BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Ngọc Sương

DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ VỚI PHẦN
MỀM CABRI II PLUS: NGHIÊN CỨU SỰ ĐỒNG
BIẾN THIÊN NHƯ GIAI ĐOẠN ĐẦU TIÊN CỦA
VIỆC XÂY DỰNG KHÁI NIỆM HÀM SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Ngọc Sương

DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ VỚI PHẦN
MỀM CABRI II PLUS: NGHIÊN CỨU SỰ ĐỒNG
BIẾN THIÊN NHƯ GIAI ĐOẠN ĐẦU TIÊN CỦA
VIỆC XÂY DỰNG KHÁI NIỆM HÀM SỐ
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Nguyễn Thị Ngọc Sương

2


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ 1
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 2
MỤC LỤC .................................................................................................................... 3
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ............................................................................ 5
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 6
1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát ......................................................................... 6
2. Câu hỏi nghiên cứu ....................................................................................................... 10
3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu ................................................... 10
4. Cấu trúc của luận văn .................................................................................................. 11

CHƯƠNG 1: SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN CỦA HAI ĐẠI LƯỢNG TRONG LỊCH
SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM HÀM SỐ ........................... 13
1.1. Sự hình thành và phát triển khái niệm hàm số....................................................... 13
1.2. Sự đồng biến thiên của hai đại lượng – quan niệm động của khái niệm hàm ..... 16
số. 16
1.2.1. Sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong các giai đoạn phát triển khái niệm
hàm số ............................................................................................................................. 16
1.2.2. Quan niệm động và quan niệm tĩnh của khái niệm hàm số.................................. 17
1.3. Các hệ thống biểu đạt của hàm số và đặc trưng đồng biến thiên của hai đại
lượng. ................................................................................................................................. 18

CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM HÀM SỐ VÀ SỰ ĐỒNG BIẾN THIÊN CỦA HAI
ĐẠI LƯỢNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK PHỔ THÔNG .................. 21
2.1. Ở Việt Nam ................................................................................................................. 21

3.5.2. Tình huống 1 ........................................................................................................ 74
3.5.3. Tình huống 2 ........................................................................................................ 78
3.5.4. Tình huống 3 ........................................................................................................ 83
3.5.5. Kết luận ................................................................................................................ 86

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 88
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 91
PHỤ LỤC ................................................................................................................... 93

4


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

GTLN

:

Giá trị lớn nhất

GTNN

:

Giá trị nhỏ nhất

GV

:


Sách bài tập

SGV

:

Sách giáo viên

Tp.HCM

:

Thành phố Hồ Chí Minh

tr.

:

trang

CNTT

:

công nghệ thông tin

5


MỞ ĐẦU

6


Kết quả của việc phân tích mối quan hệ thể chế dẫn đến việc tồn tại giả thuyết nghiên
cứu: “Kỹ năng chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số chưa thực sự được hình thành ở
HS”.
Làm rõ quan hệ của HS với vấn đề chuyển từ đồ thị sang biểu thức và vấn đề mô hình
hóa nhằm hợp thức giả thuyết nghiên cứu được trình bày ở trên.
 Luận văn thạc sĩ của Đỗ Thị Thúy Vân (2010) về “Casyopée và việc dạy học
khái niệm hàm số trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số”
Luận văn đã chỉ ra được đồ thị là một phương tiện biểu diễn thể hiện rõ 3 đặc trưng cơ
bản của hàm số (phụ thuộc, tương ứng, biến thiên), tính chất của đồ thị được suy ra từ tính
chất của hàm số và ngược lại.
Làm rõ tiến trình và cách tổ chức đưa vào khái niệm hàm số gắn với các cách biểu diễn
hàm số (bằng bảng, đồ thị, biểu thức giải tích), mối quan hệ cá nhân giữa HS và khái niệm
hàm số dựa trên cách biểu diễn hàm số bằng biểu thức giải tích: “Thể chế không tạo điều
kiện cho việc dạy học khái niệm hàm số trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu
diễn hàm số, cũng như không trình bày tường minh cách biểu diễn hàm số bằng đồ thị.”
Sử dụng môi trường giấy bút và môi trường máy tính để củng cố lại kiến thức về khái
niệm hàm số thông qua việc giải một bài toán cụ thể, trong đó với môi trường máy tính thì
có thể đơn giản hóa các kĩ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ trong bài toán, đồng thời để
thấy rõ khái niệm hàm số bằng hình ảnh trực quan thể hiện đủ ba đặc trưng của hàm số.
Hạn chế và hướng mở của luận văn:
+ Hạn chế: Thực nghiệm được đưa ra nhằm mục đích tận dụng tối đa các tính năng của
phần mềm Casyopee, nhưng chưa đáp ứng hoàn toàn cho việc dạy học khái niệm hàm số
trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số.
+ Hướng mở của luận văn: Trên cơ sở của những kết quả đạt được, có thể tiếp
tục nghiên cứu theo hướng xây dựng một hệ thống tình huống dạy học khái niệm hàm số
nhằm giúp HS nhận rõ các đặc trưng hàm số trên mô hình động (môi trường máy tính).
 Luận văn thạc sĩ “Bài toán diện tích và phần mềm Cabri 2D”

“Tình huống về sự đồng biến thiên của các đại lượng có thể được xem xét như một tình
huống cơ bản đối với khái niệm hàm số”
Ghi nhận 3: Ngày nay CNTT đã và đang thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực. Nó ngày
càng trở nên quan trọng, không thể thiếu trong lĩnh vực Giáo dục đào tạo nói chung và
ngành Toán học nói riêng. Việc dạy học với các phần mềm ngày càng có sự ứng dụng rộng
rãi. Hiện nay, ở các trường phổ thông, GV đã dần quan tâm đến việc sử dụng phần mềm dạy
học để hỗ trợ trong việc giảng dạy của mình mặc dầu SGK phổ thông lại không có hoạt
động nào dùng tới phần mềm dạy học. Tuy nhiên đa phần GV khi sử dụng phần mềm dạy
học đều có dụng ý là minh họa hay kiểm chứng những gì mà khái niệm hay định lý đã nêu.
8


Trong luận văn này, chúng tôi tiến hành sử dụng phần mềm hình học động để hình thành
nên khái niệm đồng biến thiên cho HS. Và HS sẽ trực tiếp thao tác với phần mềm để giải
quyết các bài toán toán học và thực tế, qua đó khám phá và lĩnh hội tri thức mới. Chúng tôi
dựa vào giả thuyết sau:
“Môi trường hình học động có khả năng thực hiện giai đoạn đầu tiên của quá trình mô
hình hóa bằng việc xây dựng một mô hình trung gian của tình huống đồng biến thiên của
các đại lượng.”

[Annie Bessot & Nguyễn Thị Nga, 2011]

Chúng tôi chọn phần mềm Cabri II Plus để thực hiện nghiên cứu vì nó có các
đặc tính sau đây:
“Cabri II Plus là một trong những phần mềm hiện đại nhất trong việc dạy và học toán.
Ngoài việc sở hữu một giao diện thân thiện, dễ sử dụng, Cabri II Plus còn cho phép HS có
thể khám phá được những tính chất tổng quát của một loạt các hình được dựng. Trong môi
trường Cabri, HS có thể tạo ra hình vẽ và đồ thị trực quan hơn các hình vẽ theo cách thông
thường qua môi trường truyền thống - môi trường giấy bút - cho nên sẽ có nhiều tính chất
mới được khám phá từ đấy.


& Nguyễn Thị Nga, 2011]
Với những ghi nhận trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Dạy học khái niệm
hàm số với phần mềm Cabri II Plus: Nghiên cứu sự đồng biến thiên như giai đoạn đầu tiên
của việc xây dựng khái niệm hàm số.”

2. Câu hỏi nghiên cứu
Chúng tôi đặt ra những câu hỏi ban đầu để định hướng cho nghiên cứu như sau:
Q1: Sự đồng biến thiên của hai đại lượng hiện diện và tiến triển như thế nào trong lịch sử
hình thành và phát triển khái niệm hàm số?
Q2: Sự đồng biến thiên của hai đại lượng được đề cập như thế nào trong SGK
Việt Nam? Có những tổ chức toán học nào trong đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng
được nhấn mạnh? Có sự khác biệt nào so với SGK Mỹ?
Q3: Liệu có thể xây dựng tiểu đồ án didactic cho HS tiếp cận với khái niệm hàm số,
trong đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng là bước đầu tiên của quá trình này?

3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu
3.1 Nghiên cứu khoa học luận
Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này nhằm trả lời cho câu hỏi Q1.
Như chúng ta biết, nghiên cứu khoa học luận về khái niệm hàm số đã có trong các
công trình khác. Ở đây, chúng tôi tiến hành tóm tắt và đặc biệt bổ sung sự hiện diện của sự
đồng biến thiên của hai đại lượng trong khái niệm hàm số.
3.2 Nghiên cứu thể chế
Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này nhằm trả lời câu hỏi Q2.
Để nghiên cứu thể chế chúng tôi dựa vào lý thuyết nhân chủng học. Lý thuyết này nghiên
cứu và chỉ ra tầm quan trọng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức, đưa vào khái
niệm tổ chức toán học để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức đã
chọn.

10

2.1 Ở Việt Nam
2.1.1

Giai đoạn trước năm lớp 7

2.1.2

Lớp 7

2.1.3

Lớp 9
11


2.1.4

Lớp 10

2.1.5 Kết luận
2.2 Ở Mỹ
2.3 So sánh cách đưa vào khái niệm hàm số ở Việt Nam và Mỹ
Chương 3: Thực nghiệm (Tiểu đồ án dạy học)
3.1 Các lựa chọn của đồ án
3.2 Nội dung thực nghiệm
3.3 Phân tích tiên nghiệm
3.4 Phân tích hậu nghiệm
3.5 Kết luận

12

nó đã ẩn chứa những quan niệm về hàm số: bảng bình phương của
các số tự nhiên, bảng căn bậc hai, bảng lập phương hay bảng căn bậc
ba trong hệ thập lục phân, bảng liên hệ giữa dây và cung của đường
tròn (tiền thân của bảng sin ngày nay). Tuy nhiên thuật ngữ hàm số
chưa một lần xuất hiện trong thời kì này.
Các nhà toán học quan tâm đến sự phụ thuộc giữa hai đại lượng

Trung đại không những trên các bảng số mà còn thể hiện ở các hình hình học,
chủ yếu là trong lĩnh vực vật lí. Họ được xem như là đã đến gần với
13


khái niệm hàm số thế nhưng thuật ngữ hàm số vẫn chưa xuất hiện.
Một trong số đó là Oresme. Trong lý thuyết của ông, một số ý tưởng
chung về khái niệm biến độc lập và phụ thuộc dường như có mặt.
“Ông đã biểu diễn cường độ của chất điểm chuyển động (vận
tốc) theo thời gian bằng một hình hình học mà ta có thể mô tả như
sau:

Vận tốc

……
Thời gian

[Nguyễn Thị Nga, 2003]
Tiếp sau Oresme ở giai đoạn trung đại là Galileo Galilei (15641642) với các công trình nghiên cứu các đại lượng bên vật lí như vận
tốc, gia tốc và khoảng cách.
Sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên chính thức
Thế kỉ


Đến đầu thế kỉ 19, các nhà toán học bắt đầu định nghĩa lại khái
niệm hàm số bằng sự tương ứng giữa hai đại lượng biến thiên. Tư
tưởng đó xuất hiện lần đầu tiên trong định nghĩa của Dirichlet
(1805-1859): “y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thì tương
ứng với một giá trị hoàn toàn xác định của y còn sự tương ứng đó
được thiết lập bằng cách nào thì điều này hoàn toàn không quan
Nửa đầu
thế kỉ 19

trọng”.
Tuy nhiên, sự biến thiên của hai đại lượng vẫn xuất hiện ngầm
ẩn trong các mô tả khác. Cụ thể, theo Lobachevsky (1792-1856):
“…hàm số của x là một số được cho với mỗi x và biến thiên dần dần
cùng với x. Giá trị của hàm số có thể được cho bằng một biểu thức
giải tích, hoặc bằng một điều kiện làm phương tiện để thử tất cả các
số và chọn một trong chúng, hoặc cuối cùng, sự phụ thuộc có thể tồn
tại nhưng còn chưa được biết.”
Định nghĩa hàm số ở thời kì này cũng tương tự như nửa đầu thế
kỉ 19, tuy nhiên có một sự khác biệt rõ ràng đó là sự ra đời của Lý
thuyết tập hợp của Cantor (1845-1918). Các nhà toán học đã bổ sung

Cuối thế
kỉ 19 – thế
kỉ 20

và hoàn thiện dần định nghĩa khái niệm hàm số. Đồng thời mở rộng
thêm tập xác định của hàm số:
“Tập xác định của hàm số được mở rộng từ một tập hợp con của R
thành một tập hợp con của Cn. Giải tích phức và giải tích lồi còn xét
hàm số đa trị. Laurent Schwartz (1915-2002) tổng quát hóa hai khái

Như vậy, ở thời kì này sự đồng biến thiên giữa hai đại lượng cũng như từ “hàm số” chính
thức được xuất hiện. Hơn thế nữa khi mà đặc trưng biến thiên của hàm số càng được nhấn
mạnh thì sự đồng biến thiên giữa hai đại lượng ngày càng thể hiện rõ nét.
1.2.1.4 Thế kỉ 18
Nhiều nhà toán học thời kì này đã đồng nhất hàm số với một biểu thức giải tích. Với cách
định nghĩa như vậy thì sự đồng biến thiên của hai đại lượng hoàn toàn vắng bóng, tức là tính

16


động của khái niệm hàm số bị che mờ. Tuy nhiên, vào cuối thời kì, Euler đã đưa ra khái
niệm thể hiện tính động của hàm số, thể hiện rất rõ sự thay đổi giữa các đại lượng.
1.2.1.5 Nửa đầu thế kỉ 19
Khái niệm hàm số được định nghĩa bằng sự tương ứng giữa hai đại lượng biến thiên trong
đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng không được nhấn mạnh.
1.2.1.6 Cuối thế kỉ 19 và thế kỉ 20
Định nghĩa khái niệm hàm số từ đầu thế kỉ 19 đến nay hoàn toàn dựa trên sự tương ứng.
Sự đồng biến thiên của hai đại lượng chỉ hiện diện ngầm ẩn.
Qua sự phát triển khái niệm hàm số, chúng tôi nhận thấy rằng hàm số thực của một biến
số thực có thể biểu đạt bằng các ngôn ngữ có liên quan đến sự đồng biến thiên thuận lợi hơn
hàm thực nhiều biến, hàm phức, hàm đa trị và phân phối. Vì vậy mà chúng tôi giới hạn
nghiên cứu của mình ở hàm số thực một biến số thực để thấy rõ được sự đồng biến thiên của
hai đại lượng xuất hiện trong định nghĩa này.
1.2.2. Quan niệm động và quan niệm tĩnh của khái niệm hàm số
Xem xét lịch sử xuất hiện khái niệm hàm số, chúng ta thấy rằng có hai quan niệm
cơ bản gắn với khái niệm hàm số tiếp nối nhau trong lịch sử:
- Quan niệm động:
Quan niệm này dựa trên sự đồng biến thiên của hai đại lượng, cần thiết việc mô hình hóa
theo những thuật ngữ biến phụ thuộc và/hoặc biến độc lập. Euler đã viết năm 1755 như sau:
“Nếu một số đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho nếu các đại lượng khác

Hệ thống biểu đạt đại

Với hệ thống biểu đạt này,

số: Trong cách biểu diễn

nghĩa thực chất của khái

này, hàm số thường được + Hỗ trợ nhiều cho quá niệm hàm số và khái niệm
cho bởi một biểu thức trình tính toán trong biến hoàn toàn bị lu mờ đi.
dạng y = f(x).

chương trình dạy học Như vậy khái niệm hàm số
toán hiện nay.

mất đi tính động của nó, có

+ Biểu đạt cô đọng và nghĩa là sự đồng biến thiên
chính xác mối tương của hai đại lượng hình
quan hàm.

thành nên khái niệm hàm
số hoàn toàn xuất hiện
ngầm ẩn.

Hệ thống biểu đạt hình + Phản ánh trực quan Dựa vào hệ thống biểu đạt
học: Trong cách biểu dáng điệu định tính của này người ta có thể quan
sát tính động của khái niệm

diễn này hàm số thường hàm số.


của hàm.

tử trong tập hợp khác, đó là
những hình ảnh về sự đồng
biến thiên của hai đại
lượng. Tất cả những điều
đó đều xuất hiện ngầm ẩn,
chứ không được trình bày
một cách tường minh.
Với hệ thống biểu đạt này,

Hệ thống biểu đạt bằng

lời: Ở đây hàm số được Chỉ rõ đặc trưng của giá sự đồng biến thiên của hai
đại lượng xuất hiện ngầm
mô tả thông qua các đặc trị hàm số.
ẩn và khá mờ nhạt.

trưng của nó.

Kết luận
Qua việc tổng hợp cách công trình nghiên cứu trước đó về khái niệm hàm số và
hệ thống biểu đạt của hàm số, chúng tôi nhận thấy rằng:
- Sự đồng biến thiên của hai đại lượng cũng như quan niệm về hàm số xuất hiện
từ những năm 2000 trước Công nguyên. Tuy nhiên, mãi đến thế kỉ 18 mới chính thức xuất
hiện trong một công trình của Euler khi đề cập đến hàm nhiều biến. Như vậy trong thời kì
này, các nhà toán học đã tiếp cận với khái niệm hàm số trên quan niệm động. Từ thế kỉ 19
cho đến nay, khái niệm hàm số được định nghĩa dựa trên lý thuyết tập hợp và gắn liền với
quan niệm tĩnh. Do đó sự đồng biến thiên của hai đại lượng xuất hiện ngầm ẩn.

chương trình toán lớp 2, quan niệm về hàm số xuất hiện ngầm ẩn dưới dạng bảng cửu
chương:
2x1=2

3x1=3

…..

2x2=4

3x2=6

…..

2x3=6

3x3=9

…..

2x4=8

3 x 4 = 12

…..

2 x 5 = 10

3 x 5 = 15


…..

Các thừa số tăng dần từ 1 đến 10 thì tích số tương ứng cũng thay đổi theo. Như vậy mầm
móng về sự đồng biến thiên của hai đại lượng đã xuất hiện từ rất sớm.

21


Sang chương trình lớp 4, SGK có đưa ra công thức tính diện tích và chu vi hình chữ nhật,
hình vuông, hình thoi và hình bình hành cũng như các hoạt động điền giá trị vào bảng số
nhằm củng cố sự phụ thuộc và sự đồng biến thiên của hai đại lượng.
“Viết giá trị của biểu thức vào ô trống:
m

3

30

23

230

m x 78
[SGK4, tr.70]
Như vậy quan niệm về hàm số xuất hiện trong các SGK toán tiểu học cũng giống như
trong lịch sử: đều xuất phát từ các bảng số, thông qua đó để thấy được sự thay đổi của các
đại lượng.
Đến chương trình lớp 5, quan niệm về hàm số được thể hiện ngày càng rõ nét thông qua
bài “Ôn tập và bổ sung về giải toán”:
“Ví dụ: Một người đi bộ trung bình mỗi giờ đi được 4 km. Bảng dưới đây cho biết

Có thể nói cách tiếp cận của SGK giống với những gì mà lịch sử đã trải qua.

22


2.1.2. Lớp 7
2.1.2.1 Phần lý thuyết
Khái niệm hàm số chính thức được đưa vào chương trình Toán 7 khi mà HS được trang
bị những quan niệm về hàm số ở lớp dưới. SGK Toán 7 dành một chương để nói đến khái
niệm hàm số và những vấn đề liên quan: Chương II - “Hàm số và đồ thị”, bao gồm các nội
dung sau:
§1. Đại lượng tỉ lệ thuận
§2. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận
§3. Đại lượng tỉ lệ nghịch
§4. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch
§5. Hàm số
§6. Mặt phẳng tọa độ
§7. Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥(𝑎 ≠ 0)

Chúng tôi nhận thấy rằng, trước khi dạy bài Hàm số SGK đã dành 7 tiết để dạy về hai đại
lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch. Nội dung của nó nói lên mối tương quan giữa hai đại
lượng: nếu đại lượng này thay đổi thì đại lượng kia cũng thay đổi theo – đó chính là sự đồng
biến thiên của hai đại lượng. Đây là một đặc trưng quan trọng của khái niệm hàm số.
Quan sát mục tiêu của chương:
“Hiểu được công thức đặc trưng của hai đại lượng tỉ lệ thuận, của hai đại lượng tỉ lệ
nghịch.
Biết vận dụng các công thức và tính chất để giải được các bài toán cơ bản về hai
đại lượng tỉ lệ thuận, hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Có hiểu biết ban đầu về khái niệm hàm số và đồ thị của hàm số.
Biết vẽ hệ trục tọa độ, xác định tọa độ của một điểm cho trước và xác định một điểm theo