BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Thị Tuyết Lan
BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Thị Tuyết Lan
BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM
Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học môn bộ Toán
Mã số
: 60 14 01 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
1
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ............................................................................ 4
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 5
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát .......................................................................5
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu ........................................................................................7
3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu ....................................................7
4. Tổ chức luận văn .............................................................................................................8
CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM
SỐ Ở BẬC ĐẠI HỌC .................................................................................................. 9
1.1. Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong hai giáo trình đã chọn..........................................9
1.1.1. Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [a] ...................................................... 9
1.1.2. Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [b] .................................................... 18
1.2. Kết luận chương 1......................................................................................................23
CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM
SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA TOÁN VIỆT NAM 25
2.1. Phân tích Chương trình ............................................................................................25
2.2. Phân tích sách giáo khoa ...........................................................................................26
2.2.1. Phân tích SGK lớp 10 ........................................................................................... 26
2.2.2. Phân tích SGK lớp 11 ........................................................................................... 31
2.2.3. Phân tích SGK lớp 12 ........................................................................................... 37
2.3. Kết luận chương 2......................................................................................................55
CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .................................................... 60
Bảng biến thiên
KSHS
Khảo sát hàm số
ĐT
THPT
Đồ thị
Trung học phổ thông
SGKCB10
Sách giáo khoa Đại số cơ bản 10
SGKNC10
Sách giáo khoa Đại số nâng cao 10
SGVCB10
Sách giáo viên Đại số cơ bản 10
SGVNC10
Sách giáo viên Đại số nâng cao 10
SGKCB11
4
MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong tất cả các đề thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông (THPT) và tuyển sinh Đại học –
Cao đẳng của Việt Nam, bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (KSSBT và vẽ
ĐT hàm số) luôn xuất hiện trong câu hỏi số 1. Chẳng hạn:
Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y =
x+2
(1)
2x + 3
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung
lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2010
Câu I(2,0 điểm) Cho hàm số y =
−x4 − x2 + 6
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
=
y
1
x −1 .
6
1. Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một
chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox.
2. Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa
độ.
3. Nên lưu ý đến tính chẵn, lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
[7, tr.31]
Chúng tôi nhận thấy trình tự để khảo sát một hàm số là tìm tập xác định, khảo sát sự biến
thiên của hàm số đó rồi dựa vào kết quả khảo sát sự biến thiên để vẽ đồ thị hàm số. Hơn
nữa, bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số là bài toán tổng hợp khá nhiều kiến thức về hàm số
như: tập xác định, tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, tính đối
xứng của hàm số,…. Nếu so với các đề thi Tú Tài của Pháp thì một bài toán khảo sát hàm
với các bước như trong chương trình Toán Việt Nam không còn tồn tại nữa.
Bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong chương trình dạy học Toán lớp 12 của Việt Nam
chỉ hạn chế ở một số dạng hàm số quen thuộc như:
• Hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) ,
• Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) ,
=
• Hàm phân thức hữu
tỉ y
ax + b
, (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) ,
cx + d
• Hàm bậc hai trên
bậc nhất y
TKSSBT-ĐT. Như chúng tôi đã nói trong phần mở đầu, kiểu nhiệm vụ này huy động nhiều đối
tượng tri thức của giải tích. Như vậy, mục tiêu chính của luận văn là nghiên cứu các điều
kiện sinh thái xoay quanh kiểu nhiệm vụ này trong thể chế dạy học Toán bậc THPT.
Chúng tôi phát biểu câu hỏi ban đầu bằng ngôn ngữ của các công cụ didactic.
Q1: Các điều kiện sinh thái của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong các giáo trình giải
tích dành cho sinh viên những năm nhất Đại học? Những ràng buộc và hạn chế nào xoay
quanh các tính chất và dạng hàm số của bài toán này trong các giáo trình Đại học?
Q2: Các điều kiện sinh thái của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong thể chế dạy học
toán bậc THPT? Vấn đề khảo sát hàm thông qua việc nghiên cứu các tính chất hàm số và vẽ
đồ thị hàm số tiến triển như thế nào trong thể chế dạy học toán bậc THPT?
3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu là tìm câu trả lời cho các câu hỏi Q1, Q2 đã đặt ra ở mục 2. Để đạt
được mục đích này, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau:
Thứ nhất, chọn phân tích hai giáo trình giải tích dùng cho sinh viên những năm đầu của
bậc Đại học để làm rõ vị trí và đặc trưng của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số. Điều này
góp phần trả lời cho câu hỏi Q1 và được trình bày trong chương 1: Bài toán khảo sát sự
biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở bậc Đại học.
Thứ hai, chúng tôi tiến hành phân tích Chương trình, SGK và tham khảo một số luận văn
nghiên cứu về các tính chất của hàm số để thấy được vị trí của bài toán KSSBT và vẽ ĐT
hàm số trong chương trình dạy học toán bậc THPT. Qua đó thấy được ảnh hưởng của quan
hệ thể chế đến ứng xử của HS khi giải quyết bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số. Những việc
làm trên góp phần trả lời cho câu hỏi Q2. Vấn đề này được chúng tôi trình bày trong chương
2: Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong Chương trình và SGK toán ở
Việt Nam.
7
Từ kết quả phân tích giáo trình đại học, chương trình và SGK giúp chúng tôi đặt ra giả
thuyết nghiên cứu hoặc câu hỏi nghiên cứu.
THỊ HÀM SỐ Ở BẬC ĐẠI HỌC
Trong chương này, chúng tôi đi tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1 như sau:
Q1: Các điều kiện sinh thái của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong các giáo trình
giải tích dành cho sinh viên những năm nhất Đại học? Những ràng buộc và hạn chế nào
xoay quanh các tính chất và dạng hàm số của bài toán này trong các giáo trình Đại học?
Ngoài ra, nếu xem tri thức trong Giáo trình Đại học gần với tri thức bác học thì những kết
quả phân tích của chương này sẽ được chúng tôi chọn làm tham chiếu cho phân tích ở
chương tiếp theo, chương 2: Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong
Chương trình và sách giáo khoa Toán Việt Nam.
Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi sẽ tham khảo các giáo trình toán dùng ở bậc đại học.
Cụ thể, chúng tôi chọn hai giáo trình sau để phân tích:
• Nguyễn Đình Trí (chủ biên) (2008), Toán học cao cấp tập 2, Nxb Giáo dục.
• Ngô Thành Phong (2004), Giải Tích Toán học, Nxb Đại học KHTN.
Để thuận tiện trong việc trình bày, chúng tôi kí hiệu hai giáo trình trên lần lượt là [a] và [b].
Chúng tôi chọn các giáo trình này vì đây là giáo trình được sử dụng phổ biến ở các trường
Đại học - Cao đẳng. Hơn nữa,
Bộ giáo trình “Toán học cao cấp” này được soạn căn cứ vào chương trình khung đã được ban
hành, và thực tế giảng dạy của hệ cao đẳng của một số trường đại học kĩ thuật và căn cứ vào
chương trình môn Toán hiện nay của các trường Trung học Phổ thông, […]
[19, tr.3].
Với mục tiêu nghiên cứu đề ra, chúng tôi chỉ đặc biệt chú ý đến các nội dung liên quan đến
bài toán KSSBT và vẽ ĐT ở cấp độ đại học.
1.1. Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong hai giáo trình đã chọn
Từ các kiến thức của hàm số đã nghiên cứu như tập xác định, miền giá trị, đồ thị hàm số,
tính đơn điệu, tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ của hàm số, giới hạn hàm số, đạo hàm của hàm
số, … các giáo trình trên đưa ra các định lý về giá trị trung bình và ứng dụng của nó, bài
toán KSSBT và vẽ ĐT là một trong những ứng dụng của các định lý này. Trong hai giáo
trình, bài toán KSSBT và vẽ ĐT đều được đưa vào bài cuối của mỗi chương. Sau đây,
x3
.
x −1
(1) Hàm số chỉ xác định khi
x
x3
≥ 0 , tức là x ≤ 0 hoặc x > 1.
≥ 0 nghĩa là khi
x −1
x −1
Miền xác định D f là (−∞,0] ∪ (1, +∞) .
(2) Muốn xét chiều biến thiên của hàm số, phải tính f ' ( x ) .
3
x
Ta có: f ' ( x=
) x−
2 ( x − 1)3
f ' ( x ) = 0 khi x = 0 và x =
3
.
2
f ' ( x ) không xác định khi 0 < x ≤ 1 .
; lưu ý: điểm x = 0 không phải là điểm cực trị.
f( )=
2
2
(4) Muốn xét tính lồi, lõm; ta tính f '' : f '' ( x ) =
f '' cùng dấu với
1 3
x
. .
f ( x ) 4 ( x − 1)3
x
nên f '' ≥ 0 trong miền xác định, do đó f(x) là hàm số lồi.
x −1
(5) x = 1 là điểm hàm số không xác định, do đó đồ thị có một tiệm cận đứng có phương trình x =
1. Muốn tìm tiệm cận xiên ta viết f(x) dưới dạng:
f=
(x)
x3
= x
x −1
1
f (x) =
x+
−
+
.o( x )
2
2( x − 1) 8 ( x − 1) ( x − 1)2
Từ biểu thức trên suy ra:
x → +∞, có f ( x ) x +
x
1
x+
2( x − 1)
2
x → −∞, có f ( x ) x −
x
1
−x −
2( x − 1)
2
Vậy f(x) có hai tiệm cận xiên:
11
12
- Bên cạnh đó, trước khi đưa ra bảng biến thiên và đồ thị của hàm số, [a] đưa ra chú ý về
tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số. Nếu biết được các tính chất này của hàm số thì phạm
vi khảo sát sẽ thu hẹp lại trên khoảng đóng hay mở nào đó rồi lấy đối xứng là được toàn bộ
đồ thị hàm số. Tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số không có mặt trong trình tự KSHS mà
chỉ được nêu thông qua lời giải của ví dụ. Như vậy, việc khảo sát tính chẵn lẻ và tuần hoàn
của hàm số trong bài toán này trong giáo trình [a] chỉ mang tính khuyến khích.
Như vậy, qua trình tự KSHS và ví dụ chúng tôi nhận thấy những kiến thức về hàm số được
sử dụng cho bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) trong giáo trình [a] là: miền xác
định, tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận của hàm số, giới hạn hàm số,
tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn của hàm số. Trong đó, tính đơn điệu của hàm số là tính chất
luôn được yêu cầu khảo sát ở tất cả các hàm số, riêng các tính chất còn lại không cần thiết
khảo sát mà chỉ khuyến khích nhằm làm cho việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được đơn
giản và chính xác hơn.
1.1.1.2. Khảo sát đường cho dưới dạng tham số
x = f (t )
Các đường thường cho dưới dạng hệ phương trình
; t ∈ D, D ⊂ , mỗi phương
=
y
g
(
t
)
trình là một hàm số theo biến t. Trong những điều kiện xác định, đường cong cho dưới
t → t0 x
t → t0
13
kx + b .
- Tìm các điểm đặc biệt của đường cong (nếu có) và tiếp tuyến của đường cong tại các điểm đặc
'
dy y t
biệt, hệ số góc của tiếp tuyến được tính theo công thức
=
dx x 't
- Bảng biến thiên và đồ thị. [19, tr.195]
Trình tự khảo sát đường cho dưới dạng tham số được tiến hành qua 5 bước và cũng huy
động đến: miền xác định, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, tiệm cận, giới hạn, đạo
hàm và đồ thị của hàm số. Khác với bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x), các tính
chất chẵn lẻ, tính tuần hoàn giờ đây đã được yêu cầu khảo sát ngay trong trình tự khảo sát
đường cho dưới dạng tham số. Ngược lại, các tính chất như cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn
trước đây xuất hiện trong trình tự KSHS hàm số y = f(x) nhưng lại không yêu cầu khảo sát
trong trình tự này. Riêng tính đơn điệu của hàm số vẫn được giữ lại. Ngoài ra, để việc vẽ đồ
thị đường được chính xác hơn thì ở đây cần xác định một vài điểm đặc biệt và tiếp tuyến
của đường tại các điểm đặc biệt đó.
Để minh họa cho trình tự khảo sát trên giáo trình này đưa ra ví dụ như sau:
Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đường cong cho bởi hệ phương trình tham số:
3
x = a cos t
Đồ thị đường cong trên gọi là đường axtrôit.
14
Hình 5.10
Nếu khảo sát tỉ mỉ hơn, ta nhận thấy rằng, với đường cong này ta có:
'
dy y t
3a sin 2 t cos t
= ' =
= −tgt.
dx x t −3a cos2 t sin t
Do đó
dy
= 0 tại t = 0; π ; 2π và tại các điểm đó tiếp tuyến thẳng đứng.
dx
Ngoài ra, từ hệ phương trình (9) ta cũng có thể khử t bằng cách để ý rằng
2
2
2
2
2
cho tính lồi, lõm, cực trị, điểm uốn của hàm số. Điều này chứng tỏ, bài toán KSSBT và vẽ
ĐT hàm số y = f(x) dù trong trình tự khảo sát huy động đến nhiều kiến thức về hàm số
15
nhưng chỉ có tính đơn điệu của hàm số là luôn có mặt và các tính chất như tính chẵn lẻ, tuần
hoàn, tiệm cận, tính lồi, lõm, cực trị, điểm uốn không cần thiết khảo sát.
1.1.1.3 Khảo sát đường trong hệ tọa độ cực
Các bước khảo sát hàm số f = f (ϕ ) :
- Miền xác định của f( ϕ );
- Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị;
- Bảng biến thiên (xét sự biến thiên của f( ϕ ) theo ϕ ). [19, tr. 196]
Bên cạnh đó,
Để vẽ đồ thị được chính xác hơn, ta thường xác định tiếp tuyến với đường cong tại mỗi điểm M
của nó. [19, tr.185]
Bài toán KSSBT và vẽ ĐT đường dạng f = f (ϕ ) chỉ tiến hành qua 3 bước và không huy
động nhiều kiến thức của hàm số mà chỉ liên quan đến: miền xác định, tính đơn điệu của
hàm số. Như vậy, ở dạng này của bài toán KSSBT và vẽ ĐT chỉ khảo sát tính đơn điệu của
hàm số và các tính chất khác không xuất hiện trong trình tự khảo sát.
Chúng tôi sẽ trích dẫn một ví dụ minh họa các bước trên.
Ví dụ:
Vẽ đường hoa hồng ba cánh có phương
trình r a sin3ϕ , a > 0
=
Ở đây r là một hàm số tuần hoàn với chu kì
2π
, vì thế chỉ cần khảo sát hàm số này trong một
π
Đồ thị ứng với khoảng 0, gồm một cánh, ứng với chu kì − , gồm hai cánh đối xứng
3 3
3
nhau, lần lượt cho đồ thị quay các góc
2π
quanh cực sẽ có toàn bộ đồ thị.
3
Hình 5.15
[19, tr. 186 - 187]
Qua ví dụ trên, đường được yêu cầu khảo sát là hàm f (ϕ ) = a sin 3ϕ . Trước khi thực hiện
các bước trong trình tự khảo sát, giáo trình này đã khảo sát tính tuần hoàn và tính chẵn lẻ
của hàm số trên để thu hẹp phạm vi khảo sát. Bài toán này chỉ dựa vào tính đơn điệu của
hàm số để vẽ đồ thị mà không khảo sát các tính chất lồi, lõm, điểm uốn, cực trị hay tiệm cận
của đồ thị hàm số.
Như vậy, trong bài toán khảo sát đường trong hệ tọa độ cực thì ngoài tính đơn điệu của hàm
số, các tính chất như tính chẵn lẻ và tuần hoàn cũng được yêu cầu khảo sát dù không được
đưa vào trình tự khảo sát.
1.1.1.4 Phân tích bài tập về bài toán KSSBT và vẽ ĐT
Bài tập về bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong [a] như sau:
Bài 18: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
1. y =
2 − x2
,
1 + x4
2. r
a
cos3ϕ
(0 < a ≤ b)
(a > 0) .
[19, tr. 199- 200].
17
x3
x+3
Trong [a] đưa ra hai bài tập về bài toán KSSBT và vẽ ĐT: một về hàm số y = f(x), một về
đường trong tọa độ cực. Riêng bài toán khảo sát đường cho dưới dạng tham số có trong lí
thuyết nhưng không cho bài tập nào để thực hành. Các dạng hàm số được yêu cầu khảo sát
chủ yếu là các hàm phân thức (hữu tỉ hay chứa căn), hàm căn thức, các hàm lượng giác (chủ
yếu là hàm sin và cos) và các hàm được tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương của hai hay
nhiều hàm số (trị tuyệt đối và căn thức, đa thức và căn thức,…). Nhìn chung, bài toán
KSSBT và vẽ ĐT là bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về hàm số nhưng được đưa vào
cuối chương và không có ứng dụng hay phục vụ cho tri thức nào ngay sau đó (tất nhiên sau
đó, việc khảo sát hàm sẽ phục vụ cho việc tính diện tích và thể tích các hình phẳng bằng tích
phân). Mặt khác, với sự phát triển của công nghệ thông tin ngày nay thì việc sử dụng phần
mềm để nghiên cứu đồ thị của hàm số sẽ nhanh chóng hơn nên đã hạn chế kiểu nhiệm vụ
này. Do đó, bài toán KSSBT và vẽ ĐT dù có trong giáo trình nhưng chưa thật sự được chú
trọng.
x →±∞
p( x )
, p( x ), q( x ) liên tục tại x = c. Nếu q(c) = 0 và p(c) ≠ 0 thì x = c là tiệm cận đứng
q( x )
của f(x). Tiệm cận xiên: =
y kx + b
f (x)
=
k lim =
, b lim [ f ( x ) − kx ]
x →±∞
x →±∞
x
Bước 4: Tìm các giao điểm của đồ thị f(x) với các trục tọa độ, giao điểm với trục tung: f(0), giao
điểm với trục hoành: giải f(x)=0.
Bước 5: Sử dụng các kết quả bước 1 – bước 4, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.
[11, tr.105]
So với giáo trình trước, bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) trong giáo trình này chỉ
được tiến hành qua 5 bước. Tuy nhiên cũng huy động đến nhiều kiến thức của hàm số như:
tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm và điểm uốn của hàm số, tiệm cận, giới hạn của hàm số,
đạo hàm của hàm số. Khác với giáo trình trước, trình tự KSHS trong giáo trình này không
có bước tìm miền xác định. Việc xét dấu đạo hàm để nghiên cứu tính đơn điệu của hàm số
được đưa lên bước 1 và có thêm bước 4 - tìm các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
Sau đây là ví dụ để minh họa cho sơ đồ trên:
Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
y '' có dấu không đổi trong các khoảng mở: (−∞, −3), (−3, −1), (−1,0), (0,1), (1,3), (3, +∞)
19
Tại x = ±1, y, y ' và y '' không xác định.
Để xác định dấu của y '' và y '' trong mỗi khoảng mở nêu trên, chỉ cần xác định dấu của 1 điểm
bất kỳ trong mỗi khoảng đó (xem bảng biến thiên).
Bước 3: Tìm tiệm cận của y.
lim y = ±∞,
x →1± 0
lim y = ±∞ do đó các đường thẳng x = ±1 là các tiệm cận đứng.
x →−1± 0
Tiệm cận xiên: không có, vì
k = lim
x →+∞
y
= 0; b = lim y = ∞
x →+∞
x
Bước 4: Giao điểm với các trục tọa độ: điểm O(0, 0)
Bước 5: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.
,
=
y
1 + t3
1 + t3
x và y được xác định với mọi t ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, +∞) . Khi t → −1 − 0, x → +∞ và y → −∞ , khi
t → −1 + 0, x → −∞ và y → +∞ .
Bước 1:
1
6a − t 3
(1 + t ) − 3t
2
=
x 't 3=
a
3 2
3 2
(1 + t )
(1 + t )
3
3
(b)
và
3
2 . Dấu của các đạo hàm x 't và
y 't trong các khoảng chỉa bởi các điểm này được tính bằng công thức (b). Ta lập bảng sau:
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị được tính theo công thức:
'
y=
x
y 't
=
x 't
t(2 − t 3 )
1
2( − t 3 )
2
2
t( 3 − 1)
3
t
(2
−
t
t →−1
1 + t3 0
) lim( y + x=
) lim
b lim( y − kx=
=
t →−1
x →∞
= lim
t →−1
6at + 3a
= −a
3t 2
Vậy phương trình đường tiệm cận có dạng : y =− x − a hoặc x + y + a =0.
Hình 2.23
”
[11, tr. 111 – 113]
Ví dụ trên yêu cầu khảo sát đường cho dưới dạng tham số. Qua lời giải chúng tôi nhận thấy:
- Trước khi tiến hành các bước khảo sát, [b] đã đưa phương trình ban đầu về hai hàm số
theo cùng một biến t, mỗi hàm số x(t), y(t) là các hàm phân thức hữu tỉ. Kế đến là tìm miền
yếu là hàm phân thức hữu tỉ (với bậc thấp nhất của tử và mẫu là bậc 3) hay phân thức chứa
căn, hàm căn thức, hàm lượng giác (chủ yếu là hàm sin và cos) và các hàm được tạo thành
từ sự kết hợp của hai hay nhiều hàm số kể trên.
- Bài toán KSSBT và vẽ ĐT nói chung được đưa ra với số lượng các bước khác nhau và
trình tự thực hiện các bước cũng khác nhau nhưng là bài toán tổng hợp khá nhiều kiến thức
về hàm số, cụ thể: miền xác định, tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, giới hạn
của hàm số, tiệm cận, tính chẵn lẻ, tuần hoàn, đạo hàm của hàm số và đồ thị hàm số. Trong
các tính chất được yêu cầu khảo sát thì tính đơn điệu của hàm số là tính chất luôn được yêu
cầu khảo sát và kĩ thuật dùng để xét chiều biến thiên của hàm số là sử dụng công cụ đạo
hàm. Các tính chất còn lại thay đổi theo từng hàm số khảo sát và không bắt buộc khảo sát.
- Bài toán KSSBT và vẽ ĐT chưa thực sự được chú trọng trong các giáo trình, cụ thể là
trong phần bài tập, các bài toán này xuất hiện không đầy đủ (trong giáo trình [a]) và thậm
chí là không xuất hiện (trong giáo trình [b]).
- Bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số chứa đựng lượng kiến thức tương đối lớn về hàm số
nhưng chỉ dừng lại ở việc vẽ đồ thị và không có ứng dụng ngay sau đó. Hơn nữa, với sự
23
Copyright: Tài liệu đại học ©