CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP- TỰ DO- HẠNH PHÚC
----------

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG QUY TRÌNH BỐN
BƯỚC CỦA G.POLYA VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 12

Các tác giả:
Th.s Trần Quang Vinh
Th.s Lê Thị Hòa Bình
Đơn vị công tác: Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Ninh Bình, tháng 5 năm 2015


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GTLN : giá trị lớn nhất
GTNN

: giá trị nhỏ nhất

GV

: Giáo viên

HS


VTCP

: Véc tơ chỉ phương

VTPT

: Véc tơ pháp tuyến


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Giải bài tập là một trong những tình huống dạy học điển hình.
Nhờ quá trình này, người học hiểu được bản chất của kiến thức, có khả
năng vận dụng linh hoạt tri thức và phương pháp đã học, qua đó phát
triển năng lực tư duy. Chỉ có thông qua các bài tập ở hình thức này hay
hình thức khác, mới tạo đk cho HS vận dụng linh hoạt những kiến thức
đã học để giải quyết thành công những tình huống cụ thể khác nhau và
những kiến thức đó mới trở nên sâu sắc, trở thành vốn riêng của HS.
Yêu cầu phát triển của đất nước trong thời kì mới đòi hỏi các nhà
trường phải đào tạo được những con người có kiến thức, có năng lực tư
duy, hoạt động một cách tự giác, tích cực chủ động và sáng tạo. Để đạt
được mục tiêu trên, cần đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục nói
chung và phương pháp giảng dạy từng bộ môn nói riêng theo hướng
tiếp cận năng lực của HS. Trong dạy học môn toán, nói riêng là giảng
dạy hình học tọa độ trong không gian, bản thân nội dung môn học đã
có tính chất khái quát, trừu tượng khá cao, là môi trường tốt để người

giải bài toán về “Tọa độ trong không gian” theo quy trình của G.Polya,
từ đó phát triển năng lực vận dụng quy trình này trong giải toán cho
HS.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Phương pháp điều tra – khảo sát
- Thực nghiệm sư phạm
5. Đối tượng nghiên cứu
Quá trình dạy học có vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya để
giải bài toán “Tọa độ trong không gian” lớp 12 THPT.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu GV biết cách hướng dẫn HS tìm lời giải bài toán về tọa độ
trong không gian theo bốn bước của G.Polya thì góp phần phát triển
năng lực giải toán cho HS: HS có kĩ năng giải toán tốt hơn và học được
cách suy nghĩ tìm lời giải dạng toán này ở trường THPT.
7. Cấu trúc
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, sáng kiến gồm hai chương.
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Chương 2: HƯỚNG DẪN HS TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN THEO QUY TRÌNH BỐN BƯỚC CỦA G.POLYA

5


Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Năng lực giải toán
1.1.1. Quan niệm về năng lực và năng lực giải toán
Năng lực thường xét đến năng lực hành động, là khả năng thực
hiện hiệu quả một nhiệm vụ/một hành động cụ thể, liên quan đến một

+) Tranh luận về các nội dung toán học;
+) Vận dụng các cách trình bày toán học;
+) Sử dụng các ký hiệu, công thức, các yếu tố thuật toán.
1.1.2. Nhiệm vụ phát triển năng lực giải toán cho HS

6


Xu thế đổi mới phương pháp dạy học trong những năm tới là dạy
học định hướng phát triển năng lực, vì vậy nhiệm vụ phát triển năng
lực giải toán cho HS là cần thiết và phù hợp với xu hướng đổi mới
phương pháp dạy học.
Năng lực giải toán là khả năng thực hiện bốn bước trong phương
pháp chung để giải bài toán của G.Polya. Phát triển năng lực giải toán
cho HS chính là rèn luyện cho họ có ý thức, thói quen và thực hiện có
hiệu quả các bước giải đó.
Phát triển năng lực giải toán hình học cho HS bằng phương pháp
tọa độ đóng góp một phần vào phát triển năng lực giải toán nói chung.
Cần phải tập luyện cho HS biết phân loại các bài toán, rèn luyện để họ
thực hiện linh hoạt, độc lập và sáng tạo các bước trong quy trình giải
loại bài toán đó.
Một điểm đáng chú ý nữa là: "Trong quá trình giải bài tập toán, cần
khuyến khích HS tìm nhiều cách giải cho một bài toán. Mọi cách giải đều
dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều
cách giải là luyện tập cho HS biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều
khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư
duy. Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay
nhất, đẹp nhất...” [6].
1.2. Dạy học giải toán
1.2.1. Vai trò của bài tập Toán

dễ hơn có liên quan, một trường hợp riêng, tương tự, tổng quát hơn?
Hãy giữ lại một phần giả thiết khi đó ẩn được xác định đến chừng mực
nào? Từ các điều đó bạn có thể rút ra được điều gì có ích cho việc giải
bài toán? Với giả thiết nào thì bạn có thể giải được bài toán này?
- Bạn đã tận dụng hết giả thiết của bài toán chưa?
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
Thực hiện lời giải mà bạn đã đề ra. Bạn có nghĩ rằng các bước là đúng?
Bạn có thể chứng minh nó đúng?
Bước 4: Nhìn lại
- Bạn có nghĩ ra một hướng khác để giải bài toán? Lời giải có ngắn hơn,
đặc sắc hơn.
- Bạn đã áp dụng cách giải đó cho bài toán nào chưa?
- Bạn có thể áp dụng bài toán này để giải các bài toán khác đã biết?
1.3. Giải pháp cũ thường làm
Khi dạy học giải bài tập toán thông thường GV không tuân thủ
theo 4 bước giải bài tập: Ở bước 1, thường chỉ dừng lại ở việc đọc đề
bài, không tìm hiểu rõ cái đã cho, cái cần tìm. Ở bước 2, GV thường

8


cung cấp lời giải sau đó giải thích hoặc gọi HS nêu hướng làm, ít có gợi
ý, hướng dẫn để HS tìm ra lời giải hoặc hướng dẫn theo kiểu dắt tay chỉ
việc. Ở bước 4, đa phần GV không hướng dẫn HS kiểm tra lại kết quả
bài toán cũng như lời giải, không hướng dẫn để HS tìm ra nhiều cách
giải, không xét bài toán đặc biệt, tương tự, khái quát hay đề xuất bài
toán khác.
*) Ưu điểm:
Nhanh chóng, đỡ tốn thời gian, GV không phải chuẩn bị nhiều, không cần chuẩn bị hệ
thống câu hỏi gợi ý, không phải tạo ra các bài toán khác liên quan, không phải đầu tư quá

bài tập. Làm rõ bước 1, đề xuất hệ thống câu hỏi hướng dẫn tìm lời giải
cho tất cả các bài tập đã lựa chọn chữa trong chương, nghiên cứu lời
giải, đề xuất các cách giải khác, đề xuất bài tập liên quan. Làm sáng tỏ
lí luận 4 bước dạy học giải bài tập, đã khai thác gần như triệt để toàn
bộ chương phương pháp tọa độ trong không gian.
+) Ở bước 4, đã đưa ra hệ thống bài tập khá toàn diện, phù hợp, lôgic
làm rõ hơn, sâu hơn bước 4 mà G.Polya đã đưa ra.
+) Lựa chọn bài tập để dạy cho phù hợp, bài tập vừa gần gũi, thiết
thực vừa dễ khai thác, dễ phát triển tư duy, mang tính đa dạng.
+) Các ví dụ được sắp xếp theo từng vấn đề, từng dạng bài, mang tính
hệ thống cao. Các vấn đề đưa ra bao quét gần hết các dạng bài toán
trong chương, mang tính cập nhật.
*) Ưu điểm:
+) Khi làm rõ bước 1 sẽ giúp HS hiểu rõ bài toán, ham thích bài toán, rèn thói quen đọc
kĩ đề khi làm bài, giúp định hướng cho việc tìm lời giải.
+) Thông qua hệ thống câu hỏi mà GV đã chuẩn bị, HS có thể liên
tưởng, nhớ lại cách làm bài tương tự, kiến thức liên quan…để tìm ra lời
giải, HS không phải bị áp đặt lời giải.
HS là người chủ chốt tham gia vào quá trình tìm ra lời giải, HS có điều kiện hiểu được
cách suy nghĩ để tìm ra lời giải bài toán, được trải nghiệm nhiều hơn. Hơn thế, HS còn
được học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện. Thông qua hệ
thống câu hỏi lúc đầu do GV đưa ra, dần dần HS biết tự đặt ra câu hỏi, cách suy nghĩ
phù hợp để giải quyết một bài toán khác. HS học sáng tạo, không phải nhớ máy móc.
+) Qua bước 4, giúp HS: Kiểm tra sự chính xác của kết quả, của lập luận trong lời giải,
rèn tính cẩn thận. Tìm ra những cách giải khác, có thể ngắn gọn hơn lời giải đã tìm ra
cũng có thể có cách giải dài hơn, phức tạp hơn nhưng quan trọng HS đã nhìn bài toán với
những khía cạnh khác nhau, khai thác khác nhau. HS có cơ hội được sáng tạo, có thể với
cách giải không tối ưu trong bài toán này nhưng lại giúp ích cho người học tìm ra lời giải
với bài toán khác. HS thấy được mối liên hệ với các bài toán đặc biệt, tương tự, khái
quát, bài toán có liên quan. HS biết cách tạo ra các bài toán tương tự, khái quát giúp phát

GV: Em có thể vẽ hình minh họa bài toán không?
HS:
Vẽ
hình

1.

Hình 1
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán
GV: Ta có những cách nào để lập phương trình mặt phẳng?
HS: Cách 1: Xác định một điểm và một VTPT.
Cách 2: Tìm các hệ số của PTTQ.
GV: Theo cách 1, ta cần xác định mấy yếu tố? Là những yếu tố nào?
HS: Cần xác định hai yếu tố: một điểm và một VTPT.
GV: Đk (P) chứa d giúp gì cho việc tìm 2 yếu tố trên?

11


uu
r uu
r
n
⊥
u
P
d
HS: Đk (P) chứa d: M thuộc đường thẳng d thì M thuộc Mp (P);
GV: ĐK (P) vuông góc với (Q) thì có mối liên hệ gì về VTPT của (P) với
VTPTuu

P
Q
d ;
Cách 2: Gọi tọa độ của VTPT, từ P
lập hệ 2 pt 3ẩn rồi chọn
bộ số phù hợp.
Bước 3:uu
Trình
bày lời giải bài toán uur
r
u = 1; 2;1)
n = 3;1;2 )
Ta có: d (
là một VTCP của d, Q (
là một VTPT của (Q).
uu
r uu
r uur
u
u
r
u
u
r
u
u
r
u
u
r

hay a + 2b + c = 0 (1)
uu
r uu
r
nP ⊥ nQ = ( 3;1; 2 )
Vì (P) (Q) nên
hay 3a + b + 2c = 0 (2)
Từ (1) và (2) ta được: c = -5b; a = 3b. Chọn b = 1 thì a = 3; c = -5
uu
r
n
Vậy (P) qua M và nhận P = (3;1;-5) là một VTPT nên có PT: 3x+y-5z4=0.

12


Nghiên cứu tiếp bài toán:
Trong bài toán trên nếu thay đổi cách cho từng đk thì ta sẽ có các bài
toán tương tự.
Với đk (P) chứa đt d, với đt d được xác
định bởi:
+) d qua hai điểm.
+) d qua một điểm và song song với đt
d’.
+) d qua một điểm và song song với
BC.
+) d là giao tuyến của hai mặt phẳng.

Với đk thứ hai, MP (Q) được xác
định:

Bài 1.1.2. Cho điểm A(1;2;0). Lập PT mặt phẳng đi qua điểm A, song
song với d và vuông góc với MP (Q) trong các trường hợp sau:
a) MP (Q): 2x+2y+z-9=0.
b) (Q) qua ba điểm B(1;0;0), C(0;1;-2), D(2;3;5).

x − 2 y z +1
= =
−
1
2
1
c) (Q) qua điểm B(1;0;0) và chứa đt d’:
x−2 y+2 z
x − 4 y + 3 z −1
=
=
=
=
1
2 .
2
1 , d2: 3
d) (Q) chứa d1 và d2 với d1: 1

Bài 1.1.3. Cho A(1;2;0), B(-1;-1;0), C(0;1;2). Lập PT mặt phẳng đi qua
điểm A, song song với BC và vuông góc với Mp (Q) trong các trường
hợp sau:
a) MP(Q): 2x+2y+z-9=0
b) (Q) qua ba điểm D(1;0;0), E(0;1;-2), F(2;3;5).
c) (Q) qua điểm D(1;0;0) và chứa đt d.

HS: 

Bài toán này thuộc dạng: Lập ptMp (P) đi qua một điểm và xác
định được VTPT thông qua đk VTPT vuông góc với hai véc tơ không
cùng phương đã biết. Có thể thay đổi đk xác định của VTPT để có
những bài toán tương tự, chẳng hạn như Mp (P) qua A và
+) (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q), (R).
+) (P) vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng (Q), (R).
+) (P) chứa đường thẳng d (A không thuộc d).
+) (P) qua hai điểm B, C.
+) (P) song song với hai đt d1, d2.
Như vậy, ta có thể khai thác một bài toán để đề xuất những bài
toán tương tự bằng cách thay đổi mỗi yếu tố trong bài toán. Chẳng
hạn:
- Thay đt d có PT cho trước bởi hai điểm phân biệt; một điểm và một
VTCP; giao tuyến của hai mặt phẳng…
- Thay góc α cho trước bởi một góc bất kỳ như: 30 0; 450; 900; góc bé
nhất; góc lớn nhất.
- Thay góc giữa MP với MP bởi góc giữa MP với đt, góc giữa hai đt.
- Thay PT Mp(Q) cho trước bởi (Q) qua ba điểm phân biệt không thẳng
hàng; hai đt song song; hai đt cắt nhau; một điểm nằm ngoài một đt.
- Thay khoảng cách từ điểm đến MP bằng một số cho trước bởi khoảng
cách từ MP đến điểm này bằng k lần khoảng cách từ MP đến điểm, thay
khoảng cách từ MP đến điểm bởi khoảng cách từ MP đến đt, giữa hai
MP…
Bài tập vận dụng:

14



HƯỚNG DẪN HS VẬN DỤNG QUY TRÌNH CỦA G.POLYA
TRONG GIẢI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Năng lực được thể hiện qua những kỹ năng; Năng lực vận dụng
quy trình giải toán của G.Polya vào giải toán “Tọa độ trong không gian”
cho HS lớp 12 THPT được thể hiện qua việc giải các dạng toán thuộc
nội dung chương 3 Hình học 12. Để phát triển năng lực này ở HS, GV
cần phải phân tích một số bài toán có tích chất làm mẫu. Trong đó GV
đặt ra các câu hỏi, các hoạt động để hướng đẫn HS tìm lời giải bài toán
trong những trường hợp cụ thể. Trên cơ sở đó HS sẽ tự luyện tập vận
dụng vào những bài toán mới.
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày theo thứ tự từng dạng
toán về tọa độ trong không gian. Trong mỗi dạng trình bày những
hướng dẫn vận dụng quy trình giải toán của G.Polya vào một số bài.
Sau đó là những bài toán để HS tự luyện. Do bước 1 khá đơn giản (chỉ

15


cần hiểu rõ giả thiết, kết luận, vẽ hình minh họa nếu có tuy nhiên vẫn
phải tiến hành) nên trong tài liệu này chúng tôi chỉ tập trung trình bày
bước 2 và bước 4, ở bước 3 chỉ trình bày vắn tắt lời giải.
Để ngắn gọn, trong tài liệu này ta mặc định xét trong hệ trục tọa
độ Đề-Các vuông góc Oxyz.
Trong chương này, chúng tôi xin trình bày 05 dạng toán thường
gặp là viết PT mặt phẳng, viết phương trình đường thẳng, viết phương
trình mặt cầu, tìm tọa độ điểm và bài toán cực trị.
2.1. Dạng toán về viết PT mặt phẳng
Với dạng toán về lập PT mặt phẳng, chúng tôi đưa ra một số bài toán:
1. Lập PTMP biết một điểm và cặp véc tơ chỉ phương.
2. Lập PTMP biết một điểm và tìm VTPT bằng cách lập hệ phương trình.

HS: Giả thiết cho PT đt d 1 và d2, cho quan hệ (P) chứa d 1, (P) tạo với d2
góc 300.
Yêu cầu lập phương trình mặt phẳng (P).

16


GV: Dữ liệu của bài toán có đủ để xác định Mp (P) không? (Đủ xác định
(P)).
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán
GV: Em có tìm được tọa độ một điểm trên (P) không? Nêu cách tìm?
HS: Có, đó là điểm bất kỳ trên d1.
GV: Em có tìm được ngay một VTPT của Mp(P) không? Hay có tìm thấy
cặp VTCP của Mp(P) không? Nếu chưa tìm được trực tiếp thì em phải
làm như thế nào?
HS: Không tìm được ngay VTPT của (P) cũng như không thấy ngay cặp
VTCP của Mp(P). (Nhớ lại cách giải 2 của bài 1). Gọi tọa độ của VTPT và
lập hệ PT để tìm tọa độ của VTPT.
GV: Dựa vào mối quan hệ của Mp (P) với hai đt, em cho biết các đẳng
thức véc tơ của VTPT của Mp(P) với các VTCP của 2 đt? Em có chuyển
được đẳng thức véc tơ đó sang đẳng thức tọa độ được không?
uu
r ur
uu
r uu
r
uu
r ur uu
r
n

r uu
r
n
,
u
0
0
Vì MP (P) tạo với d góc 30 nên sin30 = |cos( P 2 )|
2

2a + b − c

=

hay

1
2

6. a 2 + b 2 + c 2
(2)
Từ (1) ta có: b = a + c thế vào (2) và bình phương 2 vế của (2) ta được:
4(2a+a+c-c)2 =6[a2+(a+c)2+c2] 2a2 - ac - c2 =0 (*)
Nếu c = 0 thì a =0 do đó b =0 (loại)
Nếu c ≠ 0 thì chia 2 vế của (*) cho c2 ta được: 2x2 – x – 1 = 0 với x= a/c.
Ta được x = 1 hoặc x = -1/2.
Chọn a = 1 thì c = 1 hoặc c =-2. Với c = 1 thì b = 2, với c =-2 thì b =-1
uur
n
TH1: P = (1;2;1) thì (P): 1(x-1)+2(y-0)+1(z+1) = 0 hay x+2y+z=0.


2

2a + b − c
1
uu
r uu
r
=
6. a 2 + b 2 + c 2 2
sin300= |cos( nP , u2 )| hay
(2)
Làm tương tự như cách 1 ta được kết quả như cách 1.
Nghiên cứu tiếp bài toán: (Với hai đường thẳng d1, d2 trên)
Như đã trình bày trong ví dụ minh họa, có thể đề xuất các bài toán sau:
Bài 1.2.1. Lập PT Mp đi qua hai điểm A(1;0;-1), B(3;-2;1) và tạo với đt
d2 góc 300.
Bài 1.2.2. Cho A(0;2;-1), B(2;4;-3). Lập PT mặt phẳng chứa đt d1 và tạo
với AB một góc bằng 300.
Bài 1.2.3. Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1) ,C(0;2;-1), D(2;4;-3). Lập PT Mp đi
qua hai điểm A, B và tạo với CD một góc bằng 30 0.
Bài 1.2.4. Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1), C(0;2;-1), D(2;4;-3). Lập PT Mp đi
qua điểm M(1;0;3) và
a) song song với d1 đồng thời tạo với d2 góc 300.
b) song song với AB đồng thời tạo với d2 góc 300.
c) song song với đt AB và tạo với CD một góc 30 0 .
Bài 1.2.5. Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1), Mp(Q): 2x+y-z+9=0. Lập PT mặt
phẳng (P):
a) (P) chứa đt d1 và tạo với MP(Q) góc 600.
b) (P) qua hai điểm A, B và tạo với Mp(Q) góc 60 0.

liên quan đến góc, ta gọi tọa độ của VTPT cần tìm và giải hệ 2
PT để chọn được bộ số thích hợp.
Tương tự với bài toán liên quan đến góc trên, GV có thể hướng dẫn HS
giải bài toán liên quan đến khoảng cách, chẳng hạn xuất phát từ bài
toán:
Ví dụ 1.3. Lập PT mặt phẳng chứa đt d sao cho khoảng cách từ
x −1 y −1 z − 2
=
=
−1
1 . Bằng cách tương tự như
A(2;1;2) đến (P) bằng với d: 2

trên, có thể đề xuất các bài toán sau:
Bài 1.3.1. Cho A(2;1;2), M(1;1;2), N(3;0;3). d:

x +1 y − 2 z + 2
=
=
2
−1
1 . Lập PT

Mp (P)
1
a) đi qua hai điểm M, N và d(A,(P)) = 3 .
1
b) đi qua điểm M, song song với d và d(A,(P)) = 3 .

19

(Hình 2)
Nếu A, B nằm cùng phía với (P) thì (P) cắt AB tại I sao cho:.
(Hình 3)

Hình 2

Hình 3
x −1 y −1 z − 2
x − 2 y −1 z − 2
=
=
=
=
−1
1 :, d2: −2
−1
−1 . Lập PT mặt
Bài 1.3.4. Cho d1 2
phẳng (P) chứa đt d1, song song với d2 sao cho khoảng cách từ d2 đến
1
(P) bằng 3 .
Bài 1.3.5. Lập PT mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) (P) qua M(1;1;2), N(3;0;3) và d(A,(P))=2d(B,(P)) với A(2;2;2),
B(4;1;4).
b) (P) qua M(1;0;-5), song song với AB và d(C;(P))=2d(D;(P)) với
A(1;1;2), B(3;0;3), C(1;2;1), D(-4;1;-4).
1
c) (P) chứa AB và d(CD,(P)) = 3 với A(1;1;2), B(3;0;3), C(1;2;1) và
ABCD là hình bình hành.


=
=
−
2
1
−1 .
c) (P) đi qua M(1;1;2) và song song với d:

Khái quát hóa: (k là số thực dương cho trước). Lập PT mặt phẳng (P)
biết
1)
2)
3)
4)
5)

(P)
(P)
(P)
(P)
(P)

chứa đt d và d(A,(P))=k.
chứa đt d và d(A,(P))=kd(B,(P)).
đi qua điểm A, song song với đt d và d(B,(P))=k.
đi qua điểm A, song song với đt d và d(B,(P))=kd(C,(P))
đi qua điểm A, song song với d và d(d;(P))=k.

Chú ý: Với bài toán lập PT mặt phẳng chứa đt d và liên quan tới
khoảng cách đến mặt phẳng đó thì ta nên gọi tọa độ của một

VTCP của hai đt.
GV: Vậy nếu chưa tìm được tọa độ của một điểm thuộc (P) thì có thể
lập PT mặt phẳng (P) bằng cách đưa về tìm yếu tố nào? (GV có thể gợi
ý tiếp: PTTQ của mặt phẳng (P) có dạng như thế nào? Đã biết tọa độ
VTPT tức là biết những gì, còn tìm gì nữa?)
HS: Lập PT mặt phẳng (P) bằng cách đưa về tìm d trong PTTQ:
ax+by+cz+d=0.
GV: Em có thể tìm số d dựa vào giả thiết nào? (Tìm d dựa vào d(A,
(P))=2d(B;(P)).
GV: Bây giờ em có thể làm được bài toán này chưa? (Có thể làm được
ạ.)
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
Ta có d1 đi qua điểm A(1;2;1) và có một VTCP là =(1;-1;0)
d2 đi qua điểm B(2;1;-1) và nhận =(1;-2;2) là một VTCP
[,] = (-2;-2;-1) .
Vì (P) song song hoặc chứa d1, d2 nên [,]= (-2;-2;-1) là một VTPT của
(P), do đó (P) có dạng: 2x+2y+z+d=0
 d = −3
7+d
5+ d
⇔
=
⇔ 7+d = 5+d ⇔ 
 d = − 17
3
3
3

Ta có d(A,(P))=2d(B,(P))
17


 x = 1+ t

y = 2 −t
x − 2 y −1 z +1
=
=
 z =1
−2
2 .
Tương tự ta có các bài toán sau: Cho d1: 
, d 2: 1
Bài 1. 4.1. Lập PT mặt phẳng biết (P) song song với d1, d2 và khoảng
cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng 1.
Đặc biệt của bài toán 1.4.1. ta có bài toán 1. 4.2.
Bài 1.4.2. Cho (S):

( x − 1)

2

+ ( y − 1) + ( z − 1) = 1.
2

2

Viết PT tiếp diện của (S) biết

tiếp diện đó song song với d1 và d2.
Bài 1.4.3. Viết PT mặt phẳng (P) song song với d1 và d2 đồng thời d(d2,

2 . Lập PT mặt phẳng (P)
Bài 1.4.5. Cho A(2;1;1) và d: 2

vuông góc với đt d và khoảng cách từ A đến (P) bằng 3.
 x = 1 + 2t

 y=2
2
2
2

Bài 1.4.6. Cho mặt cầu (S): x + y + z − 4 x + 2 y - 6 z - 6 = 0 , d:  z = 1 + t . Lập
PT mặt phẳng vuông góc với d và tiếp xúc với (S).
 x = 2+t

 y = 1 + 4t
x −1 y −1 z
=
=

−1
2 và d2:  z = 1 + t . Lập PT mặt phẳng
Bài 1.4.7. Cho d1: 2
vuông góc với đt d1 và khoảng cách từ d2 đến (P) bằng 3.
Bài 1.4.8 (D-2010). Cho hai MP (Q): x-y-z-3=0 và (R): x-y+z-1=0. Viết
PT MP vuông góc với (Q) và (R) sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến (P)
bằng 2.
Bài 1.4.9. Lập PTMP song song với (Q): 2x-y-2z+1=0 và khoảng cách
giữa hai MP bằng 5.
Bài 1.4.10. Lập PTMP song song với (Q): 2x-y-2z+1=0 và khoảng cách

2) (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và (P) vuông góc với đt d.
3) (P) vuông góc với đt d1, (P) song song với d2 và d(d2,(P)) =k (k > 0 và
4)
5)
6)
7)
8)

d1 ⊥ d2 ).
(P) vuông góc với hai MP (Q) và (R) sao cho d(A,(P)) =k > 0.
(P) song song với (Q) và d((P),(Q)) = k > 0.
(P) song song với (Q) và d(A,(P)) = k > 0.
(P) song song với (Q) và d(A,(P)) = kd(B,(P)). (k > 0 cho trước)
(P) song song với (Q) và (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một

đường tròn có bán kính hoặc chu vi hoặc diện tích cho trước.
9) (P) vuông góc với MP (Q) và d(d;(P)) = k > 0 (d không vuông góc với
(Q)).
Nhận xét: Với bài toán viết PTMP có thể tìm trực tiếp VTPT và
chưa biết tọa độ một điểm thuộc mặt phẳng và liên quan đến
khoảng cách ta thường đưa về xác định hệ số D trong PTTQ: Ax
+ By + Cz + D = 0.
Ví dụ 1.5. Viết PT MPđi qua điểm M(1;2;3) và cắt ba trục Ox, Oy, Oz
theo thứ tự tại ba điểm A, B, C sao cho:
a) M là trọng tâm tam giác ABC.
b) M là trực tâm trực tâm tam giác ABC.

25