Chương 2:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog:
Email:
Yahoo: nguyenphuong1504
Ngày 28 tháng 10 năm 2013

1


1

Hệ phương trình tuyến tính
Các khái niệm
Định lý Croneker - Capelli

2

Hệ Cramer
Phương pháp ma trận nghịch đảo
Phương pháp định thức

3

Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát
Phương pháp Gauss
Phương pháp Gauss-Jordan


.


 a x + a x + ··· + a x = b
m1 1
m2 2
mn n
m






 a11 · · · a1n 
 x1 
 b1 
 a

 21 · · · a2n 
 . 
 . 
Ma trận A =  .
..  , X =  ..  , B =  ..  được gọi là ma
..
 ..
.



x1 = α1 , x2 = α2 , . . . , xn = αn .
- Hai hệ phương trình có cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng có
cùng tập nghiệm.


Hệ phương trình tuyến tính

Các khái niệm

Định nghĩa
Có 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng:
1

P1: Hoán vị 2 dòng.

2

P2: Nhân một dòng với một số λ

3

P3: Nhân một dòng với một số λ rồi cộng vào một dòng khác.

0.

Định lý
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận các hệ số A tương ứng
biến hệ phương trình thành một hệ phương trình tương đương với nó.
Ví dụ:



2
3
2

1 1
−1 0
1 0

2
−1
4








Hệ phương trình tuyến tính

Định lý Croneker - Capelli

Định lý (Croneker - Capelli)
1

Hệ (1) vô nghiệm ⇔ rankA < rank(A)

2

2
 d →d +d

 2 2 1
A = (A|B) =  −1 1 −2 1  −−−−−−−−−→

 d3 →d3 −2d1
2 1 3 m



1
2 
 1 2 1
 1 2
d3 →d3 −d2 

 0 3 −1
 −−−−−−−−→  0 3 −1
3



0 −3 1 m − 4
0 0 0

2
3
m−1


Phương pháp ma trận nghịch đảo

Ví dụ:


2x + y − z = 1



y + 3z = 3
Giải hệ phương trình: 


 2x + y + z = −1
2 1 −1
Ta có |A| = 0 1 3 = 4 0 nên hệ đã cho là hệ Cramer.
2 1 1


 −2 −2 4 
1

4 −6 .
Ta tìm được A−1 =  6

4  −2 0
2





Phương pháp định thức

Gọi D = |A| và Dj là định thức của ma trận có được bằng cách thay cột j của
A bằng B.
Dj
Khi đó, hệ Cramer có nghiệm duy nhất với xj =
, j = 1, n.
D
Ví dụ:


2x + y − z = 1



y + 3z = 3
Giải hệ phương trình 


 2x + y + z = −1
2 1 −1
Ta có D = |A| = 0 1 3 = 4 0 nên hệ đã cho là hệ Cramer.
2 1 1
1 1 −1
2 1 −1
3 1 3 = − 12
3 = 24
D2 = 0 3
D1 =

Phương pháp Gauss



x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4



2x
Ví dụ: Giải hệ phương trình 
1 + 12x2 + 6x3 − 18x4 − 5x5 = −5


 3x1 + 18x2 + 8x3 − 23x4 − 6x5 = −2




 1 6 2 −5 −2 −4 
 1 6 2 −5 −2 −4 




Ta có A =  2 12 6 −18 −5 −5  −→  0 0 2 −8 −1 3  −→




0 0 2 −8 0 10

x3 = 4x4 + 5
⇔


3
4
5





 x1 = −6x2 − 3x4
x5 = 7
Vậy tập nghiệm của hệ là {(−6a − 3b, a, 4b + 5, b, 7), a, b ∈ R}.

12


Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát

Phương pháp Gauss-Jordan

Phương pháp Gauss-Jordan

Sau khi đã đưa ma trận các hệ số về dạng bậc thang theo dòng theo phương
pháp Gauss, ta tiếp tục biến đổi sao cho
Phần tử khác không đầu tiên của mỗi dòng là phần tử khác không duy
nhất trên cột tương ứng.
Các phần tử khác không đầu tiên của mỗi dòng phải bằng 1.

−5
−2
−4


 1 6 2 −5 0 10 
 0 0 2 −8 −1 3 

 −→  0 0 2 −8 0 10  −→




0 0 0 0 1 7
0 0 0 0
1
7




 1 6 0 3 0 0 
 1 6 0 3 0 0 
 0 0 2 −8 0 10  −→  0 0 1 −4 0 5 




0 0 0 0 1 7
0 0 0 0 1 7

4

 x3 = 4x4 + 5



 x5 = 7
x5 = 7
Vậy nghiệm tổng quát của hệ là (−6a − 3b, a, 4b + 5, b, 7), a, b ∈ R.

14


Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát

Phương pháp Gauss-Jordan

Ví dụ:


mx + y + z = 1



x + my + z = 1
Giải và biện luận hệ phương trình: 


 x + y + mz = 1
Cách 1: Gauss/Gauss-Jordan

−
m
0
0
 −→ 




0 1 − m 1 − m2 1 − m
0
0
2 − m − m2 1 − m


 1 1 −2 1 


Nếu m = −2 : A −→  0 −3 3 0  ⇒ Hệ vô nghiệm.


0 0
0 3
Nếu m = 1 : A −→ 1 1 1 1 ⇒
Hệ tương đương x + y + z = 1 ⇔ x = 1 − y − z
Nghiệm tổng quát là (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R.
15






2
 1 0

0


m + 2 

1


 −→  0 1
0

m + 2 


1
 0 0

1
m+2

1
m
1
m−1
1−m



m + 2 

1



 0 1
0


m
+
2


1


0 0
1
m+2
1
1
1
,
,
).
⇒ Hệ có nghiệm duy nhất (x, y, z) = (

m 1 1
Ta có D = |A| = 1 m 1 = m3 − 3m + 2 = (m − 1)2 (m + 2)
1 1 m
|A| = 0 ⇔ m = −2 ∨ m = 1




1 1 
 −2 1
 1 1 −2 1 




Nếu m = −2 : A =  1 −2 1 1  −→  0 −3 3 0  ⇒ Hệ




1
1 −2 1
0 0
0 3
vô nghiệm.


 1 1 1 1 



18


Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Định nghĩa
Hpttt có ma trận hệ số tự do bằng không được gọi là hpttt thuần nhất.


a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0


 a x + a x + ··· + a x = 0


22 2
2n n
 21 1

..



.


 a x + a x + ··· + a x = 0
m1 1
m2 2
mn n


2x + y + z = 0



 3x + 2y − 2z = 0
m −3 1
2
1
1 =0
3
2 −2
⇔ − 2m − 9 + 4 − 3 − 12 − 2m = 0 ⇔ − 4m − 20 = 0 ⇔ m = −5
Hệ có nghiệm không tầm thường ⇔

21


Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Ví dụ:
Biện
luận theo m số nghiệm của hệ sau


x − 2y − z = 0







−1 
 1 −2
 1 −2 −1 
 0 1


2
2 

 −→  0 1




0 1 m+2
0 0
m
Vậy:





 −→



Nếu m = 0: rank(A)=2 < 3 ⇒ Hệ có vô số nghiệm.

Ta có A = 
 −→
 −→ 




0 2 2 0
1 1 3 −1
1 −1 1 −1
1 0 2 −1
−→
0 1 1 0
0 1 1 0
x = −2z + t
x + 2z − t = 0
Hpttt ⇔
y = −z
y+z=0
Vậy nghiệm tổng quát của hệ là (−2a + b, −a, a, b), a, b ∈ R

23