A. MỞ ĐẦU :
TÊN ĐỀ TÀI
KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY:
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
1) LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy: Có nhiều bài toán giải bất phương trình bằng phương pháp
đồ thị rất ngắn gọn và dễ hiểu, vì học sinh có thể nhìn vào hình vẽ suy luận đưa ra kết quả rất
nhanh, mà trong chương trình toán lớp 10 ít đề cập đến.Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này,nhằm
trang bị thêm cho học sinh vốn kiến thức khi làm toán; đồng thời giúp cho học sinh biết tổng hợp,
khái quát các kiến thức đã học và vận dụng vào việc giải bài tập một cách năng động sáng tạo.

2) ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Các bài toán giải bất phương trình áp dụng được phương pháp đồ thị.Nhằm củng cố cho học sinh
kiến thức để phát triển tư duy ,óc sáng tạo ,đồng thời bổ sung vào vốn kiến thức của các em để
chuẩn bị sau này cho các kì thi tuyển sinh Đại học,Cao đẳng, học sinh giỏi.

3) PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
Trong chương trình toán lớp 10

4) PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Tham khảo các ý kiến của đồng nghiệp, các ý kiến của học sinh.
Trong quá trình giảng dạy khối lớp 10, chúng tôi đã cho học sinh làm một số bài giải bất phương
trình bằng phương pháp đồ thị; nhất là trong một số giờ tự chọn tôi đã lồng các bài tập này cho
các em.
Nghiên cứu các tài liệu các sách giáo khoa, sách tham khảo và chọn lọc một số bài có tính đặc
trưng, quen thuộc mà các em có thể giải quyết được.

B. NỘI DUNG:
1) CƠ SỞ LÝ LUẬN:
-Chọn hệ trục tọa độ và trên đó vẽ đồ thị của các đường.Tìm miền nghiệm của từng bất phương
trình theo yêu cầu của bài toán.


y=a
x2

1

x4

x1

x3

x

Dựa vào đồ thị ta biện luận như sau:
• Với a ≤ 0 , bất phương trình vô nghiệm
• Với 0 〈 a 〈1 , bất phương trình có nghiệm là : ( x2 , x4 ) ∪ ( x3 , x1 )

(

)

•

Với a = 1, bất phương trình có nghiệm là 2 − 2, 2 + 2 \ { 2}

•

Với a〉1 , bất phương trình có nghiệm là ( x2 , x1 )


x

-3

y=-2x+2m

y=2x-2m

2


Ta có:

Đường thẳng (d1):y=-2x+2m tiếp xúc với (P) ⇔ m = 0 ⇒ (d1 ) : y = −2 x
Đường thẳng (d2):y=2x-2m tiếp xúc với (P) ⇔ m = 4 ⇒ (d 2 ) : y = 2 x − 8
Khi đó để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x điều kiện là (P) ớ phía trên của (V)
⇔ đường thẳng y = -2x+2m ở phía dưới (d1) hoặc trùng với (d1) ⇔ 2m ≤ 0
Hay đường thẳng y = 2x-2m ở phía dưới (d2) hoặc trùng với (d2) ⇔ −2m ≤ −8
•
•

m ≤ 0
⇔
m ≥ 4

Bài 3:

Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm: a − x + x + a ≥ a

Giải

d (O , ∆ ) ≤ 2 a
⇔

−a

≤ 2a
2
⇔ a 2 − 4a ≤ 0
⇔0≤a≤4
3


Bài 4:Tìm m để bất phương trình : 3 - x - m 〉 x 2 có ít nhất một nghiệm âm.
Giải
3 − x − m 〉 x 2
2
⇔
Ta có: 3 − x − m 〉 x có ít nhất một nghiệm âm 
có nghiệm.
 x〈0
 m〉 x 2 + x − 3

 x − m 〈3 − x 2
 x 2 − 3〈 x − m〈3 − x 2

⇔
⇔
⇔ m〈− x 2 + x + 3
 x〈0
 x〈0

g (x) = -x2 +x+3

-13
4

Từ đồ thò suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −

4

13
〈 m〈3
4


Bài 5:
Cho bất phương trình : x(2 - x) + a + 3 ≥ x 2 - 2x + 5 .Tìm a để bất phương trình có
nghiệm.
Giải
2

Ta có: parabol y=x -2x+5 có đỉnh là (1 ; 4), và qua các điểm (0 ; 5), (2 ; 5).
Đặt y = x(2 − x) + a + 3
 y ≥ 0
⇔
2
2
( x − 1) + y = a + 4


Nếu a〉 − 4 thì y = x(2 − x) + a + 3 có đồ thị là nửa đường tròn (Ca) tâm

⇔ x + y ≤ x 2 + y 2
x + y > 0


v

x 2 + y 2 > 1

 x + y ≥ x 2 + y 2

x = 1
y = 1

Nhìn vào đồ thị,ta thấy bất phương trình( 1) có nghiệm nguyên duy nhất : 
6


b/Trong tất cả các nghiệm của bất phương trình( 1).Hãy tìm nghiệm có tổng x+2y lớn
nhất.
Đặt m là giá trị của x+2y.
Ta có : đường thẳng x+2y = m thay đổi có hệ số góc k=-1/2.
Nhìn vào đồ thị ta thấy m lớn nhât khi và chỉ khi đường thẳng x+2y = m la2b tiếp tuyến
phía trên của đường tròn (C2) : x 2 + y 2 − x − y = 0 .
Vậy nghiệm cần tìm là tọa độ của tiếp điểm tương ứng.
1

 x = 2 +
Giải bài toán giải tích,ta được : 
y = 1 +



Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình : − x + y − 1 > 0
Giải :

• Vẽ đường thẳng ( d ) : − x + y − 1 = 0
• Xét O ( 0;0 ) không nằm trên (d)
Ta có −1 > 0 (sai)
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng không bị gạch không kể bờ.

Bài 4:
8


Giải và biện luận các bất phương trình sau :
a) (2x - 2 )(x - m)〉 0

b)

3 -x
≤0
x - 2m + 1

Giải :
a)

Ta có : (2 x − 2)( x − m)〉 0 (1)
2 x − 2 〉 0

⇔


2
2
2
2
Nếu m〈
bất phương trình có nghiệm là : x 〈 m hoặc x〉
.
2
2
m

x=

2
2
x-m=0

2
2 O

b) Ta có :

A(

2
2

;

2

bất phương trình có nghiệm là : x ≠ 3
2
3 +1
Nếu m〉
bất phương trình có nghiệm là : x ≤ 3 hoặc x 〉 2m − 1 .
2
3 +1
Nếu m〈
bất phương trình có nghiệm là : x 〈2m − 1 hoặc x ≥ 3 .

Nếu m =

2

m

x= 3

x-2m+1=0
3 +1
2

A( 3 ;

3 +1
2

)
x


C. Kết luận:
1) Bài học kinh nghiệm:
Giáo viên thể hiện được tinh thần đổi mới phương pháp giảng dạy của mình qua các tiết
ơn tập là lấy học sinh làm trung tâm .Thầy chủ đạo còn trò chủ động.
Giáo dục cho học sinh được tính độc lập suy nghĩ, tính kiên trì, biết tìm tòi vấn đề, phát
hiện vấn đề trong q trình tự ơn tập.Nhất là phát huy được khả năng phân tích và tổng hợp
một vấn đề.
Đây là kinh nghiệm được tích lũy trong q trình dạy tốn của chúng tơi, qua phương
pháp này chúng tơi đã cung cấp thêm một phần kiến thức ngồi sách giáo khoa cho học
sinh để chuẩn bị cho các kì thi tuyển sinh, chọn học sinh giỏi.
Qua đề tài này mong các q đồng nghiệp giúp đỡ , bổ sung để sáng kiến kinh nghiệm
mang lại hiệu quả tốt hơn, thiết thực hơn.
2) Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài:
Qua đề tài này, nếu được hội đồng khoa học ngành chấp nhận.Hướng nghiên cứu tiếp của
chúng tơi với đề tài: hệ phương trình và hệ bất phương trình bằng phương pháp tọa độ.
 Tài liệu tham khảo:
11


 Sách giáo khoa nâng cao lớp 10
 Toán nâng cao hình học giải tích –PHAN HUY KHẢI
 Phương trình ,bất phương trình-PHAN HUY KHẢI
Biên hòa , ngày 06 tháng 12 năm 2012
Người viết

NGUYỄN THỊ THANH TRANG

Ý KIẾN NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
12