BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐÌNH HÀ

CHIỀU ĐỒNG ĐIỀU GORENSTEIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐÌNH HÀ

CHIỀU ĐỒNG ĐIỀU GORENSTEIN

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS ĐÀO THỊ THANH HÀ

Nghệ An - 2012


MỤC LỤC



. . . . . . . . . . . . . . . 20
. . . . . . . . . . . . . . 31

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37


1

LỜI NÓI ĐẦU

Một động cơ quan trọng cho sự nghiên cứu chiều đồng điều trở lại vào
năm 1956 là Auslander, Buchsbaum và Serre chứng minh định lý: Một vành
địa phương giao hoán Noether R là chính quy nếu trường thặng dư k có
chiều xạ ảnh hữu hạn và chỉ nếu mọi R - môđun có chiều xạ ảnh hữu hạn.
Năm 1967, Auslander và Bridger [2] đưa ra một bất biến mới cho môđun
hữu hạn sinh trên vành Noether được gọi là chiều đồng điều Gorenstein.
Họ đã chứng minh được bất đẳng thức G − dimR M ≤ pdR M , và dấu "="
xảy ra khi pdR M hữu hạn. Hơn nữa, họ còn chứng minh được công thức
tổng quát Auslander - Buchsbaum (thỉnh thoảng còn được biết đến như là
công thức Auslander - Bridger) đối với chiều Gorenstein.
Chiều đồng điều Gorenstein là sự cải tiến của chiều đồng điều cổ điển.
Chúng ta có thể nói rằng chiều Gorenstein "làm mịn" chiều xạ ảnh của
môđun hữu hạn sinh, và nó cũng có nhiều tính chất đẹp giống như chiều xạ


CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Phạm trù và hàm tử

1.1.1 Định nghĩa. Một phạm trù C gồm lớp các vật, kí hiệu là Obj (C )
và tập các cấu xạ HomC (A, B) với A, B ∈ Obj (C ) và phép hợp thành
HomC (A, B) × HomC (B, C) → HomC (A, C)
(f, g) → gf,
thỏa mãn các điều kiện sau
(i) Với mọi A ∈ Obj (C ) tồn tại cấu xạ đồng nhất, kí hiệu là 1A sao cho
f 1A = f , với mọi f ∈ HomC (A, B) và 1A g, với mọi g ∈ HomC (C, A).
(ii) Hợp thành các cấu xạ có tính chất kết hợp.
1.1.2 Ví dụ. (a) Phạm trù các tập hợp Set bao gồm mỗi vật là một tập
hợp và mỗi cấu xạ là một ánh xạ giữa hai tập hợp.
(b) Phạm trù các môđun trên R, kí hiệu là µR bao gồm mỗi vật là một
R - môđun và mỗi cấu xạ là một R - đồng cấu.
1.1.3 Định nghĩa. Cho C , D là các phạm trù. Hàm tử hiệp biến F : C →
D là một ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau đây
(i) Nếu A ∈ C thì F A ∈ D.
(ii) Nếu f : A → B là một cấu xạ trong C thì tồn tại một cấu xạ tương
ứng trong D là F f : F A → F B.


4


Khi đó, hàm tử Hom (A, −) là hàm tử phản biến.
(c) Hàm tử tenxơ A⊗R −.
Cố định A ∈ µR . Hàm tử F : µR → µR xác định bởi
B → A⊗R B,
F f = 1A ⊗R f.
Khi đó hàm tử A⊗R − hiệp biến.
(d) Hàm tử tenxơ −⊗R B.
Cố định B ∈ µR . Hàm tử F : µR → µR xác định bởi
A → A⊗R B,
F f = f ⊗R 1A .
Khi đó hàm tử A⊗R − hiệp biến.
1.1.6 Định nghĩa. (i) Hàm tử hiệp biến F được gọi là khớp trái nếu từ
dãy khớp
0→M →N →K
ta được dãy khớp
0 → F M → F N → F K.
(ii) Hàm tử hiệp biến F được gọi là khớp phải nếu từ dãy khớp
M →N →K→0


6

ta được dãy khớp
F M → F N → F K → 0.
(iii) Hàm tử phản biến F được gọi là khớp trái nếu từ dãy khớp
M →N →K→0
ta được dãy khớp
0 → F K → F N → F M.
(iv) Hàm tử phản biến F được gọi là khớp phải nếu từ dãy khớp
0→M →N →K



/

M

ψ

N

/

/

ψ


N

/

M
/



0

ψ
/

Mn−1

dn−1

/···

Môđun Zn (A ) = Kerdn được gọi là môđun các chu trình thứ n.
Môđun Bn (A ) = Imdn+1 được gọi là môđun các biên thứ n.
Khi đó Hn (A ) = Zn (A ) /Bn (A ) là một R - môđun và được gọi là
môđun đồng điều thứ n của A .
Cho A , B là các dãy phức R - môđun và f : A → B là chuỗi đồng cấu.
Tương ứng
Hn (f ) : Hn (A ) → Hn (B)
zn + Bn (A ) → fn (zn ) + Bn (B)
là một ánh xạ.
Hàm tử Hn : Complex (R) → µR xác định như trên được gọi hàm tử
đồng điều.


8

1.2.2 Định lý. Cho dãy khớp ngắn các phức
i

p

0 −→ A →
− A →
− A −→ 0.
Khi đó ta có dãy khớp dài

hiệu là Hom (A, EB )
0 → Hom A, E 0 → Hom A, E 1 → · · ·
Kí hiệu Ext (A, B) := Hn Hom (A, EB ).


9

1.2.6 Mệnh đề. (i) Hàm tử Ext không phụ thuộc vào sự lựa chọn vào giải
nội xạ (giải xạ ảnh).
(ii) Extn (A, B) = 0, ∀n < 0.
(iii) Ext0 (A, B) ∼
= Hom (A, B) .
1.2.7 Định lý. Từ dãy khớp ngắn các môđun
0 → B → B → B → 0,
ta được dãy khớp dài
0 → Hom (A, B ) → Hom (A, B) → Hom (A, B ) →
→ Ext1 (A, B ) → Ext1 (A, B) → Ext1 (A, B ) → · · ·
1.2.8 Mệnh đề. (i) Nếu A là môđun xạ ảnh thì
Extn (A, B) = 0,
với mọi số nguyên dương n và mọi môđun B.
(i) Nếu B là môđun nội xạ thì
Extn (A, B) = 0,
với mọi số nguyên dương n và mọi môđun A.
1.2.9 Hàm tử Tor. Cho A, B là các R - môđun và PB là giải xạ ảnh của
B
PB : · · · → Pn → Pn−1 → · · · → P1 → P0 → 0,
Tác động hàm tử A⊗R − vào giải xạ ảnh của B ta được dãy mới, kí hiệu
là A⊗R PB
· · · → A⊗R Pn → A⊗R Pn−1 → · · · → A⊗R P1 → A⊗R P0 → 0
Kí hiệu TorR

(ii) Nếu B là môđun xạ ảnh thì TorR
n (A, B) = 0 với mọi n ≥ 1 và với
mọi môđun A.

1.3

Chiều đồng điều

1.3.1 Định nghĩa. Giải xạ ảnh 0 → Pn → · · · → P0 → M → 0 của R môđun M được gọi là có độ dài n. Số n nhỏ nhất để M có giải xạ ảnh độ dài
n được gọi là chiều xạ ảnh của M , ký hiệu bởi pdR M . Nếu M không có giải
xạ ảnh hữu hạn thì ta nói M có chiều xạ ảnh vô hạn và viết pdR M = ∞.
1.3.2 Định nghĩa. Chiều global của vành R, ký hiệu bởi gldimR, là cận
trên của pdR M với mọi R - môđun M .
1.3.3 Mệnh đề. Cho M là một R - môđun và n là một số nguyên dương.
Các điều sau đây là tương đương
(i) pdR M ≤ n;
(ii) ExtiR (M, N ) = 0 với mọi i > n và mọi R - môđun N .


11

(iii) Extn+1
R (M, N ) = 0 với mọi R - môđun N .
(iv) Nếu 0 → Kn → Pn−1 → · · · → P0 → M → 0 là một dãy khớp với mọi
Pi là môđun xạ ảnh, thì Kn cũng là môđun xạ ảnh.
1.3.4 Hệ quả. gldimR ≤ n khi và chỉ khi ExtiR (M, N ) = 0 với mọi i > n
và mọi R - môđun N .
1.3.5 Định nghĩa. Giải nội xạ 0 → N → X 0 → · · · → X n → 0 của R môđun M được gọi là có độ dài n. Số n nhỏ nhất để M có giải nội xạ độ
dài n được gọi là chiều nội xạ của M , ký hiệu bởi idR M . Nếu M không có
giải nội xạ hữu hạn thì ta nói M có chiều nội xạ vô hạn và viết idR M = ∞.

=


M ⊗R R

δ

M
−→

HomR (HomRO (M, R), R)

(2.1.1.1)

θM RR
∼
=

−
→

M ⊗R HomR (R, R)

Trong đó, đồng cấu đánh giá
θM RR : M ⊗R HomR (R, R) −→ HomR (HomR (M, R), R)
được cho bởi
θM RR (p ⊗ ψ) (ϕ) = ψϕ (p) .
2.1.2 Định nghĩa. Một R - môđun M hữu hạn sinh được gọi là thuộc G
- lớp G(R) nếu


(2.1.1.5)


14

2.1.6 Chú ý. Môđun tự do là xoắn tự do và môđun con của xoắn tự do
cũng là xoắn tự do. Áp dụng hàm tử đối ngẫu vào dãy
Rβ −→ M −→ 0
ta thấy rằng đối ngẫu của R - môđun tự do hữu hạn sinh có thể được nhúng
vào một R - môđun tự do hữu hạn sinh và dẫn đến nó cũng là môđun xoắn
tự do. Nói riêng, mọi môđun trong G (R) là xoắn tự do.
2.1.7 Chú ý. Nếu một R - môđun M thuộc vào G - lớp thì đối ngẫu của
nó cũng thế, tức là
M ∈ G (R) ⇒ M ∗ ∈ G (R) .
Điều này là hiển nhiên được suy ra từ định nghĩa, và mặt khác, điều
ngược lại rõ ràng là không đúng: Giả sử G ∈ G (R) và M = 0 là xoắn thì
(G ⊕ M )∗ ∼
= G∗ ∈ G (R) ,
nhưng môđun G ⊕ M ∈
/ G (R), thật vậy nó không xoắn tự do.
2.1.8 Bổ đề. Cho M là một R - môđun hữu hạn sinh và xét ba điều kiện
sau đây:
(i) Ánh xạ song đối ngẫu δM là đơn cấu,
(ii) M có thể được nhúng vào một môđun tự do hữu hạn sinh,
(iii) M là xoắn tự do.
Các điều kiện (i) và (ii) là tương đương và kéo theo (iii). Hơn nữa, khi
R là một miền thì ba điều kiện đó tương đương.
Chứng minh. Rõ ràng rằng (ii) kéo theo (iii), và theo Chú ý 2.1.6 đối ngẫu
và song đối ngẫu của một môđun hữu hạn sinh có thể được nhúng trong
một môđun tự do hữu hạn sinh. Vì vậy (i) kéo theo (ii).

/ ∗∗

L

trực tiếp suy ra δM là đơn cấu. Do đó (i) và (ii) tương đương với nhau.
Khi R là một miền. Áp dụng Bổ đề triệt tiêu Hom để chứng minh
ker δM = MT . Do đó nếu M là xoắn tự do thì ánh xạ song đối ngẫu là đơn
cấu nên ba điều kiện đó là tương đương.
2.1.9 Mệnh đề. Những điều sau đây là tương đương với mọi R - môđun
M hữu hạn sinh.
(a) Nếu M là đối ngẫu, nghĩa là M ∼
= N ∗ với N là một R - môđun hữu
hạn sinh thì dãy
/

0

M

δM /

/

M ∗∗

/0

CokerδM

là chẻ ra.

suy ra rằng (δN )∗ δN ∗ = 1N ∗ , và cho thấy rằng δM cũng có một section, đặt
là ϕ−1 (δM )∗ ϕ∗∗ .
(b) Giả sử rằng M ∼
= M ∗∗ , và đặt C = CokerδM ; thì theo (a) ta có dãy
0

/

M

δM /

M ∗∗

/

C

/

0

là chẻ ra. Với mỗi iđêan cực đại m ta có Mm ∼
= Mm ⊕ Cm . Nói riêng Mm
và Mm ⊕ Cm có cùng số các phần tử sinh cực tiểu nên Cm = 0 và do đó
C = 0.
2.1.10 Bổ đề. Cho 0 −→ K −→ N −→ M −→ 0 là một dãy khớp các R
- môđun hữu hạn sinh. Khi đó,
(a) Nếu M ∈ G (R) thì các dãy
0 −→ M ∗ −→ N ∗ −→ K ∗ −→ 0

(a) Giả sử M ∈ G (R) thì nói riêng Ext1R (M, R) = 0 và dãy đầu tiên
trong (a) khớp là hiển nhiên từ dãy (2.1.10.1). Ta có biểu đồ sau giao hoán
với các hàng là khớp
/

0

K

δK


/ K ∗∗

0

/

N

δN


/ N ∗∗

/

M

δM ∼

m
m
∗
∗
∗
−→ · · · −→ Extm
R (K , R) −→ ExtR (N , R) −→ ExtR (M , R) −→ · · ·


18

ta có
m
∗
∗
∼
Extm
R (N , R) = ExtR (K , R) ,

với m > 0. Vậy
K ∈ G (R) ⇐⇒ N ∈ G (R)
.
(b) Nếu N ∈ G (R) thì Extm
R (N, R) = 0 với m > 0, và từ (2.1.10.1) hiển
nhiên ta có đẳng cấu như mong muốn.
(c) Giả sử rằng 0 −→ K −→ N −→ M −→ 0 là chẻ ra. Khi đó dãy đối
ngẫu
0 −→ M ∗ −→ N ∗ −→ K ∗ −→ 0
và
0 −→ K ∗∗ −→ N ∗∗ −→ N ∗∗ −→ 0




M ∗∗

/

/

0

(2.1.10.2)

0

là chẻ ra. Do đó, δN là đẳng cấu khi và chỉ khi δM và δK là đẳng cấu. Hàm
tử Extm
R (−, R) là cộng tính nên với m > 0 ta có các đẳng cấu
m
m
∼
Extm
R (N, R) = ExtR (K, R) ⊕ ExtR (M, R) ,

và
m
m
∗
∗
∗

F = HomR (F, R) ∼
=

n

HomR (R, R) ∼
=

∗

i=1

R=F
i=1

nên F ∗ cũng là môđun xạ ảnh. Suy ra P ∗ cũng là môđun xạ ảnh.
Hơn nữa đồng cấu θP RR là khả nghịch. Do đó ánh xạ song đối ngẫu δP
cũng là đẳng cấu, xem biểu đồ (2.1.1.1).
2.1.12 Chú ý. Cho (R, m, k) là vành địa phương. Đối ngẫu của trường
thặng dư k ∗ = HomR (k, R) là một k - không gian vectơ với kích thước µ0R
(k ∗ đẳng cấu với linh hóa tử của m và cũng được gọi là nền của R). Do đó
0
k∗ ∼
= k µR . Từ đó, song đối ngẫu
0
k ∗∗ = HomR (k ∗ , R) ∼
= HomR k µR , R
∼
= HomR (k, R) ⊕ · · · ⊕ HomR (k, R) có µ0R hạng tử


trong G (R)
· · · −→ Gl −→ Gl−1 −→ · · · −→ G1 −→ G0 −→ 0,
khớp tại Gl với mọi l > 0 và có
G0 /Im (G1 → G0 ) ∼
= M,
nghĩa là, có một dãy khớp
· · · −→ Gl −→ Gl−1 −→ · · · −→ G1 −→ G0 −→ M −→ 0.
Giải này được gọi là có độ dài n nếu Gn = 0 và Gl = 0 với ∀l > n.
2.2.2 Chú ý. Mọi R - môđun hữu hạn sinh đều có một giải gồm các môđun
tự do hữu hạn sinh và đó là một G - giải.
2.2.3 Định nghĩa. Một R - môđun M được gọi là có G - chiều hữu hạn,
và viết G − dimR M < ∞, nếu nó có một G - giải có độ dài hữu hạn. Ta
quy ước G − dimR 0 = −∞ và với M = 0 ta định nghĩa G - chiều của
M như sau: Với n ∈ N0 ta nói rằng M có G - chiều lớn nhất là n và viết
G − dimR M ≤ n nếu và chỉ nếu M có một G - giải có độ dài n. Nếu M
không có G - giải nào có độ dài hữu hạn thì ta nói rằng M có G - chiều vô
hạn và viết G − dimR M = ∞.


21

2.2.4 Chú ý. Chú ý rằng môđun không cũng được gọi là có G - chiều hữu
hạn và
G − dimR M ∈ {−∞} ∪ N0 ∪ {∞} ,
với mọi R - môđun M . Nếu G − dimR ≤ n, thì M có G - giải có độ dài m
với mọi m ≥ n; ta có được điều này bằng cách thêm các hạng tử tự do vào
giải có độ dài n. Nếu M = 0, thì G - chiều của M là độ dài của G - giải
ngắn nhất có thể của M .
M ∈ G (R) ⇐⇒ G − dimR M = 0 ∨ M = 0


0 −→ Kn −→ Gn−1 −→ · · · −→ Gl −→ Kl −→ 0,
cho thấy rằng G − dimR M ≤ n − l, và ta chú ý rằng đẳng thức này luôn
đúng nếu G − dimR M = n.


22

2.2.6 Bổ đề. Cho M là một R - môđun hữu hạn sinh có G - chiều hữu
hạn. Nếu Extm
R (M, R) = 0 với ∀m > 0 thì M ∈ G (R).
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo G − dimR M .
Đầu tiên ta giả sử G − dimR M ≤ 1 thì ta có dãy khớp
0 −→ G1 −→ G0 −→ M −→ 0,
trong đó G1 , G0 ∈ G (R).
Theo Chú ý 2.1.7 và Bổ đề 2.1.10 (a) ta có dãy đối ngẫu sau
0 −→ M ∗ −→ G∗0 −→ G∗1 −→ 0,
là khớp, và vì
Ext1R (M, R) = 0
nên
∗
Extm
R (M , R) = 0

với m > 0. Đối ngẫu một lần nữa ta có hàng thứ hai trong thang khớp
ngắn sau
0
0

/



là khớp. Theo Bổ đề con rắn, ta kết luận rằng δM là một đẳng cấu. Do đó
M ∈ G (M ).
Bây giờ với n > 1, giả sử rằng nếu G − dimR M ≤ n − 1 thì kéo theo
M ∈ G (R). Ta sẽ chứng minh rằng nếu G − dimR M ≤ n thì M ∈ G (R).
Vì G − dimR M ≤ n nên M có một G - giải có độ dài n
0 −→ Gn −→ Gn−1 −→ · · · −→ G1 −→ G0 −→ M −→ 0.
Ta xác định Kn−1 như trong Nhận xét 2.2.5 thì G − dimR Kn−1 ≤ 1 và
m+n−1
∼
Extm
(M, R) với m > 0, dó đó theo chứng minh ở
R (Kn−1 , R) = ExtR