BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Tú

BÀI TOÁN DẠNG CAUCHY CHO HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM
TUYẾN TÍNH HAI CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh-2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Tú

BÀI TOÁN DẠNG CAUCHY CHO HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM
TUYẾN TÍNH HAI CHIỀU
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số
: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN ANH TUẤN
Thành phố Hồ Chí Minh-2012



MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 8
Chương 1. TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH ........................................................... 10
1.1 Giới thiệu bài toán ..................................................................................................... 10
1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán (1.1), (1.2) ..................................... 10
1.3 Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) ............................................................. 14
Chương 2. BÀI TOÁN DẠNG CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM
TUYẾN TÍNH HAI CHIỀU ................................................................................................ 21
2.1 Giới thiệu bài toán ..................................................................................................... 21
2.2 Các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán (2.1), (2.2) .............................. 21
2.3 Các kết quả áp dụng cho hệ phương trình vi phân đối số chậm và đối số lệch ......... 53
KẾT LUẬN.......................................................................................................................... 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................... 73


CÁC KÝ HIỆU
•

I = [ a; b ] ,  =

[ −∞; +∞ ] ,

•

x ∈ , [ x ]+ =

x+ x

•


•
•

{( x ) ∈  : x ≥ 0 (=i 1,..., n )}
 = {( x ) ∈  : x ≥ 0 ( i, =
k 1,..., n )}
n
=
+

n
i i =1

n×n
+

n

i

n
ik i , k =1

n×n

ik

• Nếu x, y ∈  n và X , Y ∈  n×n thì: x ≤ y ⇔ y − x ∈  n+ ; X ≤ Y ⇔ Y − X ∈  n+×n .
• Nếu
=

u C max u ( t ) : t ∈ [ a; b ]

{u ∈ C ([ a; b];  ) : u (t ) ≥ 0, ∀t ∈ [ a; b]}

•

C ([ a; b ] ;  + )=

•

C I ,  n là không gian các véc tơ hàm liên tục x : I →  n với chuẩn

(

)

{

=
x C max x ( t ) : t ∈ I

Nếu
=
x
•

}

( xi )i =1 ∈ C ( I ;  n ) thì
n


trang bị chuẩn h L = ∫ h ( s ) ds
a

•

(

)

L [ a; b ] ;  n : không gian Banach các hàm khả tích Lơbe h : [ a; b ] →  n được
b

trang bị chuẩn h L = ∫ h ( s ) ds
a

{h ∈ L ([ a; b];  ) : h (t ) ≥ 0, ∀t ∈ [ a; b]}

•

L ([ a; b ] ;  + )=

•

Lµ I ,  n , trong đó 1 ≤ µ < +∞ là không gian các hàm véc tơ x : I →  n khả

(

)


)

(

)

n
là tập các toán tử tuyến tính bị chặn l : C [ a; b ] ;  n → L [ a; b ] ;  n với
ab

{

chuẩn: l sup l ( x ) L : x
=
•

x Lµ = xi

ab là tập hợp các toán tử tuyến tính bị chặn l : C ([ a; b ] ;  ) → L ([ a; b ] ;  ) với

chuẩn: l sup l ( x ) L : x
=
•

(

Lµ

b
µ


l ab0 được gọi là thu hẹp của toán tử l vào không gian C ([ a; b0 ] ;  ) , trong đó:

l ∈ ab và b0 ∈ [ a; b ] , l ab0 : C ([ a; b0 ] ;  ) → L ([ a; b0 ] ;  ) được xác định bởi:
 z ( t ) , t ∈ [ a; b ]
l ab0 ( z )( t ) = l ( z )( t ) với t ∈ [ a; b0 ] , z ∈ C ([ a; b0 ] ;  ) , z ( t ) = 
 z ( b0 ) , t ∈ [b0 ; b ]

•

ˆab2 ( a ) là tập hợp gồm các phần tử là các cặp ( p, g ) ∈ ab × ab sao cho:

Với mọi u, v tùy ý thuộc C ([ a; b ] ;  ) thỏa mãn:
'
'
u (t ) ≥ p (v)(t ), v (t ) ≥ g (u )(t )
với t ∈ [a;b] thì: u(t ) ≥ 0 với t ∈ [a;b] .

v( a ) ≥ 0
u ( a ) ≥ 0,


MỞ ĐẦU
Trong toán học, phương trình vi phân là một chuyên ngành phát triển, có tầm
quan trọng và có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật, kinh
tế. Lý thuyết bài toán biên cho hệ phương trình vi phân ra đời từ thế kỷ thứ XVIII.
Đến nay, bộ môn này vẫn phát triển mạnh mẽ nhờ các ứng dụng của nó trong khoa
học và cuộc sống như cơ học, cơ khí, vật lý, nông nghiệp, sinh học,… Trong những
năm từ 1995 đến 2003, I. Kiguradze và B. Puza đã nghiên cứu bài toán biên tổng
quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính với các điều kiện biên tổng quát.

Chương 2: Bài toán dạng Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính hai
chiều.
Trong chương 2 ta áp dụng các kết quả của chương 1 để xây dựng các điều
kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán dạng Cauchy cho hệ
phương trình vi phân hàm tuyến tính hai chiều. Sau đó, áp dụng các kết quả cho hệ
phương trình vi phân hai chiều đối số chậm và đối số lệch.


Chương 1. TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT
CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH
1.1 Giới thiệu bài toán
Trên đoạn I = [ a; b ] , ta xét hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính:
dx ( t )
= p ( x )( t ) + q ( t )
dt

(1.1)

Với điều kiện:
l ( x ) = c0

(1.2)

Trong đó: p : C ( I ;  n ) → L ( I ;  n ) và l : C ( I ;  n ) →  n là những toán tử tuyến tính bị
chặn, q ∈ L ( I ;  n ) , và c0 ∈  n .
Nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) là véc tơ hàm liên tục tuyệt đối x ∈ C ( I ,  n )
thỏa mãn (1.1) hầu khắp nơi trên I và thỏa mãn điều kiện (1.2).
Các kết quả chính của chương này được trích từ các tài liệu [2], [3].

1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán (1.1), (1.2)

∫ p ( x ) dx ≤ ε

với s, t ∈ I , t − s ≤ δ , x ∈ I

(1.3)

s

Bổ đề 1.5. Nếu p ∈ ab thì toán tử A : C ( I ;  ) → C ( I ;  ) xác định bởi:
t

A ( x )( t ) = ∫ p ( x )( s ) ds , với t ∈ I .

(1.4)

a

là toán tử compact.
Chứng minh
Gọi M ⊆ C ( I ;  ) là tập bị chặn tùy ý. Để chứng minh A là toán tử compact, theo
định lý Ascoli – Azela ta chỉ cần chứng minh =
A(M )

{A( x) : x ∈ M }

là tập bị chặn

đều và đồng liên tục.
Ta có:
t



∀ε > 0, ∃δ > 0 :

t

∫ p ( x )(ξ ) dξ

≤ ε với s, t ∈ I , t − s ≤ δ , x ∈ M

s

Mặt khác:
A ( x )( t ) − A ( x )(=
s)

t

s

t

a

a

s

ξ ∫ p ( x )(ξ ) dξ
∫ p ( x )(ξ ) dξ −∫ p ( x )(ξ ) d=

j

n
j =1

∈ n

Vì p : C ( I ;  n ) → L ( I ;  n ) là toán tử tuyến tính nên tồn tại các toán tử :

(

)

pi : C I ;  n → L ( I ;  ) ; pij : C ( I ;  ) → L ( I ;  ) sao cho:

( )

p ( x ) = ( pi ( x ) )i =1 ; pi ( x ) = ∑ pij ( x j ) ; pij ( x j ) = pi x j với ( i = 1,..., n )
n

n

j =1

Vì p : C ( I ;  n ) → L ( I ;  n ) là toán tử tuyến tính bị chặn nên: pij : C ( I ;  ) → L ( I ;  )
là toán tử tuyến tính bị chặn.
Do đó, theo bổ đề 1.5, toán tử :
t

Aij ( x )( t ) = ∫ pij ( x j ) ( s ) ds với t ∈ [ a; b ] , ( i, j = 1,..., n )

x

C

+ c .

( x; c ) ∈ B , ta đặt:

Với một phần tử tùy =
ýu

t


f ( u )( t ) =
c
+
x
a
+
( ) ∫ p ( x )( s ) ds, c − l ( x )  , với t ∈ I .

a



(1.5)

t



Đặt: B ( 0,1) =
{u ∈ B : u B ≤ 1}


Với mọi u ∈ B ( 0;1) ta có:
f2 (u ) ≤ 1 + l

(1.7)

Từ (1.7) suy ra f 2 ( B ( 0;1) ) là tập bị chặn trong  n nên là tập compact tương đối
trong  n , suy ra f 2 là toán tử compact.
Mặt khác, theo bổ đề 1.6 thì f1 cũng là toán tử compact.
Suy ra: f = ( f1 , f 2 ) là toan tử tuyến tính compact. Do đó, theo định lý Riesz Schauder, thì điều kiện cần và đủ cho tính duy nhất nghiệm của bài toán (1.6) là
phương trình thuần nhất tương ứng:
u = f (u )

(1.8)

chỉ có nghiệm tầm thường. Điều này tương đương với bài toán (1.1), (1.2) chỉ có
nghiệm tầm thường. Định lý 1.1 được chứng minh.

1.3 Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán (1.1), (1.2)
Cùng với bài toán (1.1), (1.2), với mỗi số tự nhiên k ≠ 0 , ta xét bài toán:
dx ( t )
= pk ( x )( t ) + qk ( t )
dt

(1.1 k )
Với điều kiện:

(1.9)
(1.10)

k →+∞

Giả sử với mọi y ∈ C ( I ;  n ) , ta có:
lim (1 + pk

k →+∞

t

0 đều trên I
) ∫  p ( y )( s ) − p ( y )( s ) ds =
k

(1.11)

a

Hơn nữa:
lim (1 + pk

k →+∞

t

0 đều trên I
) ∫ q ( s ) − q ( s ) ds =
k


Trong đó: ∆ k ( z )=

C

≤ α .∆ k ( z ) ( ∀k > k0 )


lk ( z ) + max (1 + pk


t

) ∫  z ( s ) − p ( z )( s ) ds
'

k

a


:t ∈I


(1.15)

Chứng minh
Từ điều kiện (1.10) và theo định lý Banach Steinhauss, ta có dãy {lk }k bị chặn đều
hay { lk



(

)

(

)

(

)

(

)

A : C I ; n → C I ; n
Ak : C I ;  n → C I ;  n

là các toán tử tuyến tính bị chặn và:
Ak ≤ pk , k = 1, 2,...

(1.17)

Điều kiện (1.9) được viết lại như sau:

{

}


∫  y ( s ) − p ( y )( s ) ds , t ∈ I
'
m

km

m

(1.20 )

a

y0m
=
( t ) ym ( t ) − vm ( t ) , t ∈ I

(1.21)

w m ( t )= Akm ( y0 m )( t ) − A ( y0 m )( t ) + Akm ( vm )( t ) , t ∈ I

(1.22)

Khi đó ta có:
ym

C

= 1 , ( m = 1, 2,...)



Từ (1.17), (1.19), (1.20) ta có:
t
 zm' ( s )

'


vm ( t ) =
y
s
p
y
s
ds
p
y
s
−
=
−
(
)
(
)(
)
(
)(
)



zm

C

(1 +

pkm

)

, do (1.15)

Suy ra:
vm

C

∆ km ( z m )

≤
zm

C

(1 +

pkm

)

≤

(

pkm

m 1 + pkm

)

≤

Từ (1.23) và (1.24) suy ra: y0 m ∈ M p . Do đó, theo (1.18) ta có:
k

lim Akm ( y0 m ) − A ( y0 m )

k →+∞

C

=
0

(1.28)

Từ (1.22) ta có:
wm

C


C

≤ 2, m = 1, 2,...

Vậy { y0m }m là dãy bị chặn, suy ra { y0m }m chứa một dãy con hội tụ đều. Không mất
tính tổng quát, ta có thể giả sử:
lim y0 m ( t ) = y0 ( t ) đều trên I.

m →+∞

Theo (1.21) ta có:

(1.31)


ym − y0

C

≤ vm

+ y0 m − y0 C , m = 1, 2,...

C

Cho m → +∞ trong bất đẳng thức trên, theo (1.26) và (1.31) ta có:
lim ym − y0

k →+∞


Suy ra: y0 là nghiệm không tầm thường của (1.1 0 ).
Mặt khác, theo (1.16), (1.15), (1.19) ta có:
lkm ( y0 ) ≤ lkm ( y0 − ym + ym ) ≤ lkm ( y0 − ym ) + lkm ( ym )

≤ β y0 − ym

C

+

1
zm

lkm ( zm ) ≤ β y0 − ym

C

+

∆ km ( z m )

C

zm

C

Hay:
lkm ( y0 ) ≤ β y0 − ym

Gọi k0 và α là các số được xác định như trong bổ đề 1.8. Khi đó, theo bổ đề 1.8,
x0k thỏa mãn:

k0


x0 k

≤ α .∆ k ( x0 k ) ( ∀k > k0 )

C



Với : ∆ k ( =
x0 k ) lk ( x0 k ) + max (1 + pk


t

) ∫  x ( s ) − p ( x )( s ) ds
'

0k

k

0k

a

dxk ( t )
dt

−

dx ( t )
dt

= pk ( xk )( t ) + qk ( t ) − p ( x )( t ) − q ( t )

= pk ( zk )( t ) + pk ( x )( t ) + qk ( t ) − p ( x )( t ) − q ( t )

Ta lại đặt:
qk (=
t ) pk ( x )( t ) + qk ( t ) − p ( x )( t ) − q ( t )
c=
ck − lk ( x )
k

, với t ∈ I

(1.34)

Suy ra:
dzk ( t )
=
pk ( zk )( t ) + qk ( t )
dt

(1.35)


k →+∞

(1.38)


Theo bổ đề 1.8 và (1.36), (1.37) ta có:
zk

C



≤ α  lk ( zk ) + max (1 + pk




)

 
'


−
∈
z
s
p
z

C

lim xk − x

k →+∞

=0
C

=
0


Chương 2. BÀI TOÁN DẠNG CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH HAI CHIỀU
2.1 Giới thiệu bài toán
Xét bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính hai chiều:
x1′ ( t ) =
l1 ( x2 )( t ) + q1 ( t ) ;

x2′ ( t ) =
l2 ( x1 )( t ) + q2 ( t )

(2.1)

Với điều kiện đầu:
x1 ( a ) = c1 ; x2 ( a ) = c2

(2.2)



βi ( t ) > 0 với t ∈ [ a; b ] ; i =
1, 2

(2.3)

β1′ ( t ) ≥ lk ,0 ( β 2 ( t ) ) + lk ,1 ( β 2 ( t ) ) với t ∈ [ a; b ]

(2.4)

β 2′ ( t ) ≤ −l3− k ,0 ( β1 ( t ) ) − l3− k ,1 ( β1 ( t ) ) với t ∈ [ a; b ]

(2.5)


b

∫l

k ,1− m

( β 2 )( s ) ds ≤ β1 ( a )

(2.6)

a

b

b


α1′ ( t ) ≤ l1,0 (α 2 )( t ) − l1,1 ( β 2 )( t ) với t ∈[ a, b ]

(2.9)

α 2′ ( t ) ≥ l2,0 ( β1 )( t ) − l2,1 (α1 )( t ) với t ∈[ a, b ]

(2.10)

β1′ ( t ) ≥ l1,0 ( β 2 )( t ) − l1,1 (α 2 )( t ) với t ∈[ a, b ]

(2.11)

β 2′ ( t ) ≤ l2,0 (α1 )( t ) − l2,1 ( β1 )( t ) với t ∈[ a, b ]

(2.12)

Khi đó, với bất kì c1 ∈ α1 ( a ) , β1 ( a )  và c2 ∈ α 2 ( b ) , β 2 ( b )  thì hệ (2.1 0 ):
=
x1′ ( t ) l1=
( x2 )( t ) , x2′ ( t ) l2 ( x1 )( t )

Có ít nhất một nghiệm ( x1 , x2 ) thỏa mãn:
x1 ( a ) = c1 ; x2 ( b ) = c2

và: α i ( t ) ≤ xi ( t ) ≤ βi ( t ) với t ∈[ a, b ] , i = 1, 2
Chứng minh
Với k = 1, 2 và z ∈C ([ a, b ] ,  ) , ta đặt:
χ k ( z )( t=)


2
≤

(

)

Suy ra:
lim χ k ( zn )( t ) − χ k ( z )( t ) =
0 với mọi t ∈ [ a; b ]

n →+∞

Do đó: lim χ k ( zn ) − χ k ( z ) C =
0 . Nên χ k là những toán tử liên tục, với k = 1, 2 .
n →+∞

Mặt khác:
− ( z (t ) − α k (t )) − ( z (t ) − βk (t )) ≤ z (t ) −α k (t ) − z (t ) − βk (t )
≤ ( z (t ) − α k (t )) − ( z (t ) − βk (t ))

(2.13)
Nên: α k ( t ) ≤ χ k ( z )( t ) ≤ β k ( t ) với t ∈ [ a; b ] , z ∈ C ([ a; b ] ;  ) ;(k =
1, 2)
Đặt:

t

T1 ( z )( t =
) c1 + ∫ l1 ( χ 2 ( z ) ) ( s ) ds với t ∈ [ a; b] , z ∈ C ([ a; b] ;  ) ,

) ( s ) ds , với k = 1, 2

a

Bây giờ ta định nghĩa:
T : C ([ a; b ] ;  ) × C ([ a; b ] ;  ) → C ([ a; b ] ;  ) × C ([ a; b ] ;  ) xác định bởi:
T ( z1 , z2 )( t ) = (T1 ( z2 )( t ) , T2 ( z1 )( t ) ) với t ∈ [ a; b ] ; z1 , z2 ∈ C ([ a; b ] ;  )

Theo (2.14) và (2.15) thì T là ánh xạ liên tục từ không gian Banach
C ([ a; b ] ;  ) × C ([ a; b ] ;  ) vào tập con compact tương đối của nó. Do đó, theo định lý

điểm bất động Schauder, toán tử T có một điểm bất động. Suy ra tồn tại
x1 , x2 ∈ C ([ a; b ] ;  ) thỏa:

=
x1 ( t ) T=
T2 ( x1 )( t ) với t ∈ [ a; b ]
1 ( x2 )( t ) ; x2 ( t )

(2.16)

Từ (2.16) suy ra: x1 , x2 ∈ C ([ a; b ] ;  ) ; x1 ( a ) = c1 ; x2 ( b ) = c2 . Do đó:
α1 ( a ) ≤ x1 ( a ) ≤ β1 ( a ) ; α 2 ( b ) ≤ x2 ( b ) ≤ β 2 ( b )

(2.17)

Mặt khác, từ (2.11), (2.15), (2.16) ta có:
'
x1' ( t ) − β=
1 (t )

d
T2 ( x1 )( t ) − β 2' ( t ) ≥ l2,0 (α1 ( t ) ) − l1,1 ( β1 )( t ) − β 2' ( t ) ≥ 0 với t ∈ [ a, b ] .
dt

Suy ra: x2 ( t ) − β 2 ( t ) đồng biến với t ∈ [ a; b ] , kết hợp với (2.17) ta có:
x2 ( t ) ≤ β 2 ( t ) với t ∈ [ a; b ] .

Sử dụng (2.15), (2.16) và (2.10) ta có:
'
x2' ( t ) − α=
2 (t )

d
T2 ( x1 )( t ) − α 2' ( t ) ≤ l2,0 ( β1 ( t ) ) − l2,1 (α1 )( t ) − α 2' ( t ) ≤ 0 với t ∈ [ a, b ] ,
dt

Do đó: x2 ( t ) − α 2 ( t ) nghịch biến với t ∈ [ a, b ] , kết hợp với (2.17) suy ra:
x2 ( t ) ≥ α 2 ( t ) với t ∈ [ a; b ] .

Vậy ta có: α i ( t ) ≤ xi ( t ) ≤ βi ( t ) với t ∈[ a, b ] , i = 1, 2 .
Suy ra:

(

)

χ ( x2 )( t=
)

1

1 ; x2 ( b )
α i ( t ) ≤ xi ( t ) ≤ βi ( t ) với t ∈[ a, b ] , i = 1, 2

Bổ đề 2.2 được chứng minh.
Bổ đề 2.3.
Giả sử tồn tại g1 , g 2 ∈ ab sao cho ( g1 , g 2 ) ∈ ˆab2 ( a ) và với z tùy ý thuộc C ([ a; b ] ;  ) ,
ta có bất đẳng thức:
lk ( z )( t ) sgn z ( t ) ≤ g k ( z ) ( t ) với t ∈ [ a; b ] , k = 1, 2

Khi đó, bài toán (2.1 0 ), (2.2 0 ) chỉ có nghiệm tầm thường.