TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN TIN

…

…

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
VỀ NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM

Tên đề tài:

“RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ”

Người hướng dẫn

: ThS. Phạm Hoàng Hà

Cán bộ giảng viên khoa Toán –Tin, ĐHSP Hà Nội.
Người thực hiện

: Trần Văn Trung

Số báo danh, ngày sinh

: 29-03-1980

Trường: PTDTBTTH và THCS Trạm Tấu
Phú Thọ, 6-2012



6
6

9.

PHẦN II: NỘI DUNG

7

10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1. Cơ sở lý luận
2. Cơ sở thực tiễn
3. Mục đích, yêu cầu, chuẩn kiến thức, kỹ năng
4. Thực trạng
Chương 2: Các giải pháp chính
I. Lý thuyết áp dụng
II. Các biện pháp chính để thực hiện

Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

2


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

CÁC TỪ VÀ CỤM TỪ ĐƯỢC VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI
1. GDTHCS: Giáo dục trung học cơ sở
2. THCS: Trung học cơ sở
3. THPT: Trung học phổ thông
4. GV: Giáo viên
5. HS: Học sinh
6. BGDĐT: Bộ Giáo dục và Đào tạo
7. SGK: Sách giáo khoa
8. SGV: Sách giáo viên
9. SBT: Sách bài tập
10. KHTN: Khoa học tự nhiên
11. ĐKXĐ: Điều kiện xác định

Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

3


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Lý do khách quan:

sinh các phẩm chất đạo đức và có năng lực cần thiết như giáo dục đề ra.
Toán học là môn khoa học có từ lâu đời, nó nghiên cứu về nhiều thể loại,
đa dạng và phong phú, nó có lí luận thực tiễn lớn lao và quan trọng như đồng chí
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

4


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

Phạm Văn Đồng đã nói: “Toán học là môn thể thao của trí tuệ nó giúp cho
chúng ta rèn luyện tính thông minh và sáng tạo”. Do đã trang bị cho học sinh
những kiến thức toán học không chỉ gồm các khái niệm, định nghĩa, quy tắc,
tổng quan, … Mà phải trang bị cho học sinh các kĩ năng và phương pháp giải
bài tập, vận dụng toán học vào thực tế cuộc sống. Bắt đầu từ năm lớp 7, học sinh
được làm quen với loại toán rút gọn biểu thức, loại toán này tiếp tục được dạy kĩ
hơn ở lớp 8, lớp 9. Nó có mặt hầu hết ở các đề thi học kì, thi học sinh giỏi, thi
tốt nghiệp, tuyển sinh vào các trường THPT.
1.2. Lý do chủ quan:
Đại số là một môn đặc biệt của toán học. Nếu đi sâu vào nghiên cứu về
môn đại số hẳn mỗi chúng ta sẽ được chứng kiến “Cái không gian ba chiều” lí
thú của nó mà không bao giờ vơi cạn. Rút gọn biểu thức đại số là một trong
những nội dung quan trọng trong chương trình toán của trường THCS. Việc rút
gọn được những biểu thức đại số không đơn giản chỉ là biến đổi thông thường
mà nó đòi hỏi những hiểu biết lô gic và cách giải toán có yếu tố sáng tạo; nó có
ý nghĩa trong việc rèn luyện óc phân tích và biểu thị toán học những mối liên
quan của các đại lượng trong thực tiễn. Trong phân môn đại số - chương trình
toán các lớp 7,8,9 THCS số tiết về dạy học các bài toán rút gọn biểu thức đại số
đã chiếm một vị trí quan trọng, làm nền tảng để phát triển khả năng toán.
Về cả hai phía giáo viên và học sinh đều có khó khăn khi dạy và học kiểu


- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Xây dựng kế hoạch dạy học, chuẩn
bị kĩ cho từng tiết lên lớp, tiến hành giờ dạy,thực hiện kiểm tra đánh giá từ đã
nắm tình hình học tập của học sinh để từ đã điều chỉnh quá trình dạy, bồi dưỡng
học sinh giỏi, giúp đỡ học sinh yếu kém. Tham khảo tài liệu của các đồng
nghiệp, dự giờ một số lớp học, tham khảo ý kiến đồng nghiệp; thu thập các tư
liệu cho bài dạy như tranh ảnh, bài toán, bài đố vui, trò chơi, sách báo có liên
quan…

PHẦN II: NỘI DUNG
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1. Cơ sở lý luận:
- Căn cứ Luật Giáo dục, Điều 27 Mục tiêu của giáo dục phổ thông: Điều
27. Mục tiêu của giáo dục phổ thông, cụ thể như sau:
Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển tồn diện về
đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá
nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã
hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh
tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ
quốc.
- Xuất phát từ mục tiêu chung của giáo dục trung học cơ sở:
Giáo dục THCS nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả
của Tiểu học, có trình độ học vấn phổ thông cơ sở và những hiểu biết ban đầu về
kĩ thuật và hướng nghiệp học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động.
- Học hết chương trình THCS học sinh đạt yêu cầu sau:
+ Yêu nước, hiểu biết, có niềm tin vào lý tưởng độc lập dân tộc vào chủ
nghĩa xã hội.
+ Có kiến thức phổ thông cơ bản, tính giản, thiết thực, cập nhật làm nền
tảng từ đã có thể chiếm lĩnh những nội dung khác của KHTN.
+ Có kỹ năng bước đầu vận dụng vào những kiến thức và kinh nghiệm thu

thức. Những biểu thức như trên còn được gọi là biểu thức số.
- Khái niệm biểu thức đại số ở lớp 7: Trong toán học, vật lý…ta thường
gặp những biểu thức mà trong đã ngồi các số, các ký hiệu phép toán cộng, trừ,
nhân, chia, nâng lên lũy thừa, còn có cả các chữ (đại diện cho các số). Người ta
gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số.
Ví dụ: Các biểu thức: 4x ; 2.(5+a) ; 3.(x+y) ; x2 ; xy ;

1
150
; x − 0,5 ; … là
t

những biểu thức đại số.
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

8


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

b) Các mạch kiến thức có liên quan đến việc rút gọn biểu thức đại số
trong chương trình toán THCS:
* Ở lớp 7: Đơn thức -> Đơn thức đồng dạng (cộng, trừ các đơn thức đồng
dạng) -> Đa thức (cộng, trừ đa thức; đa thức 1 biến và cộng, trừ đa thức 1 biến).
* Ở lớp 8: Cóhẳn 1 chương về phân thức đại số, bao gồm: Phân thức đại
số-> tính chất cơ bản của phân thức-> Rút gọn phân thức-> Quy đồng mẫu thức
nhiều phân thức-> Phép cộng, trừ các phân thức đại số-> Phép nhân, chia các
phân thức đại số-> Biến đổi các biểu thức hữu tỉ (tìm giá trị của phân thức).
Giáo viên cần chú ý đến những vấn đề sau:
3. Yêu cầu chuẩn kiến thức, kỹ năng

b

a:b = :

Bây giờ với hai số nguyên a và b tùy ý, b ≠ 0, ta tìm được một số hữu tỷ x
sao cho bx = a. Đó là
a
1

b
1

x = a.b-1 = .( )-1 =

a 1
a
. = .
1 b
b

- Đối với tập các đa thức trên trường số, tình hình cũng tương tự. Đối với
phép cộng nó là một nhóm aben. Do đó cũng có phép trừ đa thức. Phép nhân các
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

9


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

đa thức có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép cộng. Vì vậy


10


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

nhân tử, sử dụng các phép toán và tính chất của cá phép toán, học sinh hay nhầm
lẫn. Do vậy giáo viên cần rèn luyện cho học sinh có kĩ năng trình bày lời giải
cho các dạng bài tập, để giúp phần nào giải quyết được các dạng bài tập rút gọn
biểu thức đại số và khắc phục những vướng mắc trên. Tôi đưa ra một đề tài về
các bài tập rút gọn biểu thức đại số mà Tôi đã tìm hiểu, tập hợp được thông qua
thực tế giảng dạy.
Chương 2: Các biện pháp sư phạm cần thực hiện để góp phần nâng
cao chất lượng dạy học các bài rút gọn biểu thức đại số
Đề tài hướng dẫn học sinh THCS giải loại toán rút gọn biểu thức đại số.
Tôi đề cập ba vấn đề qua ba dạng toán như sau:
+ Dạng 1: Rèn luyện nhuần nhuyễn những bài toán cơ bản ở SGK, SBT
để tìm hướng giải quyết
+ Dạng 2: Rèn luyện cho học sinh những dạng toán tổng hợp để phát huy
tính tích cực, sáng tạo của học sinh.
+ Dạng 3: Trên cơ sở đã cần tận dụng thời gian để rèn luyện kỹ năng giải
các bài tập nâng cao ở THCS đối với học sinh khá giỏi.
I. Lý thuyết áp dụng
1. Khái niệm biểu thức đại số:
Tính giá trị của một biểu thức đại số, đơn thức, đa thức.
2. Tính chất các biểu thức đại số
- Nhớ được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Cộng trừ nhân chia đa thức.
- Phân tích đa thức thành nhân tử, quy tắc đổi dấu.
- Rút gọn phân thức.

Tính giá trị biểu thức đại số sau tại x = 1; y = -1; z = 3
a) (x2y - 2x - 2z)xy

b) xyz +

Hướng suy nghĩ:
- Đây là bài toán tính giá trị của biểu thức được làm quen ở lớp 7. Đầu
bài cho biểu thức và cho biết giá trị x, y, z. Do đã học sinh chỉ thay giá trị x, y, z
vào biểu thức rồi thực hiện phép tính, trong quá trình thực hiện luơn để ý đến
dấu và luỹ thừa
Giải tóm tắt.
a) Thay x = 1; y = -1; z = 3 vào biểu thức (x2y - 2x - 2z)xy

ta được:

[12(-1) - 2.1 - 2.3].1.(-1) = [ -1 - 2 - 6].(-1) = (-9).(-1) = 9
b) Thay x = 1; y = -1; z = 3 vào biểu thức xyz +

ta được:

1.(-1).3 + = -3 + = -3 - 1 = -4
Học sinh hay mắc sai lầm là biến đổi luỹ thừa và dấu của nó
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

12


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

Bài 1.2

Bài 1.4:
Rút gọn biểu thức:
A= Hướng suy nghĩ:
- Muốn rút gọn biểu thức này thì nhớ dạng tổng quát
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

13


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

- = + (- )
- Phải nhớ được quy tắc trừ hai phân thức
- Quy đồng mẫu hai phân thức
Cách giải:
A= - = -

(1)

MTC: x(x + 1)(x - 1)
Ta có:
A= = +
=
= =
Bài 1.5:
Rút gọn biểu thức:
a) .

b) .


- Nhớ tổng quát: : = .
- Vận dụng hằng đẳng thức;
- Phân tích tử mẫu thành nhân tử, rút gọn.
Cách giải:
: = .
=
=
Học sinh đa số biến đổi được dạng này.
Bài 1.7:
Biến đổi biểu thức thành phân thức
Đây là biểu thức không khó lắm đối với học sinh lớp 8 muốn biến đổi nó thành
một phân thức thì phải viết chúng về dưới dạng phép tính ngang sau đã thực
hiện phép tính, ta cóthể viết như sau:
A = = ( - 2) : ( )
=. =
Bài 1.8:
Rút gọn biểu thức cóchứa dấu căn bậc hai:
a)

+

b) 5. + . +

Hướng suy nghĩ:
- Ta cần thực hiện các phép biến đổi nào ?
- Học sinh nhớ lại các phép biến đổi căn bậc hai
- Phối hợp để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Cách giải:
a)


−
)
2 2 a
a +1
a −1

a a − 1 2 ( a − 1)2 − ( a + 1)2
P =(
).
2 a
( a + 1)( a − 1)
P =(
P=

a −1 2 a − 2 a +1− a − 2 a −1
).
a −1
2 a

−(a − 1)4 a 1 − a
=
4a
a

Vậy P =

1− a
vì a > 0 và a ≠ 1
a


Hướng suy nghĩ:
- Học sinh nhớ được quy tắc cộng 2 phân thức không cùng mẫu.
- Nắm được ba bước quy đồng.
- Vận dụng hằng đẳng thức thứ 7 phân tích tử mẫu thành nhân tử.
Giải tóm tắt
A= +
= +
=
=
==
Bài 2.2:
Rút gọn biểu thức:
B= .
Hướng suy nghĩ:
- Muốn rút gọn được phải nhớ lại cách tách hạng tử để phân tích đa thức thành
nhân tử
Giải tóm tắt
B =.
=.
=.
= =1
Học sinh hay mắc phải: không nhận ra cách tách hạng tử để phân tích thành
nhân tử.
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

17


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”


18


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

=
=
= =
= - (x2 + 2x + 2)
Q = - (x2 + 2x + 2)
Học sinh tách hạng tử tự do sau đã đưa về dạng hằng đẳng thức
Q = - (x2 + 2x + 1 + 1)
= - (x + 1)2 - 1
Có: -(x + 1)2 < 0 với mọi x
-1 Q = -(x + 1)2 - 1 < 0 với mọi x
d) Ta có: -(x + 1)2 ≤ 0 Với mọi x
Q = - (x + 1)2 - 1 ≤ - 1 với mọi x
 GTLN của Q = -1 khi x = -1 (TMĐK)
Học sinh thường hạn chế về ý c,d
Bài 2.5: Cho biểu thức P =
Tìm x để P có giá trị nguyên
Hướng suy nghĩ:
- Học sinh phải rút gọn
- Tìm x để P có giá tri nguyên
Cách giải:
P= =
=
= =
Vậy để P nhận giá trị nguyên thì x2 + 1 = Ư(3) = {±1; ±3}

các phép tính cần lưu ý hơn cho học sinh ở phần này.
Bài 2.7: Cho biểu thức:
Q= -(1+):
a) Rút gọn Q.
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b.
Hướng suy nghĩ:
- Biểu thức này tương đối tổng hợp cócác phép tính cộng, trừ, nhân, chia và
cóchứa căn bậc hai;
- Học sinh phải biết thực hiện các phép tính trong ngoặc trước sau đã tiếp đến
phép nhân và phép trừ;
- Biết thay giá trị của a vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

20


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

Cách giải:
a) Rút gọn:
Q= -(1+):
= -.
= - =
= =
b) Khi cóa = 3b ta có:
Q= = =
Nhược điểm đa số học sinh thực hiện biểu thức dạng này còn hạn chế khi thực
hiện phép tính.
Thay giá trị a vào biểu thức chứa căn.
Bài 2.8

a) Rút gọn:
Q = ( - ): ( - )
= :
= :
=.
=
b) Q = -1
 = -1 với a > 0 và a ≠1; a ≠ 4
 - 2 = -3
4=2
 = (TMĐK)
c) Q > 0
 >0
Vì a > 0 và a ≠1; a ≠ 4  3 > 0
Vậy > 0  - 2 > 0


a >2



a > 4 (TMĐK)

Bài toán này tương đối khó với học sinh vì rút gọn biểu thức cóchứa căn bậc hai,
đa số học sinh còn hạn chế cách biến đổi các phép toán trong căn để rút gọn.
Bài 2.10:
Cho biểu thức
P = - ): ( - )
a) Tìm điều kiện để p xác định
b) Rút gọn P


Kết luận: P =  x = 64
Bài 2.11
2 x 3 − 7 x 2 − 12 x + 45
Cho biểu thức B = 3
3 x − 19 x 2 + 33 x − 9

a) Rút gọn B
b) Tìm x để B > 0
Hướng dẫn cách giải:
- Đây là một phân thức, học sinh phải biết phân tích mẫu thức trước khi tìm điều
kiện để biểu thức có nghĩa.
- Biết cách tìm x để B > 0
Cách giải:
a) Phân tích mẫu:
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)

23


Đề tài nghiên cứu khoa học “Rút gọn biểu thức đại số”

3x3 – 19x2 + 33x – 9 = (3x3 – 9x2) – (10x2 – 30x) + (3x – 9)
= (x – 3)(3x2 – 10x + 3)
= (x – 3)[(3x2 – 9x) – (x – 3)]
= (x – 3)2(3x – 1)
Đkxđ: (x – 3)2(3x – 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ 3 và x ≠

1
3


2
x
+
5
>
0
2x + 5


2
3
⇔
⇔
c) B > 0 ⇔
> 0 ⇔ 
3x - 1
3 x − 1 < 0
x < − 5
 x < 1




2
3
  2 x + 5 < 0

 x < − 5
 

Cách giải:
a) Nếu x + 2 > 0 thì x + 2 = x + 2 nên ta có:
x3 + x 2 − 2 x
x3 + x 2 − 2 x
x( x − 1)( x + 2)
x2 − x
=
=
D = x x + 2 − x2 + 4 =
x( x + 2) − x 2 + 4 x( x + 2) − ( x − 2)( x + 2)
2

Nếu x + 2 < 0 thì x + 2 = - (x + 2) nên ta có:
x3 + x 2 − 2 x
x3 + x 2 − 2 x
x( x − 1)( x + 2)
−x
=
=
D = x x + 2 − x2 + 4 =
2
− x ( x + 2) − x + 4 − x ( x + 2) − ( x − 2)( x + 2) 2

Nếu x + 2 = 0 ⇔ x = - 2 thì biểu thức D không xác định
b) Để D có giá trị nguyên thì

−x
x2 − x
hoặc
có giá trị nguyên

= 15
c) Khi x = 6 ta có D =
=
2
2

Trong quá trình giải bài toán học sinh dễ bỏ sót trường hợp x + 2 = 0
Bài 2.13
Cho biểu thức
 1
1 
2
1
A = 
+
.
+ +
y  x + y x
 x

3
3
1 x + y x + x y + y
:
y 
x 3 y + xy 3

a ) Rút gọn A;
b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Trần Văn Trung- Lớp ĐHSP Toán K3 (Khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội)