TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

VŨ THỊ LAN HƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TUỔI Ở TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hào
Chuyên ngành: Toán Tiểu học

Hà Nội – 2013


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của các giảng viên trong
khoa Giáo dục Tiểu học và các bạn sinh viên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất
cho em trong quá trình làm khóa luận này. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm
ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình
để em hoàn thành khóa luận.
Trong khi thực hiện đề tài này, do thời gian nghiên cứu và năng lực của em có
hạn nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót và hạn chế. Vì vậy, em rất mong
nhận được sự tham gia đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn bè để khóa luận
của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Vũ Thị Lan Hương

2. Mục đích nghiên cứu

2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

2

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

2

5. Phương pháp nghiên cứu

2

6. Dự đoán kết quả nghiên cứu

3

Chương 1. Cơ sở lý luận

4

1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học

4

1.2. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng


13

1.3.1. Quan niệm về bài toán

13

1.3.2. Các yếu tố cơ bản của bài toán

13

1.3.3. Lời giải của bài toán

14

1.3.4. Ý nghĩa của việc giải toán

14

1.3.5. Phân loại bài toán

14

1.3.6. Phương pháp tìm lời giải bài toán

15

1.4. Bài toán tuổi ở môn Toán Tiểu học

17


2.1.1. Khái quát chung
2.1.2. Một số ví dụ

22
22


2.2. Các bài toán hợp về tính tuổi và cách giải chúng

24

2.2.1. Khái quát các bài toán hợp về tính tuổi

24

2.2.2. Bài toán tuổi cho biết tổng và tỉ số tuổi của hai người

25

2.2.3. Các dạng bài toán cho biết hiệu và tỉ số tuổi của hai người

29

2.2.3.1. Dạng trực tiếp của bài toán hiệu và tỉ số tuổi của hai người

29

2.2.3.2. Dạng bài toán phải giải một bài toán phụ để tìm hiệu số tuổi

32

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài. Với 9 môn học thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, học sinh
tiểu học được đào tạo nhằm phát triển toàn diện cả trí thức, đạo đức, lao động,
thể thao, mĩ học. Giáo dục Tiểu học góp phần đào tạo những con người đủ
đức, đủ tài để phục vụ xã hội. Trong hệ thống các môn học đó, môn Toán là
một môn học cơ bản, nó chiếm nhiều thời lượng giảng dạy của giáo viên và
thời gian học tập của học sinh. Có được sự đánh giá đó bởi môn Toán giúp
trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức về khoa học tự nhiên, cơ bản làm
nền tảng để học sinh hiểu biết và giải quyết nhiều vấn đề thực tiễn. Hơn nữa,
với các kiến thức căn bản, Toán học còn góp phần quan trọng giúp các em có
thể học tập tốt các môn học khác trong nhà trường Tiểu học cũng như ở các
cấp học sau.
Nội dung môn Toán ở tiểu học được chia thành các mạch kiến thức cơ bản là
số học, đại lượng, hình học và giải toán có lời văn. Giải bài toán có lời văn là
một mạch khó về kiến thức và phong phú về thể dạng mà học sinh được học
tập trong suốt toàn bộ bậc học Tiểu học. Vì vậy, việc định hướng cho học sinh
xác định được dạng bài và lựa chọn phương pháp giải phù hợp là việc làm vô
cùng quan trọng. Qua việc định hình các phương pháp và sự luyện tập giải bài
giúp học sinh phát triển tư duy, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo trong quá trình giải
toán.
Cùng với một số dạng toán có lời văn khác, các bài toán về tính tuổi là nội
dung quan trọng, khá quen thuộc và gần gũi với học sinh bậc Tiểu học. Tuy
nhiên, việc giải các bài toán dạng tính tuổi như thế nào và lựa chọn phương
pháp giải ra sao là vấn đề đã được các thế hệ giáo viên và học sinh cùng quan
tâm. Xuất phát từ đặc điểm nhận thức của học sinh, căn cứ vào hệ thống
phương pháp giải toán ở Tiểu học và đặc trưng của dạng bài toán tính tuổi mà


nhiều thế hệ các nhà giáo nhận thấy rằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng có
những hiệu lực nhất định trong việc giải các bài toán dạng này.

toán tính tuổi.


Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học. Đời sống tâm lí của học
sinh tiểu học có những biến đổi và làm nên “chất tiểu học” trong mỗi học
sinh. Trong ba mặt của đời sống tâm lí con người gồm nhận thức, tình cảm,
hành động thì nhận thức là tiền đề của hai mặt kia và chúng có mối quan hệ
biện chứng với nhau cũng như các hiện tượng tâm lí khác. Hoạt động nhận
thức là hoạt động mà kết quả của nó con người có được các tri thức, hiểu biết
về thế giới xung quanh, về bản thân mình để tỏ thái độ và tiến hành các hoạt
động khác một cách có hiệu quả.
Nhận thức của học sinh tiểu học được chia thành hai giai đoạn lớn là nhận
thức cảm tính và nhận thức lí tính. Nhìn chung ở học sinh tiểu học, hệ thống
tín hiệu thứ nhất còn chiếm ưu thế, các em rất nhạy cảm với các tác động bên
ngoài. Tuy nhiên, ở giai đoạn cuối bậc Tiểu học thì hệ thống tín hiệu thứ hai
đã phát triển nhưng còn ở mức độ thấp.
Tri giác của học sinh tiểu học mang tính không chủ định, tính xúc cảm và tính
chất đại thể. Khả năng tri giác của học sinh tiểu học phụ thuộc vào chính đối
tượng, cái trực quan, cái rực rỡ, cái sinh động được tri giác rõ ràng hơn những
hình ảnh tượng trưng sơ lược. Sự phân tích một cách có mục đích, có tổ chức
và sâu sắc ở các em còn yếu. Ở các lớp đầu tiểu học, tri giác của các em
thường gắn với hành động và hoạt động thực tiễn. Tri giác không gian và thời
gian của các em còn hạn chế. Tuy nhiên, tri giác của các em phát triển trong
quá trình học tập, sự phát triển này diễn ra theo hướng ngày càng chính xác
hơn, đầy đủ hơn, mang tính mục đích và có phương hướng rõ ràng bởi được
hướng dẫn bằng các hoạt động nhận thức khác.
Đặc điểm nổi bật trong tư duy của học sinh tiểu học là chuyển từ trực quan cụ

đặc điểm nhận thức của học sinh đã nêu trên và con đường nhận thức chân lí
mà Lê-nin đã nêu: “ Từ trực quan sinh động tới tư duy trừu tượng, từ tư duy
trừu tượng quay trở lại thực tiễn”. Quá trình hướng dẫn học sinh giải toán cần
sử dụng phương pháp trực quan hợp lí để thu hút sự chú ý của học sinh, giúp


học sinh hiểu được bản chất của bài toán, biết giải các bài toán một cách khoa
học, logic và phát triển khả năng tư duy của học sinh.
Do vậy, các bài toán dạng tính tuổi cần sử dụng cách tóm tắt bài toán một
cách hợp lí để diễn đạt một cách trực quan các điều kiện của bài toán và cách
tốt nhất là sơ đồ hóa bài toán dạng đoạn thẳng. Qua đó, học sinh có thể loại bỏ
được dấu hiệu không bản chất để tập trung vào cái bản chất toán học, tìm ra
mối liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm để tìm ra cách giải quyết bài toán.
1.2. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
1.2.1. Khái quát phương pháp giải toán ở tiểu học. Trong hoạt động giải
toán, học sinh tiểu học cần có các kĩ năng cơ bản là nhận dạng bài toán và lựa
chọn phương pháp giải phù hợp. Các bài toán khác nhau ở tiểu học được lựa
chọn và sử dụng các phương pháp giải khác nhau. Thông thường, phương
pháp được lựa chọn sẽ là phương pháp tối ưu nhất trong hệ thống phương
pháp giải toán ở tiểu học.
Hiện nay, có rất nhiều ý kiến khác nhau về số lượng các phương pháp giải
toán ở tiểu học. Về mặt cơ bản, người ta thống nhất được là có 16 phương
pháp giải các bài toán có lời văn đối với diện học sinh đại trà cũng như nâng
cao ở tiểu học. Trong 16 phương pháp trên thì việc sử dụng phương pháp nào
để giải bài tập là phụ thuộc vào dạng của bài toán. Cá biệt có những bài toán
sử dụng phối hợp nhiều phương pháp để giải và hầu hết mỗi bài toán có nhiều
cách giải khác nhau để dẫn tới một kết quả chung.
Trong giải toán ở tiểu học, phương pháp sơ đồ đoạn thẳng giữ một vai trò
quan trọng và được sử dụng phổ biến trong giải toán. Phương pháp sơ đồ
đoạn thẳng giúp học sinh giải được nhiều dạng toán khác nhau, từ bài dễ tới

bài toán. Vì lẽ đó mà phương pháp sơ đồ đoạn thẳng được sử dụng phổ biến,
làm chỗ dựa cho kế hoạch giải toán của học sinh.
Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng trực quan, sinh động và phù hợp với tâm sinh
lí học sinh tiểu học. Và sử dụng phương pháp này sẽ tránh được những lý luận


không phù hợp với học sinh, quan trọng là sẽ tránh được việc lập phương
trình như sẽ học ở Trung học cơ sở và Trung học phổ thông.
Đây là phương pháp hữu hiệu trong việc dùng để giải nhiều dạng toán ở tiểu
học như giải toán có lời văn, giải toán có yếu tố hình học, giải toán có yếu tố
đại số hay được sử dụng trong giảng dạy lý thuyết.
Vì vậy, trong quá trình dạy giải toán, giáo viên cần sử dụng triệt để phương
pháp sơ đồ đoạn thẳng để giúp các em nắm chắc bản chất của mỗi dạng toán,
nhận dạng nhanh và phát huy được tính tích cực, chủ đạo của học sinh.
1.2.2.3. Các bước tiến hành và cách trình bày lời giải bài toán sử dụng
phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
Bước 1: Tìm hiểu đề toán.
Ở bước này, giáo viên đặt các câu hỏi để tập trung chú ý của học sinh như:
Bài toán đã cho gì? Bài toán hỏi gì? Khi đó, các câu hỏi do giáo viên đặt ra rất
quan trọng, bởi học sinh thường bị phân tán vào các từ ngữ không quan trọng
của đề bài.
Bước 2: Phân tích các điều kiện của đề toán, biểu diễn các đại lượng đã cho
trên sơ đồ đoạn thẳng.
Bước 3: Dựa vào sơ đồ, lập kế hoạch giải.
Bước 4: Thực hiện các thao tác giải và trình bày bài giải.
Bước 5: Kiểm tra, đánh giá lời giải. Ở bước này, các yêu cầu đạt được khi
giải bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng gồm:
Học sinh được luyện tập, thực hành vẽ sơ đồ đoạn thẳng thông qua các bài
toán điển hình. Từ các đề toán đã cho, học sinh dùng sơ đồ đoạn thẳng thay
cho các số, các đại lượng của bài toán. Nhờ đó, học sinh có thể nói rõ cách vẽ


…

Hoặc
…?

Mẫu 3. Sơ đồ có dạng:


…

…

…?
Bằng hệ thống câu hỏi phát vấn, giáo viên dẫn dắt học sinh đến với đề toán
theo các văn cảnh khác nhau.
+ Theo sơ đồ thì bài toán trên giải bằng phép tính gì?
+ Trong bài toán giải bằng phép tính cộng thì câu lời giải là gì?
(ii ) Bài toán đơn giải bằng một phép tính trừ. Bài toán đơn giải bằng một

phép tính trừ xuất hiện trong tất cả các lớp của bậc Tiểu học. Căn cứ vào cấu
trúc của sơ đồ đoạn thẳng trong lời giải của bài toán, ta có thể phân chia các
bài toán dạng này thành bốn mẫu sau:
Mẫu 1. Sơ đồ có dạng
…
……
…?

…


Mẫu 2. Sơ đồ có dạng
….

?...
Khi giải các bài toán bằng một phép tính nhân, sơ đồ đoạn thẳng được biểu
diễn bằng số phần bằng nhau tương ứng với mỗi đại lượng.
(iv ) Bài toán giải bằng một phép tính chia. Tương tự như bài toán giải bằng

một phép tính nhân, các bài toán giải bằng một phép tính chia gồm có các
mẫu sơ đồ


Mẫu 1. Sơ đồ có dạng sau
…..
….

…

Mẫu 2. Sơ đồ có dạng
…..

?...
Các bài toán hỗn hợp sử dụng sơ đồ đoạn thẳng
(i ) Các bài toán hợp giải bằng hai phép tính cộng và trừ.

Mẫu a + (a - b) sơ đồ có dạng

?...

Mẫu a + (a + b) sơ đồ có dạng

- Bài toán cho biết gì? (là những gì bài toán đã cho)
- Bài toán yêu cầu tìm gì? (là mục đích của bài toán)


1.3.3. Lời giải của bài toán. Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự
các thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra. Ta thống nhất giữa lời
giải, cách giải, bài giải của bài toán.
Một bài toán có thể có một lời giải, không có lời giải hoặc có nhiều lời giải.
Giải được một bài toán là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài
toán trong trường hợp bài toán có lời giải hoặc lí giải tại sao bài toán là không
giải được trong trường hợp nó không có lời giải. Nhưng ở tiểu học, một bài
toán thường có một hay nhiều lời giải, trường hợp không có lời giải thường
không có.
1.3.4. Ý nghĩa của việc giải toán. Giải toán có ý nghĩa to lớn và đóng vai trò
quan trọng trong quá trình học toán của học sinh tiểu học, cụ thể:
- Giải toán củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh.
- Rèn luyện, phát triển tư duy và kĩ năng vận dụng kiến thức của học
sinh.
- Bồi dưỡng và phát triển nhân cách cho học sinh.
1.3.5. Phân loại bài toán. Người ta phân loại bài toán theo nhiều cách khác
nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là sử dụng nó thuận lợi. Ta có
một số cách phân loại bài toán như sau:
(i ) Phân loại theo hình thức của bài toán. Dựa vào kết luận của bài toán đã

cho hay chưa để phân bài toán ra thành hai loại: Bài toán chứng minh và bài
toán tìm tòi.
Bài toán chứng minh là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ra một cách
rõ ràng trong đề bài toán.
Bài toán tìm tòi là bài toán trong đó kết luận của nó vẫn chưa có sẵn trong đề
bài toán.

dung của bài toán. Bước này gồm các hoạt động sau:


- Phân biệt yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm của bài toán. Tức là tìm hiểu
những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán ?
- Giải thích các thuật ngữ có trong đề bài.
- Phân biệt những yếu tố thuộc về bản chất và không phải là bản chất.
- Mối liên hệ giữa phần đã cho và phần cần tìm. Ta có thể biểu diễn
mối quan hệ đó bằng cách tóm tắt hoặc nhắc lại bài toán.
Bước 2: Tìm tòi lập kế hoạch giải toán. Hoạt động này gắn với việc phân
tích các dữ kiện và các yếu tố phải tìm của bài toán, nhằm xác lập mối quan
hệ giữa chúng và tìm được phép tính số học thích hợp. Bước này cũng gồm
các thao tác:
- Minh họa bài toán bằng cách tóm tắt, thường là dùng sơ đồ đoạn thẳng.
- Lập kế hoạch giải toán nhằm xác định trật tự giải quyết của phép tính
số học.
Trong giải toán, đây là bước quyết định và cũng là bước khó khăn nhất. Bước
này đòi hỏi học sinh biết huy động kiến thức đã biết để nhận xét, so sánh, bác
bỏ, từ đó mới tiếp cận được lời giải của bài toán.
Bước 3: Thực hiện giải toán. Đây là bước tập hợp lại của bước xây dựng
chương trình giải, ta dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết
của bài toán, các mệnh đề toán học đã biết ta suy dẫn tới kết luận của bài toán.
Thực hiện giải toán là thực hiện các phép tính đã nêu trong kế hoạch giải toán
và trình bày bài giải đó. Trong chương trình Tiểu học hiện nay, học sinh có
thể áp dụng một trong những cách riêng biệt hoặc trình bày dưới dạng biểu
thức gồm một vài phép tính.
Bước 4: Kiểm tra và đánh giá lời giải. Việc kiểm tra nhằm phân tích cách
giải đúng hoặc sai, phát hiện sai ở đâu và sửa lại cho đúng, ghi đáp số. Ngoài



học sinh phải thực hiện từ hai phép tính trở lên. Đây chính là các bài toán có
lời văn điển hình, gồm các loại bài sau:
+ Bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó.
+ Bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó.
+ Bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó.
+ Bài toán có số thập phân.
+ Một số bài toán khác.
1.4.3. Một số bài toán về tuổi trong chương trình SGK tiểu học
1.4.3.1. Lớp 2 và lớp 3. Gồm các bài toán giải bằng một phép tính.
Ví dụ 1. Anh 7 tuổi, anh hơn em 5 tuổi. Hỏi anh bao nhiêu tuổi?
(SGK Toán 2 - Tr 26)
Ví dụ 2. Hãy giải bài toán theo tóm tắt:
Anh:

16 tuổi

Em kém anh: 5 tuổi
Em:……..…….. tuổi?
(SGK Toán 2 - Tr31)
Ví dụ 3. Năm nay bà 65 tuổi, mẹ kém bà 7 tuổi. Hỏi năm nay mẹ bao nhiêu
tuổi?
(SGK Toán 2 - Tr 90)


Ví dụ 4. Năm nay ông 70 tuổi, bố kém ông 32 tuổi. Hỏi năm nay bố bao
nhiêu tuổi?
(SGK Toán 2 - Tr33)
Ví dụ 5. Năm nay em 5 tuổi, tuổi chị gấp 2 lần tuổi em. Hỏi năm nay chị bao
nhiêu tuổi?
(SGK Toán 3 – Tr 33)