc chính
• Sự phân tích thứ nguyên cho thấy rang [,s] / [r] = L 2 có thứ nguyên bình phương độ
dài. Tỉ lệ độ dài mới được đưa vào bởi số hạng gradient gọi là “ độ dài tương quan
” ( c o r r e la tio n le n g th )
ỉ ( T ) = '/77
m
Các nghiệm không đồng đều của lý thuyết Ginzburg Landau
Có hai loại nghiệm không (tồng đều ta sẽ xem xét:
1. Hưởng ứng tuyến tính, nhưng không cục bộ với m ột trường ngoài nhỏ.
2. Các nghiệm ”sóng đơn” hoặc vách miền, trong đó tham số trậ t tự đổi dấu, đi qua
cực đại theo năng lượng tự do tại ĩjj — 0. Đe nhận được phương trình chi phối các
nghiệm không đồng đều, ta viết
SF,G L
(x)
>2,1. / \ . ỡ f L [lp}
- , s V > (.t ) +
dĩị> (X) .
(2.2.4)
20
Copyright: Tài liệu đại học ©