ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG
HÌNH HỌC – TOÁN LỚP 12


KIỂM TRA BÀI CŨ
 Tính diện tích hình
phẳng B giới hạn bởi
đồ thị hàm số
x2
y  1
6
trục
hoành,
các
đường thẳng x = 1 và
x=4

 Đáp số:
13
2

6

4

B

2

D



z

(1)

a







S(x)
S(x)

y
x
O

a

x

b


b

V   S ( x)dx (1)


B3

B2
S(x)
A1

h

x
A2

S

S ( x) x 2
S 2
 2  S ( x)  2 x
S
h
h
h
S 2
S x3 h
V   2 x dx  2
h
h 3 0
0
3
S
Sh



x

S(x)

 Thể tích V của nó:
b

V    f 2 ( x)dx (2)
a


2

x
Ví dụ 2:
 y  6 1
x2
Xét hình
 phẳng B giới hạn bởi đồ thị hàm số y  6  1
( B) :  y  0
trục hoành
 x  1và các đường thẳng x = 1, x = 2. Tính
 khối tròn xoay tạo thành khi quay hình
thể tích
x quanh
2
đó
phẳng 

2

1 3
 1

5
 
2  1   2  1  1

9
180


39

20


Ví dụ 3 :
Cho một khối chỏm cầu bán kính R và chiều cao h.
Chứng minh rằng thể tích V của khối chỏm cầu là

h

V h R  
3


y



y

 Thể tích khối chỏm cầu là

V 

R

 R

R h

2

 x  dx
2

y  R2  x2

O

R-h

R

x

3
 2

liên tục và không âm
trên đoạn c; d 

 Hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hsố x = g(y),
trục tung, hai đường
thẳng y = c, y = d, quay
quanh trục tung tạo nên
một khối tròn xoay .

d
x=g(y)
c
O

d

 Thể tích V của nó là:

V    g 2 ( y )dy (3)
c

x


Ví dụ 4:
Cho hình phẳng B giới
hạn bởi các đường x  2 y
trục Oy, y = 1 và y = 8.
Tính thể tích của khối tròn

   2 ydy  2
2 1
1

V  63

2


CỦNG CỐ BÀI HỌC
1. Cho hình phẳng (B) giới hạn bởi các đường y
= (1 – x)2, y = 0, x = 0 và x = 2 . Thể tích của khối
tròn xoay khi cho hình phẳng (B) quay quanh trục
Ox là:

5
 C .
2

8 2
 A.
3
2
 B .
5
Đáp án

 D .2
B


Gọi
Pt hoành
B1 làđộ
hình
giaophẳng
điểm giới
hạn
của bởi
parabole
đồ thị yhs= yx2=(x>0)
x2, trục
Ox,
và đường
các đường
thẳngthẳng
y=1 x=1
và x = 2.

3

2

y=1
1

L

-4

1


x


 y  x 2 ( x  0)

( B) :  y  1
x  2

Gọi V1, V2 lần lượt là thể
tích các khối tròn xoay khi
các hình phẳng B1, B2
quay xung quanh trục Ox
Ta có

V = V1 – V2

y=x2
y=1
1

2

 x5  2 31
   
5
 2 5 1

2