1 -

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN
Đề tài

“Phân loại phương pháp giải những bài
toán về cấu tạo khái niệm phân số”

Giáo viên thực hiện
Nguyễn Thị Mai Phương


2 -

Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn sự động viên, khuyến khích và giúp đỡ của các
thầy, các cô giáo trong Khoa giáo dục Tiểu học, trường bồi dưỡng cán bộ Hà Nội
đối với tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu đề tài.
Tôi xin trình bày lòng biết ơn Ban giám hiệu trường và tập thể trường Tiểu
học Nghĩa Đô , quận Cầu Giấy , thành phố Hà Nội và gia đình đã khích lệ, tạo điều
kiện trong quá trình học tập, nghiên cứu, điều tra, thử nghiệm và hoàn thành khoá
luận này.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về lòng nhiệt tâm
về phương pháp luận nghiên cứu khoa học của thầy giáo hướng dẫn TS Mai
Quang Tâm trong quá trình hướng dẫn tôi hoàn thành và hoàn chỉnh khoá luận.
Dù đã rất cố gắng, luận văn này vẫn còn nhiều thiếu sót, kính mong nhận
được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các đồng nghiệp gần xa.


3 -

giải
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
3.1 Khách thể : Những bài toán có cấu tạo phân số
3.2 Đối tượng : Các bài toán tạo phân số cho học sinh giỏi 4&5
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu:
+ Phương pháp điều tra
+ Phương pháp phân tích tổng hợp.
+ Phương pháp đàm thoại
+ Phương pháp thực nghiệm.
6. Phạm vi giới hạn nghiên cứu:
+ Khai thác nội dung kiến thức về khái niệm, cấu tạo, tính chất phân số trong
sách giáo khoa lớp 4,5.
+ Tìm phân dạng những bài toán liên quan đến khái niệm, cấu tạo phân số.
+ Nhắc lại bổ sung những kiến thức cần cho việc giải những bài toán nói trên.


4 -

+ Tìm phân tích, áp dụng những phương pháp thủ thuật cụ thể giúp học sinh
giải hay những bài toán nói trên.
+ Điều tra vấn đáp giáo viên tìm hiểu phương pháp và nội dung dạy.
+ Khảo sát học sinh đánh giá chất lượng.

Nội dung
Chương 1: Cơ sở lí luận của đề tài
Khái niệm và cấu tạo phân số đựơc hình thành ở lớp 4, khắc sâu mở rộng ở
lớp 5. Học phân số các em được tiếp cận với một kiểu số mới cho phép ghi thương
đúng một phép chia hai số tự nhiên. Phân số ghi một giá trị được so sánh với một
đơn vị nào đó.Vậy nên hiểu sâu, nắm chắc phân số các em có thể xử lý được các

b
4

a
a
là thương đúng của phép chia a cho b (a: b = ).Vậy có thể
b
b

coi dấu “ –’’ là dấu chỉ phép chia.
+ Một phân số có tử số lớn hơn mẫu số thường hay được viết dưới dạng hỗn
số.
Ví dụ:

7
1
= 2 đọc “hai và một phần ba”
3
3

- Các phân số có mẫu số là 10,100,1000, ... được gọi là các phân số thập phân
2.2.Các tính chất về phân số:
- Khi ta nhân hay chia cả tử số và mẫu số của phân số với cùng một số tự
nhiên khác không thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho.
Ví dụ:

3 3x2 6
=
=
7 2 x2 4

thừa số phụ


6 -

+ Bước 3: Lần lượt nhân cả tử số và mẫu cho từng phân số với thừa số
phụ tương ứng
- Cách tìm mẫu số chung:
+ Cách 1: Nhân tất cả các mẫu số lại với nhau.
2.4. So sánh phân số:
2.4.1. Quy tắc 1:
- Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn một.
- Phân số có tử số bằng mẫu số thì bằng một.
- Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì bé hơn một.
2.4.2. Quy tắc 2:
- Trong hai phân số có cùng mẫu số phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn
- Trong hai phân số có cùng mẫu số phân số nào có mẵu số lớn hơn thì nhỏ
hơn.
2.4.3. Cách so sánh hai phân số:
- Quy đồng mẫu số rồi so sánh theo quy tắc 2.
2.5. Các kiến thức bổ sung:
2.5.1. Cách tìm mẫu số chung:
- Cách 2: Nếu mẫu số lớn nhất chia hết cho các mẫu số khác thì lấy luôn
mẫu số ấy làm mẫu số chung.
- Cách 2: Đem mẫu số lớn nhất lần lượt nhân với 2,3,4... cho đến khi được
số chia hết cho tất cả các mẫu số còn lại thì lấy đó làm mẫu số chung.
2.5.2. Các cách so sánh phân số không qui đồng:
- Phân số a, b, c có a > b và b > c thì a > c ( *T.T1).
- Các phân số a và b là những phân số nhỏ hơn 1.
a +x=1

đó giữ nguyên mẫu số thì giá trị phân số đó giảm đi một đơn vị.
- Khi thêm vào tử số của một phân số bằng tử số của phân số đó, giữ nguyên
mẫu số thì giá trị của phân số đó tăng lên 2 lần.

Chương 3:

Các bài toán về cấu tạo khái niệm và so
sánh phân số

Dạng 1: Các bài toán khắc sâu về khái niệm sử dụng các tính chất của
phân số.
Bài 1: Viết số tự nhiên 6 thành các phân số có mẫu số lần lượt là:
5;11;12;100.
66 72 600
6
6 x5
30
,
,
tương tự có :
=
=
11 12 100
1
1x5
5
x 12 28
4
Bài 2: Tìm số tự nhiên x biết: = ; =
5 25 x 21

Bài 3: Có 7 cái bánh chia đều cho 12 người. Hỏi phải cắt thế nào để mỗi cái
bánh không cắt quá 5 phần.
Giải: Lấy 3 cái bánh cắt mỗi cái thành 4 phần bằng nhau. Lấy 4 cái bánh cắt
mỗi cái thành 3 phần bằng nhau. Mỗi ngươi lấy

1
1
cái bánh và cái bánh.
3
4

Dạng 2: Các bài toán về cấu tạo phân số.
Bài 4: Cho phân số

17
. Hỏi phải bớt ở tử số bao nhiêu đơn vị và thêm vào
28

mẫu số bấy nhiêu đơn vị thì được phân số mới giảm ước phân số mới ta được phân
số

1
2

Giải:
Tổng của tử số và mẫu số của phân số mới khi chưa rút gọn là: 17 + 28 = 45
Tổng của tử số và mẫu số khi giản ước là: 1 + 2 = 3
Phân số khi chưa giản ước :

1 x 15


Giải:
Hiệu giữa mẫu số và tử số là: 83 - 23 = 60 cùng thêm, cùng bớt ở cả tử số và
mẫu số nên hiệu phân số mới chưa giản ước là: 60.
Hiệu giữa tử số và mẫu số khi giản ước là: 4 – 1 = 3
Số lần giản ước là : 60 : 3 = 20 lần.
Vậy phân số mới chưa giản ước là:

1x 20 20
=
4 x 20 80

Số cần tìm là: 23 - 20 = 3
Đáp số 3.
a
Bài 6: Cho phân số giá trị của phân số này thay đổi như thế nào nếu:
b


9 -

a+b
).
b
a+a
).
b. Thêm vào tử số a một số chính bằng tử số a (
b
a
c. Trường hợp là một phân số lớn hơn 1, bớt ở tử số a một số đúng bằng b

b
b
a
Vậy phân số tăng lên 2 lần
b
a
a b a−b a
c. > 1 hay a > b. Vậy theo đầu bài ta có: − =
= −1
b
b b
b
b
a
Vậy phân số giảm đi 1 đơn vị.
b

Bài 7: Viết 3 phân số khác nhau cho mỗi trường hợp sau:
a. Nhỏ hơn đơn vị
b. Lớn hơn đơn vị
c. Bằng đơn vị
Giải:
a.

3 5 99
;
4 3 11

1 11 3
;

26
=
=2
50 100
100
303 1425
425
=
=1
250 1000
1000

9 225
25
=
=2
;
4 100
100
131 524 1048
48
=
=
=1
125 500 1000
1000


10 -


b)

10
13
và
3
4

Giải:
a.

37 37 x101 3737
3737 3737 : 101 37
=
=
hoặc
=
=
41 41x101 4141
4141 4141 : 101 41

2 1000 x 2 2000 2000
=
=
>
5 1000 x5 5000 10000
13
27
và
( TT.2) Nhận xét có: 27-13 = 41-27 = 14

Vậy . > (T.T2)
12 13
9
7
9 9
và Có > (QT2)
d.
5
6
5 6
9 7
> (QT2)
6 6
9 7
Vậy > (T.T2)
5 6
17
9
17
2 9
1
e. và Có
=3 ; =2
5
4
5
5 4
4
2
1

12

và

27
;
47


11 1
1
10 13
3 > 3 . Vậy
>
3
4
3
4

Bài 10: Tìm phân số ở giữa hai phân số sau:
1
1
1 6
và có =
2
3
2 12
1 4
=
3 12

Đó là 6 phương pháp thường được sử dụng để dạy cấu tạo, khái niệm, so sánh
phân số cũng như dạy những bài toán dạng đó. Hiện nay các phương tiện phục vụ
cho việc dạy học toán phân số còn nhiều hạn chế. Do vậy việc giáo viên chọn phương pháp nào cho phù hợp với nội dung bài, với điều kiện thực tế, với trình độ học
sinh là vô cùng quan trọng.
Theo tôi hiện nay ở một góc độ nào đó phương pháp trực quan đã phát huy ưu
điểm của nó trong dạy học toán cũng như trong dạy học phân số. Khi học sinh đã
có kiến thức biến tượng toán học mới ta cần sử dụng phương pháp luyện tập để
khắc sâu kiến thức rèn kĩ năng. Phương pháp tổng hợp - phân tích giúp học sinh
tìm kế hoạch giải một bài toán. Phương pháp gợi mở vấn đáp, gieo vấn đề đưa học
sinh đứng trước một bài toán cần tìm hướng giải quyết (một bài tập cần tìm đáp
số). Các em sẽ phân tích tổng hợp từ các dấu hiệu quen thuộc tổng hợp lại để được
kết quả. Những lí luận trên cần được thực tế hoá đưa đến học sinh qua những bài
tập để làm được điều có cần có sự lựa chọn phương pháp nội dung phù hợp với học
sinh, với điều kiện giảng dạy hiện nay. Từng bước nâng cao chất
lượng đại trà
và bồi dưỡng những học sinh có khả năng, tố chất. (Bồi dưỡng học sinh giỏi)


12 -

4.2. Một số phương pháp cụ thể, những thủ thuật nhận dạng để giải các bài
toán về cấu tạo, so sánh phân số.
4.2.1. Các bài toán về cấu tạo phân số đa về dạng toán điển hình.
- Một số bài toán về cấu tạo phân số mà khi giải bài toán đó thực chất là giải
các bài toán.
- Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số.
- Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số.
- Trước khi thực hiện giải bài toán đến người giải toán cần phân tích, thực
hiện các bước trung gian để chuyển bài toán có “hình thức phân số” sáng cốt lõi
toán học là giải bài toán điển hình.

17
đi bao nhiêu đơn vị và thêm vào mẫu của nó
3

đi bấy nhiêu đơn vị thì tổng tử số và mẫu số của chúng không thay đổi luôn là: 17
+ 3 = 20.
Vậy theo bài ra ta có sơ đồ sau:
20
Tử số mới:
Mẫu số mới:
Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 3 = 4 (phần)
Tử số mới là: 20 : 4 = 5
Mẫu số mới là: (20 : 4) × 3 = 15
Phân số mới

5 1
=
15 3

Vậy số cần tìm là: 17 – 5 = 12
Đáp số 12:
Ví dụ 2:


13 23
. Hỏi phải bớt ở tử số và mẫu số đi bao nhiêu đơn vị để đợc
21
5
một phân số mới có giá trị bằng .
3

3

Tử số mới:
Hiệu số mới:
1
Hiệu số phần bằng nhau: 5 – 3 = 2 (phần) 2
Mẫu số mới: (12: 2) × 3 = 18
Phân số mới:

30 5
=
18 3

Vậy số cần tìm: 33 – 30 = 3
* Ngoài ra các bài toán dạng này còn có thể có cách giải khác; sử dụng bài
toán tỉ lệ thuận (bài toán 4, bài toán 5- trang 9, 10).
4.2. Một số thủ thuật nhận dạng, các phân số để giải các bài toán về so
sánh cácphân số.
Các bài toán về so sánh phân số có rất nhiều dạng và dù ở dạng nào thì bằng
cách quy đồng mẫu số các phân số ta luôn so sánh được giá trị các phân số. Song
trong phạm vi bài viết này tôi xin đề cập một vài thủ thuật nhận dạng từ đó đưa ra
phương pháp áp dụng giải bài toán so sánh phân số nhanh nhất và không quy đồng
mẫu số. (Yêu cầu dành cho học sinh giỏi). Giải những bài toán dạng này ngoài việc
rèn cho học sinh kĩ năng mà còn bồi dưỡng tư duy, sáng tạo toán học, năng lực,
nhân cách mỗi học sinh, giúp các em học tập các lớp trên tốt hơn.
4.2.1 Những bài toán so sánh phân số qua đại lượng trung gian:
Ví dụ:
Không gian hãy so sánh các cặp phân số sau:
a)


17
16

Giải:
a. (1)

1999
2002
và
2000
2001
1999
Nhận xét:
có 1999 < 2000
2000
2002
có 2002 > 2004
2001

Theo quy tắc ta chọn 1 làm yếu tố trung gian để so sánh.
1999
2002
< 1


2000 1999


a
do:


11
và
17
25
11 16
Có
+
=1
17 17
19
6
+
=1
25
25

Do:

6
6
(QT2)
>
17
25
19
11
Nên:


399 110

Do:

d) Giải tương tự (3)
* Các cặp phân số có dấu hiệu như thế nào thì áp dụng cách so sánh thông qua
phần bù hay phần phụ?
- Nếu cả hai phân số đều nhỏ hơn 1 ( hoặc đều lớn hơn 1) và hiệu quả mẫu số
và tử số (hoặc hiệu quả giữa tử số và mẫu số) cảu hai phân số ấy đều bằng nhau thì


16 -

sử dụng cách so sánh phần bù đối với cặp phân số nhỏ hơn 1, sử dụng cách so sánh
phần phụ đối với cặp phân số lớn hơn 1.
* Nguyên tắc tổng quát để ra đề đối với những phân số dạng trên:
- Chọn một phân số

a
tối giản.
b

- Tìm hiệu a – b; b – a giả sử hiệu là e.
Ta có: Cặp 2 phân số

a
c
và cần so sánh không quy đồng bằng cách so sánh
b
d

…
5
6
1
1
…4
3
2
2
3
3 … 3
5
6
2
1
3 … 3
5
2
2
1
3 … 3
5
2

* Những cặp phân số dạng này khi đưa về hỗn số trường hợp các phần
nguyên bằng nhau lúc này việc so sánh phần phân số lại đưa về các dạng đã để cập
ở trên.
4.2.4.. Những bài toán so sánh phân số bằng cách rút gọn những phân số đặc
biệt.
Ví dụ: So sánh những phân số sau:

Ví dụ 8: Có 11 cái bánh cần chia đều cho 30 người. Hỏi phải cắt thế nào để
mỗi cái bánh không cắt quá 6 lần.
Giải Lấy 5 cái bánh, mỗi cái cắt thành 6 phần bằng nhau. 6 cái bánh còn lại
mỗi cái cắt thành 5 phần bằng nhau. Chia mỗi ngời

1
1
và cái bánh.
5
6

4.4. Sử dụng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng kết hợp với tính
ngược từ cuối trong giải các bài toán về phân số:
* Những bài toán đa ra một số lượng của một yếu tố thực tế (quả cam, quả
táo, hòn bi, số ngời, …). Sau một số lần chia còn lại một số lượng nhất định, yêu
cầu tính số lượng ban đầu.
Từ số lượng còn lại người giải toán dựa vào điều kiện của bài toán lần lượt
đi từ cuối để tìm ra số lượng ban đầu. (bước làm này là tính ngược từ cuối). Để dễ
diễn giải và minh hoạ cho học sinh giáo viên thường dùng sơ đồ đoạn thẳng để
minh hoạ.
Ví dụ 9: (bài 5 trang 18 “Vui học toán 5”)
Bà nội có một số cam
Chia đều làm bốn, tặng Lan một phần
Số cam còn lại đem phân
Ra đều ba phần, lấy một cho Tâm
Số cam còn lại tặng Lâm
Lâm chia đôi để biếu Ông một phần
Bổ ra một quả Lâm ăn
Còn thừa hai quả dành phần cho Nhung
Đố các bạn nhỏ tính cùng

1

2


18 -

Lâm
1
số cam còn lại của Lâm: Lâm ăn 1 phần phần Nhung 2.
4

Tổng cộng: 1 + 2 = 3 (quả)
Vậy số cam của Bà là 3 × 4 = 12 (quả)
Đáp số: 12 quả
Ví dụ 10: Một phụ huynh học sinh hỏi thầy giáo “trong lớp thầy có bao
nhiêu học sinh?”. Thầy cười trả lời: Nếu có thêm một số trẻ em bằng số hiện có và
thêm một nửa số đố rồi lại thêm

1
số đó rồi thêm cả con quí vị nữa thì vừa đúng
4

100. Em tính giúp vị phụ huynh học sinh?
- Phân tích: Nếu trừ con của phụ huynh thì theo lời thầy giáo ta có
100 -1 = 99 (em). Vậy theo đầu bài ta có sơ đồ sau:? em
Số học sinh của lớp:
Thêm số học sinh hiện có:
1
số học sinh:

những bài toán được tiến hành như vậy là đã sử dụng phương pháp tính ngược từ
cuối trên cơ sở phương pháp cơ bản là phân tích tổng hợp.
4.5. ứng dụng thủ thuật “Gán sai chỉnh đúng” (thủ thuật giải toán – Phạm
Đình Thực) vào giải những bài toán về phân số:


19 -

* Muốn tìm một giá trị chưa biết ta gán cho nó một giá trị cụ thể nào đó trên
cơ sở của đề toán. Sau đó tính toán ra một giá trị sai khác theo điều kiện của bài
toán, rồi tìm cách chỉnh cho đúng với điều kiện bài toán giá trị chỉnh được đó là
đáp số của bài toán.
* Đối với những bài toán về phân số áp dụng phương pháp tính ngược từ cuối
(mục 4) đều có thể áp dụng thủ thuật này:
- Chẳng hạn ở ví dụ 10
+ Theo bài ra: Tổng số học sinh hiện có và thêm bằng số học sinh có và
số học sinh và

1
2

1
số học sinh thì bằng 100 -1 = 99 (em)
4

+ ở đây ta cần tìm số học sinh của lớp. Vậy ta gán cho nó một giá trị tuỳ ý.
Để dễ tính toán ta chọn số chia hết cho 4. Ví dụ 12:
1
số học sinh là: 12 : 2 = 6 (em)
2

Thực tế phụ nữ còn lại là 6 người gấp 2 lần ở 3 người.


20 -

Vậy số môn đồ của Pi - ta - go là: 28 × 2 = 56 (người)
Đáp số 56 người

Kết quả
Sau khi nghiên cứu thu thập số liệu tôi tiến hành thực nghiệm với số học
sinh lớp 5A và nhóm học sinh bồi dưỡng.
- Cách thức tiến hành:
* Sau khi học sinh đã được học xong về cấu tạo và khái niệm phân số để
khắc sâu về các kiến thức này bằng cách cho học sinh làm các bài tập dạng 1, dạng
2. ở từng dạng toán tiếp theo các em được nhận dạng, được định vị phương pháp.
Các dạng toán tiếp theo được giới thiệu tiếp trong các tiết bồi dưỡng và tăng buổi.
- Với cách thức tiến hành như trên kết quả thu được ở học sinh rất khả quan:
+ Học sinh nắm chắc về khái niệm, cấu tạo phân số.
+ Biết phân loại, nhận dạng, và sử dụng phương pháp vào giải một bài toán
liên quan đến cấu tạo, khái niệm phân số.
+ Nắm chắc các bước tiến hành từng phương pháp được giới thiệu, có thủ
thuật giải toán phù hợp.
+ Có kĩ năng phân tích tìm bản chất toán học trong một bài toán.
+ Bồi dưỡng cho học sinh có tư duy lôgíc có khả năng (phân tích, tổng hợp,
lập luận có căn cứ) để học toán.
+ Khi giải được những bài toán các em đã có được khả năng lập luận, ứng
dụng xử lí những vấn đề trong cuộc sống.
- Với kết quả bước đầu này đã khẳng định thành công bước đầu cho bài viết
của tôi tuy chưa cao, xong nó mở ra một hướng cho học sinh giải giai đoạn tiếp.
- Với những đánh giá nhận định trên đã được khẳng định, minh chứng qua bài

Bài toán 4: Có 9 quả cam chia đều cho 20 người. Hỏi phải chia như thế nào
để mỗi quả cam không bị cắt quá 5 phần. (1 điểm)


21 -

Bài toán 5: Cho phân số

14
.Hãy tìm một số nào đó để khi cùng thêm số đó
26

vào tử và mẫu số của phân số đã cho thì được một phân số mới có giá trị bằng
phân số

6
(2,5 điểm).
9

Bài toán 6: Phát biểu lời bài toán theo số liệu sau:
15
nếu
17

15 − 7 1
= (0,5 điểm)
17 + 7 3

A.Câu hỏi trắc nghiệm:
Câu 1: Đánh dấu x vào ô trống trước ý em cho là đúng.

sau:
G
K
TB
Đạt
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Trắc nghiệm 36
13
36,1 16
44,4 7
3,9
36
100
Khảo sát
36
17
47,2 16
44,4 3
19,5 36
100
Nhìn vào bảng thống kê kết quả trách nhiệm và khảo sát cho thấy: Hiệu quả của
phương pháp áp dụng sáng kiến là rất khả quan, có thể bạn đọc cho rằng số liệu là khá
giỏi còn ít. Song nhìn lại đề khảo sát và mức độ thời gian triển khai sáng kiến thì kết

Người viết
Nguyễn Thị Mai Phương


23 -

Mục lục

Lời cảm ơn
Đặt vấn đề
1.Cơ sơ lí luận:
2.Cơ sơ thực tiễn:
Nội dung
Chương 1:Phương pháp và phạm vi nghiên cứu
1.1.Phạm vi nghiên cứu:
1.2.Phương pháp nghiên cứu
Chương 2:Nội dung kiến thức về khái niệm cấu tạo phân số ở tiểu học
2. 1.Phân số
Các tính chất về phân số
2.3. ứng dụng các tính chất có bản của phân số:
2. 3.1. Rút gọn phân số:
2.3.2.Quy đồng mẫu số:
2.4.So sánh phân số :
2.4.1.Quy tắc 1 :
2.4.2.Quy tắc 2:4
2.4.3.Cách so sánh hai phân số
2.5.Các kiến thức bổ sung:
2.5.1. Cách tìm mẫu số chung
2.5.2.Cách so sánh phân số không quy đồng
2.5.3.Các kiến thức dùng cho giải các bài toán vế cấu tạo phân số