TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
---------------------

PHẠM THỊ CHINH

ỨNG DỤNG ĐƢỜNG TRÒN LƢỢNG GIÁC
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CƠ HỌC

Chuyên ngành: Vật lí đại cƣơng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

Th.S: Hoàng Văn Quyết

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Ứng dụng đường tròn lượng giác để
giải các bàitập dao động điều hòa cơ học” đã hoàn thành với sự nỗ lực của
bản thân và với sự giúp đỡ tận tình chu đáo của thầy giáo Thạc sĩ Hoàng
Văn Quyết cùng các thầy cô trong tổ Vật lý đại cƣơng trƣờng Đại Học Sƣ
Phạm Hà Nội 2.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó, đồng thời em xin
chân thành cảm ơn thƣ viện trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều
kiện tốt nhất cho em hoàn thành đề tài này.
Trong quá trình nghiên cứu, bản thân là một sinh viên bƣớc đầu làm
quen với phƣơng pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi
những hạn chế và thiếu sót.

1.1.1. Một số khái niệm mở đầu................................................................ 3
1.1.2. Khái niệm về dao động điều hòa.................................................... 4
1.1.3. Các phƣơng pháp biểu diễn dao động tuần hoàn ............................ 7
1.2. Động lực học dao động điều hòa ........................................................... 9
1.2.1. Nguyên nhân gây ra dao động điều hòa .......................................... 9
1.2.2. Năng lƣợng trong dao động điều hòa........................................... 15
1.3. Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa ............ 16
1.3.1. Chuyển động tròn đều ................................................................... 16
1.3.2. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều ..... 16
Chƣơng 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP .................................................................. 18
2.1. Viết phƣơng trình dao động điều hòa .................................................. 18
2.1.1. Phƣơng pháp giải .......................................................................... 18
2.1.2. Ví dụ minh họa .............................................................................. 19
2.1.3. Bài tập áp dụng.............................................................................. 22
2.2. Bài toán tìm thời gian, thời điểm trong dao động điều hòa ................. 24
2.2.1. Tìm thời gian ngắn nhất, dài nhất để vật đi hết quãng đƣờng S ... 24


2.2.2. Tìm thời gian để vật đi từ vị trí có tọa độ x1 đến x2 ...................... 28
2.2.3. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x xác định lần thứ
n (/x/ < A) ................................................................................................ 34
2.3. Bài tập tính quãng đƣờng chuyển động của vật dao động điều hòa .... 39
2.3.1. Xác định quãng đƣờng lớn nhất và nhỏ nhất trong khoảng thời
gian t ..................................................................................................... 39
2.3.2. Xác định quãng đƣờng mà vật đi đƣợc từ thời điểm t1 đến t2...... 44
2.4. Bài toán tính vận tốc trung bình, tốc độ trung bình ............................. 47
2.4.1. Phƣơng pháp giải .......................................................................... 47
2.4.2. Ví dụ minh họa .............................................................................. 47
2.4.3. Bài tập tƣơng tự ............................................................................. 50
2.5. Xác định số lần vật đi qua vị trí x trong thời gian t ............................. 51

luận xét tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
- Dùng đƣờng tròn lƣợng giác để giải một số bài tập về dao động điều
hòa trong chƣơng trình vật lý lớp 12.

1


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu lý thuyết chƣơng phần “dao động điều hòa”.
- Sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa
để đƣa ra phƣơng pháp giải các bài tập về dao động điều hòa cơ học.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
- Lí thuyết chƣơng dao động điều hòa, lý thuyết của chuyển động tròn
đều.
- Các dạng bài ứng dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đêù và dao
động điều hòa cơ học.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Đọc và tra cứu các tài liệu có liên quan.
- Giải các bài tập về dao động điều hòa cơ học.

2


PHẦN NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong chƣơng này tôi trình bày hệ thống phần lý thuyết của đề tài “ứng
dụng đƣờngtròn lƣợng giác để giải các bài tập dao động điều hòa cơ học”
nhƣ sau:
1.1. Động học của dao động điều hòa

thuyết về dao động cơ học có một ý nghĩa cơ bản, nó sẽ đƣợc áp dụng và mở
rộng trong các lĩnh vực khác của vật lý học.
Tùy từng trƣờng hợp mà quá trình dao động có thể đóng vai trò tích
cực và cũng có thể đóng vai trò tiêu cực.
1.1.2. Khái niệm về dao động điều hòa
Trong tất cả các dao động thƣờng gặp, đơn giản nhất và quan trọng
nhất là dao động điều hòa vì các lí do sau đây: Trƣớc hết, các dao động trong
tự nhiên và trong kĩ thuật thƣờng có các dao động rất gần với dao động điều
hòa; thứ hai, một dao động bất kì đƣợc biểu diễn nhƣ là tổng hợp của các dao
động điều hòa.
Chúng ta xét thí dụ sau: Một chất điểm M
chuyển động trên đƣờng tròn bán kính R với vận
tốc góc không đổi bằng  . Trên đƣờng tròn,
chọn điểm O làm gốc tọa độ và chiều quay
dƣơng là chiều ngƣợc kim đồng hồ. Tại thời
điểm ban đầu t = 0, điểm M ở vị trí Mo đƣợc xác
định bởi góc  . Tại thời điểm t bất kì vị trí của điểm M đƣợc xác định bằng
góc( t   ). Ta chiếu chuyển động cuả điểm M xuống đƣờng kính đi qua O.

4


Chọn gốc tọa độ trên đƣờng kính đó, là tâm O của đƣờng tròn. Tại thời
điểm t bất kì vết chiếu của M là P. Đặt OP = x, ta có:
x  R cos(t   )

(1)

Đó là phƣơng trình chuyển động của điểm M trên đƣờng tròn tâm O,
bán kính OP1.

- Lƣợng  cho phép xác định li độ, vận tốc, gia tốc tại thời điểm ban
đầu t = 0 (trạng thái ban đầu của chuyển động) đƣợc gọi là pha ban đầu của
dao động điều hòa.

5


- R là giả trị cực đại của li độ ứng với sin(t  )  1 hoặc

cos(t  )  1 đƣợc gọi là biên độ của dao động điều hòa. Nhƣ vậy li độ biến
thiên trong khoảng:
–R  x  R
- Trong dao động điều hòa, li độ, vận tốc, gia tốc đều biến thiên với một
2

2

chu kì chung T   . Ngƣời ta gọi đại lƣợng T   là chu kì của dao động
điều hòa. Nghịch đảo của chu kì T đƣợc gọi là tần số của dao động điều hòa.
Thứ nguyên của tần số:
[v] = T-1
Đơn vị của tần số (trong hệ đơn vị SI) là Hec; kí hiệu là Hz.
 Hec là tần số bằng một dao động trong thời gian một giây.
1 Hz = 1 s-1
2

Đại lƣợng   T  2 . đƣợc gọi là tần số vòng hay tần số góc của dao
động điều hòa.
Nếu dao động điều hòa đƣợc biểu diễn bởi phƣơng trình:


dụng:

x  sin(t   )
Hoặc:
x  A cos(t   )

Trong một số trƣờng hợp, các phép tính với phƣơng trình lƣợng giác
thƣờng dài dòng và phức tạp, do vậy ngoài phƣơng pháp trên ngƣời ta còn
dùng phƣơng pháp hình học hoặc phƣơng pháp số phức.
1.1.3.2. Phƣơng pháp hình học
Phƣơng pháp hình học hay còn gọi
là phƣơng pháp giản đồ vectơ quay hay
phƣơng pháp Frexnen, áp dụng tính chất
đã đƣợc nghiên cứu ở thí dụ vừa xét: Khi
một chất điểm M chuyển động đều trên
một đƣờng tròn thì chuyển động của vết
chiếu P của nó trên một đƣờng kính là một dao động điều hòa.

7


Trên trục x ta có thể chọn điểm O bất kì làm gốc. Từ O đặt một vectơ

A



tạo với Ox một góc  bằng pha ban đầu, có độ dài tỉ lệ với biên độ A. A

đƣợc gọi là vectơ biên độ. Cho vectơ biên độ quay quanh O theo chiều dƣơng

Aisin  là phần ảo của số phức a.

Một dao động điều hòa x  A cos(t   ) có thể đƣợc biểu diễn bởi
phần thực của số phức a = Ae

i(t   )

hoặc số phức liên hợp với a là

a*  Aei( t ) . Hay có thể viết dƣới dạng:
a  A exp i(t   )
Hoặc:

a*  A expi(t   )

8


1.2. Động lực học dao động điều hòa
1.2.1. Nguyên nhân gây ra dao động điều hòa
Ta hãy xét xem khi một vật dao động điều hòa, nó chịu tác dụng của
những lực nhƣ thế nào, thông qua các ví dụ sau:
1.2.1.1. Thí dụ 1
Một hòn bi khối lƣợng m có thể chuyển động không ma sát trên một
mặt phẳng nằm ngang. Nó đƣợc gắn vào một đầu của lò xo có khối lƣợng
không đáng kể, đầu kia của lò xo đƣợc gắn cố định. Khi kéo lò xo lại rồi
buông ra, hòn bi sẽ thực hiện một dao động. Ta xét dao động đó.
Khi hòn bi ở vị trí cân bằng, hòn bi đứng tại O. Trọng lực tác dụng lên
nó cân bằng với phản lực của mặt phẳng và tổng hợp lực tác dụng lên nó bằng
không.


9

(3)


x  A cos(ot   )

Hoặc:

Trong đó: t là thời gian, A,  o ,  là hằng số.
Nghiệm của phƣơng trình (1) biểu diễn một dao động điều hòa. Vậy
chuyển động của hòn bi dƣới tác dụng của lực đàn hồi là một dao động điều
hòa với tần số vòng:
o 

k
m

Chu kì của dao động:
2

m

T =   2 k
o

Biên độ A và pha ban đầu là  . Giá trị của A và  đƣợc xác định dựa
vào điều kiện ban đầu của bài toán.
1.2.1.2. Thí dụ 2: Con lắc lò xo

Xét chuyển động của vật tại vị trí có li độ x. Khi đó độ dãn của lò xo là
l  x và lực đàn hồi bằng
F  k (l  x)

Hình chiếu của hợp lực tác dụng lên vật trên phƣơng trục x là:
P – F = P – k( l +x) = - kx
Phƣơng trình định luật II Nuiton cho chuyển động của vật là:
mx’’ = - kx.
Phƣơng trình này giống nhƣ phƣơng trình (2). Vậy ta có thể kết luận
rằng vật nặng sẽ dao động điều hòa với tần số vòng:
o 

k
m

Và chu kì dao động:
m

T = 2 k

Chu kì của con lắc lò xo chỉ phụ thuộc khối lƣợng m của vật nặng và hệ


số cứng k của lò xo mà không phụ thuộc vào trọng lực P tác dụng lên vật
nặng.
Do vậy chu kì dao động cuả con lắc lò xo sẽ không thay đổi nếu ta dịch
chuyển con lắc đến một nơi bất kì trên Trái Đất, hoặc đặt nó trên con tàu vũ
trụ ở cách xa trọng trƣờng của Trái Đất.
1.2.1.3. Thí dụ 3: Con lắc toán học
* Định nghĩa: Con lắc toán học là một hệ gồm một vật nặng có kích


F  P sin   mg sin 

s

Khi góc lệch  nhỏ ta có: sin     l . Thay vào phƣơng trình trên ta
đƣợc:
s

msˮ = - mg l
Hay:
g

sˮ + l s = 0
Phƣơng trình này có dạng nhƣ phƣơng trình (2). Vậy ta có thể kết luận
chuyểnđộng của con lắc ứng với góc lệch  nhỏ là một dao động điều hòa có
tần số vòng là:


g
l

(4)

12


Và chu kì là:
l


đứng. Khi kéo con lắc khỏi vị trí cân bằng
một góc lệch  nhỏ rồi buông ra, con lắc sẽ
dao động xung quanh trục nằm ngang O1.
Xét chuyển động của con lắc tại vị trí
bất kì ứng với góc lệch  , momen lực tác
dụng lên con lắc đối với trục quay O là:

13


   

M  d  P  d  mg.

Áp dụng phƣơng trình định luật II Nuiton cho chuyển động quay xung
quanh trục cố định O1 ta có:
 


M  md  g  I .

Suy ra:
mgd sin   I .  I "

Ở đây:


+ Dấu “ – ’’ xuất hiện do momen lực M luôn hƣớng theo chiều có tác
dụng làm giảm góc lệch  .
+ I: Momen quán tính của con lắc đối với trục quay đi qua O


I
mgd

 2

(7)

So sánh (6) và (7) với (4) và (5) ta thấy rằng con lắc vật lý dao động
nhƣ một con lắc toán học có chiều dài bằng:
L

I
.
md

14


Do vậy, L đƣợc gọi là chiều dài rút gọn của con lắc vật lý và có thể
viết:
T  2

L
.
g

* KẾT LUẬN:
Qua các thí dụ trên ta thấy rằng dao động đƣợc gây ra bởi những lực tỉ
lệ với độ dời của vật khỏi vị trí cân bằng và luôn hƣớng về vị trí cân bằng của


0

U = -  Fdx   kxdx 

1 2 1 2
kx  kA cos2(  t +  )
2
2

15


2
Mà k  mw

Khi đó cơ năng E của vật nặng có giá trị không đổi:
E  K U 

1
mw2 A2 sin 2 (t   )  cos2 (t   ) 
2

1

1

2 2
2
= 2 m A  2 kA





Nói cách khác: Khi vecto OM quay đều với tốc độ góc w quanh điểm
O thì hình chiếu P của điểm M dao động điềuhòa trên trục x’Ox thuộc mặt
phẳng quỹ đạo M với li độ bằng tọa độ hình chiếu của điểm M, biên độ bằng
độ dài OM, tần số góc đúng bằng tần số góc  và pha ban đầu  =  xOM0 ở
thời điểm t = 0.
Nhận xét:
Mỗi chu kì vật đi đƣợc quãng đƣờng 4A; mỗi nửa chu kì T/2, vật đi
đƣợc quãng đƣờng 2A; còn trong T/4, vật đi từ vị trí cân bằng ra vị trí biên
hoặc đi từ biên ra vị trí cân bằng, vật đi đƣợc quãng đƣờng S = 4A.
Mỗi một chu kì, vật qua vị trí bất kì 2 lần( riêng với biên thì một lần).
Thời gian vật dao động điều hòa từ vị trí (x1, v1) đến vị trí (x2, v2) bằng


O
M
thời gian
quay đều đƣợc góc   t  t 





Nếu biết góc quay của OM trong thời gian t tính từ thời điểm t = 0, ta
có thể tìm đƣợc thời điểm vật qua vị trí có li độ x với vận tốc v, từ đó có thể
tính đƣợc số lần vật qua vị trí x trong thời gian to hoặc tính đƣợc quãng đƣờng
vật dao động điều hòa đi đƣợc trong khoảng thời gian t .


=

g
=
l



v2
A2  x 2
vmax

+ Xác định biên độ: A= 



/ a max /

2

 x2 

v2

2



a2

M1

2
 10(rad / s)
T

x

- Biên độ dao động:
A=

x2 

v2

2

-A

O

A

 A = 2 (cm)
M2

* Cách 1:
- Ban đầu t = 0 ta có cos   3 / 2     / 6rad .
Có hai vị trí trên đƣờng tròn là M1 và M2 mà ở đó đều có vị trí x  3
cm. Vì vật dao động đi theo chiều dƣơng, nên ta chọn vị trí M2 tức    / 6

  2f  120 ( rad/s)

M1

Gọi phƣơng trình dao động của vật là:
x  A cos(t   )

x
O

-A

*Cách 1:

A

- Tại ban đầu:
M2

t = 0 ta có
cos 

2,5

 0,5     rad .
5
3

