BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Bài 1:
Có 30 đề thi trong đó có 10 đề khó, 20 đề trung bình. Tìm xác suất để:
a) Một Học sinh bắt một đề gặp được đề trung bình.
b) Một Học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề trung bình.
Giải
a) Gọi A là biến cố Học sinh bắt được đề trung bình:
C120 20 2
P(A) = 1 =
=
C30 30 3
b) Gọi B là biến cố học sinh bắt được 1 đề trung bình và một đề khó
Gọi C là biến cố học sinh bắt được 2 đề trung bình.
Gọi D là biến cố học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề trung bình.
C120 .C110 + C220 200 + 190
=
= 0,896
Khi đó: P(D) =
2
C30
435
Bài 2:
Có hai lớp 10A và 10 B mỗi lớp có 45 học sinh, số học sinh giỏi văn và số học sinh
giỏi toán được cho trong bảng sau. Có một đoàn thanh tra. Hiệu trưởng nên mời vào lớp
nào để khả năng gặp được một em giỏi ít nhất một môn là cao nhất?
Giỏi
Văn
Toán
Văn và Toán

Lớp

Bài 3:
Lớp có 100 Sinh viên, trong đó có 50 SV giỏi Anh Văn, 45 SV giỏi Pháp Văn, 10
SV giỏi cả hai ngoại ngữ. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Tính xác suất:
a) Sinh viên này giỏi ít nhất một ngoại ngữ.
b) Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết.
1


c) Sinh viên này chỉ giỏi đúng một ngoại ngữ.
d) Sinh viên này chỉ giỏi duy nhất môn Anh Văn.
Giải
a) Gọi A là biến cố Sinh viên giỏi Anh Văn.
Gọi B là biến cố Sinh viên giỏi Pháp Văn.
Gọi C là biến cố Sinh viên giỏi ít nhất một ngoại ngữ.
50
45 10
P(C) = P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) =
+
−
= 0,85
100 100 100
b) Gọi D là biến cố Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết.

P(D) = 1 − P(C) = 1 − 0,85 = 0,15

c) P(AB + AB) = P(A) + P(B) − 2P(AB) =
d) P(AB) = P(A) − P(AB) =

50
45

12 11 10 55

1
219
=
220 220

d) P(F) = P ( A1 .A 2 .A 3 ) = P ( A1 ) P ( A 2 /A1 ) P ( A 3 / A1A 2 ) =

9 3 8
9
. . =
12 11 10 55

Bài 5:
Một sọt Cam có 10 trái trong đó có 4 trái hư. Lấy ngẫu nhiên ra ba trái.
a) Tính xác suất lấy được 3 trái hư.
b) Tính xác suất lấy được 1 trái hư.
c) Tính xác suất lấy được ít nhất một trái hư.
d) Tính xác suất lấy được nhiều nhất 2 trái hư.
Giải
Gọi X là số trái hư trong ba trái lấy ra. X : H ( 10,4,3)

2


a) P(X = 3) =

C34
4

5

1
1 1
a) P(X = 0) = C  ÷  ÷ =
1024
2 2
0
10

63
1 1
= 0,25
b) P(X = 5) = C  ÷  ÷ =
2
2
256
   
5
10

5

5

6

4

7

 1015 − 1012 
P(X > 1015) = 0,07 = 0,5 − φ 
÷
σ


3
3
⇒ φ  ÷ = 0,43 ≈ 0,4306 ⇒ = 1,48 ( tra bảng F)
σ
σ
⇒σ=

3
= 2,0325
1,48

 1008 − 1012 
Vậy P(X < 1008) = 0,5 + φ 
÷ = 0,5 − φ ( 1,97 ) =
 2,0325 
= 0,5 − 0,4756 = 0,0244 = 2,44%
Do đó trong 1000 gói đường sẽ có khoảng 1000x0,0244 = 24,4 gói đường có trọng lượng
ít hơn 1008 g.
Bài 8: Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án năm 2000 được coi như là một đại lượng ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn. Theo đánh giá của ủy ban đầu tư thì lãi suất cao hơn 20% có
xác suất 0,1587, và lãi suất cao hơn 25% có xác suất là 0,0228. Vậy khả năng đầu tư mà
không bị thua lỗ là bao nhiêu?
Giải
Gọi X là lãi suất đầu tư vào dự án.

  σ ÷
 σ

 0 − 15 
Để có lãi thì: P(X > 0) = 0,5 − φ 
÷ = 0,5 + φ ( 3 ) = 0,5 + 0,4987 = 0,9987
 5 
Bài 9: Nhà máy sản xuất 100.000 sản phẩm trong đó có 30.000 sản phẩm loại 2, còn lại là
sản phẩm loại 1. KCS đến kiểm tra và lấy ra 500 sản phẩm để thử.
Trong 2 trường hợp chọn lặp và chọn không lặp. Hãy tính xác suất để số sản phẩm loại 2
mà KCS phát hiện ra:
a) Từ 145 đến 155

b) Ít hơn 151
Giải

Trường hợp chọn lặp:
Gọi X là số sản phẩm loại 2 có trong 500 sản phẩm đem kiểm tra.
Ta có: X : B(500;0,3)
Do n = 500 khá lớn, p = 0,3 ( không quá 0 và 1)
Nên ta xấp xỉ theo chuẩn: X : N(150;105)
 155 − 150   145 − 150 
a) P ( 145 ≤ X ≤ 155 ) = φ 
÷− φ 
÷=
105  
105 

= φ ( 4,87 ) + φ ( 4,87 ) = 0,5 + 0,5 = 1
 150 − 150   0 − 150 

1) n = 100, x = 1000, γ = 1 − α = 95%, σ = 100
2φ(t) = 1 − α = 95% = 0,95 ⇔ φ(t) = 0,475 nên t α = 1,96
σ
100
= 1000 − 1,96.
= 980,4
n
100
σ
100
a2 = x + tα
= 1000 + 1,96.
= 1019,6
n
100
a1 = x − t α

Vậy với độ tin cậy là 95% thì tuổi thọ trung bình của bóng đèn mà xí nghiệp sản xuất ở
vào khoảng (980,4 ; 1019,6) giờ.
2) ε = 15,n = 100
tα =

15 100
= 1,5 ⇒ φ ( t α ) = φ ( 1,5 ) = 0,4332 (bảng F)
100

Vậy độ tin cậy γ = 1 − α = 2φ ( t α ) = 0,8664 = 86,64%
3) ε = 25, γ = 95%, σ = 100
6


s
0,5
= 48 − 2,093.
= 47,766
n
20
s
0,5
= 48 − 2,093.
= 48,234
n
20

Vậy với độ tin cậy là 95%, trọng lượng trung bình của một bao bột mì thuộc cửa hàng
(47,766; 48,234) kg
2) ε = 0,26,n = 20
t nα−1 =

0,26 20
= 2,325 ≈ 2,3457
0,5

Tra bảng H ⇒ γ = 97%
Vậy với độ chính xác 0,26 kg thì độ tin cậy là 97%
7


3) ε = 0,16kg, γ = 95% ⇒ t α = 1,96
Do γ = 95% nên t α = 1,96
 ( 1,96 ) 2 .( 0,5 ) 2 

= 0,169

Với độ tin cậy 94%, tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp vào khoảng (0,051; 0,169)
⇒ 5,1% < p < 16,9%
2) ε = 3% = 0,03
tα =

ε n
0,03 100
=
= 0,96
f (1 − f )
0,11( 1 − 0,11)

φ ( 0,96 ) = 0,3315 ⇒ γ = 2φ ( t α ) = 2.0,3315 = 0,663 = 66,3%
Bài 13:
8


Giám đốc một xí nghiệp cho biết lương trung bình của một công nhân thuộc xí
nghiệp là 380 nghìn đồng/ tháng. Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân thấy lương trung bình là
350 nghìn đồng/ tháng, với độ lệch chuẩn σ = 40 nghìn. Lời báo cáo của giám đốc có tin
cậy được không, với mức ý nghĩa là 5%.
Giải
Giả thiết: H0: a = 380; H1 : a ≠ 380
A là tiền lương trung bình thực sự của công nhân.
a0 = 380: là tiền lương trung bình của công nhân theo lời giám đốc.
x = 350,n = 36 > 30, σ = 40, α = 5%
Do α = 5% ⇒ γ = 1 − α = 0,95 ⇒ t α = 1,96
Ta có: t =


x − a0
s

n

=

24 − 25 15
= 1,9364 < t αn −1
2
9


Vậy ta chấp nhận H0
Kết luận: Với mức ý nghĩa là 5%, sức mua của khách hàng hiện nay không giảm sút.
Bài 15:
Theo một nguồn tin thì tỉ lệ hộ dân thích xem dân ca trên tivi là 80%. Thăm dò 36
hộ dân thấy có 25 hộ thích xem dân ca.
Với mức ý nghĩa là 5%, kiểm định xem nguồn tin này có đáng tin cậy không?
Giải
p
≠
0,8
Giả thiết H0: p = 0,8, H1:
p là tỷ lệ hộ dân thực sự thích xem dân ca.
p0 = 0,8 là tỷ lệ hộ dân thích xem dân ca theo nguồn tin.
25
n = 36; f =
= 0,69; α = 5%