Kinh nghiệm phân tích, trình bày dạng toán dãy số khi giải toán trên MTCT
I. PHẦN MỞ ĐẦU:
I. 1. Lý do chọn đề tài:
Việc dạy và học toán có sự hỗ trợ của máy tính đã trở nên rất phổ biến trên
toàn thế giới. Trong các tài liệu giáo khoa của các nước có nền giáo dục tiên tiến
luôn có thêm chuyên mục sử dụng máy tính để giải toán.
Ở nước ta, kể từ năm 2001, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tổ chức các kì thi học
sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay” cho học sinh phổ thông ở các cấp, bậc
học. Đội tuyển học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay” huyện Krông Ana
những năm gần đây luôn đạt kết quả cao trong các kỳ thi cấp tỉnh, cấp quốc gia.
Tuy nhiên, khi tổ chức kỳ thi cấp huyện thì những học sinh đạt giải cao chủ
yếu tập trung ở một số trường như trường THCS Buôn Trấp, THCS Lương Thế
Vinh, … Một số trường trong huyện, nhiều năm vẫn chưa có học sinh tham gia
hoặc có tham gia nhưng kết quả đạt được chưa cao, nguyên nhân do kiến thức về sử
dụng máy tính bỏ túi còn mới mẻ nên bước đầu giáo viên còn bỡ ngỡ, gặp nhiều
khó khăn trong việc nghiên cứu và tìm tòi tài liệu. Do đó mà nhiều giáo viên còn
ngại khi được giao nhiệm vụ bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy
tính điện tử. Mặt khác các tài liệu để giáo viên tham khảo còn ít và chưa thực sự có
tính hệ thống.
Trong khi đó nhu cầu học hỏi của học sinh ngày càng cao, các em thích tìm
hiểu ham học hỏi, khám phá những kiến thức mới lạ trên máy tính điện tử. Còn về
phía giáo viên lại không được đào tạo cơ bản về nội dung này, hầu hết giáo viên tự
tìm hiểu, nghiên cứu các kiến thức về máy tính điện tử.
Trong các dạng toán về máy tính cầm tay thì dạng toán về dãy số là dạng toán khá
phổ biến nhưng nhiều giáo viên và học sinh còn gặp nhiều khó khăn trong việc tìm
lời giải, cách trình bày bài giải. Với kinh nghiệm nhiều năm bồi dưỡng học sinh
giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay” tôi xin mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
Trang 1


Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
Trang 2


Kinh nghiệm phân tích, trình bày dạng toán dãy số khi giải toán trên MTCT
bài tập nào biết bài tập đó, giải hết bài này đến bài khác, tốn rất nhiều công sức mà
không đọng lại trong đầu học sinh điều gì đáng kể. Ngay cả những học sinh khá
giỏi cũng vậy, mới chỉ đầu tư vào giải hết bài toán khó này đến bài toán khó khác
mà vẫn chưa phát huy được tính tư duy sáng tạo, chưa có phương pháp làm bài.
Đặc biệt là đối với dạng toán dãy số, một dạng toán đòi hỏi khả năng tư duy, lập
luận cao.
Qua một số năm thực hiện hướng dẫn học sinh giải toán trên máy tính bỏ túi
và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cho bộ môn này, tôi xin đưa ra một số giải
pháp của bản thân về việc: Phân tích tìm lời giải và cách trình bày bài toán về dãy
số.
II. 2. Thực trạng:
a. Thuận lợi, khó khăn:
* Thuận lợi:
Được sự quan tâm giúp đỡ của Phòng Giáo dục huyện Krông Ana, Ban giám
hiệu, tổ chuyên môn trường THCS Dur Kmăn. Được sự tư vấn, giúp đỡ của một số
giáo viên có nhiều kinh nghiệm dạy bồi dưỡng “Giải toán trên máy tính cầm tay”
trong huyện. Bản thân cũng là một giáo viên nhiều năm dạy bồi dưỡng học sinh,
tham gia chấm bài thi của học sinh nên cũng phát hiện ra những mặt mạnh, mặt
yếu, những thiếu sót hay mắc phải của học sinh khi làm dạng toán dãy số.
Do nhu cầu học hỏi của học sinh ngày càng cao, các em học sinh thích tìm
hiểu, ham học hỏi, khám phá những kiến thức mới lạ trên máy tính điện tử. Các em
thấy ngay được sự hữu dụng khi vận dụng máy tính vào giải toán nói riêng và các
môn học khác nói chung, vì vậy môn học dễ gây hứng thú học tập cho học sinh,
kích thích các em tìm tòi và vận dụng máy tính vào giải toán.
Trong chương trình dạy học môn Toán cấp THCS, đã có những tiết dạy,

Khi tiến hành thực nghiệm đề tài này vào thực tế đã nhận được hưởng ứng
rất nhiệt tình từ phía học sinh. Các em có thể phát huy hết khả năng của mình từ
việc phân tích bài toán đến trình bày bài giải. Từ đó khiến các em thấy thoải mái,

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
Trang 4


Kinh nghiệm phân tích, trình bày dạng toán dãy số khi giải toán trên MTCT
thích thú, đam mê đối với các dạng toán giải trên máy tính cầm tay nói chung và
dạng toán dãy số nói riêng
Kết quả học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay” ngày càng được
nâng cao theo từng năm, và đặc biệt là các em không còn sợ dạng toán dãy số.
Nhiều em đã biết liên hệ kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề trong thực tế.
* Hạn chế:
Đối tượng nghiên cứu ít, chỉ áp dụng cho đối tượng là những học sinh khá
giỏi, học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay”.
Dạng toán dãy số là dạng toán khó, ít gặp trong chương trình toán THCS, ít
liên hệ với thực tế.
c. Mặt mạnh, mặt yếu:
Nội dung đề tài tương đối mới, chưa có một tài liệu chính thức nào nói đến.
Cách tiếp cận từ dễ đến khó, từ việc phân tích bài toán đến trình bày bài giải. Tuy
nhiên khi nghiên cứu đề tài, giáo viên và học sinh phải có những hiểu biết cơ bản
về máy tính cầm tay, các thao tác, quy ước cơ bản đã được các nhà sản xuất máy
tính cung cấp cùng máy tính trong quyển “Hướng dẫn sử dụng máy tính”.
d. Các nguyên nhân, các yếu tố tác động:
Sự phối hợp giữa các giáo viên dạy bộ môn Toán giữa các khối lớp. Nếu
ngay từ các khối lớp 6, 7, 8, 9 các giáo viên bộ môn Toán đã quan tâm, lồng ghép
hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay vào các tiết dạy thì học sinh sẽ nắm được
những kỹ năng, thao tác cơ bản. Từ đó, việc giải quyết các dạng toán khó như dạng

còn bấm máy trực tiếp để ghi kết quả hoặc bỏ qua. Điều này là không đúng mà
chúng ta phải viết thuật toán, quy trình bấm phím (lập trình bài giải sau đó thực
hiện các thao tác trên máy tính cầm tay).
Một số giáo viên khi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính
cầm tay” về dạng toán dãy số còn chưa chú ý đến cách phân tích bài toán, trình bày
bài toán mà chỉ dạy các ví dụ cụ thể sau đó đòi hỏi học sinh học thuộc một cách
máy móc. Dẫn đến khi gặp các bài toán tương tự, học sinh sẽ gặp nhiều khó khăn.

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
Trang 6


Kinh nghiệm phân tích, trình bày dạng toán dãy số khi giải toán trên MTCT
Vì lẽ đó, tôi nghiên cứu viết đề tài này nhằm cung cấp các dạng toán cơ bản
về dãy số và nêu ra những cách phân tích bài toán, trình bày bài giải, giúp học sinh
bổ sung kiến thức giải toán, nâng cao kỹ năng thực hành.
II. 3. Giải pháp, biện pháp:
a. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:
Đối với dạng toán dãy số thì có nhiều cách giải, quy trình bấm phím khác
nhau (lập trình trên máy tính). Trong đề tài này sẽ hướng đến phân tích bài toán dãy
số theo các dạng cơ bản, tìm ra lời giải bài toán tối ưu, dễ thực hiện nhất sao cho
khi gặp các bài toán dãy số tương tự thì học sinh cũng có thể thực hiện được.
Quy trình bấm phím trong đề tài này tôi thực hiện trên máy tính CASIO fx
570VN PLUS (hoặc CASIO fx 570ES PLUS).
Ngoài các phím cơ bản trên máy tính, có một số quy ước khi lập trình trên
máy tính như sau:
→ bấm phím SHIFT RCL (chức năng gán biến)
Ví dụ: 1 → A bấm phím: 1 SHIFT RCL ALPHA (-)
= bấm phím ALPHA CALC
Ví dụ: A = B bấm phím ALPHA (-) ALPHA CALC ALPHA 0’’’

hoặc đếm số dấu “=”. Cụ thể:
a→A
b→B
2→D
D=D+1:C=B+A:A=B:B=C
Sau đó nhấn phím CALC = = …=
- Những ví dụ sau, để học sinh chỉ chú ý đến cách phân tích bài toán, thuật
toán nên tôi không cho biến đếm vào quy trình bấm phím.
Ví dụ: Cho dãy số: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1(với n ≥ 2). Lập quy trình
bấm phím liên tục tính un.
Phân tích bài toán:
U1= 1
U2=1
U3=U2+U1
U4=U3+U2
= B+A
= C+B
Gán cho A
Gán cho B
Gán cho C
+ Để sử dụng B+ A thì
A=1
B=1
phải có A=B và B=C
Quy trình bấm:
1→ A
1→ B
C=B+A : A=B:B=C
* Dạng 2: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = mun + kun-1
(với n ≥ 2. a, b là hai số

Gán cho C
Để sử dụng 3B+ 2A thì phải có A=B
Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
Trang 8


Kinh nghiệm phân tích, trình bày dạng toán dãy số khi giải toán trên MTCT
A= 8

B=13
và B=C
Quy trình bấm:
8→ A
13 → B
C=3B+2A:A=B:B=C
* Dạng 3: Cho Cho u1 = a, u2 = b, un +1 = u2n + u2n −1 (với n ≥ 2).
Phân tích bài toán:
U1= 1
U2=2
U3=U22+U21 U4= U23+U22
= B2+A2
= C2+B2
Gán cho A
Gán cho B
Gán cho C
Để sử dụng B2+A2 thì phải có A=B và
A= a
B=b
B=C
Quy trình bấm:

Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, un +1 = 3u2n + 2u2n −1 (n ≥ 2). Lập qui trình bấm
phím liên tục để tính un+1?
Phân tích bài toán:
U1= 1
U2=2
U3=3U22+2U21 U4= 3U23+2U22
=
= 3C2+2B2
3B2+2A2
Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
Trang 9


Kinh nghiệm phân tích, trình bày dạng toán dãy số khi giải toán trên MTCT
Gán cho A
Gán cho B
Gán cho C
+ Để sử dụng 3B2+2A2 thì phải có
A= 1
B=2
A=B và B=C
Quy trình bấm:
1→ A
2→B
C= 3B2+2A2: A=B:B=C
Dạng 5 (Dãy Fibonacci suy rộng dạng): Cho u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un +
un-1 + un-2 (với n ≥ 3).
Ví dụ: Tính số hạng thứ 10 của dãy u1 = u2 = 1; u3 = 2; un+1 = un + un-1 + un-2?
Phân tích bài toán:
U1= U2= U3= U4=U3+U2+U1 U5=U4+U3+ U6=U5+U4+ U3

2
=3B+2A+
Gán cho A Gán cho B
A= 8
B=13

Gán
C
C=2

cho Gán cho D

1
C

1
(n ≥ 2).
n

U4=3U3+2U2+
= 3D+2B+

1
3

1
C +1

+ Để sử dụng 3B+2A+
phải có

quả. Trong đó quy trình bấm phím là quan trọng nhất và chiếm số điểm nhiều hơn.
Do đó khi dạy học sinh, giáo viên nên hướng dẫn, phân tích bài toán để hướng cho
học sinh lập trình trên máy tính.
Không nên yêu cầu học sinh trình bày bài giải bằng cách ghi tên từng phím
có trên máy tính cầm tay vì sẽ mất nhiều thời gian và dễ bị nhầm lẫn. Nếu học sinh
lập được quy trình bấm phím (lập trình trên máy tính) thì chắc chắn sẽ biết bấm
những phím tương ứng để thể hiện quy trình đó.
Ví dụ: (Đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay lớp 9 huyện
Krông Ana năm học 2014-2015)
Cho dãy số (un) xác định bởi công thức: u0 = 2, u1 = 3 và un+1 = 3un – 2un-1 với
mọi số tự nhiên n, n ≥ 1.
a) Tìm u5, u15, u25.
b) Tính tổng S = u1 + u2 + u3 +… + u20.
Với đề bài trên ta có thể trình bày bài giải như sau:
Giải:
Quy trình phím:
2→ A
a)
3→ B
1 → D (D là biến đếm để dễ xác định được u 5, u15, u25, bắt đầu tính từ
u2)
D=D+1:C=3B-2A:A=B:B=C
Sau đó bấm phím CALC = = …=
Khi nào đến D = 5, nhấn tiếp = ghi ra kết quả u5 = 33.
Tương tự, u15 = 32769, u25 = 33554433.
Bằng cách phân tích tương tự ta có thể tính S20 như sau:
b) Vì S = u1 + u2 + u3 +… + u20 nên ta tính u1 = 3, u2 = 5 và un+1 = 3un – 2un-1.
Quy trình phím:
3→ A
5→ B


03
02

HSG cấp tỉnh:
Số lượng đạt HSG cấp huyện
0
III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:

01

III. 1. Kết luận:
Đối với dạng toán dãy số trong giải toán trên máy tính cầm tay có nhiều cách
giải khác nhau, có nhiều cách lập trình quy trình bấm phím khác nhau. Tùy thuộc
vào đối tượng học sinh, từng bài toán cụ thể khác nhau mà các thầy cô có thể áp
dụng những cách giải khác nhau khi dạy học sinh.
Đối với bản thân tôi, khi áp dụng cách dạy đã được nêu trong đề bài cho đối
tượng học sinh chỉ ở mức học lực khá, từ việc phân tích bài toán, lập quy trình bấm
phím đã cho những kết quả nhất định. Học sinh đã không còn sợ dạng toán dãy số
mà còn rất thích thú, ham mê. Kết quả học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm
tay” của trường đạt kết quả càng cao theo từng năm học. Việc học sinh giải toán
trên máy tính cầm tay tốt có thể giúp các em đạt kết quả cao trong các kỳ thi, đặc

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
Trang 12


Kinh nghiệm phân tích, trình bày dạng toán dãy số khi giải toán trên MTCT
biệt là thi toán trên mạng internet. Ngoài ra còn bổ trợ nhiều cho các em trong việc
học tập các môn tự nhiên như toán, lý, hóa, …

Kinh nghiệm phân tích, trình bày dạng toán dãy số khi giải toán trên MTCT
STT
01

02

TÊN TÀI LIỆU
Hướng dẫn giải toán trên máy tính

NHÀ XUẤT BẢN
Công ty CP XNK Bình Tây

CASIO fx 570VN PLUS
Các trang Wed:
/> …

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN

MỤC LỤC
I . PHẦN MỞ ĐẦU …………………………………………………..

Trang
1

Ngô Trí Hiệp – Giáo viên trường THCS Dur Kmăn, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk
Trang 14




d. Các nguyên nhân, các yếu tố tác động……………………………….

5

e. Phân tích, đánh giá các vấn đề thực trạng……………………………
II.3. Giải pháp, biện pháp……………………………………………….

6
7

a. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp …………………………………...

7

b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp………………

7

c. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nguyên cứu……...
III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ………………………………..
III.1. Kết luận…………………………………………………………...
III.2. Kiến nghị………………………………………………………….
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………….
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG
KIẾN…………………….

11
12
12