SỞ GD & ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: Toán – THPT
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 17 tháng 09 năm 2015

3
2
Câu 1 (3.0 điểm) Cho hàm số: y = mx − 3mx + 3 ( m − 1) , với m là tham số. Chứng minh rằng với mọi

m ≠ 0 , hàm số luôn có hai điểm cực trị A,B . Khi đó tìm các giá trị của tham số m để

(

)

2AB2 − OA 2 + OB2 = 20 (trong đó O là gốc toạ độ).

π
Câu 2 (3.0 điểm) Giải phương trình: cos x + cos3x = 1 + 2 sin  2x + ÷ .
4

Câu

3

(3.0


1
Câu 6 (2.0 điểm) Tính: S = C02015 + C22015 + C2015
+L +
C2014
3
5
2015 2015
Câu 7 (2.0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
1
P=
−
6 xy + 8 xz + 7z 9 x + y + z
-------------------------- Hết -------------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..................................................

Số báo danh:....................................


SỞ GD & ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2014 - 2015
Môn: TOÁN; Khối 12
(Đáp án – thang điểm gồm 04 trang)

Câu
Đáp án
1


2

Vậy giá trị m cần tìm là: m = 1 và m =

1.0

−17
.
11

2
Giải phương trình:
(3.0 điểm) PT ⇔ cosx + cos 3 x = 1 + sin 2 x + cos 2 x
⇔ 2 cos 2x cos x = 2 cos2 x + 2 sin x cos x
⇔ 2 cos x ( cos 2x − cos x − sin x ) = 0

(

1.0

)

⇔ 2 cos x  cos2 x − sin 2 x − ( cos x + sin x )  = 0


⇔ 2 cos x ( cos x + sin x )  cos x − sin x − 1 = 0

π


4
4



1.0

(k ∈ ¢ )

3
Giải hệ phương trình…
(2.0 điểm)
3
ĐKXĐ: x ≤ 4,y ≤ , 7 x − 8y ≥ 0,14x − 18y ≥ 0 (Thiếu điều kiện trừ 0.5)
2

1.0

0.5

PT (1) 3(4 − x) + 2015 4 − x = 3(3 − 2y) + 2015 3 − 2y (3)
Xét hàm số: f(t) = ( 3t + 2015 ) t liên tục trên 0; + ∞ )
3t + 2015
> 0, ∀t > 0
Có f '(t) = 3 t +
2 t

1.0



5x + 9 + (x + 3) 
 3x + 4 + (x + 2)
⇔

−

x = 0
2
3
+
+ 1 > 0 với
⇔ x(x + 1) = 0 ⇔ 
.( Vì
3x + 4 + (x + 2)
5x + 9 + (x + 3)
 x = −1
4
− ≤x≤4)
3

1
Vậy hệ pt có hai nghiệm:  0; − ÷; ( −1; −1) .
2

4
µ =C
µ (vì cùng phụ với
∆AEF và ∆DFC có: F
1
1

H

⇒

1

1.0

E
x-3y-9=0
1

F

A

2
D
F(2;1)

Gọi H là hình chiếu củaF trên EC. Khi đó: CF = 2FH = 2d(F,CE) = 2 5

1.0

Gọi C(3t + 9; t) với t > −3 (vì x C > 0 ). Ta có: CF = 2 5 ⇒ CF 2 = 20

1.0

 t = −1
⇔ (3t + 7)2 + (t − 1)2 = 20 ⇔ t 2 + 4t + 3 = 0 ⇔ 

B

C'

1.5

VAB'C'D AB' AC' a a a
=
=
=
VABCD
AB AC b c bc
2

⇒ VABCD =

C

bc
bc a3 2 abc 2
V
=
=
a2 AB'C'D a2 12
12
Chu vi tam giác BCD:
p = DC + BC + BD = a2 − ac + c2 + b 2 − bc + c 2 + a2 − ab + b 2
3
1
3

Cnk ++11
Chứng minh:
=
k +1 n +1
1
2015
Khi đó: S =
C12016 + C32016 + C52016 + ... + C2016
2016

(

Ta lại có: ( 1 + 1)

( 1 − 1)
⇒2

2016

2016

2016

0.5

)

2016
= C02016 + C12016 + C22016 + C32016 + .... + C2015
+ C2016


)

0.5

2015
⇒ C12016 + C32016 + C52016 + .... + C2016
= 22015

22015
2016
Tìm giá trị nhỏ nhất …
Vậy S =

7
(2.0 đ)

Ta có: 6 xy = 2 x.9y ≤ x + 9y ; 8 xz = 2 8x.2z ≤ 8x + 2z
⇒ 6 xy + 8 xz + 7z ≤ 9 ( x + y + z )
⇒P≥

1
1
−
9(x + y + z) 9 x + y + z

Đặt:

1
1

1
⇔ y = 2 / 23
=−
khi  x = 9y
36
8x = 2z
z = 72 / 23



0.5