Header Page 1 of 162.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tuyết Lan

BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
Footer Page 1 of 162.

1


Header Page 2 of 162.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tuyết Lan

BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM

Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học môn bộ Toán

• Ban giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ Toán-Tin trường THPT Tân Phước đã giúp
đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này.
Lời cảm ơn chân thành xin gửi đến các bạn học viên cùng lớp didactic Toán khóa 22,
những người đã chia sẻ khó khăn, vui buồn với tôi trong suốt những năm tháng cao học.
Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến những người thân yêu trong gia đình đã
động viên, khích lệ, quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn
này.

Nguyễn Thị Tuyết Lan

Footer Page 3 of 162.

1


Header Page 4 of 162.

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ............................................................................ 4
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 5
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát .......................................................................5
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu ........................................................................................7
3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu ....................................................7
4. Tổ chức luận văn .............................................................................................................8

CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM
SỐ Ở BẬC ĐẠI HỌC .................................................................................................. 9
1.1. Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong hai giáo trình đã chọn..........................................9


KẾT LUẬN CHUNG ................................................................................................ 76
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 77

Footer Page 5 of 162.

3


Header Page 6 of 162.

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Kí hiệu
SGK
KSSBT

Sách giáo khoa
Khảo sát sự biến thiên

BBT

Bảng biến thiên

KSHS

Khảo sát hàm số

ĐT
THPT



SGVCB11

Sách giáo viên Đại số và Giải tích cơ bản 11

SGVNC11

Sách giáo viên Đại số và Giải tích nâng cao 11

SGKCB12

Sách giáo khoa Giải tích cơ bản 12

SGKNC12

Sách giáo khoa Giải tích nâng cao 12

SGVCB12

Sách giáo viên Giải tích cơ bản 12

SGVNC12

Sách giáo viên Giải tích nâng cao 12

4


Header Page 7 of 162.


1. Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số.
2. Sự biến thiên
•

Xét chiều biến thiên của hàm số:
o Tính đạo hàm y ' ;
o Tìm các điểm tại đó đạo hàm y ' bằng 0 hoặc không xác định;
o Xét dấu đạo hàm y ' và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

•

Tìm cực trị.

•

Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).

•

Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).

3. Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
CHÚ Ý

Footer Page 7 of 162.

5


=

ax 2 + bx + c
(ad ≠ 0) .
dx + e

Như vậy, SGK lớp 12 chỉ giới thiệu tối đa 4 dạng hàm số trên. Chúng tôi tự hỏi, nếu gặp bài
toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số của những hàm số có dạng khác bốn dạng mà SGK đưa ra thì
HS sẽ ứng xử như thế nào?
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài “Bài toán khảo sát sự biến thiên
và vẽ đồ thị hàm số ở trường Trung học phổ thông Việt Nam” .
Chúng tôi khởi đầu nghiên cứu của mình với các câu hỏi xuất phát như sau:
Câu hỏi 1: Trong các giáo trình giải tích cho những năm nhất Đại học, bài toán KSSBT
và vẽ ĐT hàm số có còn xuất hiện hay không? Nếu có thì những tính chất nào của hàm số
mà các giáo trình này yêu cầu khảo sát và những dạng hàm số nào được yêu cầu khảo sát?
Câu hỏi 2: Trong các SGK hiện hành ở bậc THPT, những tính chất nào của hàm số được
yêu cầu khảo sát? Đối với các tính chất của hàm số được yêu cầu khảo sát trong bài toán
KSSBT và vẽ ĐT hàm số thì những dạng hàm số nào đã xuất hiện khi nghiên cứu riêng các

Footer Page 8 of 162.

6


Header Page 9 of 162.

tính chất trên? Các dạng hàm số nào không còn được quan tâm trong bài toán KSSBT và vẽ
ĐT hàm số ở lớp 12?

2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu


7


Header Page 10 of 162.

Từ kết quả phân tích giáo trình đại học, chương trình và SGK giúp chúng tôi đặt ra giả
thuyết nghiên cứu hoặc câu hỏi nghiên cứu.
 Thứ ba, chúng tôi xây dựng một thực nghiệm và phân tích tiên nghiệm tình huống. Cuối
cùng, tiến hành thực nghiệm và phân tích hậu nghiệm, đối chiếu với phân tích tiên nghiệm
và hợp thức hóa giả thuyết nghiên cứu hoặc trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đề ra. Vấn đề
này được chúng tôi trình bày trong chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm.

4. Tổ chức luận văn
Luận văn gồm 3 phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận.
Phần mở đầu, chúng tôi trình bày về những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, khung lý
thuyết tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức luận
văn.
Phần nội dung, gồm có 3 chương:
 Chương 1 - Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở bậc Đại học
Trong chương này, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ vị trí của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm
số trong các giáo trình Đại học.
 Chương 2 - Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong Chương trình và
sách giáo khoa Toán ở Việt Nam
Trong chương này, chúng tôi sẽ làm rõ vị trí và sự tiến triển của bài toán KSSBT và vẽ ĐT
hàm số thông qua việc nghiên cứu các tính chất và vẽ đồ thị trong các SGK hiện hành. Từ
những kết quả phân tích có được chúng tôi sẽ đưa ra giả thuyết nghiên cứu.
 Chương 3 – Nghiên cứu thực nghiệm
Trong chương này, chúng tôi xây dựng một thực nghiệm nhằm kiểm chứng giải thuyết
nghiên cứu hoặc trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đề ra trong chương 2.

chương trình môn Toán hiện nay của các trường Trung học Phổ thông, […]
[19, tr.3].

Với mục tiêu nghiên cứu đề ra, chúng tôi chỉ đặc biệt chú ý đến các nội dung liên quan đến
bài toán KSSBT và vẽ ĐT ở cấp độ đại học.

1.1. Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong hai giáo trình đã chọn
Từ các kiến thức của hàm số đã nghiên cứu như tập xác định, miền giá trị, đồ thị hàm số,
tính đơn điệu, tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ của hàm số, giới hạn hàm số, đạo hàm của hàm
số, … các giáo trình trên đưa ra các định lý về giá trị trung bình và ứng dụng của nó, bài
toán KSSBT và vẽ ĐT là một trong những ứng dụng của các định lý này. Trong hai giáo
trình, bài toán KSSBT và vẽ ĐT đều được đưa vào bài cuối của mỗi chương. Sau đây,
chúng tôi sẽ nghiên cứu bài toán KSSBT và vẽ ĐT lần lượt trong các giáo trình trên.
1.1.1. Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [a]
Footer Page 11 of 162.

9


Header Page 12 of 162.

1.1.1.1 Khảo sát hàm số y = f(x)
Bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) trong giáo trình [a] được cho bởi trình tự sau:
Việc khảo sát hàm số thường theo trình tự dưới đây:
(1) Miền xác định của f.
(2) Chiều biến thiên: tìm khoảng tăng, giảm của hàm số.
(3) Cực trị (nếu có).
(4) Tính lồi, lõm (nếu cần thiết), điểm uốn (nếu có).
(5) Tiệm cận (nếu có).
(6) Bảng biến thiên.

(2) Muốn xét chiều biến thiên của hàm số, phải tính f ' ( x ) .

3
x
Ta có: f ' ( x=
) x− 
2  ( x − 1)3

f ' ( x ) = 0 khi x = 0 và x =

3
.
2

f ' ( x ) không xác định khi 0 < x ≤ 1 .

Sau đây là bảng dấu của đạo hàm f ' ( x )

Footer Page 12 of 162.

10


Header Page 13 of 162.

Từ bảng dấu của f’ suy ra:
f(x) giảm khi x < 0 hoặc 1 < x


3

. .
f ( x ) 4 ( x − 1)3

x
nên f '' ≥ 0 trong miền xác định, do đó f(x) là hàm số lồi.
x −1

(5) x = 1 là điểm hàm số không xác định, do đó đồ thị có một tiệm cận đứng có phương trình x =
1. Muốn tìm tiệm cận xiên ta viết f(x) dưới dạng:

f=
(x)

x3
= x
x −1

1


x
1 2
= x 1 +

x −1
x −1


Dúng công thức khai triển Taylor của (1 + x )α khai triển Taylor có:
1


x
1
x+
2( x − 1)
2

x → −∞, có f ( x )  x −

x
1
 −x −
2( x − 1)
2

Vậy f(x) có hai tiệm cận xiên:

Footer Page 13 of 162.

11


Header Page 14 of 162.
1
khi x → +∞
2
1
y = − x − khi x → −∞
2
y= x +

- Bên cạnh đó, trước khi đưa ra bảng biến thiên và đồ thị của hàm số, [a] đưa ra chú ý về
tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số. Nếu biết được các tính chất này của hàm số thì phạm
vi khảo sát sẽ thu hẹp lại trên khoảng đóng hay mở nào đó rồi lấy đối xứng là được toàn bộ
đồ thị hàm số. Tính chẵn lẻ và tuần hoàn của hàm số không có mặt trong trình tự KSHS mà
chỉ được nêu thông qua lời giải của ví dụ. Như vậy, việc khảo sát tính chẵn lẻ và tuần hoàn
của hàm số trong bài toán này trong giáo trình [a] chỉ mang tính khuyến khích.
Như vậy, qua trình tự KSHS và ví dụ chúng tôi nhận thấy những kiến thức về hàm số được
sử dụng cho bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) trong giáo trình [a] là: miền xác
định, tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận của hàm số, giới hạn hàm số,
tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn của hàm số. Trong đó, tính đơn điệu của hàm số là tính chất
luôn được yêu cầu khảo sát ở tất cả các hàm số, riêng các tính chất còn lại không cần thiết
khảo sát mà chỉ khuyến khích nhằm làm cho việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được đơn
giản và chính xác hơn.
1.1.1.2. Khảo sát đường cho dưới dạng tham số

 x = f (t )
Các đường thường cho dưới dạng hệ phương trình 
; t ∈ D, D ⊂  , mỗi phương
=
y
g
(
t
)

trình là một hàm số theo biến t. Trong những điều kiện xác định, đường cong cho dưới

dạng tham số có thể xác định nhiều hàm ẩn của y theo x. Việc khảo sát các đường cho
dưới dạng tham số có thể nói là phức tạp hơn bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) vì
phải khảo sát đồng thời nhiều hàm số trong cùng một lúc. Và được cho bởi trình tự sau:


13

kx + b .


Header Page 16 of 162.
- Tìm các điểm đặc biệt của đường cong (nếu có) và tiếp tuyến của đường cong tại các điểm đặc
'
dy y t
biệt, hệ số góc của tiếp tuyến được tính theo công thức
=
dx x 't

- Bảng biến thiên và đồ thị. [19, tr.195]

Trình tự khảo sát đường cho dưới dạng tham số được tiến hành qua 5 bước và cũng huy
động đến: miền xác định, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, tiệm cận, giới hạn, đạo
hàm và đồ thị của hàm số. Khác với bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x), các tính
chất chẵn lẻ, tính tuần hoàn giờ đây đã được yêu cầu khảo sát ngay trong trình tự khảo sát
đường cho dưới dạng tham số. Ngược lại, các tính chất như cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn
trước đây xuất hiện trong trình tự KSHS hàm số y = f(x) nhưng lại không yêu cầu khảo sát
trong trình tự này. Riêng tính đơn điệu của hàm số vẫn được giữ lại. Ngoài ra, để việc vẽ đồ
thị đường được chính xác hơn thì ở đây cần xác định một vài điểm đặc biệt và tiếp tuyến
của đường tại các điểm đặc biệt đó.
Để minh họa cho trình tự khảo sát trên giáo trình này đưa ra ví dụ như sau:
Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đường cong cho bởi hệ phương trình tham số:
3
 x = a cos t


Đồ thị đường cong trên gọi là đường axtrôit.

Footer Page 16 of 162.

14


Header Page 17 of 162.

Hình 5.10
Nếu khảo sát tỉ mỉ hơn, ta nhận thấy rằng, với đường cong này ta có:
'
dy y t
3a sin 2 t cos t
= ' =
= −tgt.
dx x t −3a cos2 t sin t

Do đó
dy
= 0 tại t = 0; π ; 2π và tại các điểm đó tiếp tuyến thẳng đứng.
dx

Ngoài ra, từ hệ phương trình (9) ta cũng có thể khử t bằng cách để ý rằng
2

2

2


= f(x) nhưng các tính chất yêu cầu trong bài toán này có thay đổi so với bài toán KSSBT và
vẽ ĐT hàm số y = f(x). Cụ thể, trong trình tự khảo sát đường cho dưới dạng tham số tính
đơn điệu của hàm số được giữ lại và các tính chất như tính chẵn lẻ và tuần hoàn thay thế
cho tính lồi, lõm, cực trị, điểm uốn của hàm số. Điều này chứng tỏ, bài toán KSSBT và vẽ
ĐT hàm số y = f(x) dù trong trình tự khảo sát huy động đến nhiều kiến thức về hàm số
Footer Page 17 of 162.

15


Header Page 18 of 162.

nhưng chỉ có tính đơn điệu của hàm số là luôn có mặt và các tính chất như tính chẵn lẻ, tuần
hoàn, tiệm cận, tính lồi, lõm, cực trị, điểm uốn không cần thiết khảo sát.
1.1.1.3 Khảo sát đường trong hệ tọa độ cực
Các bước khảo sát hàm số f = f (ϕ ) :
- Miền xác định của f( ϕ );
- Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị;
- Bảng biến thiên (xét sự biến thiên của f( ϕ ) theo ϕ ). [19, tr. 196]

Bên cạnh đó,
Để vẽ đồ thị được chính xác hơn, ta thường xác định tiếp tuyến với đường cong tại mỗi điểm M
của nó. [19, tr.185]

Bài toán KSSBT và vẽ ĐT đường dạng f = f (ϕ ) chỉ tiến hành qua 3 bước và không huy
động nhiều kiến thức của hàm số mà chỉ liên quan đến: miền xác định, tính đơn điệu của
hàm số. Như vậy, ở dạng này của bài toán KSSBT và vẽ ĐT chỉ khảo sát tính đơn điệu của
hàm số và các tính chất khác không xuất hiện trong trình tự khảo sát.
Chúng tôi sẽ trích dẫn một ví dụ minh họa các bước trên.
Ví dụ:

r' 3

Dưới đây cho bảng biến thiên của r theo ϕ :

Footer Page 18 of 162.

16


Header Page 19 of 162.
 π π
 π
Đồ thị ứng với khoảng  0,  gồm một cánh, ứng với chu kì  − ,  gồm hai cánh đối xứng
 3 3
 3

nhau, lần lượt cho đồ thị quay các góc

2π
quanh cực sẽ có toàn bộ đồ thị.
3

Hình 5.15
[19, tr. 186 - 187]

Qua ví dụ trên, đường được yêu cầu khảo sát là hàm f (ϕ ) = a sin 3ϕ . Trước khi thực hiện
các bước trong trình tự khảo sát, giáo trình này đã khảo sát tính tuần hoàn và tính chẵn lẻ
của hàm số trên để thu hẹp phạm vi khảo sát. Bài toán này chỉ dựa vào tính đơn điệu của
hàm số để vẽ đồ thị mà không khảo sát các tính chất lồi, lõm, điểm uốn, cực trị hay tiệm cận
của đồ thị hàm số.


1+ x 2

6. y =1 − x +

x

Bài 19: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
1. r = a + b cosϕ

=
2. r

a
cos3ϕ

(0 < a ≤ b)

(a > 0) .

[19, tr. 199- 200].

Footer Page 19 of 162.

17

x3
x+3



Các bước cơ bản vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
Bước 1: Tìm và xét dấu đạo hàm bậc nhất f ' ( x ) , xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và
cực trị địa phương của hàm f(x) ( f ' ( x ) = 0 và đổi dấu)

Footer Page 20 of 162.

18


Header Page 21 of 162.
Bước 2: Tìm và xét dấu đạo hàm bậc hai f '' ( x ) , xác định khoảng lồi, khoảng lõm và điểm uốn
của hàm f(x) ( f '' ( x ) = 0 và đổi dấu)
Bước 3: Tìm các tiệm cận. Tiệm cận ngang:

f (x) =

lim f ( x ) = b . Tiệm cận đứng:

x →±∞

p( x )
, p( x ), q( x ) liên tục tại x = c. Nếu q(c) = 0 và p(c) ≠ 0 thì x = c là tiệm cận đứng
q( x )

của f(x). Tiệm cận xiên: =
y kx + b
f (x)
=
k lim =
, b lim [ f ( x ) − kx ]


y' =

x2 − 3
3 3 ( x 2 − 1)4

y ' = 0, khi x = ± 3
y ' có dấu không đổi trong các khoảng mở: (−∞, − 3), (− 3, −1), (−1,1), (1, 3) và ( 3, +∞)

Bước 2: Tìm đạo hàm bậc 2 để tìm các khoảng lồi, lõm
y '' =

2 x (9 − x 2 )
9 3 ( x 2 − 1)7

=
y '' 0=
khi x 0 và x = ±3
y '' có dấu không đổi trong các khoảng mở: (−∞, −3), (−3, −1), (−1,0), (0,1), (1,3), (3, +∞)

Footer Page 21 of 162.

19


Header Page 22 of 162.
Tại x = ±1, y, y ' và y '' không xác định.
Để xác định dấu của y '' và y '' trong mỗi khoảng mở nêu trên, chỉ cần xác định dấu của 1 điểm
bất kỳ trong mỗi khoảng đó (xem bảng biến thiên).
Bước 3: Tìm tiệm cận của y.

trình tham số. Khác với giáo trình [a], bài toán này được xếp vào như là một ví dụ minh họa
cho bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) và có trình tự khảo sát như bài toán KSSBT
và vẽ ĐT hàm số y = f(x) .
Footer Page 22 of 162.

20


Header Page 23 of 162.

Sau đây chúng tôi trích dẫn một ví dụ minh họa cho bài toán này:
4) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số được cho dưới dạng tham số.
“Lá Descartes” là đường cong của hàm số được cho dưới dạng hàm ẩn:
x 3 + y 3 − 3axy
= 0, (a > 0)

(a)

Đưa vào tham số t: y = tx phương trình (a) được viết lại dưới dạng tham số:

=
x

3at
3at 2
,
=
y
1 + t3
1 + t3

3 2
(1 + t )
(1 + t 3 )2
3

4

3

Để nghiên cứu sự thay đổi của x và y ta chia miền biến thiên của t ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, +∞) thành
những khoảng mở mà trong các khoảng đó x 't và y 't không đổi dấu và không bằng ±∞ . Các
đạo hàm

x 't

và

y 't

bằng 0 hoặc vô hạn tại t = −1,0,

1
3

2

và

3


t →∞
t →∞
1 3
1
2( − t )
2( 3 − 1)
2
2t

Footer Page 23 of 162.

21


Header Page 24 of 162.
Khi t = 0 và t = ∞ , x và y bằng 0, tức là hai nhánh của đường cong cắt nhau tại điểm gốc tọa độ,
một nhánh tiếp xúc với trục Oy ( y ' x = ∞ ).
Bước 2: Tìm tiệm cận xiên.
3at 2 (1 + t 3 )
y
= lim
= −1
x →∞ x
t →−1 3at (1 + t 3 )

k = lim

3at 2 + 3at  0 
 
t →−1

hành qua hai bước: bước thứ nhất là tính các đạo hàm của hai hàm số, xét tính đơn điệu của
hai hàm số; bước thứ hai là xác định tiệm cận xiên của hàm số. Do đó nhìn vào bảng biến
thiên chỉ xác định được các khoảng đơn điệu của hàm số.
- Ngoài ra, ở đây còn xác định hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số và kết quả của
việc này là xác định được hai nhánh của đồ thị cắt nhau tại O và có một nhánh tiếp xúc với
Oy.

Footer Page 24 of 162.

22


Header Page 25 of 162.

Bên cạnh đó, chúng tôi còn nhận thấy rằng bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình này
được đưa vào bài cuối của chương và bài toán này cũng không có ứng dụng nào ngay sau
đó. Đặc biệt, trong phần bài tập ứng dụng không xuất hiện kiểu nhiệm vụ TKSSBT-ĐT.
Như vậy, bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [b] ngoài KSHS dạng y = f(x) còn khảo
sát đường cho dưới dạng tham số. Và bài toán KSSBT và vẽ ĐT đã huy động các kiến thức
như: tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị, tiệm cận của hàm số. Trong
đó, tính đơn điệu của hàm số là tính chất luôn được yêu cầu khảo sát và được đưa lên là
bước đầu tiên trong trình tự khảo sát với kĩ thuật xét tính đơn điệu là dựa vào công cụ giải
tích, đạo hàm. Riêng các tính chất còn lại không nhất thiết khảo sát trong bài toán này. Dạng
hàm số được yêu cầu khảo sát là hàm phân thức (hữu tỉ hoặc chứa căn) và hàm căn thức.
Bài toán KSSBT và vẽ ĐT không phục vụ cho tri thức nào ngay sau đó và cũng không được
chú trọng trong [b].

1.2. Kết luận chương 1
Qua phân tích các giáo trình trên, chúng tôi rút ra một số điểm sau:
- Bài toán KSSBT và vẽ ĐT không chỉ KSHS dạng y = f(x) mà còn khảo sát đường cho