LUẬN VĂN:

Xây dựng mô hình lý thuyết để phân tích
ảnh hưởng của tiến bộ công nghệ và các yếu
tố sản xuất đến tăng trưởng kinh tế


Trong mục này chúng ta tập trung vào giả quyết những vấn đề cơ bản nhất của đề
tài là xây dựng các mô hình để phân tích ảnh hưởng của tiến bộ công nghệ đến tăng
trưởng kinh tế. Như vậy việc đầu tiên chúng ta phải làm là làm rõ các khái niệm về tăng
trưởng kinh tế , tiến bộ công nghệ , hiệu quả sản xuất và mối quan hệ giữa chúng sau đó
chúng ta sẽ lần lượt trình bày các mô hình l thuyết và chỉ ra khả năng ứng dụng chúng
I. Mô hình hàm sản xuất cổ điển ước lượng ảnh hưởng của tiến bộ công nghệ
đến tăng trưởng
1. Khái niệm
trong mục này chúng ta sẽ trình bày vắn tắt các khái niệm cơ bản.
1.1. Tăng trưởng kinh tế và sự đóng góp của các nhân tố vào tăng trưởng kinh
tế
Định nghĩa: Sức tăng lên của sản phẩm thực tế của một nền kinh tế qua thời gian.
Khả năng vật chất của một nền kinh tế để sản xuất nhiều hàng hóa và dịch vụ hơn phụ
thuộc vào các yếu tố như:
(i). Tư liệu sản xuất tăng lên về cả lượng và chất;
(ii). Lực lượng lao động tăng lên về lượng và chất;
(iii). Tài nguyên thiên nhiên tăng lên về lượng và chất;
(iv) . Việc sử dụng có hiệu quả các yếu tố đầu vào;
(v) . Việc áp dụng và phát triển kỹ thuật mới và sản phẩm mới. Ngoài ra còn phụ
thuộc vào yếu tố nữa là mức độ tổng cầu phải đủ cao để đảm bảo sử dụng hết các năng
lực sản xuất tăng lên của nền kinh tế. nghĩa quan trọng của tăng trưởng kinh tế là ở chỗ
nó góp phần vào sự thịnh vượng chung của cộng đồng vì nó cho phép cộng đồng có thể
tiêu thụ thêm nhiều hàng hóa và dịch vụ đồng thời làm tăng thênm lượng hàng hóa và
dịch vụ xã hội , như y tế , giáo dục …do đó cải thiện mức sống thự tế của cộng đồng.

không thể đối với đường giới hạn.
Xét một qui trình sản xuất đơn giản trong đó có một đầu vào duy nhất (x) được sử
dụng để sản xuất ra một đầu ra duy nhất (Y) ( Hình 1). Đường OF’ chính là đường giới


hạn. Đường này nói lên mức sản lượng tối đa có thể đạt được tại mỗi mức đầu vào. Do
đó, nó phản ánh trạng thái hiện tại của công nghệ trong ngành .
Các hãng trong ngành đó sẽ sản xuất tại đường giới hạn nếu như hãng đạt được
hiệu quả về kỹ thuật, hoặc là dưới đường giới hạn đó nếu như hãng không đạt được hiệu
quả về kỹ thuật. Điểm A tượng trưng cho một điểm không hiệu quả trong khi đó điểm B
và điểm C là những điểm hiệu quả.

Hình 1: Đường giới hạn sản xuất
Một hãng đang hoạt động tại điểm A là không hiệu quả bởi vì xét về mặt công nghệ
hãng có thể tăng sản lượng đến mức tương đương với điểm B trên đồ thị mà không cần
có thêm đầu vào. (hoặc là hãng có thể sản xuất ra một mức sản lượng như vậy nhưng cần
ít đầu vào hơn, như điểm C trên đường giới hạn). Khoảng cách từ điểm sản xuất của hãng
đến đường giới hạn khả năng sản xuất được coi là thước đo nói nên mức độ không hiệu
quả của hãng.
Một thước đo cơ bản đối với hoạt động của một hãng đó là năng suất yếu tố. Đây
là tỷ lệ của đầu ra trên đầu vào. Tỷ lệ này mà càng lớn thì có nghĩa là sản xuất của hãng
càng có hiệu quả.
Hình 1 cũng cho biết sự khác biệt giữa hiệu quả kỹ thuật và năng suất yếu tố.
Đường thẳng đi qua gốc toạ độ cho biết năng suất yếu tố tại mỗi đầu vào của hãng. Độ
dốc của đường này Y/x cho biết năng suất của hãng. Nếu như hãng đang sản xuất tại
điểm A dịch chuyển đến điểm hiệu quả B, đường năng suất đó sẽ dốc lên, điều này ngụ ý
rằng năng suất sẽ cao hơn tại điểm B. Tuy nhiên nếu như bằng cách dịch chuyển đến
điểm C, đường năng suất sẽ tiếp xúc với đường giới hạn và cho biết mức năng suất tối đa
có thể đạt được là bao nhiêu. Điểm C là điểm quy mô sản xuất tối ưu. Hãng tuy đã đạt


Thứ nhất, tối thiểu hoá số lượng một đầu vào để sản xuất ra một lượng đầu ra nhất định
trong khi vẫn giứ mức độ sử dụng các đầu vào khác là như cũ. Thứ hai, các đầu vào này
được kết hợp sử dụng theo một cách thức duy nhất để tối thiểu hoá chi phí và điều này
chỉ có thể đạt được bằng cách đem so sánh với giá cả của các yếu tố đầu vào khác dựa
trên giả định công nghệ sản xuất có dạng hàm lồi chặt (Farrell, 1957). Tuy nhiên, khái
niệm này chỉ mạng tính tương đối, điều này ngụ ý rằng một tổ chức kinh tế (hay một
hãng sản xuất) cần phải được đem ra so sánh với một số tiêu chuẩn nhất định. Trong
nghiên cứu này thì tiêu chuẩn sẽ là hàm sản xuất biên, hay còn gọi là đường tham chiếu
hoặc đường chuẩn.
Sau Forsund, Lovell và Schmidt (1980) cho rằng một hãng có kế hoạch sản xuất
(Y0,x0), trong đó Y0 là một tập hợp các đầu ra và x0 là tập hợp các đầu vào. Với một hàm
sản xuất nhất định f(.), kế hoạch đó sẽ được coi là hiệu quả về mặt công nghệ nếu như
f(x0)=Y0 và sẽ là không hiệu quả nếu Y0
tính cạnh tranh cao hơn sẽ làm tăng khả năng của hãng để đạt được tính hiệu của sản
xuất. Do đó, các qui định làm giảm tính cạnh tranh, trong một chừng mực nào đó có thể
làm triệt tiêu tính hiệu quả của công nghệ. Thứ nữa là việc hạn chế số lượng các hãng
trong một ngành có thể làm ảnh hưởng đến mức độ hiệu quả kỹ thuật nếu tính kinh tế
của ngành đó có liên quan đến qui mô.
 Cổ phần hóa và hiệu quả
Tư nhân hóa là quá trình chuyển đổi quyền sở hữu tài sản từ khu vực Nhà nước
sang khu vực tư nhân. Nội dung rộng hơn của quá trình này bao gồm việc mở cửa các thị
trường trước đây thuộc độc quyền Nhà nước cho các hãng tư nhân tham gia. Nguyên
nhân kinh tế đằng sau việc áp dụng chính sách này là (1) gia tăng tính hiệu quả; (2) thúc
đẩy cạnh tranh; (3) quyền sở hữu rộng rãi hơn và (4) tự chịu trách nhiệm lớn hơn.
Nguyên nhân chính của sự gia tăng này là sự thay đổi trong hành vi quản lý có được do
các hãng ít phải chịu sự can thiệp của Chính phủ liên quan đến giá thị trường của cổ
phiếu trên thị trường chứng khoán và sự can thiệp ít hơn của Chính phủ đến chức năng
quản lý của hãng. Có hai lý thuyết chủ yếu giải thích mối quan hệ giữa hình thức sở hữu
và hiệu quả hoạt động của hãng.


1.6. Khái niệm: hiệu quả kỹ thuật trong mối quan hệ với hiệu quả theo quy
mô, hiệu quả kỹ thuật thuần
Khái niệm: Hiệu quả kỹ thuật được coi là khả năng của một công ty trong việc sản
xuất tối đa đầu ra trong điều kiện đầu vào cho trước. Hỡnh 1 dưới đây minh hoạ định
nghĩa này. Trong hỡnh này, chỳng ta cú cỏc điểm A, B, C, D và E tương ứng với mỗi
mức đầu vào và đầu ra nhất định. Đường ABC mô tả đường biờn của quỏ trỡnh sản xuất.
Cỏc quan sỏt A, B, và C nằm trờn đường biên, trong khi các quan sát D và E nằm dưới
đường biên. Đường thẳng tiếp xúc với đường biên này qua điểm B thể hiện công nghệ sản
xuất không đổi theo quy mô. Trong ví dụ này, quan sát B mô tả hiệu quả kỹ thuật tương
đối; cụ thể, điểm B thể hiện rằng công ty đạt được cả hiệu quả kỹ thuật thuần (purely
technical efficiency) và hiệu quả quy mô (scale efficiency) vỡ nú nằm trờn cả đường biên
và thể hiện hiệu suất không đổi theo quy mô.

Việc đo lường hiệu quả kỹ thuật theo phương pháp tối ưu đầu vào và công nghệ
hiệu quả không đổi theo quy mô (Constant Return to Scale-CRS) của công ty mô tả bằng
bài toán quy hoạch tuyến tính .
1.7. Mô hình xác định mức tăng trưởng kinh tế và sự đóng góp của các nhân tố
vào tăng trưởng kinh tế
Nếu quá trình sản xuất ra sản phẩm của nền kinh tế có thể mô tả bằng hàm sản xuất
dạng sau


Y(t) = f (L(t),K(t), M(t) t)…………………

(1)

Trong đó Y(t) = GDP thực ở thời gian t,
L(t) = labor at time t
K(t) = vốn ở thời gian t,
M(t) = yếu tố đầu vào trung gian ở thời gian t,
Biến thời gian t trong mô hình phản ánh khả năng dịch chuyển của ha,mf sản xuất
theo thời gian.
Để cho thuận tiện phân tích , ta giả thiết vốn là (K) và lao động (số người làm việc
ở thời gan t). Phương trình trên có dạng
Y(t) = f(K(t), L(t), M(t) t)………………………

(2)

Dựa trên cơ sở hàm sản xuất này , việc tăng trong đầu ra Y là do sự đóng góp của
các yêú tố vốn , lao động và các đầu vào trung gian và tổng năng suất .
Để có thể phân tích được mức đóng góp của các yếu tố vào tăng trưởng , chúngd ta
lấy đạo hàm toàn phần của phương trình (2) theo t ta được
dy f (.) dK f (.) L f (.) M df (.)



……………………
y
K y
L y M y
y

(5)

Thay thế y bằng f ở vế phải của phương trình này ta được
y f (.) K K f (.) L L f (.) M M f (.)




y
K f (.) K
L f (.) L M f (.) M
f

hoặc
y f (.) K K f (.) L L f (.) M M f (.)




y
K f (.) K
L f (.) L M f (.) M

 K   L  M

y
K
L
M f (.)

(7)
 y 

Phương trình (7) cho ta tốc độ thay đổi trong đầu ra   c có thể quy cho hai thành
 y
phần chính , đó là
(a) Tổng các đóng góp của các đầu vào có trọng số là các độ co giãn tương ứng đối
với tăng trưởng đầu ra
K

K
L
M
 L   M
K
L
M

(b) Sự dịch chuyển của hàm sản xuất theo thời gian

f (.)
f (.)



(9)

MPL =

f (.) wL

…………………
L
p

(10)

MPE =

f (.) wE

…………………
E
p

(11)

MPM =

f (.) wM

…………………
M
p

M = 

f (.) M
w
M
w M
 M.
 M  sM ………….
M f (.)
p f (.)
py

(15)

(13)

Các công thức này cho ta cách tiếp cận thực nghiệm để tính tiến bộ công nghệ (hay
TFP), nghĩa là
TFPG =

y
K
L
M
 sK  sL  sM
………………………
y
K
L
M


0.0236741

0.0279532

1987

0.03631318

0.0227916

0.1935716

0.0253041

0.003934

1988

0.06014812

0.0565673

-0.0211275

0.0261077

0.0514122

1989


0.0189987

0.0931693

1992

0.08699887

0.1078039

0.2449009

0.0224388

0.1347605

1993

0.08078033

0.1112802

0.4015994

0.0243778

0.1491349

1994


0.0027921

0.2062995

1997

0.08151688

0.10173

0.1016267

0.0216818

0.1201615

1998

0.0576484

0.0746321

0.1241071

0.0214536

0.0895846

1999


0.0265381

0.0830185

2002

0.07079837

0.0751557

0.1056432

0.0428389

0.0786381

2003

0.07260109

0.0743001

0.1079971

0.0449987

0.0756481

2004

Bảng 2
Đóng góp của vốn, lao động và của tíên bộ công nghệ vào tăng trưởng.
số đóng góp tuyệt đối
TFPG

% đóng góp vào tăng trưởng

GDPG

aKG

bLG

%aKG

%bLG

%TFPG

1986

0.02838

0.0681

0.0133

-0.053

240.14 46.867


0.06015

-0.009

0.0147

0.0547

-15.39 24.385

91.008

1989

0.04677

0.0177

0.0194

0.0097

37.823 41.403

20.774

1990

0.05094


0.0126

-0.033

123.36

14.49

-37.85

1993

0.08078

0.176

0.0137

-0.109

217.86 16.953

-134.8

1994

0.08834

0.0902


0.0305

65.713 1.6794

32.608

1997

0.08152

0.0445

0.0122

0.0248

54.632 14.942

30.426

1998

0.05765

0.0544

0.0121

-0.009


17.569

2001

0.06895

0.047

0.0149

0.0071

68.126 21.623

10.251

2002

0.0708

0.0463

0.0241

0.0004

65.389 33.993

0.6182


0.07088

0.0525

0.0153

0.0031

69.03 22.929

8.0412

Bảng 2 cho ta một đàn giá sơ bộ : tỷ lệ % đóng góp trung bình cho tăng trưởng của
nền kinh tế trong thời kỳ 1988 đến 2004 được phân chia như sau;
+ Vốn đóng góp vào tăng trưởng là 22%
+ Lao động đóng góp vào tăng trưởng là 22.9%
+ Tiến bộ công nghệ đóng góp là 8%.


1.8 Một số mô hình hàm sản xuất cho nền kinh tế và các mô hình cho các
ngành dệt may, da giầy, sản xuất xi măng và vật liệu xây dựng và sản xuất sắt thép
và các sản phẩm được sản xuất từ đó- vấn đề ước lượng chúng
Hàm sản xuất cho đầu ra y như một hàm của chỉ hai đầu vào thuần nhất - lao động
L và vốn K:
y = f(L, K).

(17)

Số liệu để ước lượng bao gồm các số liệu chéo (cross-section) hoặc chuỗi thời gian

dụng năng lực thì khó hoặc không thể thu được. Các vấn dề khác cũng có thể được dẫn
ra, nhưng tất cả gợi ý rằng, nếu có thể, nên tránh sử dụng thước đo tường minh của tài
sản vốn, vì nó hoàn toàn không thể tìm được các số liệu biểu thị thích đáng tài sản vốn.
Để ước lượng hàm sản xuất đòi hỏi phát triển thêm các thuộc tính của nó dẫn đến
chỉ định một dạng hàm tường minh. Nói riêng, thường giả định rằng hàm sản xuất thoả
mãn các thuộc tính:
f(0,K) = f(L,0) =0,

(18)

f
f
 0,
0
L
K

2 f
2 f
2 f 2 f  2 f
 0,
 0, 2

L2
K 2
L K 2  LK

(19)

2

hàm sản xuất thể hiện là có hiệu quả (toàn cục) không đổi theo quy mô với mọi  dương,
là trường hợp trong đó nó là hàm thuần nhất dương bậc một (đôi khi gọi là “thuần nhất
tuyến tính”), thoả mãn
f(L,K) =  f(L,K), với mọi  >1, mọi (L,K).

(22)

Trong trường hợp này, tại bất kỳ mức đầu vào nào, nâng tất cả các đầu vào theo
cùng một thừa số nhân cũng nâng đầu ra bởi cùng thừa số nhân đó. Khi đó định lý Euler
về hàm thuần nhất suy ra rằng
f
f
L
K  f ( L, K ).
L
K

(23)

Điều kiện này suy ra, từ (22), khi giả định cạnh tranh hoàn hảo, rằng
wL + rK = pf(L,K)

(24)

ở đây vế trái là tổng thu nhập, tổng của thu nhập lao động và thu nhập vốn, w và r
tương ứng là là tỷ suất tiền công của lao động và vốn. Vế phải là giá trị của đầu ra, được
cho bởi giá của đầu ra nhân với mức đầu ra. Như vậy, điều kiện (24) phát biểu rằng, với
giả định cực đại lợi nhuận và cạnh tranh hoàn hảo, hàm sản xuất có hiệu quả không đổi
theo quy mô hàm ý tổng thu nhập bằng tổng đầu ra. Kết quả này đôi khi được gọi là
“định lý tổng cộng” (“adding-up theorem”). Tổng quát hơn, hàm sản xuất là thuần nhất


.
d ln( MPL / MPK ) d ln( MRTS LK )

(27)

Trong định nghĩa này, tử số bao hàm tỷ số giữa vốn và lao động, trong khi mẫu số
bao hàm tỷ số giữa sản phẩm biên của lao động với sản phẩm biên của vốn, bảo đảm rằng
 là không âm.
Với giả định cạnh tranh hoàn hảo và cực đại lợi nhuận, tỷ số giữa các sản phẩm biên
là tỷ số giữa các giá cả yếu tố. Như vậy, dưới các giả thiết này  có thể được viết


d ln( K / L) d ( K / L)( K / L) ( w / r )d ( K / L)


.
d ln( w / r )
d ( w / r )(w / r )
( K / L)d ( w / r )

(28)

Như vậy, độ co giãn thay thế là thước đo các tỷ lệ yếu tố thay đổi nhanh thế nào đối
với một thay đổi trong các giá cả yếu tố tương đối. Do đó, nó là thước đo độ cong của các
đường đồng lượng. Hình 3 minh hoạ  bằng cách chỉ ra các đường đồng lượng đối với
mỗi trong hai hàm sản xuất. trong trường hợp này đường đồng lượng 1 thể hiện có độ co
giãn thay thế lớn hơn so với đường đồng lượng 2, vì cùng một thay đổi trong giá cả yếu
tố tương đối gây ra một thay đổi lớn hơn trong tỷ lệ các yếu tố, được chỉ ra bằng hình học
như là sự thay đổi trong độ dốc của tia đi từ gốc toạ độ đến điểm tiếp xúc giữa đường

số hạng nhiễu ngẫu nhiên để ui để giải thích cho các biến đổi trong năng lực kỹ thuật
hoặc sản xuất của công ty thứ i, là:
lnyi = a + lnLi + lnKi - ui

(a = ln A).

(32)

ở đây giả định rằng các tham số  và  (và cả các giá cả) là như nhau đối với tất cả
các công ty, những khác nhau giữa các công ty được thâu tóm bởi ui. Một cách để ước
lượng các tham số a, , và  là ước lượng trực tiếp phương trình này, khi cho các số liệu
về đầu ra yi, đầu vào lao động Li , và đầu vào vốn Ki. Vì các số liệu như thế thường không
có sẵn, đặc biệt là số liệu về vốn, hàm này nói chung được ước lượng gián tiếp. Tuy
nhiên, ngay cả nếu các số liệu này sẵn có, việc ước lượng trực tiếp (32) là một thủ tục hơi
đáng nghi ngờ, vì các biến giải thích ln Li và lnKi là các biến nội sinh, được xác định
cùng với ln yi, và không độc lập với số hạng nhiễu ngẫu nhiên, dẫn đến một vấn đề ước
lượng các phương trình đồng thời, đặc biệt là biến giải thích nội sinh. Chúng cũng có
khuynh hướng không độc lập với nhau, có thể dẫn đến vấn đề đa cộng tuyến. Hơn nữa,
phương sai của số hạng nhiễu ngẫu nhiên không nhất thiết là hằng số, dẫn đến vấn đề
không đồng phương sai.
Cách tiếp cận cổ điển để ước lượng hàm sản xuất Cobb-Douglas là giả định cạnh
tranh hoàn hảo và cực đại lợi nhuận, do đó các điều kiện ràng buộc áp dụng được. các
điều kiện này đòi hỏi rằng năng suất biên bằng tiền công thực:


yi
yi
yi
w yi
r


(35)

Các điều kiện thuần nhất đòi hỏi rằng
+=1

(36)

Điều kiện này chính xác là điều kiện rằng hàm Cobb-Douglas thể hiện tỷ lệ hoàn
vốn không đổi theo quy mô.
Khi giả định tỷ lệ hoàn vốn không đổi theo quy mô, phương trình (32) suy ra rằng
lnyi = a + lnLi + (1-)lnKi + ui,

(37)

Từ đó tiép tục suy ra rằng
y
ln  i
 Li


K
  a  (1   ) ln  i

 Li


  u i



 ln  ln 
Li
p

(40)

Thêm một số hạng nhiễu ngẫu nhiên vào quan hệ này, để giải thích cho các sai sót
của công ty trong việc chọn đầu vào để cực đại lợi nhuận, dẫn đến một phương trình hồi
quy. Khi đó, hệ số chặn ước lượng được cho ta một ước lượng của (âm của logarit của)
độ co giãn .
Vậy, có ít nhất bốn phương pháp khác nhau để ước lượng các tham số của hàm sản
xuất, gắn với những giả thiết và những vấn đề kinh tế lượng khác nhau.Phương pháp thứ
nhất là ước lượng chính hàm sản xuất ở dạng tuyến thính lô ga (36). Phương pháp này
không đòi hỏi thêm giả thiết nào (thí dụ hiệu quả theo quy mô), nhưng thường dẫn đến
các vấn đề kinh tế lượng về sự đồng thời (biến giải thích nội sinh), đa cộng tuyến, và
không đồng phương sai. Phương pháp thứ hai là ước lượng hàm sản xuất dạng sâu ở
dạng tuyến tính lô ga. Phương pháp này giảm bớt vấn đề đa cộng tuyến và không đồng
phương sai, nhưng đòi hỏi giả thiết hiệu quả không đổi theo quy mô và vì vậy không thể
được sử dụng để kiểm định giả thiét về hiệu quả tăng hoặc giảm theo quy mô. Nó cũng
có một biến giải thích nội sinh. Phương pháp thứ ba và thứ tư, phương pháp các phần tỷ
lệ yếu tố và phương pháp quan hệ năng suất biên loại trừ các vấn đề về đồng thời, đa
cộng tuyến và không đồng phương sai, nhưng đòi hỏi các giả thiết về hiệu quả không đổi
theo quy mô, cạnh tranh hoàn hảo và cực đại lợi nhuận. Không phương pháp nào trong
các phương pháp này trội hơn các phương pháp còn lại. Mỗi phương pháp thích hợp
trong những tình huống riêng, tuỳ thuộc điều gì được giả định và điều gì định nghiên cứu.
Các ước lượng tham số thu được nói chung sẽ khác nhau, và có rất ít chứng cớ gợi ý ước
lượng nào gần nhất với các giá trị đúng.


Một phê phán dựa vào điều kiện tổng giá trị của đầu ra bằng tổng thu nhập , điều



yi
yi

 1, ln

Li
Li



Li
Li

 1, ln

Ki
Ki



Ki
Ki

1

(42)

Như vậy (41) suy ra rằng:

i


 K i  (1     ) p y i .



(44)

Tuy nhiên, suy ra rằng
p

yi
Li

 w, p

yi
Ki

 r , (1     ) p  0

(45)

Các kết quả này hàm ý rằng
 +   1,

(46)

Điều đó có nghĩa là hiệu quả theo quy mô xấp xỉ là hàng số, và

 ,
a b

(49)

nghĩa là, hoạt động tại đỉnh của các đường đồng lượng. Khi đó,
a

L
K
,b 
y
y

(50)

cho nên các tham số a, b lần lượt là đầu vào lao động trên một đơn vị đầu ra và đầu
vào vốn trên một đơn vị đầu ra – những tỷ lệ cố định của đầu vào so với đầu ra. Các
phương trình trong (50) điển hình được sử dụng để ước lượng các tham số a và b, được
gọi là các hệ số kỹ thuật. Việc ước lượng thường dựa trên một quan sát đơn, nên kỹ thuật
hồi quy không được sử dụng. Hàm sản xuất ước lượng được sử dụng trong các nghiên
cứu đầu vào -đầu ra liên quan với mối quan hệ lẫn nhau giữa các ngành sản xuất phát
sinh từ thực tế là các đầu vào của một ngành bất kỳ bao gồm các phần đầu ra của các
ngành khác. Một trong những hàm sản xuất được sử dụng rộng rãi nhất trong nghiên
cứu thực nghiệm là hàm sản xuất độ co giãn thay thế không đổi (constant elasticity
substitution – CES) dạng:
y = A[ L  + (1-) K   ]-1/
Các tham số định nghĩa trong hàm sản xuất này là:
A: tham số quy mô, A > 0
: tham số phân phối, 0 <  < 1

là -/(1-). Trong trường hợp thay thế hoàn hảo =, nghĩa là những thay đổi nhỏ nhát
định trong w/r sẽ dẫn đến những thay đổi không liên tục trong K/L (thí dụ, từ một điểm
biên sang một điểm biên khác). Tại giá trị tột cùng khác đối với , tức là ở giới hạn khi 
tiến tới ,  tiến tới 0, và trong trường hợp này, ở giới hạn của hàm sản xuất CES khi 
 , nó tiến tới hàm sản xuất đầu vào- đầu ra, như trong (48),
L K 
y  min 
 nếu   , i, e,   0
a b 

(55)

ở giới hạn khi  tiến tới 0,  tiến tới 1; đây là trường hợp hàm sản xuất CobbDouglas, ở đây, lấy giới hạn khi   0, hàm sản xuất CES tiến tới:
y = A0LK1-

nếu  0, nghĩa là 1

(56)

Như vậy, CES là họ các hàm sản xuất bao hàm, như những trường hợp đặc biệt, các
hàm sản xuất Cobb-Douglas, đầu vào-đầu ra và tuyến tính. Các đường đồng lượng của
các trường hợp khác nhau này được chỉ ra trong Hình 4, và ước lượng của  cho ta thông
tin về dạng cong của các đường đồng lượng. Các đường đồng lượng của hàm sản xuất
CES cắt các trục nếu  > 1, và chúng tiệm cận với các đường nằm ngang và thẳng đứng