LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong
khoa toán, các thầy giáo cô giáo trong trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2
và các bạn sinh viên. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của em tới
thầy giáo Phó giáo sư-Tiến sĩ Nguyễn Năng Tâm, người đã tận tình giúp đỡ
em trong suốt quá trình hoàn thành khoá luận này.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa
thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế, mặc dù đã rất cố gắng
nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong nhận được sự
đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khoá luận của em được hoàn
thiện tốt hơn và có ứng dụng trong thực tế.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nộ, ngày 10 tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Đỗ Thị Ngọc


LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận tốt nghiệp được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn của thầy
giáo PGS-TS Nguyễn Năng Tâm, trong quá trình nghiên cứu tôi có sử dụng
sách tham khảo của một số tác giả, các nhà nghiên cứu (đã nêu trong mục
tài liệu tham khảo).
Tôi xin cam đoan khoá luận là kết quả của bản thân trong quá trình
học tập ở bậc Đại học, kết quả đề tài bảo đảm chính xác, khách quan, trung
thực.
Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Đỗ Thị Ngọc


2.2. Ánh xạ Weingarten .................................................................... 38
KẾT LUẬN.............................................................................................. 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 47


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn học nghiên cứu về các số, cấu trúc không gian và các
phép biến đổi. Nói một cách khác người ta cho rằng đó là môn hoc về
“Hình và Số”. Bên cạnh sự phát triển của “Số” thì “Hình” cũng là một bộ
môn phần lớn hết sức phát triển và đa dạng với nhiều môn học như: hình xạ
ảnh, hình Euclid, hình học vi phân,…Trong đó hình học vi phân là môn có
tính hệ thống cao, chặt chẽ, tính logic và trìu tượng cao. Ở đó các khái
niệm: không gian vectơ Euclid n-chiều, hàm vectơ, đạo hàm của của hàm
vectơ một biến số,…là những khái niệm hết sức cơ bản. Tuy nhiên các vấn
đề này còn được trình bày một cách sơ lược chưa được phân loại và hệ
thống một cách chi tiết. Xuất phát tư mong muốn và niềm đam mê tìm hiểu
sâu sắc hơn về vấn đề này em quyết định chọn đề tài “Giải tích vectơ
trong không gian En và Ứng dụng” làm khoá luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của đề tài này là tìm hiểu và nâng cao kiến thức của
giải tích vectơ n chiều trong không gian E n và ứng dụng của chúng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Kiến thức về hàm vectơ, bán kính hàm vectơ, đạo hàm của hàm vectơ
n
và ứng dụng trong không gian E .

3.2. Phạm vi nghiên cứu

    
ii. a.(b  c)  a.b  a.c
 

iii. ( a).b  .(b.a)



iv. a.a  0 dấu (  ) xảy ra khi và chỉ khi a là 0 .
 2  


v.   .  0 dấu (  ) xảy ra khi và chỉ khi  là 0 .
1.2.

Đ
ịnh nghĩa 2 (xem [1.1], tr.5)

Trong không gian Euclid n-chiều E n là không gian afin liên kết với
 n
không gian Euclid n-chiều E .
  n
Lưu ý rằng: với mọi điểm M E n , mọi x  E ta luôn tìm được duy nhất
 
 

điểm N của E n sao cho MN  x . Nếu MN  x thì viết: N  M  x .
1.3.

Đ

 n
x.y   x i .yi , || x || 
i 1

i 1

n

 xi2

.

i 1

Giả sử M(x1 , x 2 ,..., x n ), N(y1 , y 2 ,..., y n ) ta có:

|| MN || (x1  y1 ) 2  (x 2  y 2 ) 2    (x n  y n ) 2 .
1.4. Định nghĩa 4 (xem [1.1], tr.5)
 n
Cho không gian vectơ Euclid E ,
, ta gọi số  2 là độ dài
 n

(chuẩn/môđun) của vectơ  . Khoảng cách giữa 2 điểm M,N E là giá trị

MN . Ta kí hiệu d(M,N) là khoảng cách giữa 2 điểm M,N.

Khi đó d(M,N)  MN .

3

 n
Cho tập hợp U trong E n cho các hàm vectơ X,Y : U  V  E và
hàm số  : U  R . Ta định nghĩa:
a. Tổng của hai hàm vectơ được xác định bởi
 
 n
 


X  Y : U  E , u  (X  Y)(u)  X(u)  Y(u)
b. Tích của một hàm số với với một hàm vectơ

 n


X : U  E , u  (X)(u)  (u).X(u)
c. Tích vô hướng của hai hàm vectơ
 
 n
 


X.Y : U  E , u  (X.Y)(u)  X(u).Y(u)
d. Chuẩn của hàm vectơ



 n
|| X ||: U  E , u || X ||  u  || X(u) ||


 



i
i
i
(X  Y)(u)   (x (u)  y (u)).ei   x (u).ei   yi (u).ei
i 1

i 1

i 1



 X(u)  Y(u)

b. Ta có:


X  (x1 , x 2 ,..., x n ) suy ra X  (x1 , x 2 ,..., x n )
n
n




i
suy ra (X)(u)   (u).x (u).ei  (u). x i (u).ei  (u).X(u)


n



Y(u)   yi (u).ei suy ra Y(u)  (y1 (u), y 2 (u),..., y n (u))
i 1

Khi đó:


X(u).Y(u)  x1 (u).y1 (u)  x 2 (u).y 2 (u)      x n (u).y n (u) (2)
 


Từ (1) và (2) suy ra: (X.Y)(u)  X(u).Y(u)
 3


d. Với n=3, E có hướng ta có: X  (x1 , x 2 , x 3 ), Y  (y1 , y 2 , y3 )

Ta có:
   x 2
XY
 y2


x3 x3
,
y3 y3

3



Tương tự: Y(u)   yi (u).ei suy ra Y(u)  (y1 (u), y 2 (u), y3 (u))
i 1

Ta có:
 x 2 (u) x 3 (u) x 3 (u) x1 (u) x1 (u) x 2 (u) 



X(u)  Y(u)  
,
,
 y 2 (u) y3 (u) y3 (u) y1 (u) y1 (u) y 2 (u) 


 (x 2 (u).y3 (u)  x 3 (u).y 2 (u), x 3 (u).y1 (u)  x1 (u).y3 (u),
x1 (u).y 2 (u)  x 2 (u).y1 (u))

6

(4)


 


Từ (3) và (4) suy ra (X  Y)(u)  X(u)  Y(u)


n
X : U  E , u  X(u)   x i (u).ei
i 1

 m
 

có các hàm toạ độ là x1,..., x n đối với cơ sở (e1,e 2 ,...,e n ) của E và điểm

u 0  E m là điểm tới hạn của tập hợp U. Hàm vectơ X có giới hạn là

 

 n
e  e1.e1    en .en  E khi và chỉ khi các hàm số x i : U  R có giới hạn
là ei khi u dần tới u 0 với mọi i  1,...,n :

7


 lim x i (u)  ei


lim X(u)  e  uu 0
u u 0
i  1,...,n

Chứng minh
Giả sử :

Ta lại có: || X(u)  e |||| (x1 (u)  e1 ).e1      (x n (u)  e n ).e n ||

|| n i .[(x1 (u)  e1 ).e1     (x n (u)  e n ).e n ] ||

| n i .(x i (u)  ei )ei || x i  ei | .K i

Vậy u  U , d  u 0 ,u    có | x i  ei |  hay lim x i (u)  ei , i=1,2,…,n
u u 0

Ngược lại giả sử lim x i (u)  ei , i=1,2,…,n .
u u 0

Đặt K= max  ei
i 1,...,n



thì ta có:





|| X(u)  e |||| (x1 (u)  e1 ).e1      (x n (u)  e n ).e n ||

| x1 (u)  e1 | .|| e1 ||     | x n (u)  en | .|| e n ||
 K(| x1 (u)  e1 |     | x n (u)  en |)
Với mỗi   0 tuỳ ý cho trước ta cần chỉ ra một số   0 sao cho

8

đẳng thức
1.
2.

 


lim (X  Y)(u)  lim X(u)  lim Y(u)

u u 0

u u 0




lim (g.X)(u)  lim g(u). lim X(u)

u u 0

3.

u u 0

u u 0

 


lim (X.Y)(u)  lim X(u). lim Y(u)

 
Ta có: lim (X  Y)(u)  lim
u u 0

u u 0

 
lim (X  Y)(u)  lim

u u 0

u u 0


(x

y
)(u).e
i  lim



i
i
(x
(u)

y
(u)).e
i

i 1

i 1

n

u u 0



 lim X(u)  lim Y(u)
u u 0

u u 0

9

n



2. Ta có: X  (x1 , x 2 ,..., x n )

Suy ra:

(g.X)  g(x1, x 2 ,..., x n )  (g.x1 ,g.x 2 ,...,g.x n )

(g.X)(u)  ((g.x1 )(u),(g.x 2 )(u),...,(g.x n )(u))



X.Y  x1.y1  x 2 .y 2     x n .y n
 
(X.Y)(u)  (x1.y1 )(u)  (x 2 .y 2 )(u)     (x n .y n )(u)
 x1 (u).y1 (u)  x 2 (u).y 2 (u)      x n (u).y n (u) (1)


Mặt khác: X(u).Y(u)  x1 (u).y1 (u)  x 2 (u).y 2 (u)      x n (u).y n (u) (2)
 


Từ (1) và (2) suy ra: (X.Y)(u)  X(u).Y(u)

Suy ra:
 


lim (X.Y)(u)  lim X(u). lim Y(u)
u u 0

u u 0

u u 0


4. Ta có: X  (x1 , x 2 ,..., x n ) suy ra


|| X || X.X  (x1 ) 2  (x 2 ) 2     (x n ) 2

10

u 0  U nếu có lim X(u)  X(u 0 ) .
u u 0


Hàm vectơ X từ tập hợp U trong E m đến E n gọi là liên tục nếu nó
liên tục tại mọi u  U .
b) Tính chất


 n
Hàm vectơ X từ tập hợp U trong E m đến E có các hàm toạ độ


 n
x1,..., x n trong cơ sở (e1,...,e n ) của E liên tục tại điểm u 0  U khi và chỉ

khi các hàm số x1,..., x n liên tục tại u 0  U . Từ đó X liên tục khi và chỉ
khi x1,..., x n liên tục.
  
Mặt khác nếu X,Y, Z là các hàm vectơ liên tục trên tập hợp U và g là
hàm số liên tục trên U thì cũng có các hàm vectơ sau liên tục trên U:
 

 3
 
X  Y , g.X , (n=3, E có hướng ) X.Y có các hàm số liên tục trên U
  
 3
  
X.Y , || X || (n=3, E có hướng) X,Y, Z .

t  J .

3.2. Tính chất (xem [3.5], tr.13)
a) Tính chất 1

Hàm vectơ X(t) từ khoảng J  R đến E n có các toạ độ x1, x 2 ,..., x n
 

 n
trong cơ sở (e1,e 2 ,...,e n ) của E có đạo hàm tại t  J khi và chỉ khi các

hàm số x1, x 2 ,..., x n có đạo hàm tại t  J . Khi đó:




X '(t)  (x1 )'(t).e1  (x 2 )'(t).e 2     (x n )'(t).e n
Chứng minh
Ta có:


X(t  t)  X(t) x1 (t  t)  x1 (t) 1 x 2 (t  t)  x 2 (t)  2

e 
e    
t
t
t

12




Hay X '(t)  (x1 ) '(t).e1  (x 2 )'(t).e 2      (x n ) '(t).e n
    lim

(ta có điều phải chứng minh).
b) Tính chất 2

Hàm vectơ X(t) trên khoảng J là hàm hằng khi và chỉ khi đạo hàm


X '(t)  0 t  J .

Chứng minh:
 

Nếu hàm vectơ có hàm toạ độ x1, x 2 ,..., x n đối với cơ sở (e1 ,e 2 ,...,e n )

 n
của E thì khi x là hàm hằng kéo theo là hàm hằng và ngược lại. Mặt khác





nếu X có đạo hàm thì : X '(t)  (x1 ) '(t).e1  (x 2 ) '(t).e 2  ...  (x n )'(t).e n


Từ đó X '(t)  0 khi và chỉ khi (x1 ) '(t),(x 2 ) '(t),...,(x n )'(t) bằng 0. Vì

 
(X  Y)'  (X ' Y)  (X  Y ')
 
  
(X.Y) '  X 'Y  XY '

Chứng minh
1) Bằng định nghĩa ta có:
 
 




(X  Y)(t  t)  (X  Y)(t)  X(t  t)  Y(t  t)  X(t)  Y(t)
 
 




 (X  Y)(t  t)  (X  Y)(t)  (X(t  t)  X(t))  (Y(t  t)  Y(t))
Chia cả 2 vế cho t ta có
 
 




(X  Y)(t  t) (X  Y)(t) (X(t  t)  X(t)) (Y(t  t)  Y(t))

 
 
Suy ra: (X  Y) '  X ' Y ' (ta có điều phải chứng minh).
2) Sử dụng tính chất a) ta có:




X '(t)  x1 (t).e1  x 2 (t).e 2  ...  x n (t).e n
 

 n
(e1 ,e 2 ,...,e n ) là cơ sở của E thì:



(X)(t)   (t).x1 (t).e1       (t).x n (t).e n



(X) '(t)  ( (t).x1 (t)) '.e1      ( (t).x n (t)) '.e n

Có: ( (t).x1 (t))'   '(t).x1 (t)   (t).(x1 )'(t) t  1,2,...,n




Nên (X)'(t)   '(t).(x1 (t).e1     x n (t).e n )   (t).((x1 (t))'.e1   

 (x n (t)) '.e n )

y 2 

 (x 2 .y3  x 3 .y 2 , x 3 .y1  x1.y3 , x1.y 2  x 2 .y1 )

suy ra:
 
(X  Y) '  ((x 2 .y3 )' (x 3 .y 2 ) ',(x 3 .y1 )' (x1.y3 ) ', (x1.y 2 ) ' (x 2 .y1 ) ')
 ((x 2 )'.y3  x 2 .(y3 ) ' (x 3 )'.y 2  x 3 .(y 2 )',
(x 3 ) '.y1  x 3 .(y1 ) ' (x1 ) '.y3  x1.(y3 ) ',

(x1 )'.y 2  x1.(y 2 )' (x 2 )'.y1  x 2 .(y1 )') (1)

Mặt khác:
   (x 2 )' (x 3 )' (x 3 ) ' (x1 )' (x1 )' (x 2 )' 

X ' Y  
,
,
3
3
1
1
2 
 y2
y
y
y
y
y


 
 
(X  Y)'  (X ' Y)  (X  Y ') (ta có điều phải chứng minh).
4) Bằng định nghĩa ta có:
 
 






(X.Y)(t  t)  (X.Y)(t)  (X(t  t)  X(t)).Y(t  t)  X(t).(Y(t  t)  Y(t))
Chia cả 2 vế cho t ta có:
 
 



(X.Y)(t  t)  (X.Y)(t) (X(t  t)  X(t)).Y(t  t)

t
t



X(t).(Y(t  t)  Y(t))

t
Chuyển qua giới hạn ta có:

X '(t) tại mọi t  J . Hàm số || X || trên J là hàm hằng khi và chỉ khi X '(t)

vuông góc với X(t) với mọi t  J .



Nếu || X || là hàm hằng trên J thì từ: || X || (t) || X(t) || X(t).X(t) .
 
Ta có X.X là hàm hằng trên J.
 
 2
 
Khi đó: (X.X)'(t)  (X (t))'  2.X(t).X '(t)  0 t  J


Vậy X '(t)  X(t) t  J .




Ngược lại X '(t)  X(t) t  J thì X '(t).X(t)  0 t  J .

16


 2
 
 
Lúc đó (X (t))'  2.X(t).X '(t)  0 t  J nên X.X là hàm hằng trên J hay



trong đó (i, j) là cơ sở trực chuẩn của E , k  N* : e (t)  e(t  k. ).
2
c) Khai triển Taylor

 n

Nếu X : J  E , t  X(t) có đạo hàm đến cấp k tại t  J thì ta có:



t 2 
t k 1  (k 1)
X(t  t)  X(t)  t.X '(t) 
 X ''(t)    
X
(t)
2!
(k  1)!


t k  (k)

 (X (t)  (t, t))
k!


Trong đó: (t, t)  0 khi t  0 .
3.4. Đổi biến số (xem [1.5], tr.8)
 n

ds
ds dt


2
d 2 
d 2 dX
 d   d '  
(X. )  2 
     2 
ds
ds dt
 ds   dt


Chứng minh



Nếu X có các hàm toạ độ x1,..., x n đối với cơ sở (e1,...,e n ) của E n :






X(t)  x1 (t).e1      x n (t).e n thì (X. )(s)  x1 ( )(s).e1      x n ( )(s).e n
Vậy:




18





d 2 (X.) d  d dx
Suy ra:





(s)


ds  ds dt
ds 2




2
d 2 (X.) d 2 dx
 d  d ' 
Suy ra:
 2
      2  (s)
ds 2

c. Nếu: X(t) =  x i (t).e

( là vec tơ hằng)

thì X(t) là nguyên hàm khi và chỉ khi các hàm

i 1

thành phần

n

i
(t) có nguyên hàm và  X(t)dt =  (  x i (t)dt)e
i 1

3.5.2. Tích phân
a. Định nghĩa


I   a,b   J ; a

3.6. Nhận xét (xem [1.6], tr.9)


 n
Đối với vectơ nhiều biến số chẳng hạn hai biến số X :U→ E ,

(u,v)↦ X (u,v) (U mở ⊂ ) ta có thể nói tới các đạo hàm riêng
 



X X 2 X
2 X 2 X
tồn tại và liên tục thì
;
;
;... và cũng có kết quả
;
u v u.v
u.v v.u
chúng bằng nhau.

20


Chương 2. ỨNG DỤNG
Trong chương này ta tìm hiểu về một số ứng dụng của hàm vectơ trong
nghiên cứu đường và mặt trong E n .
§1. Nghiên cứu đường trong En


 n
Chú ý. Giả sử U là tập mở trong E n . Ta có TU  U  E được gọi là tập
các vectơ tiếp xúc của U. Với p  U , ta kí hiệu và gọi nó là không gian
vec tơ tiếp xúc của U tại p.

21