Chương 1:
MA TRẬN − ĐỊNH THỨC
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog:
Email:
Yahoo: nguyenphuong1504
Ngày 30 tháng 10 năm 2013

1


1
2

3

4

5

Giới thiệu
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Ma trận con
Định thức
Định nghĩa

180
120

đầu máy VCD
80
120
180

Ta có thể viết lại bảng trên như sau:

120 150

q = 140 180

150 120

80
120
180

quạt máy
210
220
250


210
220

250


...
...
...

a1j
..
.
aij
..
.

...
...

amj . . .
↑
cột thứ j

a1n
..
.
ain
..
.
amn






Ví dụ:

 0

A =  4

8

1
5
9

2
6
10

3
7
11







A là ma trận có 3 dòng và 4 cột
A là ma trận thực cấp 3 × 4
Các phần tử của ma trận A là:

 a 
 21 
Khi n=1, ta được ma trận cột A =  . 
 .. 


am1
Ví dụ:
 
 1 
 2 
 
Ma trận dòng A = (1 2 3) và ma trận cột B =  
 3 
 
4

6


Ma trận

Các khái niệm

Định nghĩa
Ma trận vuông cấp n là ma trận có n dòng và n cột.
Các phần tử aii lập thành đường chéo chính.
Các phần tử aij với i + j = n + 1 lập thành đường chéo phụ.
Ví dụ:




A =  0 0 0 


0 0 1
Định nghĩa
Ma trận vuông A = (aij )nxn được gọi là ma trận tam giác dưới ⇔ Các phần tử
nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0, tức là aij = 0, ∀i < j.
Ví dụ:

 2

A =  −1

3
8


0 0 
0 0 

0 3


Ma trận

Các khái niệm

Định nghĩa

; I3 = 

0 1


0 0 1
9


Ma trận

Các khái niệm

Định nghĩa
Ma trận bậc thang theo dòng là ma trận thỏa 2 điều kiện
1. Các dòng không (nếu có) phải nằm ở dưới cùng.
2. Phần tử khác không đầu tiên của dòng trên (nếu có) phải nằm ở cột bên trái
phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới (nếu có).

Ví dụ:
Cho biết các ma trận sau có phải là ma trận bậc thang theo dòng hay không?

 1 0

A =  0 2

0 0

 1 0
 0 2



 0


 ;D = 

 0


0

0
2
0
0
0
2
0
6

2
−1
0
1
2
−1
1
0


 −1

A =  1

0


1 0 
2 5 

5 0

Định nghĩa
A và B cùng cấp
aij = bij , ∀i, j




−2
3 
 1 −2 x − 1 
 1
 −3 0


1  và B =  −3
0
1 
Ví dụ: Cho A = 

có được bằng

cách đổi dòng của ma trận A thành cột hoặc đổi cột thành dòng.
Ví dụ:

 2 −1

A =  4 0

3 1


 2 4
 −1 0

T
A = 
 3 9

1 2


3 1 
9 2 

−2 0 3×4

3
1
−2








 4

⇒ 2A =  2

2

3×3
12

2 8
2 0
6 18






3×3


Ma trận



5 6 11







Định nghĩa
Cho ma trận A = (aij )mxp và B = (bij )pxn . Khi đó C = A.B tồn tại và
C = (cij )mxn với cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aip bpj
hay

 ∗

AB =  ai1

∗

∗
ai2
∗

∗
...
∗


  ∗ b1j



. . . 




Ma trận

Các phép toán trên ma trận

Ví dụ: Xác định ma trận C = A.B
A=

2
4

1
1

4
0


 1

B =  3

2


2
4

1
1

4
0


 1

×  3

2x3
2

1
0
4

2
1
3







c23

2x3


Ma trận

Các phép toán trên ma trận

Tương tự ta có c21 = 7, c22 = 4, c23 = 9
13 18 17
Vậy C = A.B =
7 4 9
Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa AX = B, biết A =
Giải: Đặt X =

a
b

với B =

, ta có
−1
1

a
b

2a − b = 1
2a + b = 3

X=

=
1
1

1
3

1
3


Ma trận

Các tính chất

Tính chất
A+B=B+A

k.(lA) = (kl).A

A+0=A

k(A + B) = kA + kB
(k + l)A = kA + lA

A + B + C = (A + B) + C =
A + (B + C)
Tính chất


Ma trận

Các tính chất

Bài toán: Cho ma trận A = (aij )nxn . Xác định f(A), biết
f(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 .
Ta có f(A) = an An + an−1 An−1 + · · · + a1 A + a0 In .
Ví dụ: Xác định f(A), biết
A=

2
1

1
2

, f(x) = 2x2 − 4x + 3

Giải. Ta có: f(A) = 2A2 − 4A + 3I2
5 4
2 1
2 1
, từ đó suy ra
Tính được A2 =
×
=
1 2
1 2
4 5

5
9

2
6
10
0
Khi đó A1,2; 1,2 =
4
Số ma trận con cấp k

3
7
11
1
5
của






3
11
là Ckm .Ckn .

, . . . , A1,3; 2,4 =
A = (aij )mxn


7 8
6 7
Số ma trận con tương ứng với một phần tử của A = (aij )nxn là n2 .


Định thức

Định nghĩa

Định nghĩa
Cho A = (aij )nxn


 a11

=  ...

an1

a12
..
.
an2

···
..
.
···

a1n

3 −2
Ta có |A| = 2(−2) − (−1)3 = −1


 a11 a12 a13 
c. Cho A =  a21 a22 a23 


a31 a32 a33
Ta có |A| =
a
a23
a
a23
a
a22
(−1)1+1 a11 22
+ (−1)1+2 a12 21
+ (−1)1+3 a13 21
=
a32 a33
a31 a33
a31 a32
a11 a22 a33 + a12 a23 a31+ a21 a32 a13 −a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a23 a32 a11
 a11 a12 a13 


Quy tắc Sarius: A =  a21 a22 a23 




Định thức

Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp

Định nghĩa
Có 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột):
di ↔dj

ci ↔cj

1

P1: Hoán vị dòng i (cột i) và dòng j (cột j): A −−−−→ B (A −−−−→ B).

2

P2: Nhân dòng i (cột i) với số λ

3

P3: Nhân dòng j (cột j) với số λ rồi cộng dòng i (cột i): A −−−−−−−−→ B

di →λdi

ci →λci

0: A −−−−−→ B (A −−−−−→ B).
di →di +λdj


2
5 6  −−1−−−→



8 9
7


2
4
3 

d →2d1 
 4 5
6  −−1−−−−→



7 8
9


3 
 9
d1 →d1 +2d2 

6  −−−−−−−−−→  4






Định thức

Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp

Định lý
1
2

3

4

P1: Hoán vị 2 dòng/cột làm định thức đổi dấu.
P2: Nhân một dòng/cột với một số λ
lần.

0 làm định thức biến đổi gấp λ

P3: Nhân một dòng/cột với một số λ rồi cộng vào một dòng/cột khác
không làm định thức thay đổi.
Ta có thể tính định thức bằng cách khai triển bất kỳ dòng/cột nào
d

|A| =i (−1)i+1 ai1 |Mi1 | + (−1)i+2 ai2 |Mi2 | + · · · + (−1)i+n ain |Min |
cj
|A| = (−1)1+j a1j |M1j | + (−1)2+j a2j |M2j | + · · · + (−1)n+j anj |Mnj |
Ví dụ:

1 1 
0 −3  = B

2 0