BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lý Tấn Tài

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ MỐI
QUAN HỆ GIỮA LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ
VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lý Tấn Tài

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ MỐI
QUAN HỆ GIỮA LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ
VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN ÁI QUỐC


M2 :

Sách giáo khoa lớp 7

M3 :

Sách giáo khoa lớp 12 – chương trình nâng cao

SGK :

Sách giáo khoa

SGV :

Sách giáo viên

THCS :

Trung học cơ sở

THPT :

Trung học phổ thông

HS

Học sinh


DANH MỤC CÁC BẢNG

1.1. Phân tích chương trình ............................................................................16
1.2. Phân tích sách giáo khoa.........................................................................17
2. Khái niệm lũy thừa trong thể chế dạy học ở THPT ..............................................19
2.1. Phân tích chương trình ............................................................................19
2.2. Phân tích sách giáo khoa.........................................................................20
3. Các tổ chức toán học về lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa ........................30
3.1. Các tổ chức toán học trong M1 ...............................................................30
3.2. Các tổ chức toán học trong M2 ...............................................................34
3.3. Các tổ chức toán học trong M3 ...............................................................40
CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM .............................................................................57
1. Đối tượng và hình thức thực nghiệm ....................................................................57
2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) các bài toán thực nghiệm ...................................57
2.1. Bài toán 1 và bài toán 2...........................................................................57
2.2. Bài toán 3 .................................................................................................63
3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm .............................67
KẾT LUẬN ..............................................................................................................73
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
Phụ lục


MỞ ĐẦU
1. CÂU HỎI MỞ ĐẦU
Khái niệm lũy thừa được đưa vào chương trình phổ thông từ lớp 6, trong đó
lũy thừa bậc n (n là số tự nhiên) của một số thực a là tích của n thừa số a:
a n = a.a. ... .a .



n thöøa soá


3. CÂU HỎI NGHIÊN CỨU
Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu, các câu hỏi ban đầu được chúng tôi cụ
thể hóa thành các câu hỏi nghiên cứu như sau:
Q1: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa được trình
bày như thế nào? Có những cách tiếp cận nào?
Q2: Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa xuất
hiện và tiến triển như thế nào?
Q3: Quan hệ thể chế ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân khi học sinh giải
quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hai khái niệm này ?
4. MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Mục đích nghiên cứu là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở mục 3. Cụ
thể: thứ nhất, tìm hiểu sự hình thành và tiến triển của khái niệm lũy thừa và hàm số
lũy thừa ở chương trình phổ thông; thứ hai, xác định các sai lầm mà học sinh
thường mắc phải khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến lũy thừa của một số
và hàm số lũy thừa; thứ ba, xác định nguồn gốc của những sai lầm này để từ đó có
những điều chỉnh trong cách dạy học, nhằm mang lại hiệu quả cao nhất trong giảng
dạy.
Để đạt được mục đích này, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau:
Ở cấp độ tri thức khoa học, chúng tôi phân tích nhằm làm rõ các cách tiếp
cận khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa.
Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, chúng tôi phân tích chương trình, sách giáo
khoa và các tổ chức toán học liên quan đến lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa
ở cấp độ THCS và THPT nhằm làm rõ sự hình thành và tiến triển của chúng qua các
khối lớp.
Kết quả phân tích ở cấp độ tri thức khoa học và tri thức cần giảng dạy, chúng
tôi đặt ra giả thuyết nghiên cứu.


Cuối cùng, chúng tôi xây dựng một thực nghiệm để kiểm chứng những giả
thuyết đã đặt ra.

Chúng tôi chọn các tài liệu trên để phân tích vì các tài liệu này trình bày khá
chi tiết về lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa, hơn nữa các tài liệu này trình bày
các cách khác nhau khi xây dựng lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa.
1.

Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [2]
Tài liệu này chỉ trình bày về lũy thừa với số mũ nguyên dương, số mũ không,

số mũ nguyên âm và số mũ hữu tỉ; không trình bày lũy thừa với số mũ thực và hàm
số lũy thừa.
Các kiến thức về lũy thừa với số mũ nguyên dương, số mũ không, số mũ
nguyên âm và số mũ hữu tỉ được trình bày cụ thể và chứng minh chi tiết.
Lũy thừa với số mũ nguyên dương
Cho a là một số thực và n là số nguyên dương, an là tích của n thừa số a; a
gọi là cơ số và n gọi là số mũ.
Lũy thừa với số mũ nguyên dương có các tính chất sau:
a) Quy tắc nhân: cho a là một số thực và m, n là các số nguyên dương thì
a m .a n = a m + n .

b) Quy tắc chia: cho a là một số thực khác không; m, n là các số nguyên dương sao


cho m > n thì

am
= a m−n .
n
a

Nếu a ≠ 0 và n > m thì

Lũy thừa với số mũ không
Lũy thừa với số mũ không xuất hiện khi mở rộng điều kiện của m trong quy
tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: nếu a ≠ 0 và m = n, giả sử công thức

am
= a m − n vẫn
n
a

an
−n
a n=
a0 .
1 =
đúng trong trường hợp số mũ bằng không, thì=
n
a

Từ đó tài liệu [2] đưa ra định nghĩa: ∀ a ∈ ℝ và a ≠ 0, a0 =1.

Lũy thừa với số mũ nguyên âm

Lũy thừa với số mũ nguyên âm xuất hiện khi mở rộng điều kiện của n trong
quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: nếu a ≠ 0 và m = -n, giả sử công thức
n
0
a=
1 , từ đó suy ra
a m .a n = a m + n vẫn đúng trong trường hợp số mũ âm thì a n .a −=


a>0

n

Có duy nhất một căn bậc n của a,

a.

kí hiệu:

Giá trị âm kí hiệu: − a .

n

a.

n

Có duy nhất một căn bậc n Có duy nhất một căn bậc n của a,
a=0
của a, kí hiệu

n

0 = 0.

kí hiệu

n


 1
1
1
a . Điều này chứng tỏ
vẫn còn đúng khi m = thì  a n = a n = a=
n
 

1
n

rằng a là một căn bậc n của a.
Từ kết quả về căn bậc n của một số thực a và nhận xét trên, tài liệu [2] đưa ra
các định nghĩa:
• Định nghĩa 1
1
n

Nếu a là số thực không âm và n là số nguyên dương, a chỉ căn bậc n của số
không âm a, còn kí hiệu là

n

a.
1

Nếu a là số âm và n là số nguyên dương lẻ thì a n chỉ căn bậc n của a, còn kí
hiệu là

n

thay n bằng thì =
n
 

Từ đó tài liệu [2] đưa ra định nghĩa 2 – định nghĩa về lũy thừa với số mũ hữu
tỉ:
• Định nghĩa 2
m
tối giản; số thực a và giả sử
n

Cho m, n là các số nguyên, n > 0 và phân số

a không âm khi n chẵn, thì a

m
n

m

 1n 
chỉ lũy thừa m của a . Tức là a =  a  .
 
1
n

m
n

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ các tính chất của lũy thừa với số mũ

giản và căn bậc n của a tồn tại.
Do tài liệu [2] không trình bày về lũy thừa với số mũ vô tỉ nên chúng tôi
chưa biết được cách tiếp cận định nghĩa này từ cách định nghĩa lũy thừa với số mũ


hữu tỉ như trên.
2.

Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [3]
Tài liệu này chỉ trình bày khái niệm lũy thừa của một số (lũy thừa với số mũ

nguyên dương, số mũ không, số mũ nguyên âm và số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số
thực bất kì), không trình bày về hàm số lũy thừa.
Lũy thừa của một số
Tài liệu [3] không trình bày cụ thể về lũy thừa với số mũ nguyên như tài liệu
[2]. Các kiến thức này được trình bày ngắn gọn như sau:
Nếu x là một số thực bất kì, ta biết rằng xk (với k là số nguyên dương ≥ 2)
được định nghĩa là tích của k thừa số, tất cả đều bằng x. Ta kí hiệu: x1 nghĩa là chính
nó; khi x ≠ 0, x0 bằng 1, x-k bằng

1
(k = 1, 2, 3, …). Vì thế xp được định nghĩa cho
k
x

mọi số nguyên p. Định nghĩa này thỏa 3 quy tắc cơ bản sau: x p x q = x p + q ,
x p . y p = ( xy ) ; ( x p ) = x pq . Từ các quy tắc này có thể suy ra được các quy tắc khác.
q

p

m
n

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ được định nghĩa cho cơ số dương: a =

( a)
n

m

.

Lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa cho cơ số dương, khái niệm này
được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số: aα là giới hạn của dãy số ( a xn ) ,
trong đó ( xn ) là dãy số hữu tỉ có giới hạn là α.
3.

Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [1]
Lũy thừa của một số
Tài liệu này không trình bày định nghĩa và các tính chất của lũy thừa với số

mũ nguyên. Tuy nhiên trong phần nhận xét mà tài liệu này nêu ra sau khi định nghĩa
hàm số mũ cơ số e:
“Mệnh đề: exp1 = e .
1
n

Cho tới lúc này thì kí hiệu et được định nghĩa với t ∈ ℤ hay t = , n ∈ ℕ*. Ta

thấy expt trùng với et trong hai trường hợp này” (Giải tích 2, tr.6).

ký hiệu là exp :  → *+ .
Sau khi xây dựng xong hàm mũ, tài liệu [1] đưa ra nhận xét: “Cho tới lúc này
1
n

thì kí hiệu et được định nghĩa với t ∈ ℤ hay t = , n ∈ ℕ*. Ta thấy expt trùng với et

trong hai trường hợp này. Như vậy chúng ta có thể thác triển kí hiệu et cho trường
hợp t ∈ ℝ bằng cách đặt: ∀x ∈ , et =exp t ” (Giải tích 2, tr.10).
Hàm logarit cơ số a

Hàm logarit cơ số a, kí hiệu là log a , là ánh xạ từ *+ vào ℝ được xác định
ln x
.
ln a

như sau: ∀x ∈ *+ , log a x =
Hàm mũ cơ số a

log a .

Hàm mũ cơ số a, kí hiệu là exp a , là ánh xạ từ ℝ vào *+ ngược với ánh xạ
Hàm số mũ cơ số a có các tính chất sau:
, y exp a x ⇔=
x log a y
• ∀( x, y ) ∈ (  × *+ ) =
2

• ∀x ∈ , exp a x =e x ln a
• Hàm số exp a thuộc lớp C ∞ trên  và ∀x ∈ *+ , ( exp a ) '( x) =( ln a )( exp a x )


nghĩa: ∀x ∈ , a x =exp a x .” (Giải tích 2, tr.12)

Sau đó, tài liệu [1] trình bày lại các tính chất của exp a khi thay kí hiệu exp a x
bởi a x .
Như vậy, aα là giá trị của hàm số exp a tại α, với a là một số thực dương và α
là một số thực bất kì.
Hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa được định nghĩa thông qua hàm số mũ cơ số e: “Cho α ∈ ℝ,

hàm số lũy thừa với số mũ α là ánh xạ từ *+ vào ℝ, ở đây được kí hiệu là pα và

được xác định như sau: ∀x ∈ *+ , pα ( x)= xα= eα ln x .” (Giải tích 2, tr.15)

Vì hàm số lũy thừa được định nghĩa thông qua hàm số mũ nên hàm số lũy
thừa có đầy đủ các tích chất của hàm số mũ. Tài liệu [1] trình bày chi tiết về hàm số
lũy thừa p α :
→ 0 , và do đó ta có thể thác triển liên tục phải hàm
Nếu α > 0 thì eα ln x 
x → 0+

số p α bằng cách đặt p α (0) = 0.
Ánh xạ pα thuộc lớp C ∞ trên (0 ; +∞) và :
α α ln x
 '
(α −1) ln x
α e=
α eα −1
pα ( x) =
e

+∞

0

'

+

pα ( x)

+∞

+∞

pα ( x)

pα ( x)

0

0

Đồ thị của hàm số lũy thừa

Nhận xét tài liệu [1]
Lũy thừa với số mũ nguyên tuy không được trình bày, nhưng ngầm ẩn chúng
được hiểu như trong tài liệu [2] và [3].
Lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa cho cơ số dương: aα là giá trị của
hàm số exp a tại α.
Mặc dù lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa không theo hướng mở rộng

thực cơ số a được suy ra từ tính chất của ex.
Kết quả phân tích cho thấy tiến trình xây dựng lũy thừa của một số trong tài
liệu [1] giống tiến trình 1 trong luận văn của Nguyễn Hữu Lợi.


KẾT LUẬN
1. Lũy thừa với số mũ nguyên dương được định nghĩa là tích của n thừa số a:
a n = a.a. ... .a . Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương được suy ra từ tính


n thöøa soá

chất của phép nhân trên tập số thực.
2. Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm được mở rộng từ lũy thừa với
số mũ nguyên dương theo hướng bảo toàn tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên
dương.
+ Lũy thừa với số mũ 0: a 0 = 1 (a ≠ 0) .
+ Lũy thừa với số mũ nguyên âm a −n
a−n =

là nghịch đảo của a n :

1
(n ∈  + ) .
an

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: kết quả về lũy thừa với số mũ hữu tỉ được tóm
tắt như sau:
Bảng 1.2. Các định nghĩa về lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Định nghĩa 1

a > 0 , m ∈ ℤ, n ∈ ℤ + .

Định nghĩa 3
aα = exp a α

trong

đó

a > 0.

1

tối giản và a n tồn tại.

4. Lũy thừa với số mũ thực: kết quả về lũy thừa với số thực được tóm tắt như
sau:
Bảng 1.3. Các định nghĩa về lũy thừa với số mũ thực
Định nghĩa 1
aα = lim a rn trong đó lim rn = α , a > 0 .

Định nghĩa 2
a x = exp a x trong đó a > 0 .

Hai định nghĩa này cũng là hai cách định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ.
5. Các quy tắc tính lũy thừa được bảo toàn với mọi số mũ.
6. Hàm số lũy thừa được định nghĩa dựa vào hàm số mũ cơ số e:


∀x ∈ *+ , pα ( x)= xα= eα ln x . Hàm số lũy thừa xuất hiện như là một kết quả của việc

Chương trình của môn đại số 6 gồm 3 chương: chương I – ÔN TẬP VÀ BỔ

TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN, chương II – SỐ NGUYÊN và chương III – PHÂN SỐ.
Khái niệm lũy thừa xuất hiện trong chương I và chương II.
Chương I (39 tiết), khái niệm lũy thừa được trình bày ở §7 – Lũy thừa với số
mũ tự nhiên. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số (1 tiết), §8 – Chia hai lũy thừa cùng cơ
số (1 tiết), Luyện tập về lũy thừa (1 tiết). Bên cạnh đó, lũy thừa còn là công cụ dùng
để viết gọn tích của các thừa số giống nhau khi phân tích một số tự nhiên ra thừa số
nguyên tố (§15 – Phân tích một số ra thừa số nguyên tố).
Chương II, khái niệm lũy thừa được trình bày ở §12 – Tính chất của phép
nhân (khái niệm lũy thừa được trình bày dưới dạng một chú ý)
b)

Sách giáo khoa lớp 7 (M2)
Chương trình của môn đại số 7 gồm 4 chương: chương I – SỐ HỮU TỈ. SỐ

THỰC, chương II – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ, chương III – THỐNG KÊ, và chương
IV – BIỂU THỨC ĐẠI SỐ. Khái niệm lũy thừa xuất hiện trong chương I và IV.
Chương I (23 tiết), khái niệm lũy thừa được trình bày trong §5, 6 – Lũy thừa


của một số hữu tỉ (2 tiết), luyện tập về lũy thừa (1 tiết).
Chương IV, §3 – Đơn thức, lũy thừa xuất hiện với vai trò là một trong những
công cụ để nhân hai đơn thức.
1.2. Phân tích sách giáo khoa
Trong phần này, chúng tôi sẽ phân tích M1 và M2 song song với nhau nhằm
tìm hiểu cách trình bày khái niệm lũy thừa ở hai bậc học (lớp 6 và lớp 7), để từ đó
làm rõ quan hệ thể chế đối với khái niệm lũy thừa.
Khái niệm lũy thừa của một số
M1 tiếp cận khái niệm lũy thừa bằng hoạt động “ a + a + a + a =

a m : a n = a m − n ( a ≠ 0 ). Trong trường hợp m = n, ta có: a m : a n = 1 với a ≠ 0 (vì số bị

chia bằng số chia), chẳng hạn 54:54 = 1.” (M1, trang 29). Từ đó đưa ra quy ước
" a 0 = 1 (a ≠ 0)" (M1, tr.29).


M2 cũng đưa ra quy ước “ x0 = 1 (x ≠ 0)” (M2, tr.17), nhưng không giải thích
gì về tính hợp lí của quy ước này.
Nhận xét
Với n là số tự nhiên (n ≠ 0), lũy thừa bậc n của a (a ∈ ℕ hoặc a ∈ ℤ) là tích

của n thừa số a: a n = a.a. ... .a .


n thöøa soá

Lũy thừa với số mũ 0 được định nghĩa cho cơ số a khác 0: a0 = 1 (a ≠ 0).
Định nghĩa này xuất phát từ quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số khi số mũ bằng
nhau.
Quy tắc tính lũy thừa
M1 chỉ trình bày hai quy tắc về nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số. Quy tắc
về nhân hai lũy thừa cùng cơ số được xây dựng bằng ví dụ “Viết tích của hai lũy
thừa sau thành một lũy thừa: 23.22; a4.a3 ” (M1, tr.30), quy tắc về chia hai lũy thừa
cùng cơ số được xây dựng bằng hoạt động “Ta đã biết 53.54 = 57. Hãy suy ra
57 : 53 = ? và 57 : 54 = ? ” (M1, tr.31). Từ đó, M1 đưa ra các quy tắc tính lũy thừa “
a m .a n = a m + n ; a :a = a
m

n


 y

5)

(x )

n

= xn .y n

n

m n

= x m. n

Nhận xét
Các quy tắc tính lũy thừa không được chứng minh, chúng được xây dựng


theo phương pháp quy nạp: từ kết quả của một số ví dụ cụ thể rồi khái quát thành
công thức.
Các quy tắc tính lũy thừa là yếu tố kỹ thuật trong nhiều kiểu nhiệm vụ liên
quan đến lũy thừa.
Có sự tương ứng 1 - 1 giữa phép nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số với phép
cộng, trừ các số mũ. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số ứng với việc giữ nguyên cơ số và
cộng hai số mũ; chia hai lũy thừa cùng cơ số ứng với việc giữ nguyên cơ số và trừ
hai số mũ (tương ứng).
Nhận xét M1 và M2
1. Về định nghĩa lũy thừa: lũy thừa được định nghĩa cho cơ số là một số tự