TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI
KHOA CƠ KHÍ
Bộ môn Kĩ thuật máy
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:
“DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN J (J-INTEGRAL) ĐỂ TÍNH
TOÁN KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU”
Giáo viên hướng dẫn
: Th.s Trần Thanh Hải
Sinh viên thực hiện
: Nguyễn Xuân Tiến
Mã sinh viên
: 0508884
Lớp
: Cơ – Điện tử K47
HÀ NỘI – 2012
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
LỜI NÓI ĐẦU
GVHD: Th.S Trần Thanh Hải
Trang 2
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
này. Trong quá trình hoàn thành, do kiến thức bản thân còn hạn hẹp nên đề tài vẫn còn
tồn tại nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các thầy, cô và
các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2012
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Xuân Tiến
Lớp Cơ – Điện Tử K47 ĐHGTVT
TÓM TẮT ĐỒ ÁN
Tên đề tài: “DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN J (J-INTEGRAL) ĐỂ TÍNH TOÁN
KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU”
GVHD: Th.S Trần Thanh Hải
Trang 3
ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Nội dung đề tài:
-
Tìm hiểu về cơ học phá hủy
Nghiên cứu về phương pháp PTHH
Tìm hiểu về phần mềm Ansys
Ứng dụng phần mềm Ansys để giải bài toán tính tỉ lệ giải phóng năng lượng của
1.3Nguyên nhân gây ra phá hủy..............................................................
2.Các chế độ phá hủy (Fracture modes).....................................................15
3.Ứng suất tập trung tại đỉnh vết nứt, hệ số cường độ ứng suất.................15
3.1Bài toán Westergaard.........................................................................
3.2Hệ số cường độ ứng suất K (Stress intensity factor)..........................
3.3Trường ứng suất và chuyển vị tại gần đỉnh vết nứt............................
3.4Sự phụ thuộc của hệ số cường độ ứng suất vào cấu trúc của vết nứt
và phụ tải.................................................................................................
3.5Tiêu chuẩn phá hủy thứ nhất..............................................................
4.Năng lượng cân bằng trong vết nứt, Tỉ lệ năng lượng giải phóng..........22
4.1Cân bằng năng lượng trong vết nứt....................................................
4.2Lý thuyết Griffith...............................................................................
4.3Tỷ lệ giải phóng năng lượng G...........................................................
4.4Tiêu chuẩn phá hủy thứ hai................................................................
4.5Mối quan hệ giữa K và G...................................................................
5.Tích phân J (J-Integral) – Tỷ lệ năng lượng giải phóng phi tuyến..........26
5.1Định nghĩa..........................................................................................
5.2Tỷ lệ năng lượng giải phóng phi tuyến.[8].........................................
5.3Sự bất biến của tích phân J.................................................................
5.4Tiêu chuẩn phá hủy thứ ba.................................................................
5.5Mối quan hệ giữa J, K và G................................................................
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN.............................32
1.Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn...........................................32
1.1Khái niệm chung................................................................................
1.2Nội dung của phương pháp................................................................
1.3Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn........
1.4Hàm xấp xỉ - Hàm dạng - Phép nội suy.............................................
2.3Kết quả...............................................................................................
2.4Kết luận..............................................................................................
KẾT LUẬN................................................................................................ 82
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................83
DANH SÁCH HÌNH VẼ
Hình 1.1 – Các mẫu thử có và không có vết nứt........................................11
Hình 1.2 – So sánh cơ học phá hủy và sức bền vật liệu.............................11
Hình 1.3 – Biểu đồ ứng suất – chuyển vị trong thí nghiệm kéo đứt mẫu
thử kim loại................................................................................................ 13
Hình 1.4 – Quá trình hình thành vết nứt....................................................13
Hình 1.5 –Sự nứt do chẻ thớ trong vật liệu................................................14
Hình 1.6 – Sự nứt giữa các hạt..................................................................14
Hình 1.7 – Sự nứt giữa các hạt có sự xuất hiện của các lỗ trống..............15
Hình 1.8 – Sự nứt giữa các hạt có sự xuất hiện của các lỗ trống..............15
Hình 1.9 – Chế độ phá hủy cơ bản............................................................15
Hình 1.10 – Bài toán Westergaard...........................................................16
Hình 1.11 - Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn
trục............................................................................................................ 19
Hình 1.12 - Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn
trục............................................................................................................ 19
Hình 1.13 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn
trục............................................................................................................ 20
Hình 1.14 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn
trục............................................................................................................ 20
Hình 1.15 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn
trục............................................................................................................ 21
Hình 4.5 – Phương pháp suy biến điểm phần tư.......................................67
Hình 4.6 – Phương pháp tích phân kín nứt hiệu chỉnh..............................68
Hình 4.7 – Tích phân J.............................................................................. 69
Hình 4.8 – Các dạng biến đổi của tích phân J...........................................69
Hình 4.9 – Kết cấu hai vật liệu (Bimaterial).............................................71
Hình 4.10 – Mô hình một nửa của kết cấu.................................................72
Hình 4.11 – Mô hình của kết cấu bằng Ansys............................................78
Hình 4.12 – Biểu đồ biến dạng của kết cấu...............................................79
Hình 4.13 – Biểu đồ chuyển vị của các nút phần tử..................................79
Hình 4.14 – Cường độ ứng xuất vùng gần đỉnh vết nứt.............................79
Hình 4.15 – Bảng Giá trị của các tham số................................................80
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC PHÁ HỦY
1. Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics)
1.1 Khái niệm về cơ học phá hủy
Phá huỷ là vấn đề mà xã hội phải đối mặt kể từ khi con người bắt đầu xây dựng
những kiến trúc.Ngày nay vấn đề này thực sự trở nên quan trọng hơn nhiều bởi sự ảnh
hưởng của phá hủy là rất lớn do sự phụ thuộc của con người ngày càng nhiều vào khoa
học kĩ thuật và máy móc
May mắn thay,sự tiến bộ trong lĩnh vực cơ học phá huỷ đã và đang giúp chúng ta
giảm thiểu đáng kể các nguy hiểm tiềm ẩn gây ra bởi sự phá hủy của các kết cấu trong
các công trình, máy móc…Nhiệm vụ của môn Cơ học phá hủy là tìm ra nguyên nhân
tại sao vật liệu bị phá huỷ và khả năng ngăn chặn,bảo vệ được sự phá huỷ của các kết
cấu đó.
Cơ học phá hủy là một lĩnh vực của cơ học nói chung, chuyên nghiên cứu sự hình
thành của vết nứt trên vật liệu của kết cấu cơ học. Cơ học phá hủy là một lĩnh vực
đóng vai trò quan trọng trong việc cải thiện hiệu suất của vật liệu và các thành phần
cơ học của kết cấu.
Đối với vật liệu không thay đổi theo thời gian, Fracture Mechanics có thể được
chia thành cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính (Linear Elastic Fracture Mechanics)
(LEFM) và cơ học phá hủy đàn hồi dẻo (Elasto Plastic Fracture Mechanics
(EPFM). LEFM được áp dụng để tính toán cho các vật liệu có tính đàn hồi không biến
dạng (đàn hồi tuyến tính), chúng bị phá hủy khi chưa xảy ra biến dạng hoặc biến dạng
còn nhỏ, với các vật liệu như: thép cường độ đàn hồi cao, thủy tinh, đá, bê
tông...LEFM cho kết quả tính toán có độ chính xác khá cao. Tuy nhiên, đối với vật liệu
dễ uốn như thép carbon thấp, thép không gỉ, hợp kim nhôm, polyme, vv, tính dẻo luôn
xảy ra trước phá hủy. Tuy nhiên, khi tải trọng nhỏ, LEFM vẫn cho kết quả gần đúng.
EPFM được áp dụng cho để tính toán cho các kết cấu có vật liệu có tính chất đàn hồidẻo. EPFM là trường hợp mà khi xuất hiện vết nứt, vật liệu đã có sự biến dạng (chảy
dẻo).
Dựa theo tính chất của vật liệu của kết cấu Cơ học phá hủy được chia thành các
dạng sau:
− Vật liệu có tính chất độc lập tuyến tính theo thời gian (Linear time – independent
materials) : Cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính
− Vật liệu có tính chất độc lập phi tuyến theo thời gian (Nonlinear time –
independent materials) : Cơ học phá hủy đàn hồi phi tuyến
− Vật liệu có tính chất thay đổi theo thời gian (Time – dependent materials) : Động
lực học cơ học phá hủy, cơ học phá hủy nhớt đàn hồi, cơ học phá hủy nhớt dẻo
1.3 Nguyên nhân gây ra phá hủy
Độ bền của tổ chức vết nứt
Hình 1.3 – Biểu đồ ứng suất – chuyển vị trong thí nghiệm kéo đứt mẫu thử kim loại
Phá hủy ở vật liệu thường được chia làm hai dạng:
− Phá hủy giòn (Brittle): Vật liệu bị phá hủy khi biến dạng còn rất nhỏ.
− Phá hủy dẻo (Ductile): Vật liệu bị phá hủy khi có biến dạng lớn và có sự chảy
dẻo.
thép hóa giòn ở nhiệt độ cao hay vật liệu khó nóng chảy như tungsten hay
phá hủy rão.
Hình 1.8 – Sự nứt giữa các hạt có sự xuất hiện của các lỗ trống
2. Các chế độ phá hủy (Fracture modes)
Trong kỹ thuật ta thường gặp ba chế độ phá hủy cơ bản
Hình 1.9 – Chế độ phá hủy cơ bản
−
−
−
Dạng mở rộng (mode I) các bề mặt phá hủy bị tách theo phương Y
Dạng trượt (mode II) các bề mặt trượt lên nhau theo phương X.
Dạng trượt xoay (mode III) các bề mặt trượt lên nhau và xé ra theo phương Z.
Ngoài ra còn có các dạng phá hủy khác là các biến thể của 3 chế độ trên. Trong đó
chế độ I là loại phổ biến nhất thường gặp trong hư hỏng kỹ thuật.
3. Ứng suất tập trung tại đỉnh vết nứt, hệ số cường độ ứng suất.
3.1 Bài toán Westergaard
Khi vết nứt xuất hiện, tại vùng gần đỉnh của vết nứt có xuất hiện ứng suất tập
trung, để biểu thị cho mức độ tập trung của ứng suất tại vùng gần đỉnh của vết nứt
người ta dùng hệ số K được gọi là hệ số cường độ ứng suất
Xét bài toán khe nứt elip trong tấm phẳng có kích thước lớn vô hạn (Westergaard)
Hình 1.10 – Bài toán Westergaard
σ yy = σ
θ
θ
3θ
sin cos cos
2r
2
2
2
( MPa)
(1.3)
3.2 Hệ số cường độ ứng suất K (Stress intensity factor)
Hệ số cường độ ứng suất là đại lượng đặc trưng cho mức độ tập trung ứng suất tại
vùng gần đỉnh vết nứt và được xác định bằng công thức sau:
σ yy
KI
2π r τ xy
K II = r →lim
0,θ = 0
K
τ
III
yz
Với
Trường ứng suất:
σ xx =
KI
θ
θ
3θ
cos 1 − sin sin ÷ ( MPa)
2
2
2
2π r
(1.7)
σ yy =
KI
θ
θ
3θ
cos 1 + sin sin ÷ ( MPa)
2
2
2
2π r
(1.8)
cos κ − 1 + 2sin 2
2π
2
2
r
θ
θ
sin k − 1 + 2cos 2
2π
2
2
Chế độ phá hủy II :
Trường ứng suất:
σ xx =
( m)
K II
θ
θ
3θ
cos 1 − sin sin ÷ ( MPa)
2
2
2
2π r
( MPa)
(1.13)
(1.14)
Trường chuyển vị:
ux =
K II
2µ
r
θ
θ
cos k − 1 + 2sin 2
2π
2
2
( m)
(1.15)
uy =
K II
2µ
K III
θ
sin
2
2π r
( MPa )
(1.17)
σ yz =
K III
θ
cos
2
2π r
( MPa )
(1.18)
σ xx = σ yy = σ zz = τ xy = 0 ( MPa) (1.19)
Trường chuyển vị:
uz =
K III
2µ
4
a
a
a
a
α = 1,12 − 0, 23 ÷+ 10,55 ÷ − 21,71 ÷ + 30.38 ÷
W
W
W
W
(1.23)
• Tấm phẳng với hai vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục
Hình 1.12 - Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục
K I = ασ π a
( MPa m ) (1.24)
a
α = 1,12 + 0, 41
W
2
3
Hình 1.14 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục
K I = ασ π a sin 2 (90 − α )
( MPa m )
K II = ασ π a sin (90 − α )cos (90 − α )
2
4
(1.28)
( MPa m )
(1.29)
6
a
a
a
α = 1 + 0,5 ÷ + 20, 46 ÷ + 81,72 ÷ (1.30)
W
W
W
• Tấm phẳng với vết nứt biên chịu tải tập trung ở giữa và hai gối tựa
Hình 1.15 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục
(1.32)
Với B là chiều dày của tấm
3.5 Tiêu chuẩn phá hủy thứ nhất
Theo lý thuyết cơ bản về tuyến tính, ứng suất tại đỉnh của vết nứt là vô cùng
nhưng trong thực tế, luôn có vùng chảy dẻo tại đỉnh của vêt nứt ở đó giới hạn một ứng
suất có giá trị hữu hạn. Rất khó khăn để mô hình và tính toán ứng suất thực tế trong
vùng chảy dẻo và so sánh chúng với giá trị ứng suất cho phép lớn nhất của vật liệu để
xác định liệu rằng một vêt nứt có phát triển hay không.
Một kỹ thuật tiếp cận là thực hiện một loạt các thí nghiệm đê tìm ra một giá trị hệ
số cường độ ứng suất KC (KC là một đặc tính của vật liệu đặc trưng cho sự chống lại sự
phá hủy của vật liệu) tương ứng với mỗi vật liệu. K C được gọi là độ bền phá hủy của
vật liệu. Một vật được xác định khả năng nứt bằng cách so sánh K i với KiC tương ứng
(i=I,II,III). Sự phá hủy xảy ra khi Ki KiC.
4. Năng lượng cân bằng trong vết nứt, Tỉ lệ năng lượng giải phóng
4.1 Cân bằng năng lượng trong vết nứt
Sự thay đổi khi một vật thể vết xuất hiện vết nứt là sự suất hiện thêm các bề mặt.
Khối nứt tạo ra các bề mặt mới (vết nứt) sẽ tiêu thụ năng lượng từ các bề mặt mang
năng lượng cao hơn năng lượng của chi tiết và giải phóng ra năng lượng. Sau đó quá
trình nứt có tiếp tục diễn ra hay không còn phụ thuộc vào việc nó có chứa đủ năng
lượng để tạo thêm các bề mặt trong khi vẫn duy trì sự cân bằng của nó. Nói cách khác
quá trình nứt diễn ra khi xảy ra sự mất cân bằng năng lượng giữa các bề mặt với năng
lượng của bản thân kết cấu, chi tiết.
Theo định luật bảo toàn năng lượng: Công thực hiện trong một đơn vị thời gian do
.
tác dụng của tải trọng ( W ) phải bằng tổng tỷ lệ của biến đổi nội năng đàn hồi
(internal elastic energy) (
∂t ∂A ∂t
∂A
(1.34)
với A là diện tích vết nứt. Do vậy phương trình (1.33) có thể được viết lại như sau:
−
∂Π ∂U P ∂Γ
=
+
∂A
∂A ∂A
(1.35)
Ở đây, Π = U E − W là thế năng của hệ.
Phương trình (1.35) cho thấy việc giảm thế năng bằng với năng lượng tiêu tan
trong kết cấu dẻo và tạo ra bề mặt.
4.2 Lý thuyết Griffith
Theo định luật nhiệt động lực học đầu tiên, khi một hệ chuyển từ trạng thái không
cân bằng sang trạng thái cân bằng sẽ có sự suy giảm năng lượng. Griffith áp dụng ý
tưởng này để giải thích sự hình thành vết nứt. Một vết nứt có thể hình thành nếu có
một quá trình nào đó làm cho tổng năng lượng suy giảm hoặc còn lại một giá trị hằng
số. Do đó điều kiện cần thiết để định nghĩa một khe nứt tồn tại dưới điều kiện cân
bằng là không có sự thay đổi trong tổng năng lượng
Xét một tấm phẳng chịu ứng suất đều và có một khe nứt chiều dài 2a. Giả thiết
rằng chiều rộng của tấm phẳng rất lớn so với chiều dài 2a của khe nứt và điều kiện ở
(J )
(1.38)
Với П0 là thế năng của tấm phẳng khi chưa nứtvà B là độ dày tấm phẳng. Do sự hình
thành khe nứt đòi hỏi sự tạo thành của hai mặt phẳng nên Ws được cho bởi:
Ws = 4aBγ s
(J )
(1.39)
Với γS là năng lượng bề mặt của vật liệu.
Ta có:
∂Π
dΠ da
πσ 2 2aB 1
A = 2aB ⇒ −
=−
=−
∂A
da dA
E
2B
∂Π πσ 2 a
⇒−
=
∂A
Phương pháp Griffith cũng có thể dùng để áp dụng tính toán cho các mô hình nứt
khác.
4.3 Tỷ lệ giải phóng năng lượng G
Đối với các vật liệu đàn hồi tuyến tính – Linear elastic materials (vật liệu giòn lý
tưởng), năng lượng tiêu tan trong biến dạng dẻo là không đáng kể và có thể được bỏ
qua (
=0). Do vậy, năng lượng để mở rộng một đơn vị của bề mặt vết nứt G có thể
được xác định:[1]
G=−
∂Π ∂Γ
=
∂A ∂A
( J / m2 )
(1.44)
Phương trình trạng thái cân bằng ở trên chính là thế năng trong vật thể cần phải
thắng năng lượng bề mặt của vật liệu (năng lượng cần thiết để vết nứt lớn thêm ra). G
còn được gọi là tỷ lệ giải phóng năng lượng đàn hồi hay độ cứng chống phá hủy.
Theo công thức (1.41) tỷ lệ giải phóng năng lượng trong mô hình nứt trên là:
πσ 2 a
⇒G=
E
∂Ws
∂A
( J / m2 )
(1.48)
Gc được gọi là độ bền phá hủy của vật liệu theo tiêu chuẩn năng lượng .
4.5 Mối quan hệ giữa K và G
− Với mô hình phá hủy dạng I và II
GI =
K I2
E'
(1.49)
GII =
K II2
E'
(1.50)
Copyright: Tài liệu đại học ©