Nguyễn Văn Toàn 0982 782 990

Trường THPT Lạng Giang số 1

BÀI TẬP
A. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUI NẠP TOÁN HỌC
1.Chứng minh rằng :
n(n + 1)(2n + 1)
6
n(2n – 1)(2n + 1)
c) 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) = n2
d) 12 + 32 + 52 + …+ (2n – 1)2 =
3
2
2
n (n + 1)
1
1
1
1
n
e) 13 + 23 + 33 + …+ n3 =
f)
+
+
+...+
=
4
1.2 2.3 3.4
n(n + 1) n + 1
1 1

2
1 2
3
n 3 2n + 3
n(n + 1) n(n + 1)(n + 2)
q) 3 + 32 + 33 +...+ 3n = 4 – 4.3n
t) 1 + 3 + 6 + 10 +... +
=
2
6
1
1
n(n + 3)
u) 1.2.3 +...+ n(n + 1)(n + 2) = 4(n + 1)(n + 2)
2.Chứng minh rằng :
a) n3 – n chia hết cho 6 n b) n3 + 11n chia hết cho 6 n c) 42n +2 – 1 chia hết cho 15 n d) 2n+2 > 2n + 5
e) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 f) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 g) 3n – 1 > n  n > 1 h) 3n > 3n + 1
3
i) 2n – n > 2 i)11n +1 + 122n – 1 chia hết cho 133
j) 5.23n – 2 + 33n – 1 chia hết cho 19 k) 3n > n2 + 4n + 5
1
1
1
1 13
l) 2n3 – 3n2 + n chia hết cho 6 m) n + 1 + n + 2 + n + 3 + …+ 2n > 24  n >1
1
1
1
1
1 3 5 2n + 1

nx (n +1)x
nx (n +1)x
sin 2 .sin 2
cos 2 .sin 2
a) sinx + sin2x + …+ sinnx =
b) 1 + cosx + cos2x + …+ cosnx =
x
x
sin2
sin2
n sinnx.cos(n + 1)x
c) cos2x + cos22x + cos23x + …+ cos2nx = 2 +
2sinx
5. Cho n số thực dương x1,x2,…,xn thỏa mãn điều kiện x1.x2.…xn = 1. Chứng minh rằng: x1 + x2 + …+ xn ≥ n
6. Cho n số thực x1,x2,…,xn  (0;1) n ≥ 2 . Cmr: (1 – x1)(1– x2)…(1 – xn) > 1 – x1 – x2 – …– xn
B. DÃY SỐ
1. Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau :
1
3n + 1
1 + (– 2)n
1
a) un = 2n – 1 b) un = n2 + 1 c) un = n + 1
d) un =
n+1– n
n
2n – 1
1 n
n+1
e) un = 2n b) un = 2n + 1 c) un = (1 + n ) d) un = 2
n +1

n
n
a) Xác định 5 số hạng đầu

i) u1  1, un1  2un  3

j) u1  3, un 1  1  un2

k) u1  3, un1  2un

l) u1  1, un1  2un  1

m) u1  1, un1  un  7

n) u1 

5. Cho dãy số (un) xác định bởi : u1 = 0 ; u2 = 1 ; un + 2 =
1
a) Chứng minh rằng: un + 1 = – 2 un + 1

u 1
5
, u n1  n
4
2

un+1 + un
2

b) Xác định công thức tính un .Từ đó tính limun

3
14. Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
3n2 – 2n +1
n2 + n +1
n +1 – 1
2n  1
2
a) un =
b)
u
c)
u
d)
u
e) un 
n=
n=n– n –1
n=
2
n +1
2n +1
n
3n  2
6. Cho dãy số (un) xác định bởi : u1 = 2 ; u2 = 1 ; un =

n2  n  1
2n
(1)n
h) un 
j) un  n  cos2 n

n
a) un = n2
b) un = 3 c) un = 4n d) un = n + 1 – n
e) un = 2 + 2 + 2 + …+ 2 n dấu căn
1
1
n–1
2n + 1
f) un = 2n + cosn g) un = n – 2 h) un = n + 1 i) un = (– 1)n(2n + 1) k) un = 5n + 2

f) un 

4n  1

g) un 


Nguyn Vn Ton 0982 782 990

Trng THPT Lng Giang s 1

an2 + 1
17. Cho dóy s (un) xỏc nh bi un = 2n2 + 3 a l mt s thc.Hóy xỏc nh a :
a) (un) l dóy s gim
b) (un) l dóy s tng
18. Xột tớnh b chn ca cỏc dóy s sau:
n+1
2n 1
n1
n2

1
n(n 1)

2n2 + 2n + 1
f) un = n2 + n + 4

j) un n2 4

m) un (1)n cos


2n

1
1
1
19. Chng minh rng dóy s sau tng v b chn trờn: un = 1.2 + 2.3 + + n(n +1)
n+3
20. Chng minh rng dóy s sau gim v b chn : un = n + 1
1
21.Cho dóy s (un) xỏc nh bi cụng thc: u1 = 0 v un +1 = 2 un + 4
a) Chng minh rng un < 8 n

b)Chng minh rng dóy (un) tng v b chn
un + 2
22. Cho dóy s (un) xỏc nh bi cụng thc u1 = 1 v un +1 = u + 1
n
a) Tỡm 5 s hng u tiờn ca dóy s
b)Chng minh rng (un) b chn di bi s 1 v b chn trờn bi s 3/2
23. Cho dóy s (un) xỏc nh bi cụng thc u1 = 6 v un +1= 6 + un . Chng minh rng un < 3 n

a.
b.
c.
2
u n 2 5u n 1 6u n ; n 1,2,3,... u n 2 u n 1 u n ; n 1,2,3,... u n 1 3u n 8u n 1 , n 0,1,2,3...

u1 2; u 2 3
d.
u n 1 3u n 2u n1 ; n 2,3,...

u1 1; u 2 2
e.
f.
u n 1 2u n u n 1 1 ; n 2,3,...


3
u1
3

2. Cho dãy số (un) xác định nh- sau:
u u n 2 3
n 1 1 ( 3 2)u n


u1 1; u 2 2

u u n 1

u n 1 n

u0
; u n 1
1 1 u n2
2
2

n 0,1,2,3,...

Chứng minh rằng: 2 n 2 u n 2 n 2 vn

và

v0 1; vn1

1 vn2 1
vn

n 0,1,2,3,...

n 0,1,2,3,...

u1 2

5. Cho dãy số (un) cú
1 , n 1, 2,3,... gọi p là số lẻ và q là số chẵn bất kỳ. Chứng minh: up > uq
un 1 1 u
n

u1 0
6. Cho dãy số (un):


un

un 1
, n 1, n N

2un 3

8. Tỡm s hng tng quỏt ca dóy s un xỏc nh bi :
.
1
u
1

2

u1 2
u1 3


9. Xỏc nh s hng tng quỏt ca cỏc dóy s: a.
b.
un
un
un 1 2u 1 ; n 1
un 1 u 1 ; n 1
n

n


u1 1, u2 2
u1 2, u2 3
u1 2, u2 3
a)
b)
c)
un 2 9un 1 18un ; n 1.
un 1 3un 2un 1 ; n 2.
un 1 5un 6un 1 ; n 2.

u1 2, u2 3
d)
un 2 3un 1 2un ; n 1.

u1 0, u2 1
e)
un 2 4un 1 3un ; n 1.

A--------------------------------- NVT ---------------------------------1