TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
======

NGUYỄN THỊ QUỲNH

MỐI LIÊN HỆ GIỮA NỘI DUNG
DẠY HỌC ÁNH XẠ VỚI NỘI DUNG
DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. DƢƠNG THỊ LUYẾN

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ đại số,
các thầy cô trong khoa Toán, các thầy giáo, cô giáo trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 và
các bạn sinh viên. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô
ThS. Dƣơng Thị Luyến - Giảng viên khoa Toán ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn
em trong suốt quá trình hoàn thiện khóa luận này.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. Hơn nữa do
thời gian có hạn và năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi
những thiếu sót. Em xin kính mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của thầy cô
và các bạn sinh viên để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện hơn và có nhiều ứng
dụng trong thực tế.
Em xin chân thành cảm ơn !

1.1.4. Hai ánh xạ bằng nhau............................................................................ 5
1.1.5. Đồ thị của ánh xạ .................................................................................. 6
1.1.6. Thu hẹp và mở rộng ánh xạ .................................................................. 6
1.2. Ảnh và tạo ảnh ............................................................................................ 7
1.2.1. Định nghĩa ............................................................................................. 7
1.2.2. Tính chất cơ bản .................................................................................... 8
1.3. Các ánh xạ đặc biệt ..................................................................................... 8
1.4. Tích các ánh xạ.......................................................................................... 10
1.4.1. Định nghĩa ........................................................................................... 10
1.4.2. Một số tính chất .................................................................................. 11
1.5. Ánh xạ ngƣợc ............................................................................................ 11
1.5.1. Định nghĩa ........................................................................................... 11
1.5.2. Các ví dụ ............................................................................................. 11
1.5.3. Điều kiện có ánh xạ ngƣợc ................................................................. 12


1.5.4. Quy tắc tìm ánh xạ ngƣợc ................................................................... 12
1.6. Phép toán hai ngôi ..................................................................................... 15
1.6.1. Định nghĩa ........................................................................................... 15
1.6.2. Các tính chất thƣờng gặp ở phép toán hai ngôi .................................. 16
1.6.3. Số tự nhiên .......................................................................................... 17
CHƢƠNG 2. MỐI LIÊN HỆ GIỮA NỘI DUNG DẠY HỌC ÁNH XẠ VỚI
NỘI DUNG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG ................. 24
2.1. Ánh xạ trong toán tiểu học ........................................................................ 24
2.2. Ánh xạ với nội dung dạy học hàm số ở phổ thông ................................... 29
2.2.1. Các khái niệm về hàm số .................................................................... 29
2.2.2. Đồ thị của hàm số ............................................................................... 34
2.2.3. Miền xác định, miền giá trị của hàm số .............................................. 36
2.2.4. Hàm số hợp ......................................................................................... 37
2.3. Ánh xạ với nội dung dạy học đại số tổ hợp ở phổ thông .......................... 38

ở phổ thông.
Toán cao cấp là các nội dung quan trọng trong chƣơng trình đào tạo giáo
viên có trình độ đại học, rất thuận lợi trong việc thiết lập các mối liên hệ với nội
dung dạy học toán ở phổ thông, làm rõ đƣợc các mối liên hệ toán phổ thông
trong quá trình dạy học toán cao cấp sẽ giúp giáo viên nhận thức đúng đắn tinh
thần, quan điểm, ngôn ngữ và phƣơng pháp của toán cao cấp trong việc dạy học
toán ở phổ thông.
Tất cả những vấn đề nêu trên là lý do để em chọn đề tài: “Mối liên hệ giữa
nội dung dạy học ánh xạ với nội dung dạy học môn Toán ở phổ thông”.

1


2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu mối liên hệ giữa nội dung dạy học ánh xạ với nội dung dạy học
môn Toán ở phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu nội dung dạy học ánh xạ, chƣơng trình toán ở phổ thông, tìm mối
liên hệ giữa ánh xạ với toán phổ thông.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Ánh xạ, chƣơng trình môn Toán ở phổ thông có liên quan đến ánh xạ.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết, hệ thống hóa và khái quát
hóa.
6. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung khóa luận gồm 2 chƣơng:
Chương 1. Cơ sở lý thuyết.
Chương 2. Mối liên hệ giữa nội dung dạy học ánh xạ với nội dung dạy học
học môn Toán ở phổ thông.



là một ánh xạ từ X đến

. Chẳng

hạn:
Hàm số y = 2x + 3 là ánh xạ



f:

y  2x  3

x
Kí hiệu



là tập hợp các số thực không âm. Hàm số y  x là ánh xạ
f:



x


y x

4) Giả sử X = 1; 2 và Y = a; b; c

b..
..
c

Y
1
2
3
4

1.1.2. Điều kiện xác định một ánh xạ
Để quy tắc f : X  Y là một ánh xạ thì phải thỏa mãn hai điều kiện sau :
Điều kiện 1: Quy tắc f xác định khắp nơi nghĩa là mỗi x  X phải có ảnh y
tƣơng ứng thuộc Y.
Điều kiện 2: Quy tắc f đơn trị nghĩa là mỗi x  X chỉ có tƣơng ứng một phần tử
y  Y.
Ví dụ.



1) Quy tắc f :
x

y=x-1

là một ánh xạ với mọi x 
Với mỗi y 
2) Quy tắc f :

, luôn tồn tại y = x – 1 

0

1

2

3

 Cách 2: Cho ánh xạ dƣới dạng các biểu thức giải tích.
Ví dụ.
Cho ánh xạ f :


ế
{

x

ế
ế

 Cách 3: Cho ánh xạ dƣới dạng biểu đồ.
Ví dụ.
+ Biểu đồ phát triển dân số của một tỉnh nào đó.
+ Biểu đồ tăng hoặc giảm sản phẩm tính theo năm của một nhà máy hoặc xí
nghiệp nào đó.
1.1.4. Hai ánh xạ bằng nhau
Định nghĩa
Hai ánh xạ f và g đƣợc gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng một tập đích và
cùng quy tắc đặt tƣơng ứng.

sinx

  1,1

g:
x

sinx

là hai ánh xạ khác nhau vì có tập đích khác nhau.

5


1.1.5. Đồ thị của ánh xạ
Định nghĩa
Cho ánh xạ f: X Y. Khi đó ta gọi tập

= (x; f(x))  x  X  X  Y

là đồ thị của ánh xạ f.
Từ định nghĩa ánh xạ suy ra rằng: mọi x  X tồn tại duy nhất y  Y để (x, y) 

Ví dụ.
1) Cho y = f(x) là một hàm số, khi đó biểu diễn của đồ thị của ánh xạ xác
định bởi hàm số này trong mặt phẳng Oxy chính là đồ thị của hàm số mà
ta đã quen biết.
2) Cho X = a, b, c, d, Y = 1, 2, 3, f : X  Y là ánh xạ xác định bởi f(a) =
1, f(b) = 2, f(c) = 2, f(d) = 3 thì đồ thị của f là



A

, còn ánh xạ f


f:



x

f(x) = sinx

   
g:  ,  
 2 2

x

g(x) = sinx

  1,1

x

h(x) = sinx

h:


y = f(x)

 f(x) là ảnh của x bởi f hay giá trị của ánh xạ f tại điểm x.
 A  X, tập f(A) =  y  Y  tồn tại x  A sao cho f(x) = y đƣợc gọi là tập ảnh
của tập con A qua ánh xạ f.
 B  Y, tập

(B) =  x X  f(x)  B đƣợc gọi là tập tạo ảnh toàn phần của

tập con B qua ánh xạ f.

7


Tập hợp f(x)  Y gọi là ảnh của ánh xạ f, kí hiệu Imf.
1.2.2. Tính chất cơ bản
+ Ảnh của một tập hợp rỗng là một tập hợp rỗng
A =   f(A) = 
+ Ảnh của tập hợp con là tập hợp con của ảnh
A  B  f(A)  f(B)
+ Ảnh của phần giao nằm trong giao của phần ảnh
f(A  B)  f(A)  f(B)
+ Ảnh của phần hợp là hợp của các phần ảnh
f(A)  f(B) = f(AB)
Ví dụ.
1) Giả sử A = (0, a), a 

 và f :

. Khi đó f(A) = a  a 

x
Với 
Hoặc 

X:

,
,

đƣợc gọi là đơn ánh nếu thỏa mãn

y = f(x)


 f( )  f( )

 X : f( ) = f( ) 

Toàn ánh: Ánh xạ f : X  Y
x

=

đƣợc gọi là toàn ánh nếu thỏa mãn

y = f(x)

 y  Y,  x  X sao cho y = f(x) hoặc tƣơng ứng với nó là f(X) = Y

8

2) Các hàm số bậc hai y = a

+ bx + c, a  0, không là đơn ánh , không là toàn

ánh.
3) Giả sử X là một tập hợp, ánh xạ
f: XX

9


x

x

gọi là ánh xạ đồng nhất của X kí hiêu
4) Ánh xạ f:


2 x
x 
 2 x  1

hoặc

nếu x
nếu x

là song ánh
1.4. Tích các ánh xạ

Để fg tồn tại thì
Vậy với

:x

. Do đó gf tồn tại

=
+1



 (-, 0) =

=


. Do đó fg không tồn tại

 2x – 1  0  x 

2x + 1, x 

,x

thì

10

2x + 1, x 

b) Tích của hai toàn ánh là một toàn ánh ( nếu các tích trên xác định.
Đặc biệt tích của hai song ánh là song ánh.
Định lý 3
a) Nếu gf là đơn ánh thì f là đơn ánh.
b) Nếu gf là toàn ánh thì g là toàn ánh.
1.5. Ánh xạ ngƣợc
1.5.1. Định nghĩa
Cho ánh xạ f: X  Y. Nếu có ánh xạ g: Y  X sao cho gf =

và fg =

thì

g đƣợc gọi là ánh xạ ngƣợc của f.
Ánh xạ ngƣợc của f (nếu có) đƣợc kí hiệu là
Ta có f 1 f  I X , ff 1  IY
Từ định nghĩa ta có :
+ Nếu f có ánh xạ ngƣợc

thì

cũng có ánh xạ ngƣợc và (

)-1 = f .

+ Nếu f : X  Y và g: Y  Z đều có ánh xạ ngƣợc thì gf : X  Z cũng có ánh xạ
ngƣợc và  gf   f 1 g 1 .
1

+ Ánh xạ đồng nhất 1X : X  X có ánh xạ ngƣợc và

Thật vậy  x 

: (gf)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2) = (3x + 2) =x+ -

=x=

(x)  gf =

Mặt khác
x

: (fg)(x) = f(g(x)) = f ( x - ) = 3( x - ) + 2 = x =

(x)

 fg =


b) Ánh xạ f :

x


0



có ánh xạ ngƣợc là g :

loga x , 0 < x  1

là toàn ánh  f là toàn ánh

Kết hợp lại ta có f là song ánh
] Ngƣợc lại cho f : X  Y là song ánh ta xác định quy tắc g : Y  X nhƣ sau :
biến y  Y thành x  X sao cho y = f(x). Do f là song ánh nên g là ánh xạ.
Mặt khác :  x  X, (gf)(x) = g(f(x)) = g(y) = x =
 y  Y, (gf)(y) = f(g(y)) = f(x) = y =

(y)  fg =

(x)  gf =
.

1.5.4. Quy tắc tìm ánh xạ ngược
Bƣớc 1: Kiểm tra ánh xạ f : X  Y có phải là song ánh.
Bƣớc 2: Xét phƣơng trình f(x) = y ta tìm đƣợc x = g(y).
Khi đó xác định ánh xạ g: Y  X là ánh xạ ngƣợc cần tìm.

12


Ví dụ.
a) Xét hàm số bậc nhất : y = ax + b, a, b 

, a  0, đƣợc xem là ánh xạ



f:
x


f:

x

a2 x  bx  c

Không là đơn ánh vì

x

b
b
Chọn x1 =    , x2 =    ,  > 0
2a
2a

O

Ta lại có x1  x2 nhƣng f(x1) = f(x2)
f không là toàn ánh vì  y



 4ay > -   -  = 0
4a

do đó phƣơng trình bậc 2 trên có nghiệm
x1,2 =

1
b  1 b
=

2a 2a
2a

1
b
 b

Do x   ,    chỉ lấy giá trị x1 = 
2a 2a
 2a


Và có hàm số ngƣợc là: g 1 ( y ) 
Hay hàm số y 

b 2  4 a (c  y )
b


+) Xét tính song ánh của ánh xạ f

x1 , x2  (0, ) . Giả sử f(x1) = f(x2)

 2x1  3  2x2  3  2 x1  2 x2  x1  x2
Vậy f là đơn ánh (1)

14

?

. Khi đó (a, b)  H 


y  2 x  3  (3, ), x  (0, ) thỏa mãn
f(x) = 2x + 3 = y
Vậy f là toàn ánh (2)
Từ (1) và (2) ta có f là song ánh nên f có ánh xạ ngƣợc
Đặt f ( x)  y  2 x  3  y  2 x  y  3  x 

f 1 ( y)  x  f 1 ( y) 
 f 1 ( x) 

y 3
2

y 3
2

x 3


. Nhƣng phép trừ không phải là phép toán hai ngôi trên

.

15




2) Trong tập hợp

, phép nâng lên lũy thừa an là một phép toán hai ngôi,

nhƣng phép chia không phải là phép toán hai ngôi.
Tƣơng ứng
an

(a, n)
Với a, b 



, xác định một ánh xạ từ

Nhƣng tƣơng ứng (a, b)
Với a, b 
3) Trên tập hợp




phép toán hai ngôi:
(a, b)

f(a, b) = (ab) (UCLN của a và b)

(a, b)

f(a, b) = (ab) (BCNN của a và b)

(a, b)

f(a, b) =

(a, b)

f(a, b) = max (a, b) (số lớn nhất trong 2 số a và b)

(a, b)

f(a, b) = min (a, b) (số nhỏ nhất trong 2 số a và b)

1.6.2. Các tính chất thường gặp ở phép toán hai ngôi
Giả sử T là một phép toán trong tập hợp X.
+ Tính chất kết hợp:  x, y, z  X: (xTy)Tz = xT(yTz)
+ Tính chất giao hoán :  x, y  X: xTy = yTx
+ Tính chất phân phối :  x, y, z  X: xT(yz) = (xTy)(xTz)
 x, y, z  X: (yz)Tx = (yTx)(zTx)
Ví dụ. Trong


a)  là một tập hợp hữu hạn, bản số của nó là một số tự nhiên gọi là số không :
Card () = 0
b) A =  là một tập hợp đơn tử, bản số của nó là một số tự nhiên gọi là số
một: Card  = 1.
c. Các phép toán trên
Cho a, b là các số tự nhiên, gọi A, B là các tập hợp mà a = Card(A), b =
Card(B) và A  B = .
+ Phép cộng:


(a, b)


a + b = Card(AB)

+ Phép nhân:


(a, b)


a.b = Card(A  B)

17


Dựa vào các tính chất của phép toán hợp và tích Đề-các của các tập hợp ta
suy ra các tính chất của phép cộng và nhân các số tự nhiên:
Tính chất của phép cộng
Phép cộng có tính chất giao hoán : a + b = b + a.

y sao cho y2 = x

x

1
x

Giải
a) Có là ánh xạ vì thỏa mãn 2 điều kiện xác định khắp nơi và đơn trị, tức là
 x , luôn tồn tại y = x + 1  .
Với mỗi y 

sẽ có tƣơng ứng một phần tử x = y – 1  .

b) g không là ánh xạ vì với x < 0 thì không tồn tại y 
c) h không là ánh xạ vì với x = 0 thì

để y2 = x.

1
không có nghĩa.
x

Bài 2. Lập tất cả các tƣơng ứng giữa tập hợp A = a, b và tập hợp C = c. Hãy
chỉ ra những tƣơng ứng nào trong đó là ánh xạ từ tập hợp A đến tập C.

18


Giải


x5  1

x

d) f: 1,    5,  

\ 2 

x

x 2  5x  4

3x  1
x2

x

x2  2 x  4

Giải
a)  x1  x2  x15 - 1  x25 – 1  f (x1)  f(x2). Vậy f là đơn ánh.

19


y

,x=



x

x2  3x  1

Hãy xác định
a) f(0), f(1), f(-1)
b) f([-1,2])
c) f 1 1 , f 1  1
d) f 1 ([-1, 1])
Giải

5 3
 a) f(0) = 02 – 3.0 + 1 = 1, f(1) = -1, f(-1) = 5.
4 2
3
b)

x
2
-1
2


f(x)

-1

5