Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ

Luyện thi Đại học 2012

DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN- NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Bài tập 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:
x +1
a) f ( x ) = x 4 - x
b) f ( x ) =
( x Î ( -1;2 ) )
x2 + 1
Bài giải:
a) TXĐ: D =  \ {1}

c) f ( x ) = x + 4 - x 2

- x2 + 2x
=0
(1 - x) 2
éx = 0 Þ y = 4
f / ( x) = 0 Û ê
ëx = 2 Þ y = 0
Bảng biến thiên:

Ta có: f / ( x) =

x

0
0


x 2 + 1) - x ( x + 1)
(
1- x
x
+
1
/
Ta có : f ( x) =
=
=
2
2
2
2
x +1
( x + 1) x + 1 ( x + 1) x 2 + 1
Þ f ( x) = 0 Û x = 1 Þ y = 2
Lập bảng biến thiên:
x
-1
f/(x)

2

1
+

0

_

=

4 - x2

f / ( x) = 0 4 - x 2 - x = 0 4 - x 2 = x
ỡ0 Ê x Ê 2
ỡ0 Ê x Ê 2
ớ

ịx= 2
ớ 2
2
2
ợ4 - x = x
ợx = 2
Lp bng bin thiờn:
x

f'(x)

2

0

-2

+

+


Bi gii:
a) Hm s liờn tc trờn [ 0;p ] v y / = 2sin x cos x - sin x = sin x ( 2 cos x - 1) , x ẻ ( 0;p ) .
Vỡ x ẻ ( 0;p ) ị sin x > 0 nờn trờn ( 0;p ) : y / = 0 cos x =
Lp bng bin thiờn:

x

p
3

0

y'

+

0

1
p
x = , x ẻ ( 0;p ) .
2
3
p

_

5
4

0 thỡ (1) sin x Ê , "x ẻ 1 0 < m Ê 1 .
m
m
1
1
* Vi m < 0 thỡ (1) sin x , "x ẻ Ê -1 -1 Ê m < 0 .
m
m
Kt lun: Cỏc giỏ tr m tha y.c.b.t l -1 Ê m Ê 1 .
Cỏch 2: y / = 1 - m sin x 0, "x ẻ min y / = min {1 - m;1 + m} 0

ỡ1 - m 0
ớ
-1 Ê m Ê 1 .
ợ1 + m 0
Kt lun: Cỏc giỏ tr m tha y.c.b.t l -1 Ê m Ê 1 .
Bi tp 2: Tỡm m cỏc hm s sau õy n iu trờn cỏc khong ó ch ra:
1
a) y = f ( x ) = - x 3 + 2 x 2 + ( 2 m + 1) x - 3m + 2 nghch bin trờn .
3
m+2 3
b) y = f ( x ) =
x - ( m + 2 ) x 2 + ( m - 8 ) x + m 2 - 1 nghch bin trờn .
3
Bi gii:

êë îD £ 0
ëê îD £ 0
2) Hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên D thì hàm số phải xác định trên D.
mx + 4
Bài tập 3: Tìm m để hàm số y =
nghịch biến trên ( -¥;1) .
x+m
Bài giải:
TXĐ: D =  \ { - m}
Ta có: y / =

m2 - 4

( x + m)

2

( x ¹ -m )

Hàm số nghịch biến trên ( -¥;1) khi chỉ khi
/
ìm 2 - 4 < 0
ïì y < 0, "x Î ( -¥;1)
Ûí
Û -2 < m £ -1 .
í
î-m ³ 1
ïî- m Ï ( -¥;1)
Bài tập 3: Tìm m để hàm số y = x 3 + 3x 2 + ( m + 1) x + 4 m nghịch biến trên ( -1;1) .
Bài giải:

( -1;1)

x ®-1

x ®1

Ta có: lim+ g ( x ) = -2 và lim- g ( x ) = -10 nên min g ( x ) > -10, "x Î ( -1;1)
x ®-1

( -1;1)

x ®1

Suy ra: m £ -3x - 6 x - 1, "x Î ( -1;1) Û m £ -10 .
2

Hướng 2: Xét hàm số g ( x ) = -3x 2 - 6 x - 1, "x Î ( -1;1)

Ta có: g / ( x ) = -6 x - 6 < 0, "x Î ( -1;1) Þ g ( x ) nghịch biến trên ( -1;1) và:

lim g ( x ) = -2 , lim- g ( x ) = -10 .

x ®-1+

x ®1

Xét bảng biến thiên:

x

0 Û 6 - 3m > 0 Û m < 2 .
-3 - 6 - 3m
-3 + 6 - 3m
, x2 =
với x1 < x2 .
Phương trình y / = 0 có hai nghiệm x1 =
3
3
Theo bảng xét dấu:
x
-¥
+¥
x1

ï -3 + 6 - 3m ³ 1
ïî
3
Kết luận: Giá trị m cần tìm là m £ -10 .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO

Trang 5

Tổ Toán THPT Phong Điền


Chuyờn KHO ST HM S

DNG 3:

Luyn thi i hc 2012

VN DNG TNH N IU CA HM S:

CHNG MINH BT NG THC
I- NI DUNG í TNG:
nh ngha:
Hm s y = f ( x) ng bin trờn D "x1 , x2 ẻ D : x1 < x2 ị f ( x1 ) < f ( x2 )

Hm s y = f ( x) ng bin trờn D "x1 , x2 ẻ D : x1 < x2 ị f ( x1 ) > f ( x2 )
t vn : chng minh mt bt ng thc dng: A > B (1) trờn D thỡ hon ton
chỳng ta cú th cú ý tng nh sau:
Bc 1: a BT v dng f ( x) > 0 trờn D ( nu thy $a ẻ D : f (a) = 0 )
Lỳc ú: f ( x) > 0 f ( x) > f (a )
Bc 2: Vi x > a cn ch rừ f l hm ng bin.
0 : a + 2. "a : 2a + 2 = a + a + 2 3
a
a
a
d. Cha giỏ tr tuyt i: a Ê a , a - b Ê a + b Ê a + b
e. Kt qu lng giỏc: "t : sint Ê 1 -1 Ê sint Ê 1, sin3t Ê sin 2t Ê sint

ỡ f ( x) = f ( y ), x, y ẻ D
ị x= y
ớ
f
(
x
)
hoặc
tăng,
hoặc
giảm
trên
D


x2
< cosx, "x > 0 .
2
x2
Gii: Ta xột hm s f ( x) = 1 - - cosx ( x 0) .
2
/
o hm f ( x) = - x + sinx = - ( x - sinx ) Ê 0, "x 0 theo vớ d trờn. Suy ra hm s ó cho

Bi tp 2: Chng minh: 1 -

x2
- cosx < 0 (.p.c.m)
2
p
Bi tp 3: Chng minh rng: a sina - b sinb > 2 ( cosb - cosa ) , 0 < a < b
b sinb + 2cosb , 0 < a < b

ứ
2
1
ộ pử
Xột hm s: f (t ) = sin t + tan t - t vi t ẻ ờ0; ữ .
3
3
ở 2ứ
2
1
1ổ
1 ử
1ổ
1 ử
Ta cú: f / (t ) = cost +
- 1 = ỗ 2cost +
- 1 = ỗ cost + cost +
ữ - 1 (*)
2
2 ữ
3
3cos t
3ố
cos t ứ
3ố
cos 2t ứ
nghch bin vi x > 0 . T õy do x > 0 f ( x) < f (0) hay 1 -

1
cos 2t
0 f (t ) > f (0) = 0
ở 2ứ
2
1
ổ pử ộ pử
Vi A, B, C ẻ ỗ 0; ữ è ờ0; ữ : A > 0 f ( A ) > F (0) = 0 sinA + tanA - A > 0 (1)
3
3
ố 2ứ ở 2ứ
Giỏo viờn: Lấ B BO
0, n ẻ * : e > 1 + x + +
2! 3!
n!
Bi gii: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Khi n = 1, ta có: ex > 1 + x (Đúng)

Giả sử b.đ.t đúng với n = k , nghĩa là: e x > 1 + x +


x
(x > 0)
>
2) tan x > x +
3)
1) tanx > x ỗ 0 < x < ữ


ổ pử
2 , x ẻ ỗ 0; ữ
ố 2ứ
x +1

c. CMR: 2

3sinx

+2

tanx

>2

3
x +1
2

ổ pử
, x ẻ ỗ 0; ữ
ố 2ứ

Bi tp 3: Chng minh cỏc bt ng thc sau:
pử
tana a ổ
1)


î x + 3 x - 9 x - 10 > 0

Trang 10

Tổ Toán THPT Phong Điền