CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP. HCM — 2011.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

1 / 52


Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

Số thực
1

+:R×R→R
(x, y ) → x + y

2

•:R→R
(λ, x) → λ.x


2

•:C→C
(λ, x) → λ.x

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

2 / 52


Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

Số thực
1

+:R×R→R
(x, y ) → x + y

2

•:R→R
(λ, x) → λ.x

Số phức

(x, y ) → x + y

1

+ : Pn (x) × Pn (x) → Pn (x)
(p(x), q(x)) → p(x) + q(x)

2

•:R→R
(λ, x) → λ.x

2

• : R × Pn (x) → Pn (x)
(λ, p(x)) → λ.p(x)

Số phức
1

+:C×C→C
(x, y ) → x + y

2

•:C→C
(λ, x) → λ.x

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)


2

• : R × Pn (x) → Pn (x)
(λ, p(x)) → λ.p(x)

Số phức
1

+:C×C→C
(x, y ) → x + y

2

•:C→C
(λ, x) → λ.x

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

2 / 52


Cấu trúc không gian véctơ

Số thực


2

•:C→C
(λ, x) → λ.x

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

KHÔNG GIAN VÉCTƠ

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

2 / 52


Cấu trúc không gian véctơ

Số thực

Định nghĩa không gian véctơ

Đa thức có bậc không lớn hơn n

1

+:R×R→R
(x, y ) → x + y


CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

2 / 52


Cấu trúc không gian véctơ

Số thực

Định nghĩa không gian véctơ

Đa thức có bậc không lớn hơn n

1

+:R×R→R
(x, y ) → x + y

1

+ : Pn (x) × Pn (x) → Pn (x)
(p(x), q(x)) → p(x) + q(x)

2

•:R→R
(λ, x) → λ.x



Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52


Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E
(x, y ) −→ x + y

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52


Cấu trúc không gian véctơ


CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52


Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E
(x, y ) −→ x + y
2 • : K × E → E
(λ, x) −→ λ.x
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52


Cấu trúc không gian véctơ

sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .
2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .
3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52


Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E
(x, y ) −→ x + y
2 • : K × E → E
(λ, x) −→ λ.x
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .
2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .
3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E
4 ∀x ∈ E , ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

3 / 52


Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E
(x, y ) −→ x + y
2 • : K × E → E
(λ, x) −→ λ.x
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .
2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .
3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E
4 ∀x ∈ E , ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0
5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .
6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52


Cấu trúc không gian véctơ

Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E
(x, y ) −→ x + y
2 • : K × E → E
(λ, x) −→ λ.x
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .
2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .
3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E
4 ∀x ∈ E , ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0
5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .
6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .
7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .
8 1.x = x, ∀x ∈ E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

3 / 52


Cấu trúc không gian véctơ

Định nghĩa không gian véctơ

Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E

• : R × Rn → Rn
(x, y ) → x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
(λ, x) → (λx1 , . . . , λxn )

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

4 / 52


Cấu trúc không gian véctơ

Ví dụ

Ví dụ không gian véctơ
Rn = {x = (x1 , . . . , xn ), xi ∈ R, i = 1, n}
+ : Rn × Rn → Rn ,
• : R × Rn → Rn
(x, y ) → x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
(λ, x) → (λx1 , . . . , λxn )
Cn = {x = (x1 , . . . , xn ), xi ∈ C, i = 1, n}
+ : Cn × Cn → Cn ,
• : C × Cn → Cn
(x, y ) → x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
(λ, x) → (λx1 , . . . , λxn )

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)


TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ

TP. HCM — 2011.

4 / 52