BÀI 3:
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TRONG HÌNH HỌC
(PPCT: 58 )

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong va trục hoành.
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.

1


BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Bài toán: Tính diện tích hp
b

 S =  f(x) dx
a

y
y = f(x)

 y = f(x) liên t u' c /[a;b]

 y = 0 ( Ox )
 x = a; x = b



c

d

b

b

a

c

d

a

=  f(x) dx +  f(x) dx +  f(x) dx   f(x) .dx

y = - f(x)

B’

S’

a

b

o


1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
 y = f(x) lt u' c /[a;b]

Bài toán: Tính diện tích hp  y = 0 ( Ox )
 x = a; x = b


Ví dụ 1: Tính diện tích hp giới hạn bởi

y = x3

 y = 0 ( Ox )
 x = -2; x = 1


y

y = f(x)

S

b

 S =  f(x) dx
a

o

a

2


BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
y =

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng  y =

x=



f (x) lt u' c/[a;b]
f (x) lt u' c/[a;b]  S =
a; x = b
1

2

b

a f1(x) - f 2 (x).dx

Chú ý: Nếu

x  c


d

= [f1(x) - f 2 (x)]dx + [f1(x) - f 2 (x)]dx + [f1 (x) - f 2 (x)]dx


BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
Ví dụ 2.

Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hs y =
cosx , y = sinx và 2 đt x = 0
,x=π

Ví dụ 3.

Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hs

1
y  x, y  x
2


Ví dụ 3. Giải cách 2.
Ta có:
1
y  x  x  2y
2




Tính diện tích của hình tròn và Elíp
y

Với hình tròn, ta có:
R

Ta có: S  4S1  4 R  x dx
 
0
Đặt x = Rsint t  0; 
2



 /2

 S  4R2



2

R
S1

2

R

Tóm lại
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
y
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

 y = f(x) lt u' c/[a;b]

Bài toán: Tính dt S  y = 0
 x = a; x = b


y = f(x)

S

b

 S =  f(x) dx
a

o

a

2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Bài toán: Tính dt S

y =


2
a
b


BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

b
S = |f1(x)- f2(x)|.dx
a



Ví dụ :

(2)

1/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi y = x3 -3x

va y = x

Giải :
Xét phương trình:

x3 -3x = x
 x3 - 4x = 0
x= 2

 x= 0
x= -2

| |

0

2
0

|

|

= |- 4+8 | + | 4-8 | = 8 (đ.v.d.t)


2/ Tính diện tích hình tron x2 + y2 = R2
Giải
 y  f ( x )  R2  x 2 (c )
1
1
(1)  
 R  x  R 
2
2
 y  f ( x )   R  x (c )

2
2
 x  R
f1 ( x )  f2 ( x )  0  
x  R


R  x dx

  
t   , 
 2 2

Đặt x = R sint; Với

dx = R cost dt

Ta cĩ

x   R  sin t  1  t  
x  R  sin t  1  t 


S2

2








2





 sin 2t 
2
 R2  t 


R
dvdt

2  

2
2


BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
 y = f1 (x) lt u c/[a;b]
'
Bài toán: Tính dt hình phẳng S

Ví dụ: Tính diện tích hp:

Giải:



1

2

= (ex - x) 1 = e2 - e - 1 (đvdt)

b

 S =  f1 (x) - f 2 (x).dx
a


II.Thể tích của caùc vật thể:


II.THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
b

CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH
y

V   S  x  dx
a







V   S  x  dx

S

a

Xét phép:
x
h
O

x2
V : S  S  x  S  x  2 S
h
h
S
Sh
 V  2  x 2 dx 
h 0
3

O

S(x)

x

x

h

.

S’

2

3
h
H
V 
S  SS '  S '
3





O

h’

h

x
17


THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY
a) Vật thể tròn xoay được sinh ra khi cho y = f(x) ltục
trên [a;b], x = a, x = b quay quanh Ox có thể tích:

V    y dx
2

a

18


Ví dụ:
1/ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng
giới hạn bởi đđồ thị hàm số y = sin2x , trục hoành và
x = -π/6; x = /2 quay quanh Ox

2


V    sin 2 x.dx 
2

2



6


2


2

2

- 4 x ) dx = π (x 4 - 8x 3 + 16 x 2 ) dx

∫
1

1 5
16 3
4
= π ( x - 2x + x )
5
3

4

153
(đđ.v.t.t)

5
1


3/ Tính thể tích của hình cầu bán kính R ?
Giải: Nửa đường tròn tâm O bán kính R phía trên trục hoành là
đường có pt

y  R2  x2

Khi cho nửïa đường tròn quanh xung quanh


b) Vật thể tròn xoay được
sinh ra khi cho x = g(y) liên
tục trên [a;b], y = a, y= b
quay quanh Oy có thể tích:

y

Tương tự trên ta có:
b

V    x dy
2

a
O

x
22


BÀI TẬP (SGK)

1.a

1.c

S=9

S = 9/2