Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

HỆ PHƢƠNG TRÌNH

a2 1
 xa  ya  za 3
a

Bài 1. Giải hệ phương trình: 
 x, y  

a2 1
 ax  ay  az 3
a

(Trích đề thi thử tuyển sinh quốc gia số 19 – 2015)
Giải

Xét các véc-tơ: u 





x  a; y  a; z  a , v  1;1;1

2



ax  ay  az

ox





2

 18a

.b

Tức là dấu đẳng thức phải xảy ra trong các bất đẳng thức (1) và (2), hay:

w

w

w


a2 1
 xa  ya  za 
1
a

xyz

 2x  1  4x 2 y  1  y 2  1

Bài 2. Giải hệ phương trình 
 x x  y  xy  1  2xy  x  y  1

(Trích Trƣờng THPT Hàn Thuyên, Bắc Ninh lần 1 – 2015)
Giải

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 1


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế







 2x  1  4x 2 y  1  y 2  1


 x x  y  xy  1  2xy  x  y  1


1
 2

3
1
3 1 
3 1

 2  2  x 2  4   2  . Đặt t   2
x
x
x x
x
x 


Khi x  0 ta được

0

 1  y 2  2x  y  0  2x  y  0  y  2x

Thay y  2x vào (2) ta được x 3x  2x 2  1  4x 2  3x  1

x x

2

t

1  2x 

3  37

 x  4y  x  5   1  4y  x  2 2y
Bài 3. Giải hệ phương trình 
 x, y  
4y
x

4

x

2
x

1




(Trích Tƣờng THPT Chuyên Quốc học – Huế lần 1 – 2015)
Giải

w

2
2

 x  4y  x  5   1  4y  x  2 2y 1

 2



Thay vào (2) ta được

2x 2  9x  8  2 x  1  2  x  2  



 x  1  2x  2 2  1
2
x 1  1  
 x  1   2x  2 2  1







2x 2  9  2 2 x  10  4 2  0

x  1  2x  2 2  1  

 2x  2 2  1  0





t


52 2
2

ox

ta

 5 2 2 32 2 
 5 2 2 3 2 2 
;
;
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là 
 và 

2
2
4 
4 



w

w

.b

 1  y x  3y  3  x 2  y  1 3 . x



Nhận xét x  1, y  1 không là nghiệm của hệ. Xét y  1 thì pt (1) của hệ (I)
2

 x 
x
x
2
x 2  x  y  1  3  y  1   y  1 x  y  1  0  
3
0
 
y 1
y 1
 y 1

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 3


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

Đặt t 

20152016

x
, t  0 . Khi đó, pt (1) trở thành
y 1

1 5
 x  1
2

ox

 x2  x 1  0  x 

ilie

u.



ne



2


x

x

1
 x2  x 1  6 
0
 3 x 3  4 2   x  1 3 x 3  4   x  12 



w

1 5 3  5 
;
Đối chiếu với điều kiện, hệ phương trình có nghiệm  x, y   

2 
 2





w

w

 y  x  y  1  x 3  3y x 2  xy  y  1  1

Bài 5. Giải hệ phương trình 
 y2  y  5x  5
(Trích Trƣờng THPT Trần Phú, Hải Phòng – 2015)
Giải





 y  x  y  1  x 3  3y x 2  xy  y  1  1

  x  1 x 2  x  1  3y  x  1 x  y  1



1
  x  1  x 2  x  3xy  3y 2  3y  1 
0
y  x  y  1 



1
  x  1  x 2   3y  1 x  3y 2  3y  1 
0
y  x  y  1 


 3

Xét A  x 2   3y  1 x  3y2  3y  1

 A  0 x, y 

t

2

ne

Δ  3  y  1  0 x 

2







w

w

w

.b

2x x 2 y  x  2y  3x  1

Bài 6. Giải hệ phương trình 
 x, y  
2xy
x

2y

2y
x

1


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

x  2y
Điều kiện 
x  1,x   1;0 
Khi đó **  x  2 x 

20152016

**


1
1
1
1
 3  x    2 x  3  0
x
x
x
x


t  1
Khi đó ta có phương trình t 2  2t  3  0  
 t  3 (loaïi)

1  5 1
1 5

ta

 1  5 1  5   1  5 1  5 
;
;
Vậy, hệ có 2 nghiệm  x;y   
, 

 2
4   2
4 


.b

ox


 3x  2y  3 8  x  y  11
Bài 7. Giải hệ phương trình 

 8  x  y  2 4  2x  y  1
(Trích đề thi thử thầy Đặng Việt Hùng lần 4 – 2015)
Giải

Đặt

w

w


c  1
2
2
Khi đó *   8  6c   1  2c   c2  4  33c2  100c  67  0  
 c  67

33
Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 6


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế




a  2
x  2
 3x  2y  2
Với c  1  


y 1
b  3 
 8 x y 3 



u.

ne



t

 x2  xy  2y2  y2  xy  2x2  2 x  y
 

Bài 8. Giải hệ phương trình 
 8y  6  x  1  2  y  2 y  4 x  2  3

(Trích Trƣờng THPT Nông Cống 1, lần 2 – 2015)
Giải
Điều kiện: x;y  2
2

ta

x x
x
x 
x
PT 1      2  2     1  2   1 .
y
y y
y
y 


w

Thay x  y vào (2) ta được: 8x  6  x  1  2  x  2 x  4 x  2  3



2







 1  2  x  2  2  x  2



 4 

w

Xét hàm số f  t   t 3  t luôn đồng biến trên

4x  4  2  x  2

Giải (5) ta được x  2 hoặc x 



Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

 x, y  
Page 7


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

(Trích Trƣờng THPT Lƣơng Thế Vinh, Hà Nội lần 1 – 2015)
Giải
2x 3  3  2 y 2  3y  2x y  y 1

 2

 2
x  y  3  y  0
Điều kiện: y  0

y  y  y  3  2 y  y  3  y 

   y

 x 4  2x 3  2x y  y  0  x 2






u.

y  x 2 :  2   x 2  3  2x 2  4x 4  x 2  3  0  x 2  1
  x; y   1;1 ,  1;1



2

ilie



3  2x  x 2

 x  0
 2x   4
  x  1 x 3  3x 2  3x  3  0
3
 x  4x  3  0

.b

x  1
 3
2
 x  3x  3x  3  0
x  1  y  1.



 x  y  3y  3x  2  0
Bài 10. Giải hệ phương trình 
2
2
2

 x  1  x  3 2y  y  2  0
(Trích Trƣờng THPT Ngô Gia Tự, Bắc Ninh – 2015)
Giải

 x 3  y3  3y 2  3x  2  0

 2
2
2

 x  1  x  3 2y  y  2  0

1
2

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 8


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế


ta

ilie

3
2
3

 x  6x  13x  y  y  10
Bài 11. Giải hệ phương trình 
3
2

 2x  y  5  3  x  y  x  3x  10y  6
(Trích Trƣờng THPT Lý Tự Trong, Khánh Hòa lần 1 – 2015)
Giải

.b

 x 3  6x 2  13x  y3  y  10
1

3
2
 2x  y  5  3  x  y  x  3x  10y  6  2 

w

1   x  2 3   x  2   y3  y



Page 9


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

2
2

 x  y  xy  1  4y
Bài 12. Giải hệ phương trình 
 x, y  
2
2
y
x

y

2x

7y

2





x2  1
, v  x  y ta có hệ:
y

Với v  3,u  1 ta có hệ

ta



ilie



 v  3, u  1
u  v  4
u  4  v
 2

 2


 v  5, u  9
 v  2u  7
v  2v  15  0

u.

Đặt y 





 x 2  1  9y
x 2  1  9y
x 2  9x  46  0


Với v  5,u  9 ta có hệ: 



 x  y  5
 y  5  x
 y  5  x
Hệ này vô nghiệm.

w

w



w

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:  x; y   1;2  ,  2;5

 x 3  y3  3y2  x  4y  2  0
Bài 13. Giải hệ phương trình 

Xét hàm số f  t   t 3  t  2 trên  2;  
Ta có: f '  t   3t 2  1  0, t  2;   . Suy ra hàm số f  t  đồng biến trên

 2;  
Do đó: x  y  1
Thay y  x  1 vào phương trình (2) ta được: x3  3  2 x  2  1











x2 2





ta

 x20 x 2 y3
2
 x 2  2x  4 
 0  x 2  2x  4 
x22


2
x22



t





x  2  2   x  2  x 2  2x  4 

ne





u.

 x3  8  2




0
x22 


2
 x 2  1  y 2  1  8 y  x  4  17


(Trích đề thi thử thầy Nguyễn Tất Thu, lần 3 – 2015)
Giải

Điều kiện: y  1 . Ta có:









x 2  1  x y  y2  1  1

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 11


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

 x 2  1  x  y  y2  1



 y  x 2

1
x 2  1  y2  1

1
. Từ đây ta có 0  y  x  1
yx

u.

1



 8 y  x  4  17 . Đặt t  y  x, t   0;1 , ta có phương trình:

ilie

Do đó

x 2  1  y2  1

x 2  1  y2  1 

Suy ra

 2

Dễ thấy với 0  t  1 thì VT  3  17   3 vô nghiệm, nên hệ đã cho vô nghiệm.

Nhận xét: Trong PT 2 của hệ, nếu thay đổi
t2

y  x  3 thì (3) trở

 8 t  3  17 và có nghiệm, hệ có nghiệm. Lời giải tiếp như sau: Xét

.b

1

t

2

 8 t  3, t   0;1 có f '  t  

w

hàm số f  t  

1

w

thành

y  x  4 bởi

Bài 15. Giải hệ phương trình: 
2
2

 y  1  2y  1  x  x  xy  3y
(Trích Trƣờng THPT Đông Sơn 1, Thanh Hóa lần 1 – 2015)
Giải

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 12


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế
 x 2  y  3  y 2  3x  7


2
2

 y  1  2y  1  x  x  xy  3y



 2 



1




1
 2y  1  x  0, y  1, x  0 )
y 1  x

ne

 y  x  1 (Do

Xét g  t  

t
t 3
2



2x  1
2 x  x 1



2

, g ' t  

3


x2  x  1  x2  x  1  7  3

Thế y vào (1) ta được



3

2

3



2x  1

 2x  12  3

. Suy ra g  t  đồng biến trên

.b

Do 2x  1  2x  1 nên g  2x  1  g  2x  1 . Suy ra

w

f '  x   g  2x  1  g  2x  1  0, x 

w










 





 



Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 13


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

Nhận xét: nếu x  0 thì không thỏa mãn hệ phương trình
Xét x  0 : PT 1  3y  3y 9y 2  1 


1
 1 
PT  3  f  3y   f 
  3y 
x
 x



ne

t2



u.

f ' t   1  t 2  1 

Thế vào pt (2) ta được: x3  x 2  4 x 2  1 . x  10 .





ilie

Đặt g  x   x3  x 2  4 x 2  1 . x  10, x  0 . Ta có g '  x   0 với x  0



Bài 17. Giải hệ phương trình: 
 x, y  
8y3  4 x 2  1  x 2  6y  2
(Trích Trƣờng THPT Quang Xƣơng 1, Thanh Hóa lần 1 – 2015)
Giải





 x 4  4y3  x 4  1 y  4y 2  1


3
2
2

8y  4 x  1  x  6y  2

1
 2
 y  1

1  x 4  y  1  4y2  y  1  y  1   x 4  4y2  1  y  1  0  

4
2
 x  4y  1


2

Dấu

“=”

xảy

ra

khi

ilie

u.

đó

ne

 1 1
f  x   g  y   0 x   1;1 , y   ;  .
 2 2
1
 x; y    0; 
 2

Do

t



w

.b

ox




2
y2
y

1

 y2  2 x  2


x

x  x  1  y  y2  y

y
x

1
 2


Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm: x  4, y  2

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 15


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

 x 2  3y  9
Bài 19. Giải hệ phương trình:  4
2
 y  4  2x  3 y  48y  48x  155  0
(Trích Trƣờng THPT Nhƣ Thanh – 2015)
Giải
 x 2  9  3y

HPT   4
 y  8y 2 x  16  9  3y    12 y 2  4x  11  0

 







ilie

 y2 1
  x
 x  9  3y

Với t  1 ta được hệ 
 4 4
2
y2
1
 y  4x  1 
9

3y

 x2  x 

4
4
2

ta



w

.b


w

 x  3  3  x  3  3
;
Giả ra ta được nghiệm là 
 y  2 3  1  y  2 3  1

2x 2  18  6y  y 2  4x  11

Với t  11 ta được hệ 
2
2
2
 y  4x  11
2x  4x  2  y  6y  9

 y  4x  11

2
2
2  x  1   y  3
2

 y 2  4x  11

   2  x  1  y  3

  2  x  1  3  y

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133





1
1
1



x  3 2  6  2 3 x  3 2  6  2 3 x  3 2  6  2 3
2
2
2
;
;
**

y   3  6  2
y  6  2  3
y  3  2  6




Vậy hệ có 6 nghiệm  x; y  theo (*) và (**)
Bài 20. iải hệ phương trình sau:





2  x  y :  2  2



w

Với

 2x  y
2  x.y  2y 2  0  
 2  x  2y

.b

1   2  x  

ta





x  2  4 2  x  8 4  x 2  34  15x

 3

w

Đặt t  x  2  4 2  x  t 2  34  15x  8 4  x 2

2 17
y
và khi x  2  y  0
17
17

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 17


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

Với 2  x  2y  0 mà y  0  y  0 và x  2 . Th lại ta có x  2, y  0 là
nghiệm.

 30 2 17 
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là  2;0  ,  ;

 17 17 
 x 4  2x  y 4  y

Bài 21. iải hệ phương trình 
 x, y  
2
2 3
3

ilie

Từ x 

u.

3

a  b a  3b a  c3b


.
2
2
2
Phương trình thứ nhất của hệ trở thành:







ta

2x  y   a  b  





4
3
3
4
3
3

c  a  2   a   ca  c  a  ac   ca  1 a  c  0 
c


a
a 

a

c

Nếu a  c, b  1 thì x 





3
c 1 3 3 1
3 1

, y
2

2   3
3
 2
Bài 22. iải hệ phương trình:
Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 18


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

 x x  6y  4  3y 3y  4  8  2 x  y  x  y 2  4 1  xy  2




 



 

2

 3x  xy  22  1  y  x  2y  3
(Trích Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn B nh Khiêm, Quảng Nam – 2015)
Giải


Ta có f '  t  

ne

t

 x  3y  22  4   x  3y  2   y  x 2  4   y  x 

u.

Ta có: 1 

 x  y 2  4 1  xy   2 1
2

.

kiện x  0 , ta có:



x 2  2x  22  5 
x 2  2x  3

x  2x  22  5
2




  x  1 x  3

w

w

 1


1
  x  1 
  x  3 1 
   0  x  1

2
 x  1
x

2x

22

5

 

Vì với x  0 thì





20152016

1
 2

 xy  x  y 2  y  0

Điều kiện: 4y 2  x  2  0
y  1  0


 x  y  y  1  4  y  1  0
 u  0, v  0 

ne

Đặt u  x  y, v  y  1

t

Ta có: 1  x  y  3

2  y  2
4y 2  2y  3  2y  1







2

4y  2y  3  2y  1
2



1
 0, y  1 )
y 1 1

w

 y  2 (vì

.b



2
1
0
  y  2 

 4y 2  2y  3  2y  1
y 1 1 




20152016

x  y  6  0
Điều kiện: 
 x  1
Nếu y  0 , đ hệ có nghiệm thì 1  y  0 .
VT 1  2 x  y  6  2 5 

  VT 1  VP 1 hệ vô nghiệm.
VP 1  1  y  1



Nếu y  0 , từ (2) suy ra x  0
2

 3 
 3 
2
9 1  x  xy 9  y  0  
 9
   y  9   y 
 x
 x

 3

9  2t 2
9  t2


y
 x

 3  f 

 0 t  0

u.

Xét hàm số f  t   t 9  t 2 , t  0; f '  t  

ne

t

2

.b

biến trên  ;0  và phương trình có nghiệm y  3 nên phương trình (4) có
nghiệm duy nhất y  3 .

w

Vậy hệ có nghiệm duy nhất 1; 3 .

w

w


Điều kiện: y  1
Xét 1 : 1  y  x 2  2y2  x  2y  3xy
Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 21


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

Đặt

x 2  2y2  t

20152016

 t  0

Phương trình (1) trở thành: t 2  1  y  t  x 2  2y2  x  2y  3xy  0





Δ  1  y   4 x 2  2y 2  x  2y  3xy   2x  3y  1
2

2

2


Với


1  5
x 
 y  1  2x

4

x 2  2y2  x  2y ta có hệ: 
2
2
 x  2y  x  2y
y  1  5

2

ox

 1  5 1  5 
;
Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   

4
2 


w



 3 3
Điều kiện: x  1; y    ;  . Ta có:
 2 2

1  2y3  y  2 1  x  2x 1  x  1  x
 2y3  y  2 1  x  1  x  1  x

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 22


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế
Xét hàm số f  t   2t 3  t , ta có f '  t   6t 2  1  0, t 

20152016
 f  t  đồng biến trên

.

Thế vào (2) ta được:


y  0
1 x  y  1 x   2

y  1  x



  x  1  2


2

t



ne

Vậy 1  f  y   f

ilie

y  4 2
Với x  1  2  
. Vậy hệ có hai nghiệm.
 y   4 2

ta

 x 2  xy  2y2  3y  1  y  1  x
Bài 27. iải hệ phương trình 
3 6  y  3 2x  3y  7  2x  7

ox

(Trích Trƣờng THPT Chuyên V nh Phúc, lần 4 – 2015)





1

  y  x  1
 2y  x  1  0  y  x  1  0  x  y  1  3 
 y 1  x



0, x 0,6 y 1



Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 23


Tuyển tập Hệ phương trình hay có lời giải.
Trung Tâm LTĐH 46/1 Chu Văn An, TP Huế

20152016

Thế (3) vào (2) ta được phương trình 3 6  y  3 5y  9  2y  5
kiện

9




1
3
0
 y 2  7y  10 

 8  y  3 6  y y  1  5y  9 


9


0,   y 6
5





u.

ne

t



 4

Bài 28. iải hệ phương trình: 
2

 x  3 xy  x  y  y  5y  4
(Trích Sở Giáo dục và Đào tạo Lào Cai – 2015)
Giải

w

w

2 x 2  5  2 2y  x 2


 x  3 xy  x  y 2  y  5y  4

1
 2

Điều kiện: xy  x  y2  y  0 và y  0 .
Với điều kiện trên:

 2    x  2y  1  3





xy  x  y 2  y  y  1  0


2

2

x2
x 1 1

  x  2  x  2 

 2  x  2

2
  x  2 

  x  2   0
x 1 1
 x 2  5  3

Ta thấy x  1 thì:

2  x  2

 3

t

x2  4

ne




ta

ilie



2
1
2




2

x  y  2x  y  y  x  2x  y 
Bài 29. iải hệ phương trình  x  y


2  y  4  2x  y  3   x  6  x  y  1  3  y  2 
(Trích Trƣờng THPT Minh Ch u, Hƣng ên lần 2 – 2015)
Giải



w

.b

x  0


Điều kiện:  y  0
2x  y  0  y  0

2 1
2
 
(vô l )
x x
2x 2
Tương tự x  0 không thỏa mãn, vậy x, y  0 .

Nếu y  0 thì 1 

Trần Đình Cƣ. Gv Trƣờng THPT Gia Hội, Huế. SĐT: 01234332133

Page 25