BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Thị Bích Trâm

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA KHÔNG
GIAN METRIC VÀ ÁNH XẠ DẠNG CO
TRONG CHÚNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Thị Bích Trâm

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA KHÔNG
GIAN METRIC VÀ ÁNH XẠ DẠNG CO
TRONG CHÚNG

Chuyên ngành:

Toán giải tích

Mã số:

60 46 01 02

Xin chân thành cảm ơn!
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2013
Huỳnh Thị Bích Trâm

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 3
CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN LOẠI METRIC ........................................................ 5
1.1. Định nghĩa và các tính chất.........................................................................................5
1.1.1. Không gian metric đối xứng.................................................................................... 5
1.1.2. Không gian nửa metric .......................................................................................... 10
1.1.3. Không gian loại metric .......................................................................................... 17
1.2. Điểm bất động của ánh xạ dạng co...........................................................................20
1.2.1 Điểm bất động của ánh xạ co trên không gian nửa metric ..................................... 20
1.2.2. Điểm bất động trong không gian metric đối xứng ................................................ 21
1.2.3. Điểm bất động kiểu tích phân ............................................................................... 27

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN NÓN METRIC ....................................................... 29
2.1. Không gian nón metric ..............................................................................................29
2.1.1. Các định nghĩa ....................................................................................................... 29
2.1.2. Các tính chất .......................................................................................................... 31
2.2. Các định lý điểm bất động ........................................................................................32

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 40




Chương này trình bày về không gian kiểu metric, các tính chất của chúng và
các định lý điểm bất động dạng co trong chúng.
Chương 2- Không gian nón metric
Chương này trình bày các định nghĩa, các tính chất cơ bản trong không gian
nón metric; một vài kết quả về điểm bất động của ánh xạ dạng co trong không gian
này.

4


CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN LOẠI METRIC
Chương này sẽ trình bày các định nghĩa, các tính chất cơ bản trong không
gian metric đối xứng, không gian nửa metric và không gian loại metric; một vài kết
quả về điểm bất động của ánh xạ dạng co trong không gian này.
1.1. Định nghĩa và các tính chất
1.1.1. Không gian metric đối xứng

Định nghĩa 1.1 (Arandelovic and Keckic [1])
Giả sử 𝑋 là tập khác rỗng và ánh xạ 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → [0, +∞). (𝑋, 𝑑) được gọi là

không gian metric đối xứng khi và chỉ khi (𝑋, 𝑑) thỏa mãn ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋:
(W1): 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦

Ví dụ

(W2): 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥)

a) Xét ℝ𝑚 = {(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 ): 𝑥𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = ������


định nghĩa không gian metric đối xứng. Tuy nhiên, trong không gian metric đối xứng,
nhiều khái niệm có thể được định nghĩa tương tự như trong không gian metric.
Định nghĩa 1.2 (Arandelovic and Keckic [1])
Trong không gian metric đối xứng (𝑋, 𝑑), ta nói dãy (𝑥𝑛 )𝑛 ⊂ 𝑋 hội tụ về

𝑥 ∈ 𝑋 nếu lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0. Ta viết:
𝑛→∞

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0 ⟺ lim 𝑥𝑛 = 𝑥.

𝑛→∞

Ví dụ

𝑛→∞

a) Xét không gian metric đối xứng (ℝ𝑚 , 𝑑) như trong ví dụ 1a. Xét 𝑎 =

𝑛 ).
(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑚 ) ∈ ℝ𝑚 và dãy (𝑥𝑛 )𝑛 ⊂ ℝ𝑚 với 𝑥 𝑛 = (𝑥1𝑛 , 𝑥2𝑛 , … , 𝑥𝑚

Ta có:

𝑚

2

������
𝑚.

𝑛0 ∈ ℕ∗ sao cho với mọi 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛0 thì 𝑑(𝑥𝑚 , 𝑥𝑛 ) < 𝜀.

Không gian metric đối xứng (𝑋, 𝑑) được gọi là đầy đủ khi và chỉ khi mỗi dãy

Cauchy (𝑥𝑛 )𝑛 trong (𝑋, 𝑑) đều hội tụ về 𝑥 ∈ 𝑋.

Định nghĩa 1.4 (Arandelovic and Keckic [1])

Đường kính của tập 𝐴 ⊆ 𝑋, ký hiệu là diam(𝐴):
6


diam(𝐴) = sup 𝑑(𝑥, 𝑦) .
𝑥,𝑦∈𝐴

Quả cầu mở tâm 𝑥 ∈ 𝑋, bán kính 𝑟 > 0:

𝐵(𝑥, 𝑟) = {𝑦 ∈ 𝑋: 𝑑(𝑥, 𝑦) < 𝑟}.

Định nghĩa 1.5 (Arandelovic and Keckic [1])
(Một số điều kiện có thể dùng để thay thế cho bất đẳng thức tam giác)
Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng. Ta định nghĩa 8 tính chất sau đây:

(W3): lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0, lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) = 0 ⟹ 𝑥 = 𝑦.
𝑛→∞

𝑛→∞

(W4): lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0, lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑥) = 0.
𝑛→∞


𝑛→∞

𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝐾[𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧)].

(MC): Tồn tại 𝜀: ℝ+ → ℝ+ và 𝐾 ≥ 1 sao cho với mọi 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋:

• 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝜀(max{𝑑(𝑥, 𝑦), 𝑑(𝑦, 𝑧)}) + 𝐾 min{𝑑(𝑥, 𝑦), 𝑑(𝑦, 𝑧)}
• lim+ 𝜀(𝑡) = 0.
𝑡→0

Chú ý (Arandelovic and Keckic [1])
Ta có một số liên hệ sau:
a) (W) ⇒ (W4) ⇒ (W3);

(W) ⟹ (JMS);

(W) ⟹ (HE);

(CC) ⟹ (W3).

(W3) ⇏ (HE);

(W3) ⇏ (CC);

b) (W4) ⇏ (HE);

(HE) ⇏ (W3);

(HE) ⇏ (CC);


• (W) ⇒ (JMS)

𝑛→∞

lim 𝑑(𝑦, 𝑥) = 0 ⟹ 𝑦 = 𝑥.

𝑛→∞

Ta có lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0.
𝑛→∞

Suy ra lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) ≠ ∞.
𝑛→∞

• (W) ⇒ (HE)

𝑛→∞

𝑛→∞

Đặt 𝑧𝑛 = 𝑥, ta có lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0
𝑛→∞

𝑛→∞

Suy ra lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0.
𝑛→∞

• (CC) ⇒ (W3)


𝑥𝑛 = 𝑛, 𝑥 = 0, 𝑦 ≠ 0.

ii) (𝐻𝐸) ⇏ (𝑊3) do đó (𝐻𝐸) ⇏ (𝑊4) và (𝐻𝐸) ⇏ (𝐶𝐶).
8


|𝑥 − 𝑦| nếu 0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 1
Xét 𝑋 = [0,1] ∪ {2} và 𝑑(𝑥, 𝑦) = � |𝑥| nếu 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑦 = 2
0
nếu 𝑥 = 0, 𝑦 = 2

𝑑(𝑦, 𝑥) = 𝑑(𝑥, 𝑦), 𝑑(2,2) = 0.

1

Khi đó (𝑋, 𝑑) thỏa mãn (𝐻𝐸). Với 𝑥𝑛 = ta có:

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 0) = lim 𝑑(𝑥𝑛 , 2) = 0

𝑛→∞

Nhưng 𝑑(0,2) ≠ 0.

𝑛

𝑛→∞

Vậy (𝑋. 𝑑) không thỏa mãn (𝑊3).



2𝑛+1

Khi đó (𝑋, 𝑑) thỏa mãn (𝐶𝐶) nhưng không thỏa mãn (𝑊4) với 𝑥𝑛 =

, 𝑦𝑛 =

1

2𝑛

.

iV) (𝐶𝐶) ⇏ (𝐻𝐸)
1

Giả sử 𝑋 = � : 𝑛 ∈ ℕ∗ � ∪ {0} và
𝑛

1 1
− � nếu |𝑚 − 𝑛| ≥ 2
�
1 1
𝑛
𝑚
𝑑� , � = �
𝑚 𝑛
1
nếu |𝑚 − 𝑛| = 1
0


Do đó (𝑋, 𝑑) không thỏa mãn (𝐻𝐸).

𝑛→∞

Mệnh đề 1.1 (Arandelovic and Keckic [1])

∎

Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng. Những điều kiện sau là tương

đương:

a) (𝑋, 𝑑) thỏa mãn tính chất (𝐽𝑀𝑆):

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) ≠ ∞

𝑛→∞

𝑛→∞

b) Tồn tại 𝛿, 𝜂 > 0 sao cho với mọi 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋,

𝑛→∞

𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) < 𝛿 ⟹ 𝑑(𝑥, 𝑦) < 𝜂

c) Tồn tại 𝑟 > 0 sao cho:

sup�diam�𝐵(𝑥, 𝑟)�: 𝑥 ∈ 𝑋� < ∞


10


Ta sẽ phát biểu và chứng minh hai mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2 (Arandelovic and Keckic [1])
Nếu (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng thì họ quả cầu {𝐵(𝑥, 𝑟): 𝑟 > 0} là

một cơ sở lân cận của x. Hơn nữa, nếu 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) → 0 thì 𝑥𝑛 → 𝑥 trong 𝜏𝑑 .
Chứng minh

• Giả sử 𝑈 ∋ 𝑥 là một tập mở. Ta có 𝑋 ∖ 𝑈 là tập đóng.

⟹ 𝑥 ∉ 𝑋 ∖ 𝑈 và 𝑑(𝑥, 𝑋 ∖ 𝑈) = 𝜂 > 0 ⟹ 𝐵(𝑥, 𝜂) ⊆ 𝑈.

Vậy họ quả cầu {𝐵(𝑥, 𝑟): 𝑟 > 0} là một cơ sở lân cận của x.
• Giả sử 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) → 0. Cần chứng minh 𝑥𝑛 → 𝑥 trong 𝜏𝑑 .

Nếu 𝑈 ∋ 𝑥 là một tập mở thì 𝑈 ⊇ 𝐵(𝑥, 𝜂) với 𝜂 > 0. Khi đó, tập hợp cuối

cùng chứa tất cả các phần tử của dãy (𝑥𝑛 )𝑛 từ lúc nào đó.
Vậy 𝑥𝑛 → 𝑥 trong 𝜏𝑑 .

Mệnh đề 1.3 (Arandelovic and Keckic [1])

∎

Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng. Khi đó (𝑋, 𝑑) là không gian nửa

metric khi và chỉ khi những điều kiện sau đây được thỏa mãn:

Int 𝐵(𝑥, 𝑟) ≠ ∅.

Thật vậy, giả sử trái lại ta có Int 𝐵(𝑥, 𝑟) = ∅ thì
�������������������������
{𝑦
∈ 𝑋: 𝑑(𝑦, 𝑥) ≥ 𝑟} = 𝑋

Khi đó có dãy (𝑦𝑛 )𝑛 : 𝑑(𝑥, 𝑦𝑛 ) → 0 và 𝑑(𝑥, 𝑦𝑛 ) → 𝑟 (mâu thuẩn).
Vậy họ quả cầu {𝐵(𝑥, 𝑟): 𝑟 > 0} là một cơ sở lân cận của x.

• Chứng minh (b) đúng:

(⟹)

Giả sử 𝑥𝑛 → 𝑥 trong tôpô 𝜏𝑑 . Nếu 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) ↛ 0 thì tồn tại dãy con 𝑥𝑛𝑘 → 𝑥

trong 𝜏𝑑 và 𝜂 > 0 sao cho 𝑑�𝑥𝑛𝑘 , 𝑥� ≥ 𝜂.
Xét tập 𝐴 = �𝑥𝑛𝑘 : 𝑘 ≥ 1�.

Giả sử 𝐹 ⊇ 𝐴 là một tập đóng. Nếu 𝑥 ∉ 𝐹 thì 𝑋 ∖ 𝐹 là tập mở chứa x. Do đó

𝑋 ∖ 𝐹 ∋ 𝑥𝑛𝑘 (mâu thuẩn).

Ta được: 𝑥 ∈ 𝐹 và 𝑥 ∈ 𝐴̅, nghĩa là:

(⟸)

0 = 𝑑(𝑥, 𝐴) = Infk 𝑑�𝑥𝑛𝑘 , 𝑥� ≥ 𝜂 (mâu thuẩn).

Ta có 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) → 0 ⟹ 𝑥𝑛 → 𝑥 trong tôpô 𝜏𝑑 (mệnh đề 1.2).

Hơn nữa, với mọi 𝑛, có một dãy �𝑦𝑘 � ⊆ 𝐴 sao cho:
Từ tính chất (𝑆𝐶) ta có:

(𝑛)

𝑘

lim 𝑑 �𝑦𝑘 , 𝑥𝑛 � = 0

𝑘→∞

(𝑛)

lim 𝑑 �𝑦𝑘 , 𝑥� ≤ 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥)

𝑘→∞

Do đó có 𝑘 = 𝑘(𝑛) đủ lớn sao cho:
(𝑛)

𝑑 �𝑦𝑘(𝑛) , 𝑥� < 2𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) → 0 khi 𝑛 → ∞

(𝑛)

Do đó dãy �𝑦𝑘(𝑛) � ⊆ 𝐴 hội tụ về 𝑥 nên 𝑥 ∈ 𝑐(𝐴).
𝑛

Vậy 𝑐�𝑐(𝐴)� ⊆ 𝑐(𝐴) và do đó 𝑐�𝑐(𝐴)� = 𝑐(𝐴).
Vậy (𝑋, 𝑑) là một không gian nửa metric.


Do đó lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) ≤ 𝑟1 và vì vậy lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) do ta có thể chọn

𝑟1 → 𝑑(𝑥, 𝑦).

𝑛→∞

𝑛→∞

13

∎


Hệ quả 1.1 (Arandelovic and Keckic [1])
Tồn tại một không gian nửa metric với quả cầu mở không thỏa mãn tính chất
(𝑊4):

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0, lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑥) = 0.

𝑛→∞

𝑛→∞

Chứng minh

𝑛→∞

1

, 𝑛 𝑙ẻ

2𝑛

, ta được:

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0 và lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑥) = 1 ≠ 0.

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑛→∞

Hệ quả 1.2 (Arandelovic and Keckic [1])

∎

Tồn tại một không gian nửa metric với quả cầu mở không thỏa mãn tính chất
(𝐽𝑀𝑆):

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) ≠ ∞.

𝑛→∞

Chứng minh

𝑛→∞

Giả sử 𝑋 = ℕ và 𝑑(𝑚, 𝑛) =

𝑛→∞

→ 0;

3𝑥𝑛 −𝑥𝑛

𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) =

4 𝑥𝑛

3𝑥𝑛
2𝑥𝑛

→ 0;

→ ∞.

∎

Hệ quả 1.3 (Arandelovic and Keckic [1])

Tồn tại một không gian nửa metric với quả cầu mở không thỏa mãn tính chất
(𝐻𝐸):

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑥) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑥) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0.

𝑛→∞

𝑛→∞

Chứng minh



1

Chọn 𝑥𝑛 = ; 𝑦𝑛 = (𝑛+1) ta có:
𝑛

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 0) = lim 𝑑(𝑦𝑛 , 0) = 0;

𝑛→∞

𝑛→∞

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 1 ≠ 0.

𝑛→∞

Nhận xét

∎

Một không gian nửa metric với quả cầu mở hiển nhiên là một 𝑇1 −không gian

nhưng nó không nhất thiết là một 𝑇2 −không gian.
Ví dụ (Arandelovic and Keckic [1])

Xét 𝑋 = ℕ ∪ {∞1 , ∞2 } và 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ sao cho:
15


𝑑(𝑚, 𝑛) = �

1

Giả sử 𝑋 = � : 𝑛 ∈ ℕ� ∪ {0, −1} và 𝑑 là metric thông dụng trong ℝ.
𝑛

Ta định nghĩa 𝜌 như sau:

𝜌(−1, 𝑥) = 𝜌(𝑥, −1) = 𝑑(−1, 𝑥) −
𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦) khi 𝑥 ∈ {0; −1}.

1
2

khi 𝑥 ≠ {0; −1} và

Không gian (𝑋, 𝜌) thỏa mãn tính chất (𝑆𝐶) và do đó là không gian nửa metric.

Thật vậy, nếu lim 𝑑 ∗ (𝑥𝑛 , 𝑥) = 0 thì hoặc là 𝑥𝑛 = 𝑥 với 𝑛 ≥ 𝑛0 hoặc là 𝑥 = 0.
Trong trường hợp 𝑥𝑛 = 𝑥, với 𝑛 ≥ 𝑛0 . Ta có:

𝜌(𝑥𝑛 , 𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦), với mọi 𝑦 ∈ 𝑋.

1

Trong trường hợp thứ hai thì 𝑥𝑛 bao gồm 0 và một dãy con của � �.
𝑛
1

• Nếu 𝑦 = −1 thì 𝜌(−1, 𝑥𝑛 ) bao gồm 1 và một dãy con của +
𝑛

𝑛→∞

2

𝑛→∞

Do đó, có một không gian nửa metric không thỏa mãn tính chất (𝐶𝐶).

1.1.3. Không gian loại metric

Định nghĩa 1.8 (Arandelovic and Keckic [1])
Không gian loại metric là không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất
(𝑀𝑇):

Tồn tại 𝐾 ≥ 1 sao cho: 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝐾�𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧)�, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.

Một không gian loại metric được xem là bộ ba (𝑋, 𝑑, 𝐾), trong đó (𝑋, 𝑑) là

không gian metric đối xứng và 𝐾 ≥ 1 là số thực sao cho:

𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝐾�𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧)�, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.

Chúng ta thấy rằng không gian loại metric bao gồm lớp của những không gian
metric đối xứng. Vì thế, những khái niệm về dãy hội tụ, dãy Cauchy và không gian
đầy đủ được định nghĩa giống như trong không gian metric đối xứng.
Mệnh đề 1.4 (Arandelovic and Keckic [1])
a) Giả sử (𝑋, 𝑑, 𝐾) là một không gian loại metric, khi đó (𝑋, 𝑑) thỏa mãn tính

chất (𝑀𝐶):


𝑛→∞

Như vậy (𝑋, 𝑑) thỏa mãn tính chất (𝑊), từ đó thỏa mãn các tính chất

(𝑊3), (𝑊4), (𝐻𝐸) và (𝐽𝑀𝑆).

∎

Ví dụ (Arandelovic and Keckic [1])

Giả sử 𝛿 > 0; 𝑋 = [0; 1] ∪ {2} và 𝑑 là metric thông dụng trong ℝ.
Định nghĩa 𝜌 như sau:

1

𝜌(2, 𝑥) = 𝜌(𝑥, 2) = 𝑑(2, 𝑥) + 𝛿, với 𝑥 ∈ � , 1� và
2

1

𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦) với 𝑥 ∉ � , 1�.
2

Ta có (𝑋, 𝜌 ) là không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất (𝑀𝑇).
Thật vậy,

1

Nếu {𝑥, 𝑦, 𝑧} ∩ � , 1� = ∅ thì:
2


2+𝛿−𝑧

2+𝛿−𝑦

≤ 1 với 𝑧 > 𝑦.

2−𝑧+𝛿

2−𝑦+𝛿+|𝑧−𝑦|

18

và


Vậy (1.1) đúng.

1

• Nếu 𝑥 = 2 và 𝑧 ≤ < 𝑦 thì 𝑄 =
2

1

2−𝑧

2−𝑧+𝛿

< 1 và (1.1) đúng.

1+
2
Do đó chúng ta được:
𝜌(𝑥, 𝑧) ≤ �1 +

2𝛿
3

� �𝜌 (𝑥, 𝑦) + 𝜌 (𝑦, 𝑧)�.

Điều này có nghĩa rằng (𝑋, 𝜌) thỏa mãn tính chất (𝑀𝑇), hay �𝑋, 𝜌, 1 +

một không gian loại metric.

2δ
3

� là

Tuy nhiên, (𝑋, 𝜌) không là không gian nửa metric với quả cầu mở, hay (𝑋, 𝜌)

không thỏa mãn tính chất (𝑆𝐶). Thật vậy, ta xét dãy:
Khi đó 𝜌(𝑥𝑛 , 𝑥) =

1

𝑛

1


Bài toán 1

Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất (𝑊4) và (𝐻𝐸).

(𝑋, 𝑑) có thỏa mãn tính chất (𝐶𝐶) không?
Bài toán 2

Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất (𝑊). (𝑋, 𝑑) có

thỏa mãn tính chất (𝐶𝐶) không?
Bài toán 3

19


Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian metric đối xứng thỏa mãn tính chất (𝑀𝑇). (𝑋, 𝑑)

có phải là không gian nửa metric không?

1.2. Điểm bất động của ánh xạ dạng co
Định nghĩa 1.9 (Arandelovic and Keckic [1])
a) Giả sử 𝑋 là tập khác rỗng và 𝑓: 𝑋 → 𝑋 là một ánh xạ tùy ý. Ta nói rằng

𝑥 ∈ 𝑋 là điểm bất động của 𝑓 nếu 𝑥 = 𝑓(𝑥).

b) Nếu 𝑥0 ∈ 𝑋, ta nói dãy (𝑥𝑛 )𝑛 xác định bởi 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑛 (𝑥0 ) là một dãy lặp

Picard của 𝑓 tại điểm 𝑥0 hoặc dãy (𝑥𝑛 )𝑛 là quỹ đạo của 𝑓 tại điểm 𝑥0 .

c) Ký hiệu Φ là tập hợp các hàm thực 𝜑: [0, +∞) →[0, +∞) thỏa mãn những

Phát biểu sau đây nêu kết quả về điểm bất động cho những ánh xạ co phi tuyến
được định nghĩa trên không gian nửa metric.
Mệnh đề 1.5 (Arandelovic and Keckic [1])
Giả sử (𝑋, 𝑑) là không gian nửa metric Hausdorff (𝑇2 −không gian) đầy đủ

thỏa mãn tính chất (𝐽𝑀𝑆):

lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 0, lim 𝑑(𝑦𝑛 , 𝑧𝑛 ) = 0 ⟹ lim 𝑑(𝑥𝑛 , 𝑧𝑛 ) ≠ ∞.

𝑛→∞

𝑛→∞

𝑛→∞

20


Xét 𝑓: 𝑋 → 𝑋 và 𝜑 ∈ Φ.

Nếu 𝑑�𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)� ≤ 𝜑�𝑑(𝑥, 𝑦)�, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 thì 𝑓 có điểm bất động duy nhất

𝑦 ∈ 𝑋 và ∀𝑥 ∈ 𝑋, dãy lặp Picard của 𝑓 tại 𝑥 hội tụ về 𝑦.

1.2.2. Điểm bất động trong không gian metric đối xứng

Bổ đề 1.2 (Arandelovic and Keckic [1])
Cho 𝑋 là tập khác rỗng, xét ánh xạ 𝑓: 𝑋 → 𝑋 và 𝑛 là một số nguyên dương cố

định sao cho 𝑓 𝑛 có một điểm bất động duy nhất 𝑥∗ . Khi đó:


𝑘→∞

Bổ đề 1.3 (Arandelovic and Keckic [1])

∎

Cho (𝑋, 𝑑) là một không gian metric đối xứng đầy đủ thỏa mãn các tính chất

(𝑊3), (𝐽𝑀𝑆). Giả sử 𝑓: 𝑋 → 𝑋, 𝜑 ∈ Φ và 𝛿, 𝜂 > 0 sao cho:

∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋, 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) < 𝛿 ⟹ 𝑑(𝑥, 𝑦) < 𝜂.
21


Nếu 𝑑�𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)� ≤ 𝜑�𝑑(𝑥, 𝑦)�, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 và 𝜑(𝜂) ≤

𝛿

2

thì 𝑓 có một điểm

bất động duy nhất 𝑦 ∈ 𝑋 và với mỗi 𝑥 ∈ 𝑋, dãy lặp Picard của 𝑓 tại 𝑥 hội tụ trong
tôpô 𝜏𝑑 về 𝑦.

Chứng minh

Từ bổ đề 1.1, với mọi 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋 ta có:


𝑑 �𝑓 𝑘+1 (𝑥), 𝑓 𝑘+𝑛+1 (𝑥)� ≤ 𝜑 �𝑑 �𝑓 𝑘 (𝑥), 𝑓 𝑘+𝑛 (𝑥)�� ≤ 𝜑(𝜂) ≤

𝛿

2

Ta có 𝑑 �𝑓 𝑘 (𝑥), 𝑓 𝑘+1 (𝑥)� + 𝑑 �𝑓 𝑘+1 (𝑥), 𝑓 𝑘+𝑛+1 (𝑥)� ≤ 𝛿 và do đó
𝑑 �𝑓 𝑘 (𝑥), 𝑓 𝑘+𝑛+1 (𝑥)� ≤ 𝜂 (mệnh đề 1.1).

Ta được (1.2) đúng với mọi 𝑛 ≥ 1. Khi đó:

𝑑 �𝑓 𝑘+𝑛 (𝑥), 𝑓 𝑘+𝑛+𝑚 (𝑥)� ≤ 𝜑 𝑛 (𝜂), ∀𝑚, 𝑛 ∈ ℕ.

Vậy�𝑓 𝑛 (𝑥)�𝑛 là dãy Cauchy.

22


Khi đó tồn tại 𝑦 ∈ 𝑋 sao cho lim 𝑓 𝑛 (𝑥) = 𝑦. Do 𝑓 liên tục, ta được
𝑛→∞

lim 𝑓 𝑛+1 (𝑥) = 𝑓(𝑦). Suy ra 𝑓(𝑦) = 𝑦 do 𝑓 thỏa mãn (𝑊3).

𝑛→∞

Do 𝑑(𝑓 𝑛 (𝑥), 𝑦) = 0 và do mệnh đề 1.2 ta có 𝑓 𝑛 (𝑥) → 𝑦 trong tôpô 𝜏𝑑 .

Nếu 𝑦 ∗ là một điểm bất động khác của 𝑓 thì với mọi 𝑛 ta có:

𝑑(𝑦, 𝑦 ∗ ) = 𝑑�𝑓 𝑛 (𝑦), 𝑓 𝑛 (𝑦 ∗ )� ≤ 𝜑 𝑛 �𝑑(𝑦, 𝑦 ∗ )� → 0 khi 𝑛 → ∞


𝜑 𝑗 (𝜂) ≤ .
2

2

Hơn nữa, ta có:
𝑑 �𝑓 𝑗 (𝑥), 𝑓 𝑗 (𝑦)� ≤ 𝜑 𝑗 �𝑑(𝑥, 𝑦)�, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, 𝜑 𝑗 ∈ Φ

Do bổ đề 1.3, ta được 𝑓 𝑗 có một điểm bất động duy nhất 𝑧 ∈ 𝑋 và với mỗi

𝑥 ∈ 𝑋, dãy lặp Picard của 𝑓 𝑗 tại 𝑥 hội tụ trong tôpô 𝜏𝑑 về 𝑧.

Do bổ đề 1.2 ta suy ra 𝑓 có một điểm bất động duy nhất 𝑧 ∈ 𝑋 và với mỗi

𝑥 ∈ 𝑋, dãy lặp Picard của 𝑓 tại 𝑥 hội tụ trong tôpô 𝜏𝑑 về 𝑧.
Bổ đề 1.4 (Arandelovic and Keckic [1])
23

∎