i

MỤC LỤC

Mở đầu

1

Chương 1. Các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ

3

1.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ

4

. . . . . . . . . . .

Chương 2. Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với
các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ

8

2.1. Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn

8


martingale, phụ thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ thuộc theo khối, phụ thuộc
âm, phụ thuộc dương, liên kết âm, liên kết dương, mixing,...
Khái niệm các biến ngẫu nhiên liên kết âm đã được giới thiệu bởi Alam và
Saxena [1]. Sau đó, Joag-Dev và Proschan [8] đã chứng minh nhiều tính chất
quan trọng của các biến ngẫu nhiên liên kết âm và chỉ ra nhiều phân phối quan
trọng trong thống kê có tính chất liên kết âm. Gần đây, Ko, Kim và Han [9] đã
phát triển khái niệm liên kết âm cho các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực sang
trường hợp các véc tơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian véctơ thực Rd ,
trường hợp các véc tơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert thực


2

khả ly và họ đã thu được sự hội tụ hầu chắc chắn cho các véctơ ngẫu nhiên liên
kết âm. Công cụ chìa khóa để họ nghiên cứu sự hội tụ hầu chắc chắn là một bất
đẳng thức moment đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm có kỳ vọng không.
Bất đẳng thức moment của Ko, Kim và Han [9] tiếp tục được sử dụng bởi Miao
[14] khi chứng minh bất đẳng thức cực đại Hájek-Rényi và bởi Thanh [17] khi
thiết lập luật mạnh số lớn.
Trong đề tài này, chúng tôi tập trung nghiên cứu về tốc độ hội tụ trong luật
mạnh số lớn đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Chúng tôi
cũng chỉ ra rằng lớp các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ thực sự rộng
hơn lớp các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm được giới thiệu bởi Ko, Kim và Han
[9]. Hơn nữa, bất đẳng thức moment trong [9] đã được nâng cấp.
Các kết quả của đề tài đã được báo cáo tại Đại hội Toán học Việt Nam lần
thứ 8 (Trường Sĩ quan Thông tin, 8/2013) và đã được viết thành một bài báo
khoa học:
Nguyen Van Huan, Nguyen Van Quang and Nguyen Tran Thuan, BaumKatz type theorems for coordinatewise negatively associated random vectors in
Hilbert spaces, Acta Mathematica Hungarica (accepted, February 2014).
Về cấu trúc, ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, phần

n → ∞. Với A là một tập hợp, |A| là lực lượng của tập hợp A. H là một không

gian Hilbert thực, khả ly với phép nhân trong ·, · và chuẩn

· . Biến ngẫu

nhiên được hiểu là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị thực, véctơ ngẫu nhiên
được hiểu là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian véctơ thực
Rd hay không gian Hilbert thực khả ly. Với X là một phần tử ngẫu nhiên,
kỳ vọng và phương sai của X lần lượt được ký hiệu bởi EX và VarX . Ta
nói X có kỳ vọng không thay cho cách viết EX = 0. Với {ej , j

1} là một

cơ sở trực chuẩn của H và X là một véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H ,
X, ej sẽ được ký hiệu bởi X (j) .

Giả sử {Xn , n

1} là các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H . Khi đó,


4

cấu trúc của {Xn , n

1} được thể hiện dưới dạng mảng hai chiều các biến ngẫu

nhiên như sau:


(d)
...
... Xn
... ... ...,

trong đó Xn(d) là biến ngẫu nhiên với mọi n
Giả sử {X, Xn , n

1 và d

1.

1} là các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H . Ta xét

bất đẳng thức kẹp sau đây
C1 P(|X

(j)

| > t)

1
n

n

P(|Xk(j) | > t)

C2 P(|X (j) | > t).


Theo Alam và Saxena [1], họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên {Yi , 1

i

n}

được gọi là họ các biến ngẫu nhiên liên kết âm nếu với mọi tập con A, B rời
nhau của tập {1, 2, ..., n}, với mọi hàm f, g không giảm theo tọa độ và tương ứng
xác định trên R|A| , R|B| thì
Cov f (Yi , i ∈ A), g(Yj , j ∈ B)

0

với điều kiện hiệp phương sai tồn tại. Họ vô hạn các biến ngẫu nhiên được gọi
là họ các biến ngẫu nhiên liên kết âm nếu mọi họ con hữu hạn của họ này đều
liên kết âm.


5

Ko, Kim và Han [9] đã phát triển khái niệm liên kết âm cho các biến ngẫu
nhiên nhận giá trị thực sang trường hợp véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong
không gian Hilbert thực khả ly. Để làm được điều này, các tác giả đã đưa ra
khái niệm các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian véctơ
thực Rd . Họ hữu hạn các véctơ ngẫu nhiên {Xi , 1

n} nhận giá trị trong

i



1

1.

Trong định nghĩa tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách định nghĩa khá
đơn giản về khái niệm các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không
gian Hilbert thực khả ly. Chú ý rằng, khái niệm này tổng quát hơn khái niệm
các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm được đề cập trong Định nghĩa 1.2.1.
1.2.2 Định nghĩa. Họ {Xn , n

1} các véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong H

được gọi là họ các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nếu với mỗi j
(j)

{Xn , n

1,

1} là họ các biến ngẫu nhiên liên kết âm.

Hiển nhiên, các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm là các véctơ ngẫu nhiên liên kết
âm theo tọa độ. Tuy nhiên, nói chung, điều ngược lại không đúng. Ví dụ sau
đây sẽ cho ta thấy điều này.


6
2), {Yn , n = 1, 2, ..., d}



1. Khi đó ta có

n

E Xi 2 , n

Xi
i=1

2

(1.2.1)

1.

i=1

Nhớ rằng Bổ đề 1.2.4 cần được nâng cấp. Sự hạn chế của bổ đề này sẽ được
chỉ ra trong ví dụ sau.
1.2.5 Ví dụ. Giả sử {X, Xn , n

1} là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân

phối, có kỳ vọng không và moment cấp hai hữu hạn. Khi đó
k

E

max

2

Do đó, nếu ta xét X là biến ngẫu nhiên đối xứng, nhận giá trong tập {−1; 1} thì
E|X22 + 2X1 X2 | = |EX22 + 2E(X1 X2 )|. Vì vậy (1.2.1) sai.


7

Mệnh đề sau đây sẽ tổng quát và nâng cấp Mệnh đề 1.2.4. Kết quả này đã
được chứng minh bởi Shao [16] trong trường hợp các biến ngẫu nhiên liên kết
âm nhận giá trị thực.
1.2.6 Mệnh đề. Giả sử {Xn , n

1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo
2

tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong H và E Xn

< ∞, n

1. Khi đó

ta có
k

E

n

2

2

=E

k

max

1 k n

i=1

2

Xi , ej
j=1

i=1

∞

k

max

E

1 k n

j=1

max

1 k n

(j)
Xi

i=1

k

2

;

i=1

1 k n

∞

2

+

(j)

2

− Xi

n

E Xi 2 .

=2
i=1

Do đó, mệnh đề được chứng minh.
1.2.7 Nhận xét. Từ Mệnh đề 1.2.6 và lược đồ chứng minh Định lý 3.4 của Ko,
Kim và Han [9], điều thú vị dễ nhận thấy là kết quả chính trong [9] (cũng như
Miao [14, Định lý 3.2 và Định lý 3.3], Thanh [17, Định lý 2.2 và Định lý 3.1])
không chỉ đúng cho lớp các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm mà còn đúng cho lớp
rộng hơn - lớp các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ.


8

CHƯƠNG 2
TỐC ĐỘ HỘI TỤ
TRONG LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI CÁC VÉCTƠ
NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM THEO TỌA ĐỘ

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu điều kiện cần và đủ cho tốc độ hội
tụ trong luật mạnh số lớn đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ.
Kỹ thuật được sử dụng để chứng minh các kết quả này là kỹ thuật chặt cụt đơn
điệu. Chúng tôi cũng đề cập một số nhận xét và ví dụ để làm sáng tỏ hơn cho
các kết quả chính và những vấn đề liên quan.

2.1. Tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn
Hsu và Robbins [7] đã giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ và chứng minh rằng

∞

k=1
αr−2

(c)

Xk > εnα < ∞ với mọi ε > 0.

P

n
n=1

1
P sup α
k nk

k

Xl > ε < ∞ với mọi ε > 0.
l=1

Định lý 2.1.1 đã được nghiên cứu cho nhiều lớp biến ngẫu nhiên phụ thuộc
khác nhau. Đối với trường hợp các biến ngẫu nhiên liên kết âm, một số kết
quả quan trọng thuộc về Shao [16], Kuczmaszewska [10], Baek, Choi và Niu [2],
Kuczmaszewska và Lagodowski [11], cùng với một số tác giả khác.
Dựa vào công cụ chìa khóa là bất đẳng thức moment được đề cập trong Mệnh
đề 1.2.6, trong định lý sau đây, chúng tôi thiết lập tốc độ hội tụ trong luật mạnh
số lớn đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ.

max

1 k n

(2.1.2)

l=1

Để chứng minh Định lý 2.1.2, ta cần bổ đề dưới đây. Chú ý rằng, việc chứng
minh bổ đề này khá đơn giản trong trường hợp H hữu hạn chiều.
2.1.3 Bổ đề. Giả sử p, r, α là các số thực dương (r < p; αr > 1), X là một véctơ
ngẫu nhiên nhận giá trị trong H và thỏa mãn điều kiện (2.1.1). Khi đó
∞

∞

nα(r−p)−1 E (X (j) )p I(|X (j) |
j=1 n=1

nα ) < ∞.


10

Chứng minh (Bổ đề 2.1.3). Ta có
∞

∞

nα(r−p)−1 E (X (j) )p I(|X (j) |


(j) r

E|X |

I1

n=1

j=1

Tiếp theo ta sẽ chỉ ra I2 < ∞. Thật vậy,
∞

∞

nα
α(r−p)−1

I2 = p

xp−1 P |X (j) | I(1 < |X (j) |

n

0

j=1 n=1
∞ ∞


(j) r

∞

E|X |

n

α(r−p)−1

n
α(r−p)−1

P |X (j) | > k α k pα−1

n

+C

n=1

j=1

∞

j=1 n=1

k=1

∞

k

k=1

C
=
α(p − r)

1

pα−1

xα(p−r)+1

∞

k αr−1 P |X (j) | > k α
k=1

dx


11
∞

∞

k

=C


1, đặt
(j)

(j)

nα ) + nα I(Xk > nα ) − nα I(Xk < −nα );
∞
(j)

Ynk ej .

Ynk =
j=1

Khi đó, với mọi ε > 0,
∞

k

n

αr−2

P

n=1
∞

=


nαr−2 P max max |Xk | > nα
1 k n j 1

n=1
∞

+

k

n

αr−2

n=1
∞

P
∞

(j)

Ynl ej > εnα

max

1 k n

l=1 j=1

Ynl > εnα

max

1 k n

l=1

nαr−1 P(|X (j) | > nα )

C

(sử dụng (1.1.1))

j=1 n=1
∞

+

k

n

αr−2

n=1
∞

+


ra được J1 < ∞.
(j)
,k
Dễ thấy rằng {Ynk

do đó {Ynk , k

1} là các biến ngẫu nhiên liên kết âm với mọi j

1,

1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Từ bất đẳng

thức Markov và Mệnh đề 1.2.6 ta có
∞

J2

k
α(r−2)−2

C

n
n=1
∞

1 k n

n=1

∞ ∞

=C

E Ynk

2

k=1
n

n

(j) 2
E(Ynk
) .

α(r−2)−2

j=1 n=1

k=1

(j) 2
(j)
(j)
(j)
Nhớ rằng E(Ynk
) = n2α P(|Xk | > nα ) + E (Xk )2 I(|Xk |



nα )

n=1
∞

nαr−1 P(|X (j) | > nα ).

+C
n=1

Vì các hằng số trên không phụ thuộc vào j nên Bồ đề 2.1.3 đảm bảo rằng J2 < ∞.
Để chứng minh J3 < ∞, ta chỉ cần chỉ ra J4 = o(1), trong đó
1
J4 = α max
n 1 k n

Nhận xét rằng EXl(j) = 0 với mọi l
J4

1
max
nα 1 k n

∞

k

EYnl(j)
j=1


l=1

∞

k

α

n )

C

j=1

(j)

j=1 k=1

n P |X (j) | > nα
j=1

l=1
∞

n P |X (j) | > n1/r
j=1

j=1
∞


j=1

Vì vậy J3 < ∞. Định lý được chứng minh.
2.1.4 Nhận xét. Từ (2.1.2) và Bồ đề 4 của Lai [12] ta có
∞
αr−2

n
n=1

1
P sup α
k nk

k

Xl > ε < ∞ với mọi ε > 0.
l=1

Khi đó, theo bổ đề Kronecker,
1
P sup α
k nk

k

Xl > ε = o n1−αr

với mọi ε > 0.

1, t

0.

j=1

Phần chứng minh của Nhận xét 2.1.5 là tương tự như đối với Định lý 2.1.2
với một số thay đổi nhỏ nên sẽ không được đề cập.
2.1.6 Nhận xét. Trong trường hợp 0 < r < 1, kết luận của Định lý 2.1.2 vẫn
đúng mà không cần đến giả thiết các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ
và kỳ vọng không.


14

Chứng minh. Từ những lập luận được đề cập ở phần đầu trong chứng minh của
Định lý 2.1.2, nhận xét trên là rõ ràng nếu ta chỉ ra được
∞

k
αr−2

n

Ynl > εnα < ∞ với mọi ε > 0.

max

P


C

k=1
n

P(|Xk(j) | > nα )

nαr−2

=C
j=1 n=1
∞ ∞

k=1
n

n

+C
j=1 n=1
∞

E |Xk(j) |I(|Xk(j) |

nα )

nα(r−1)−1 E |X (j) |I(|X (j) |

nα )



P

j=1 n=1
∞
αr−1

n

P(|X (j) | > nα ) < ∞

(từ Bổ đề 2.1.3).

j=1 n=1

Vì vậy (2.1.3) đúng.
Dưới các giả thiết của Định lý 2.1.2, (2.1.1) kéo theo (2.1.2). Một câu hỏi tự
nhiên được đặt ra là điều ngược lại có đúng không. Câu trả lời trong trường hợp
này là không (xem Ví dụ 2.2.1 trong mục tiếp theo). Vậy điều kiện nào sẽ đảm
bảo cho (2.1.1) đúng? Định lý sau đây sẽ giải quyết vấn đề này.
2.1.7 Định lý. Giả sử r, α là hai số thực dương thỏa mãn αr

1, {Xn , n

1}

là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị
trong H và bị chặn yếu theo tọa độ bởi véctơ ngẫu nhiên X với
∞



max

P

(2.1.5)

l=1

thì (2.1.1) đúng.
Chứng minh. Vì (2.1.4) đúng nên
∞

∞

∞

(j) r

(j) r

(j)

E |X | I(|X |

E|X | =

j=1

j=1

(k + 1)α

n=1

nαr−1 P |X (j) | > nα .

=C +C
j=1 n=1

Do đó, ta chỉ cần chứng minh
∞

∞

nαr−1 P |X (j) | > nα < ∞.

(2.1.6)

j=1 n=1

Trước hết, ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại số nguyên dương n0 để
∞

∞
(j)

α

P |X | > n


n

=

P |Xk(j) | > nα ;

max

l=k;1 l n

|Xl |

P |Xk(j) | > nα ;

max

|Xl | > nα

k=1
n

+
k=1

l=k;1 l n

P max |Xk(j) | > nα + K1 .
1 k n

(j)

(j)

(j)

I(|Xk | > nα ) − P(|Xk | > nα ) I max |Xl | > nα )

=E

1 l n

k=1
n

P(|Xk(j) | > nα ) I max |Xl(j) | > nα

+E

1 l n

k=1

(j)

K2 + C2 n P(|X (j) | > nα ) P max |Xl | > nα .

(2.1.9)

1 l n

(j)

I(Xk

2Var

>

nα )

(j)

I(Xk < −nα )

+ 2Var

k=1

P max |Xl(j) | > nα
1 l n

k=1

n

n

Var

2

(j)


P(|Xk(j) | > nα ) +
k=1

a
P max |Xl(j) | > nα
2
1 l n

2C2 n
a
P(|X (j) | > nα ) + P max |Xl(j) | > nα ,
a
2
1 l n

(2.1.10)

trong đó a > 4C2 /C1 . Kết hợp (2.1.8)-(2.1.10), ta thu được
C1 −

2C2
n P(|X (j) | > nα )
a

1+

a
P max |Xk(j) | > nα
2

∞
n(αr−1)

2
n=1

(j)

max n |Xk | > ε 2nα

P

1 k 2

j=1

∞

2n+1 −1

∞

C

(j)

max n |Xk | > ε 2nα

P



P

1 k m
(j)

max |Xk | > (ε/2α )nα < ∞.

1 k n

Điều này đảm bảo rằng
∞

P max |Xk(j) | > nα = o(1),
1 k n

j=1

nên tồn tại số nguyên dương n0 sao cho
∞

2
a

P max |Xl(j) | > nα
1 l n

j=1

với mọi n > n0 .


n

αr−1

∞

nαr−1 P |X (j) | > nα

+
j=1 n=n0 +1

n

P |Xk(j) | > nα

nαr−2

C

α

P |X | > n

j=1 n=1
∞ n0

j=1 n=1
∞
∞

này cũng như vai trò của hai điều kiện (2.1.4), (2.1.5) (xem chi tiết ba ví dụ
2.2.2-2.2.4 trong mục tiếp theo).
Nhớ rằng nếu r

2 thì điều kiện (2.1.1) mạnh hơn điều kiện

E X

r

< ∞.

(2.1.13)

Tuy nhiên, trong trường hợp đặc biệt khi H hữu hạn chiều thì (2.1.1) và (2.1.13)
tương đương. Hơn nữa, ta có hệ quả sau đây.
2.1.8 Hệ quả. Giả sử r, α là hai số thực dương (1
gian Hilbert thực hữu hạn chiều, {Xn , n

r < 2; αr > 1), H là không

1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm

theo tọa độ, có kỳ vọng không, nhận giá trị trong H và bị chặn yếu theo tọa độ
bởi véctơ ngẫu nhiên X . Khi đó (2.1.1), (2.1.2), (2.1.5), (2.1.13) là tương đương.
Chứng minh. Vì H hữu hạn chiều nên (2.1.4) đúng. Hơn nữa, (2.1.1) và (2.1.2)
lần lượt tương đương với (2.1.13) và (2.1.5). Phần chứng minh còn lại của hệ
quả được suy ra từ các định lý 2.1.2 và 2.1.7.

2.2. Một số ví dụ


2

2

1}

thỏa mãn

là không gian dạng 2 nên nó cũng

2 (xem chi tiết trong Pisier [15] về không


19

Khi đó, với mọi ε > 0,
∞

k

n

αr−2

Xl > εnα

max

P

max

1 k n

∞

p

n
n=1

l=1
∞

p

p/2

1

nα(r−p)−1 E
n=1

E Xk
k=1

∞

=C


ta không thể bỏ điều kiện (2.1.4) hoặc thậm chí thay thế nó bởi điều kiện yếu
hơn E |X (j) |r I(|X (j) |

1) = o(1) khi j → ∞.

2.2.2 Ví dụ. Giả sử p, r là hai số thực dương (r < p
{Xn , n

2; p

1). Ta xét dãy

1} như trong Ví dụ 2.2.1. Khi đó, với mọi ε > 0,
∞

∞

k

n

αr−2

j=1 n=1
∞

P

(j)


p

Xl

n

j=1 n=1
∞ ∞

=C

(j)

max

1 k n

nα(r−p)−2

C

> εnα

Xl

1 k n

E|X1(j) |p

=C


lập, cùng phân phối thỏa mãn E|Y1 |r/2 = ∞, |Yn | < ∞ với mọi n
n

1. Với mỗi

1, đặt
∞
(j)
Xn

r/2

= Yn I(j − 1

|Yn |

< j),

j

(j)

Xn e j ,

1; Xn =
j=1

trong đó {ej , j
(j)

< ∞, EXn = E

X n ej

= 0,

n

1

j=1

1} là các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, có kỳ vọng

không, nhận giá trị trong

2

và bị chặn yếu bởi X1 . Nhận thấy

∞

E |X1(j) |r I(|X1(j) |

(1)

(1)

1)


max

1 k n

Xl
l=1
∞

P

(j)
|X1 |

2/r

>n

j=1 n=1
∞
∞

> εnα

∞

P |X1(j) |r/2 > n

=
n=1 j=1


đúng.
2.2.4 Ví dụ. Giả sử 0 < s < r < 2, {Xn , n
cùng phân phối, nhận giá trị trong
j

2

1} là các véctơ ngẫu nhiên độc lập,

thỏa mãn P X1(j) = ±j −1/s = 1/2 với mọi

1. Bằng những lập luận tương tự như đối với Ví dụ 2.2.2, ta có thể chỉ ra

được rằng hai điều kiện (2.1.4) và (2.1.5) được thỏa mãn.


22

KẾT LUẬN

Đề tài tập trung nghiên cứu về tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối với
các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Đề tài đã thu được các kết quả
sau đây:
- Giới thiệu khái niệm các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ và chỉ ra
rằng khái niệm này tổng quát hơn khái niệm véctơ ngẫu nhiên liên kết âm của
Ko, Kim và Han [9];
- Thiết lập bất đẳng thức moment đối với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm
theo tọa độ, kết quả này nâng cấp một kết quả trước đó trong [9];
- Cung cấp điều kiện cần và đủ cho tốc độ hội tụ trong luật mạnh số lớn đối
với các véctơ ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ;

[10] A. Kuczmaszewska, On complete convergence in Marcinkiewicz-Zygmund
type SLLN for negatively associated random variables, Acta Math. Hungar.,
128 (2010), 116–130.
[11] A. Kuczmaszewska and Z. A. Lagodowski, Convergence rates in the SLLN
for some classes of dependent random fields, J. Math. Anal. Appl., 380
(2011), 571–584.
[12] T. L. Lai, Convergence rates and r-quick versions of the strong law for
stationary mixing sequences, Ann. Probability, 5 (1977), 693–706.
[13] P. Matula, A note on the almost sure convergence of sums of negatively
dependent random variables, Statist. Probab. Lett., 15 (1992), 209–213.
[14] Y. Miao, Hájek-Rényi inequality for dependent random variables in Hilbert
space and applications, Rev. Un. Mat. Argentina, 53 (2012), 101–112.
[15] G. Pisier, Probabilistic methods in the geometry of Banach spaces. Probability and analysis, Lecture Notes in Math. 1206, Springer (Berlin, 1986).
[16] Q. M. Shao, A comparison theorem on moment inequalities between negatively associated and independent random variables, J. Theoret. Probab., 13
(2000), 343–356.
[17] L. V. Thanh, On the almost sure convergence for dependent random vectors
in Hilbert spaces, Acta Math. Hungar., 139 (2013), 276–285.