Trờng Đại học GTVT TTB Lạnh - Nhiệt 43
Chuyên đề
phơng pháp số giải bài toán truyền nhiệt
không ổn định
Dẫn nhiệt không ổn định là bài toán rất hay gặp trong thực tế khi nhiệt độ của vật thể thay
đổi theo thời gian. Một cách tổng quát, ta có phơng trình vi phân dẫn nhiệt tổng quát, mô tả
quan hệ của nhiệt độ tại các thời điểm theo thời gian khi trong vật không có nguồn sinh nhiệt:
ta.
t
2
=



, (1)
Trong đó:
+

t


: đạo hàm của nhiệt độ theo thời gian;
+ a =
c.

: hệ số khuyếch tán nhiệt độ;
+
=
t
2
2

l
< t
0
. Khi hệ số toả
nhiệt

tại bề mặt xung quanh vật với môi trờng là rất nhỏ so với hệ số dẫn nhiệt của vật , thì
nhiệt độ trong vật sẽ đồng nhất tại mọi điểm và giảm chậm theo thời gian. Lợng nhiệt mất đi
do toả nhiệt ra môi trờng qua bề mặt ngoài vật có diện tích F, sau thời gian d

bằng độ giảm
nội năng của vật :
M.c.dt)dt.F(t
1
=
, (2)
Từ đó giải ra nghiệm là nhiệt độ của vật phụ thuộc vào thời gian :
b
L0L
).et(ttt

+=
, (3)
Biểu thức (3) cho phép xác định nhiệt độ bên trong vật theo thời gian

hoặc xác định
thời gian để nhiệt độ của vật đạt đợc giá trị t cho trớc. Với điều kiện
10,

.







=


2
2
x
t
a.

t
, (4)
Bằng cách đa về nhiệt độ d
1
tt
=
và dùng phơng pháp tách biến:
)().(),( xx

=
Nhận đợc nghiệm :
[ ]
cos(k.x)Csin(k.x)C).ak.exp(C)(x,
32
2

a
.exp

x
cos
.cossin
sin2
)(x,
, (6)
Trong đó :
+
k.
n
=
; k =1,2,3
n

là nghiệm của phơng trình đặc trng:
Bi

Cotg
=
với

.
Bi
=
+ Dẫn nhiệt vật thể có 1 phía dày vô hạn
Bài toán dẫn nhiệt không ổn định của vật thể có một phía dày vô hạn cũng đợc mô tả bởi
phơng trình vi phân dẫn nhiệt không ổn định một chiều:

2
=
, (6)
Từ đó giải ra nghiệm :
Đồ án tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dung
112
Trờng Đại học GTVT TTB Lạnh - Nhiệt 43

+

=



0
2
0
).exp(
)(2
)(
m
m
tduu
tt
t
, (7)
Tích phân (7) gọi là tích phân sai số Gauss,

là biến số giả.
Nhận xét

), mặt
phía dới tiếp xúc với vật liệu có hệ số dẫn nhiệt và nhiệt độ không đổi là

N
, t
N
. Do dòng
nhiệt truyền chủ yếu theo chiều sâu nên nhiệt độ chỉ thay đổi theo hớng x.
Lợng nhiệt phần tử nhận đợc sau một khoảng thời gian bằng biến thiên năng lợng của phần
tử trong thời gian đó. Chia bề dày tấm thành n khoảng đều nhau, mỗi khoảng dày

x =
n


bởi các mặt giới hạn ký hiệu i = 1, 2, 3, , n. Chúng ta cần phải xác định nhiệt độ tại các mặt
này, ký hiệu: t
1
, t
2
, t
3
, , t
n
. Các phần tử đợc chọn để tính toán các nhiệt độ trên là tấm phẳng
rộng có diện tích bề mặt 1 m x 1 m, bề dày

x/2 tại các mặt trên cùng và dới cùng, bề dày
Đồ án tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dung
113

m+1
).

, (8)
Hình 2. Cân bằng năng lợng tại phần tử 1
Mặt dới nhận dòng nhiệt q
2
từ phần tử 2: q
2
=
x

.( t
2
m+1
- t
1
m+1
).

, (9)
Lợng nhiệt nhận đợc làm tăng nội năng của phần tử:
2
x
..c
11
.(t
1

m+1

1

m+1
- t
1
m
), (11)
Đồ án tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dung
x

phần tử 1
phần tử 2
phần tử 3
phần tử n - 1
phần tử na
phần tử nb
phần tử 4
đến (n
2)
mặt 1, t
1
mặt 2, t
2
mặt 3, t
3
mặt 4 đến (n
2)
mặt n, t
n
mặt n 1, t

= .(t
1
m+1
t
2
m+1
).
Trờng Đại học GTVT TTB Lạnh - Nhiệt 43
Phần tử 2: mặt trên nhận nhiệt q
1
do dẫn nhiệt từ phần tử 1, mặt dới nhận nhiệt q
3
do phần
tử 3 truyền lên.
Hình 3. Cân bằng năng lợng tại phần tử 2
Tơng tự ta có:
x

. ( t

1
m+1
t
2
m+1
).

+
x


m+1
).

+
x

.( t
i + 1
m+1
t
2
m+1
).

=
xc

..

.(t
i

m+1
t
i
m
), (13)
Phần tử n gồm 2 phần tử có bề dày x/2 làm bằng vật liệu khác nhau, mỗi phần tử tơng tự
nh phần tử 1. Phơng trình cân bằng nhiệt viết chung cho 2 phần tử này:
x


m+1
t
n
m
), (14)
Đặt: Fo = a. / (x)
2
; Bi = . x/ . Sau khi biến đổi (11), (12), (13), (14) sẽ đợc :
( 1 + 2.Fo + 2Fo.Bi ) t
1
m +1
- 2.Fo. t
2
m +1
= t
1
m
+ 2Fo.Bi.t
K
m
, (15)
- Fo.t
i-1
m +1
+ ( 1+ 2Fo).t
i
m +1
- Fo.t
i +1