CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP- TỰ DO- HẠNH PHÚC
----------

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG QUY TRÌNH BỐN
BƯỚC CỦA G.POLYA VÀO GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 12

Các tác giả:
Th.s Trần Quang Vinh
Th.s Lê Thị Hòa Bình
Đơn vị công tác: Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Ninh Bình, tháng 5 năm 2015


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GTLN : giá trị lớn nhất
GTNN

: giá trị nhỏ nhất

GV

: Giáo viên

HS


VTCP

: Véc tơ chỉ phương

VTPT

: Véc tơ pháp tuyến


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài ....................................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................ 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................ 2
4. Phương pháp nghiên cứu........................................................................................... 2
5. Đối tượng nghiên cứu ............................................................................................... 2
6. Giả thuyết khoa học .................................................................................................. 2
7. Cấu trúc .................................................................................................................... 2
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN ........................................................................................... 3
1.1. Năng lực giải toán .................................................................................................. 3
1.2. Dạy học giải toán ................................................................................................... 4
1.3. Giải pháp cũ thường làm…………………………………………………………...5
1.4. Giải pháp mới ........................................................................................................ 5
1.5. Tiểu kết chương 1 ..................................................Error! Bookmark not defined.
Chương 2: HƯỚNG DẪN HS VẬN DỤNG QUY TRÌNH CỦA G.POLYA ................. 11
TRONG GIẢI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ....................................... 11
2.1. Dạng toán về viết PT mặt phẳng .......................................................................... 11
2.2. Dạng toán về viết phương trình đường thẳng ....................................................... 28
2.3. Dạng toán về viết PT mặt cầu…………………………………………………… 39

bài tập trong sách giáo khoa chưa đa dạng, có sự hệ thống chưa cao. Với mong muốn,
giúp học sinh phát triển năng lực giải bài tập theo bốn bước của G.Polya chương PPTĐ
trong Không Gian nên tôi đã chọn đề tài: “ Phát triển năng lực vận dụng quy trình
bốn bước của G.Polya vào giải toán tọa độ trong không gian cho HS lớp 12”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất những câu hỏi, hoạt động nhằm hướng dẫn HS tìm lời giải bài toán về tọa
độ trong không gian theo quy trình của G.Polya, từ đó phát triển năng lực vận dụng quy
trình này trong giải toán cho HS.

1


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về phát triển năng lực, năng lực giải toán cho HS, về phương
pháp dạy học giải bài tập toán học, về quy trình giải bài toán theo bốn bước của G.Polya.
- Đề xuất những câu hỏi, hoạt động nhằm hướng dẫn HS tìm lời giải bài toán về
“Tọa độ trong không gian” theo quy trình của G.Polya, từ đó phát triển năng lực vận
dụng quy trình này trong giải toán cho HS.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Phương pháp điều tra – khảo sát
- Thực nghiệm sư phạm
5. Đối tượng nghiên cứu
Quá trình dạy học có vận dụng quy trình bốn bước của G.Polya để giải bài toán
“Tọa độ trong không gian” lớp 12 THPT.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu GV biết cách hướng dẫn HS tìm lời giải bài toán về tọa độ trong không gian
theo bốn bước của G.Polya thì góp phần phát triển năng lực giải toán cho HS: HS có kĩ
năng giải toán tốt hơn và học được cách suy nghĩ tìm lời giải dạng toán này ở trường
THPT.

+) Tranh luận về các nội dung toán học;
+) Vận dụng các cách trình bày toán học;
+) Sử dụng các ký hiệu, công thức, các yếu tố thuật toán.
1.1.2. Nhiệm vụ phát triển năng lực giải toán cho HS
Xu thế đổi mới phương pháp dạy học trong những năm tới là dạy học định hướng
phát triển năng lực, vì vậy nhiệm vụ phát triển năng lực giải toán cho HS là cần thiết và
phù hợp với xu hướng đổi mới phương pháp dạy học.
Năng lực giải toán là khả năng thực hiện bốn bước trong phương pháp chung để
giải bài toán của G.Polya. Phát triển năng lực giải toán cho HS chính là rèn luyện cho họ
có ý thức, thói quen và thực hiện có hiệu quả các bước giải đó.
Phát triển năng lực giải toán hình học cho HS bằng phương pháp tọa độ đóng góp
một phần vào phát triển năng lực giải toán nói chung. Cần phải tập luyện cho HS biết
phân loại các bài toán, rèn luyện để họ thực hiện linh hoạt, độc lập và sáng tạo các bước
trong quy trình giải loại bài toán đó.
Một điểm đáng chú ý nữa là: "Trong quá trình giải bài tập toán, cần khuyến khích HS
tìm nhiều cách giải cho một bài toán. Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của
dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho HS biết cách nhìn nhận một vấn

3


đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy.
Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay nhất, đẹp nhất...” [6].
1.2. Dạy học giải toán
1.2.1. Vai trò của bài tập Toán
Theo Nguyễn Bá Kim [2, tr.386], bài tập có vai trò quan trọng trong môn Toán.
Bài tập toán nhằm phát triển tư duy cho HS, đặc biệt là rèn luyện các thao tác trí tuệ. Vì
vậy, trong quá trình dạy học người thầy giáo phải chú trọng phát triển năng lực giải toán
cho HS.
1.2.2. Quy trình giải bài toán của G.Polya

- Bạn đã áp dụng cách giải đó cho bài toán nào chưa?
- Bạn có thể áp dụng bài toán này để giải các bài toán khác đã biết?
1.3. Giải pháp cũ thường làm
Khi dạy học giải bài tập toán thông thường GV không tuân thủ theo 4 bước giải
bài tập: Ở bước 1, thường chỉ dừng lại ở việc đọc đề bài, không tìm hiểu rõ cái đã cho, cái
cần tìm. Ở bước 2, GV thường cung cấp lời giải sau đó giải thích hoặc gọi HS nêu hướng
làm, ít có gợi ý, hướng dẫn để HS tìm ra lời giải hoặc hướng dẫn theo kiểu dắt tay chỉ
việc. Ở bước 4, đa phần GV không hướng dẫn HS kiểm tra lại kết quả bài toán cũng như
lời giải, không hướng dẫn để HS tìm ra nhiều cách giải, không xét bài toán đặc biệt,
tương tự, khái quát hay đề xuất bài toán khác.
*) Ưu điểm:
Nhanh chóng, đỡ tốn thời gian, GV không phải chuẩn bị nhiều, không cần chuẩn bị hệ
thống câu hỏi gợi ý, không phải tạo ra các bài toán khác liên quan, không phải đầu tư quá
nhiều công sức để dạy được một bài tập. Một tiết học có thể chữa được nhiều bài tập.
*) Hạn chế:
+) Do không tìm hiểu kĩ đề bài ở bước 1 nên HS không hiểu rõ bài toán, ít có sự hứng
thú, không rèn thói quen đọc kĩ đề khi làm bài, khó hướng dẫn bước 2.
+) HS không được tham gia nhiều vào quá trình tìm lời giải, làm cho HS không hiểu rõ
cách tìm ra lời giải bài toán, ít có sự hứng thú, lười suy nghĩ, giảm khả năng sáng tạo của
người học.
+) HS không được tập luyện với những câu hỏi, cách suy nghĩ để có thể tự mình đặt ra
câu hỏi, cách nghĩ với một bài toán khác.
+) HS không kiểm tra lại kết quả dẫn đến kết quả có thể thừa, thiếu, chưa thỏa mãn hết
các điều kiện của bài toán; Các bước trình bày, lập luận có thể không lôgic, thiếu chính
xác; Không rèn tính cẩn thận cho người học.
+) HS không được phát triển tìm ra nhiều lời giải nên có thể không chọn ra cách tối ưu
nhất, dễ hiểu nhất, ít có cơ hội sáng tạo tìm ra những cách giải độc đáo, đặc sắc, giảm khả
năng nhìn nhận các khía cạnh, suy nghĩ khác nhau của bài toán, cách nghĩ chưa bao quát.

5

hợp để giải quyết một bài toán khác. HS học sáng tạo, không phải nhớ máy móc.
+) Qua bước 4, giúp HS: Kiểm tra sự chính xác của kết quả, của lập luận trong lời giải,
rèn tính cẩn thận. Tìm ra những cách giải khác, có thể ngắn gọn hơn lời giải đã tìm ra
cũng có thể có cách giải dài hơn, phức tạp hơn nhưng quan trọng HS đã nhìn bài toán với

6


những khía cạnh khác nhau, khai thác khác nhau. HS có cơ hội được sáng tạo, có thể với
cách giải không tối ưu trong bài toán này nhưng lại giúp ích cho người học tìm ra lời giải
với bài toán khác. HS thấy được mối liên hệ với các bài toán đặc biệt, tương tự, khái quát,
bài toán có liên quan. HS biết cách tạo ra các bài toán tương tự, khái quát giúp phát triển
tư duy người học.
+) Thông qua một bài tập dạy theo quy trình trên, HS không chỉ giải một bài toán mà còn
giải được nhiều bài toán cùng dạng, bài toán có liên quan.
*) Hạn chế: Việc dạy học theo quy trình bốn bước của G.PoLya mất nhiều thời
gian, GV cũng phải chuẩn bị hệ thống câu hỏi chi tiết, GV phải đầu tư suy nghĩ, chuẩn bị,
sáng tạo, tìm ra hệ thống bài toán, đòi hỏi người GV cũng phải có tư duy tốt, GV phải
chọn lựa bài tập phù hợp để khai thác, đạt được ý đồ chỉ dạy một bài nhưng giải quyết
được nhiều bài. Việc hướng dẫn đôi khi là không cần thiết với HS giỏi. Việc vận dụng
cũng phải linh hoạt tùy theo mức độ nhận thức, tính tự giác và thái độ học tập của HS.
Sau đây là một ví dụ minh họa tổng thể.
Ví dụ minh họa
Trong Oxyz, lập PT mặt phẳng (P) chứa đt d:

x2 y2 z

 và vuông góc với mặt
1
2

HS: Đk (P) chứa d: M thuộc đường thẳng d thì M thuộc Mp (P); nP  ud
GV: ĐK (P) vuông góc với (Q) thì có mối liên hệ gì về VTPT của (P) với VTPT của (Q)?
uur uur
HS: nP  nQ
uur uur
uur uur
GV: Từ nP  nQ và nP  nQ em hãy nêu cách xác định VTPT của (P)?
HS: Cách 1: Tích có hướng của cặp VTCP (Tích có hướng của 2 véc tơ không cùng
uur uur
phương và cùng vuông góc với VTPT của mặt phẳng; với nQ , ud không cùng phương)
uur uur uur uur
Cách 2: Gọi tọa độ của VTPT, từ nP  ud ; nP  nQ lập hệ 2 pt 3ẩn rồi chọn bộ số phù
hợp.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
uur
uur
Ta có: ud  1; 2;1 là một VTCP của d, nQ   3;1; 2  là một VTPT của (Q).
uur
uur uur
uur uur uur uur
r
là một VTPT của MP (P).
nP  ud , nQ  = (3;1;-5)  0 . Vì nP  ud ; nP  nQ nên
M(2;-2;0)  d nên M  MP (P). Vậy (P): 3(x-2)+1(y+2)-5z=0 hay 3x+y-5z-4=0.
Bước 4: Nhìn lại
Kiểm tra lời giải: Mp (P) có pt như trên đã thỏa mãn đk của bài toán (P) chứa d và vuông
góc với (Q) chưa? (Đã thỏa mãn).
GV: Nếu d vuông góc với (Q) thì có tồn tại Mp (P) không? Đk nào để biết d  (Q)?
r
HS: Nếu d  (Q) thì mọi Mp chứa d đều thỏa mãn. Nếu [


+) qua hai đt cắt nhau.

+) d là giao tuyến của hai mặt phẳng.

+) qua hai đt song song.

Một số bài tương tự: Cho đt d:

x 1 y z 1
 
(với các bài 1.11 đến 1.13)
1
2
1

Bài 1.1.1. Cho điểm A(1;2;1), B(2;-2;0). Lập PT mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và
vuông góc với (Q), trong đó (Q) xác định như sau:
a) MP (Q): 3x+y+2z-3=0.
b) (Q) qua ba điểm B(1;0;0), C(0;1;-2), D(2;3;5).
c) (Q) qua điểm B(1;0;0) và chứa đt d.
d) (Q) chứa d1 và d2 với d1:

x2 y2 z
x  4 y  3 z 1

 , d2 :


.

1
2
1

Bài 1.1.3. Cho A(1;2;0), B(-1;-1;0), C(0;1;2). Lập PT mặt phẳng đi qua điểm A, song
song với BC và vuông góc với Mp (Q) trong các trường hợp sau:
a) MP(Q): 2x+2y+z-9=0
b) (Q) qua ba điểm D(1;0;0), E(0;1;-2), F(2;3;5).
c) (Q) qua điểm D(1;0;0) và chứa đt d.
d) (Q) chứa d1 và d2 với d1:

x2 y2 z
x  4 y  3 z 1



 , d2 :
.
3
1
2
1
2
1

GV: Qua bài tập trên, em hãy cho biết cách tìm một VTPT của (P) khi biết hai véc tơ
r
r r
cùng vuông góc với VTPT của (P) và a , b   0 (biết cặp VTCP của Mp(P))?


Bài 1.1.6. Cho d1

x2 y2 z
x  4 y  3 z 1

 , d2 :


. Lập PT mặt phẳng biết
1
2
1
3
1
2

a) (P) chứa hai đt d1 và d2.

b) (P) chứa đt d1 và song song với d2.

c) Mp (P) qua gốc tọa độ và song song với d1, d2.
Bài 1.1.7. Cho A(1;-2;4), B(1;0;0), C(0;1;1). Lập PT Mp qua ba điểm A, B, C.
Các ví dụ ở chương II sẽ làm rõ hơn các nhận định của chương I

10


Chương 2
HƯỚNG DẪN HS VẬN DỤNG QUY TRÌNH CỦA G.POLYA
TRONG GIẢI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN


Cần xác định hai yếu tố: một điểm và một VTPT.
- Một VTPT của mặt phẳng có thể được xác định bằng những cách nào?
Cách 1: Tích có hướng của hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm
trong MP cần tìm (cặp VTCP).
Cách 2: Hệ 2 PT với ba ẩn là ba thành phần tọa độ của VTPT.
- Theo cách 2, để xác định các hệ số của mặt phẳng ta cần mấy PT liên quan đến các hệ
số đó? (Hệ ba PT bốn ẩn).
Ví dụ 1.1. (Trình bày ở ví dụ chương I)
Ví dụ 1.2. Cho d1:

x 1 y z 1
x y  2 z 1



và d2: 
. Lập phương trình mặt
1
1
1
2
1
1

phẳng chứa đt d1 và tạo với d2 một góc bằng 300.
Bước 1: Hiểu bài toán
GV: Xác định giả thiết của bài toán và yêu cầu của bài toán.
HS: Giả thiết cho PT đt d1 và d2, cho quan hệ (P) chứa d1, (P) tạo với d2 góc 300.
Yêu cầu lập phương trình mặt phẳng (P).

uur uur
Vì MP (P) tạo với d2 góc 300 nên sin300= |cos( nP , u2 )| hay

2a  b  c
6. a  b  c
2

2

2



1
(2)
2

Từ (1) ta có: b = a + c thế vào (2) và bình phương 2 vế của (2) ta được:
4(2a+a+c-c)2 =6[a2+(a+c)2 +c2]

2a2 - ac - c2 =0 (*)

Nếu c = 0 thì a =0 do đó b =0 (loại)
Nếu c  0 thì chia 2 vế của (*) cho c2 ta được: 2x2 – x – 1 = 0 với x= a/c.
Ta được x = 1 hoặc x = -1/2.
Chọn a = 1 thì c = 1 hoặc c =-2. Với c = 1 thì b = 2, với c =-2 thì b =-1
uur
TH1: nP = (1;2;1) thì (P): 1(x-1)+2(y-0)+1(z+1) = 0 hay x+2y+z=0.
uur
TH2: nP = (1;-1;-2) thì (P): 1(x-1)-1(y-0)-2(z+1) = 0 hay x-y-2z-3=0.

1
2

(2)

Làm tương tự như cách 1 ta được kết quả như cách 1.
Nghiên cứu tiếp bài toán: (Với hai đường thẳng d1, d2 trên)
Như đã trình bày trong ví dụ minh họa, có thể đề xuất các bài toán sau:

13


Bài 1.2.1. Lập PT Mp đi qua hai điểm A(1;0;-1), B(3;-2;1) và tạo với đt d2 góc 300.
Bài 1.2.2. Cho A(0;2;-1), B(2;4;-3). Lập PT mặt phẳng chứa đt d1 và tạo với AB một góc
bằng 300.
Bài 1.2.3. Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1) ,C(0;2;-1), D(2;4;-3). Lập PT Mp đi qua hai điểm A,
B và tạo với CD một góc bằng 300.
Bài 1.2.4. Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1), C(0;2;-1), D(2;4;-3). Lập PT Mp đi qua điểm
M(1;0;3) và
a) song song với d1 đồng thời tạo với d2 góc 300.
b) song song với AB đồng thời tạo với d2 góc 300.
c) song song với đt AB và tạo với CD một góc 300 .
Bài 1.2.5. Cho A(1;0;-1), B(3;-2;1), Mp(Q): 2x+y-z+9=0. Lập PT mặt phẳng (P):
a) (P) chứa đt d1 và tạo với MP(Q) góc 600.
b) (P) qua hai điểm A, B và tạo với Mp(Q) góc 600.
c) (P) qua điểm M(1;0;3), song song với AB và tạo với Mp(Q) góc 600 .
d) (P) chứa d là giao tuyến của Mp (Q) và Mp (R): x+2y-z+3=0, đồng thời tạo với hai Mp
(Q) và (R) các góc bằng nhau. (Nói cách khác: lập PT mặt phẳng phân giác của các góc
tạo bởi (Q) và (R)).
Bài 1.2.6. Lập PT MPđi qua điểm M(1;0;-3) và tạo với hai đt d1, d2 các góc lần lượt bằng



. Lập PT Mp (P)
2
1
1

Bài 1.3.1. Cho A(2;1;2), M(1;1;2), N(3;0;3). d:
a) đi qua hai điểm M, N và d(A,(P)) =

1
.
3
1
.
3

b) đi qua điểm M, song song với d và d(A,(P)) =

Bài 1.3.2. Cho A(2;1;2), B(-1;2;-2), C(1;1;-1), M(1;1;2). Lập PT mặt phẳng đi qua điểm
M, song song với BC và d(A,(P)) =
Bài 1.3.3. Cho A(2;2;2), B(4;1;4), d:

1
.
3
x 1 y 1 z  2


. Lập PT mặt phẳng chứa đt d


K

(P)

Hình 2

Hình 3

15

H

.


Bài 1.3.4. Cho d1

x 1 y 1 z  2
x  2 y 1 z  2




:, d2:
. Lập PT mặt phẳng (P)
2
1
1
2

1
1

1
.
3

Đặc biệt hóa:
1
Bài 1.3.7. Cho PT mặt cầu (S): (x-2)2+(y-1)2+(z-2)2 = . Viết PT mặt phẳng (P) tiếp xúc
3

với mặt cầu (S) biết:
a) (P) chứa đt d:

x 1 y 1 z  2


.
2
1
1

b) (P) đi qua hai điểm M(1;1;2), N(3;0;3).
c) (P) đi qua M(1;1;2) và song song với d:

x  2 y 1 z  2


.

 z 1

d1, d2 và d(d1,(P)) = 2d(d2,(P)).
Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán
GV: Trong hai yếu tố thông thường em cần tìm để lập PT mặt phẳng (P), em có thể tìm
được ngay yếu tố nào không?
HS: Chưa tìm được ngay tọa độ một điểm hay một VTPT của (P).
GV: Dựa vào giả thiết (P) song song với các đt d1, d2, em có thể tìm được yếu tố gì để lập
PT mặt phẳng (P)? Là yếu tố nào? Nêu cách xác định.
HS: Có thể tìm được tọa độ VTPT của (P) bằng tích có hướng của hai VTCP của hai đt.
GV: Vậy nếu chưa tìm được tọa độ của một điểm thuộc (P) thì có thể lập PT mặt phẳng
(P) bằng cách đưa về tìm yếu tố nào? (GV có thể gợi ý tiếp: PTTQ của mặt phẳng (P) có
dạng như thế nào? Đã biết tọa độ VTPT tức là biết những gì, còn tìm gì nữa?)
HS: Lập PT mặt phẳng (P) bằng cách đưa về tìm d trong PTTQ: ax+by+cz+d=0.
GV: Em có thể tìm số d dựa vào giả thiết nào? (Tìm d dựa vào d(A,(P))=2d(B;(P)).
GV: Bây giờ em có thể làm được bài toán này chưa? (Có thể làm được ạ.)
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán
Ta có d1 đi qua điểm A(1;2;1) và có một VTCP là
d2 đi qua điểm B(2;1;-1) và nhận
[

,

] = (-2;-2;-1)

=(1;-1;0)

=(1;-2;2) là một VTCP

.


Bước 4: Nhìn lại
Kiểm tra lời giải: Các giả thiết đã được chuyển thành đk tương đương nên không phải
loại trường hợp nào. Các bước biến đổi là chính xác. (Lưu ý công thức khoảng cách có
giá trị tuyệt đối).
Nghiên cứu tiếp bài toán:
Ta xem xét sự tồn tại Mp (P) tùy theo các vị trí của d1 và d2
+) Nếu d1, d2 trùng nhau thì có vô số Mp (P) thỏa mãn, các mặt phẳng này đều chứa d1 và
khoảng cách giữa đt và Mp bằng 0. Nếu thêm giả thiết (P) // d1 thì không tồn tại Mp (P).
+) Nếu hai đt d1 và d2 song song thì cũng tồn tại vô số Mp(P) thỏa mãn, các mặt phẳng
này đều chứa đt d, d là đt song song với d1 và d(d,d1)=2d(d,d2).
+) Nếu hai đt d1 và d2 cắt nhau thì tồn tại duy nhất Mp (P) thỏa mãn bài toán, mặt phẳng
này chứa hai đt d1 và d2. Khi đó khoảng cách giữa các đt và mặt phẳng bằng 0. Nếu thêm
giả thiết (P) song song với hai đt d1, d2 thì không tồn tại Mp (P).
+) Nếu hai đt d1 và d2 chéo nhau thì có hai mặt phẳng cần tìm (Như bài toán trên).
Ta có thể thay giả thiết bằng những đk tương đương nào? Từ đó ta được những bài toán
nào?

 x  1 t
x  2 y 1 z 1



Tương tự ta có các bài toán sau: Cho d1:  y  2  t , d2:
.
1
2
2
 z 1


Bài tập vận dụng:
x 1 y 1 z

 . Lập PT mặt phẳng (P) vuông góc với đt d
2
1
2

Bài 1.4.5. Cho A(2;1;1) và d:

và khoảng cách từ A đến (P) bằng 3.

 x  1  2t

Bài 1.4.6. Cho mặt cầu (S): x  y  z  4 x  2 y - 6 z - 6  0 , d:  y  2 . Lập PT mặt
 z  1 t

2

2

2

phẳng vuông góc với d và tiếp xúc với (S).
x 1 y 1 z

 và d2:
Bài 1.4.7. Cho d1:
2
1


. Viết PT MP vuông góc


b)(B-2010) Cho A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), b>0, c>0 và MP (P): y-z+1=0. Xác định b
và c, biết (ABC) vuông góc với MP (P) và d(O, (ABC) )= .
Bài 1.4.14. Cho hai đt d1

và d2

. Lập PT MPsao cho (P) song

song với d1 và khoảng cách giữa d1 và (P) bằng 1, đồng thời (P) tạo với d2 một góc
cho cos  

sao

1
.
6

Khái quát hóa: Lập PT MP trong các trường hợp sau:
1) (P) vuông góc với đt d và d(A,(P)) =k (k>0 cho trước).
2) (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) và (P) vuông góc với đt d.
3) (P) vuông góc với đt d1, (P) song song với d2 và d(d2,(P)) =k (k > 0 và d1

d2 ).

4) (P) vuông góc với hai MP (Q) và (R) sao cho d(A,(P)) =k > 0.
5) (P) song song với (Q) và d((P),(Q)) = k > 0.


x y z
  1
a b c

 3xM  xA  xB  xC

a) M là trọng tâm tam giác tam giác ABC  3 yM  y A  yB  yC
 3z  z  z  z
A
B
C
 M
Vậy (P):

3  a

(*)  6  b
9  c


x y z
   1 hay 6x+3y+2z-18=0.
3 6 9

Bước 4: Nhìn lại
Ở trên ta thấy M là trọng tâm tam giác ABC nên ta có công thức (*), thực chất công thức
này là M thỏa mãn đẳng thức véc tơ nào liên hệ với ba đỉnh tam giác?
uuur uuur uuuur r
(MA  MB  MC  0)


.

0).

là véc tơ cho trước).

21


e)

.

( Với k, l, m, n là các số thực cho trước)
Hoàn toàn tương tự như trên các em có thể đề xuất các bài toán khác.
b)Bước 2: Xây dựng chương trình giải bài toán
GV: M là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi M thỏa mãn đk gì? Hãy chuyển các đk
đó sang đk với biểu thức tọa độ.
HS:
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán:
(P):

x y z
1 2 3
   1 ; (P) qua M(1; 2; 3) nên ta có:    1 (1)
a b c
a b c

,