SỞ GD&ĐT TIỀN
GIANG

KỲ THI HỌC KỲ HAI
Môn thi: TOÁN  Khối 10
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ

I - PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
1) Cho a  0; b  0 . Chứng minh rằng : (a  b)(b  c)(c  a)  8abc
2) Giải bất phương trình:
a.

x  3
0
 x2  9 x2  4

b. 2x  3  x  1

Câu 2: (1.0 điểm) Chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền được cho trong bảng sau:
Lớp chiều cao (cm)
[ 168 ; 172 )
[ 172 ; 176 )
[ 176 ; 180 )
[ 180 ; 184 )
[ 184 ; 188 )
[ 188 ; 192 ]
Cộng


 tan 3   tan 2   tan   1
3
cos 

Câu 6a (1,0 điểm). Cho elip (E ) :
dài các trục của (E )
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu 5b (2,0 điểm).

x2 y 2

 1 . Xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ tiêu điểm của, độ
16 9


1/ Cho biết tan  3. Tính giá trị của biểu thức : A 

2/ Chứng minh

2sin2   1
sin2   2cos2 

sin 3a  sin 5a  sin 7a
 tan 5a
cos 3a  cos 5a  cos 7a

Câu 6b (1,0 điểm). Cho Elip (E )

x2 y 2


Câu 1

ĐÁP ÁN
I - PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
1 1) Cho a  0; b  0 . Chứng minh rằng : (a  b)(b  c)(c  a)  8abc

Ý

+ Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số a,b (1)
+ Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số b, c (2)
+ Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số c, a (3)
+ Nhân (1) , (2) và (3) ta có điều phải chứng minh

0,25
0,25
0,25
0,25

2 2) Giải bất phương trình:
a.

2.0
0,75

x  3
0
 x  9 x2  4
2

+ Tìm nghiệm các tam thức đúng : -2;,2;3


+ Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S =  ;   (4; )
Câu 2

ĐIỂM
7.0
1,0

Câu 2: Chiều cao của 40 vận động viên bóng chuyền được cho trong bảng
sau:
Lớp chiều cao (cm)

Tần số

[ 168 ; 172 )
[ 172 ; 176 )
[ 176 ; 180 )
[ 180 ; 184 )
[ 184 ; 188 )
[ 188 ; 192 ]

4
4
6
14
8
4

0,25
1.0

0,25
0,25

7 3
3

0,25

Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(–1; 2), B(3; –5), C(4; 7).
1 Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A và C, phương
trình đường cao kẻ từ đỉnh C của tam giác ABC
* Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A và C
+ Véc tơ chỉ phương hoặc véc tơ pháp tuyến đúng
+ Kết quả đúng : x + y -1 = 0
* phương trình đường cao kẻ từ đỉnh C của tam giác ABC
+ Vectơ pháp tuyến n  (4; 7)
+ Kết quả đúng: 4x – 7y + 33 = 0
2 Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
+ Phương trình đường tròn
+ Thay tọa độ A,B,C được hệ ba ẩn

113
19
130
;b  ;c 
22
22
11
+ Vậy pt đường tròn : 11x2  11y 2  113x  19 y  130  0



0,25
3.0
1.0
0,25

4
5
3
+ tan  
4
4
+ cot  
3

+ cos  

0,25
0,25
0,25
.

2

Chứng minh

cos   sin 
 tan 3   tan 2   tan   1
3
cos 


dài các trục của (E )
+ Xác định đúng a, b, c
+ A1 (4;0); A2 (4;0); B1 (0; 3); B2 (0;3)

0,25
0,25
0,25
0,25

+ F1 ( 7;0); F2 ( 7;0) .
+ A1 A2  8; B1B2  6
Câu 5b 1

Cho biết tan  3. Tính giá trị của biểu thức : A 
A

2

2sin2   1
sin2   2cos2 

3tan2   1

4
tan2   2
sin 3a  sin 5a  sin 7a
Chứng minh
 tan 5a
cos 3a  cos 5a  cos 7a


Ax + By + C = 0 luôn thỏa mãn 25 A2  9B2  C 2 . Tính tích khoảng cách từ
tiêu điểm F1 , F2 của Elip
(E)

x2 y 2

1
25 9

0,25

Ta có a = 5, b = 3, c = 4
Vậy (E) có hai tiêu điểm F1 (4;0); F2 (4;0) . Ta có
m1  d ( F1 , ) 
m2  d ( F2 , ) 

Suy ra m1.m2 

4 A  C
A B
4A  C
2

2

A2  B 2
C 2  16 A2

(1)

2x 1  2  x .

b). (1,5 điểm)

Câu 2: (3,0 điểm)
3
4

a). (1,5 điểm) Cho 900< 
1.b
1,5

3.b
1.5

về:
Nếu x < 2, KL đúng n0 của BPT: 0.5
Nếu x
2

giải đúng n0 của BPT:

3.c
1đ

0.5

KL: Tập n0 của BPT đã cho là: 0.25
2.a.
1.5

3.a
1đ

Viết đúng công thức:
sin2
=1
Tính đúng:


0.25

Từ giả thiết, ta có:
cos

Tìm đúng vtcp của
Chỉ rõ đt cần tìm nhận

0.5

B C
BC
A
BC
A
 0,sin
 cos , cos
 sin
2
2
2
2
2

0.5
0.5

Ptđt cần tìm là: x+y - 4=0
Viết đúng pttq của



Thay vào (1) ta được:
A
A
A
2  2sin 2 A  1
2sin .cos 
2
2 sin A
2
2
 cos A  0  A  900  ĐPCM.

0.5

IV

VT=
=

0.5

KL: MA2 +MB2 nhỏ nhất khi
t = và M(

0.5
0.5

Điểm



ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2
Môn Toán – lớp 10
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 ( 3 điểm ) Giải các bất phương trình sau.
a) (x-2)( x 2 +5x +6 ) > 0
b)

 2x 2  7x  7
 1
x 2  3x  10

Câu 2 ( 1 điểm ).Tìm các giá trị của m để bất phương trình:
x2 – m x – 3m -1 > 0
Câu 3 (1,5 điểm ) Biết cos  = 

và (



Lập bảng xét dấu đúng

0.5đ
0.5đ

S=(-3;-2)  ( 2;+∞)
b

ĐIỂM

 2x 2  7x  7
 x 2  4x  3


1
0

x 2  3x  10
x 2  3x  10
Lập bảng xét dấu đúng

0.5đ
0.5đ
0.5đ

S=( - ∞; -2)  [1;3]  (5; +∞)
2

x2 – m x – 3m -1 > 0 x  R

4
5

0.25đ

24
4 3
sin2α = 2sinα cosα =2.    = 25
5 5

0.5đ

2

7
4
cos2α = 1 - 2 sin α = 1 – 2   = 25
5
2

4

0.5đ


a

cos a  cos 7a
 tan 4a
sin 7a  sin a

0.25đ

(d) :6x-15y + 5= 0

d

AH= d(A;BC)=

5.6  2.2  13
52  2 2

0.25đ

21

29

0. 5đ

BC= 29
0.5đ

1 21
21
S ∆ABC =
. 29 
2 29
2
6


a 2 +b 2 = c 2  b 2 = a 2 - c 2  b 2 =16 -4 =12
phương trình ( E) :

0.25đ

2

x2 y2

1
16 12

0.25đ
0.25đ

0.25đ


Câu I: (5 điểm)

2
1. Giải bất phương trình:  x  1 x  2  x  4  x  8  4 x
2. Cho các số thực a, b, c (với a ≠ 0) sao cho: phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai

nghiệm thuộc đoạn  0; 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 

 a  b  2a  b 
.
a a  b  c


4
0

biểu thức:

P  x 2  11x 

1 2 x  11
3y


.
2
y
xy  1
y

Câu V: (5 điểm)
1. Trên m t ph ng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường th ng d1 : 2 x  3 y  3  0 và

d 2 : 5x  2 y  17  0 . Đường th ng d đi qua giao điểm của d 1 và d 2 cắt hai tia Ox, Oy l n lư t
tại A v B. Viết phương trình đường th ng d sao cho

AB 2
nhỏ nhất.
S 2OAB

2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A1, B1, C1 l n lư t l hình chiếu vuông góc của G
xuống cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng:


x
KL: nghiệm của BPT là: x 5 17;5 17
a b 2a b .
2. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: P
a a b c

b

x1 x2 a
Gi x1, x2 l 2 nghim ca PT ó cho. Theo Vi-et:
x x c
1 2 a
Do a 0 nờn ta cú :
b
b
1 2 1 x x 2 x x
x 2 x22 x1 x2
a
a
1
2
1
2
P

2 1
1 x1 x2 x1 x2
1 x1 x2 x1 x2
b c
1


Thang
im
5.0
2.5
0,5
0,5

1,0

2.5

0,5

0,75

0,75

0,5

5.0


1.Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: ( x  1)( x  2)( x  8)( x  9)  y 2
Đ t t  x  5 , ta đư c:
( x  1)( x  2)( x  8)( x  9)  y 2  (t 2  9)(t 2  16)  y 2 (1)
25
Đ t u  t2 
( 2u  Z ) (1)  (2u  2y)(2u  2y)  49
2



2u  2 y  7 2u  2 y  7
 y0  y0
2u  7  t  4  x  1 hay x  9
2u  7  t  3  x  2 hay x  8
Từ đó ( x, y)  (1 ; 0) , (2 ; 0) , (8 ; 0) , (9 ; 0)
Tóm lại phương trình có 10 nghiệm nguyên (x, y) l :
(1; 0) , (2 ; 0) , (8 ; 0) , (9 ; 0) , (0 ; 12) ,
(0 ;  12) , (5 ; 12) , (5 ;  12) , (10 ; 12) , (10 ;  12)
2. Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm
1
1
Đ t u = x  và v = y  với u  2, v  2
x
y

u  v  5
u  v  5
Hệ đã cho trở th nh:  3 3


u v  8  m
u  v  3  u  v  15m 10
2
u, v l các nghiệm của PT : t – 5 t + 8 = m (1)
Hệ đã cho có nghiệm khi v chỉ khi PT (1) có nghiệm t1, t2 thoả mãn t1  2, t2  2
(t1, t2 không nhất thiết phân biệt)
Xét h m số y = t2 – 5 t + 8 với t (;  2   2;   


1.0

+
+

22
2
1.0


7
4

7
 m 2
Từ bảng biến thiên suy ra hệ đã cho có nghiệm khi  4

 m  22
0.5
III.

IV

Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định.
Gọi Ot l tia phân giác của góc xOy
uy ra Ot cố định. Gọi I l giao điểm MN với tia Ot.
Ta chứng minh I cố định.
1
* SOMN  OM .ON.sin MON
2

)
3 OM ON
2013 3
1 2 x  11
3y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x 2  11x  2 
.

y
xy  1
y
Ta có: P = ( x +

1 2
1
) + 11( x + ) +
y
y

3
x

1
y

. Đ t: t = x +

1
> 0. Ta có:
y

2

47
1
Vậy: Min P =
đạt đư c khi x = và y = 4.
4
4

3.0đ
0.5

0.5

1.0

1.0

2.0đ

0.5

P = t 2 + 11 t +

V

1.0

0.5


a b

AB 2
OA2  OB 2
1 
1 
 1
 1

4
.
 4.

 4 2  2 
2
2
2
2
2 
S OAB
OA .OB
OB 
b 
 OA
a
Áp dụng bất đ ng thức Bunhiacôpski ta có
Ta có

0.5



3
S OAB 5
 3a  b
 b  10
Khi đó đường th ng d có phương trình 3x  y  10  0 .

0.5

2
2
2
2. Chứng minh rằng: a .GA1  b .GB1  c .GC1  0 . (Với a=BC, b=AC, c=AB).

2.5đ

a2 .GA1  b2 .GB1  a 2 .GC1  0  (a 2 .GA1  b2 .GB1  a 2 .GC1 )2  0
 a 4 .GA12  b4 .GB12  c4 .Gc12  2a 2b2 GA1.GB1  2a 2c2 GA1.GC1  2b2c2 GB1.GC1  0 (*)
ha
h
h
, GB1  b , GC1  c , aha  bhb  chc  2S ,
3
3
3
0
GA1.GB1  GA1.GB1.cos(180  C )  GA1.GB1.cosC , -2ab.cos C  c 2  a 2  b 2

0.75


9

0.75

L điều phải chứng minh.

1.

Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh sau:

 x 1  y  x   2 y 2  y


x 2 y  2  y x 1  2





 

x  1
®k: 
(**)
y  0
 x 2  x 1  y   2 y 2  2 y  0(4)

HPT  
x 2 y  2  y x  1  2 (5)


0,5
1,0

A
M
N

0,25

C

B

Ta có: BN 

CA  kCB BA   k  1 BC
BC  2 BA

, CM 
1 k
k 1
3







Do BN  CM  BN .CM  0  BC  2BA BA  1  k  BC  0

 C  1;3

x  2 y  5  0
y  3

Gọi d l đường th ng đi qua B v vuông góc với đường phân giác góc C, d có phương
trình:
2  x  2   y  1  0  2 x  y  5  0 .

0,5

Tọa độ điểm H l giao điểm của d v phân giác góc C l nghiệm của hệ:
x  2 y  5  0
x  3

 H  3;1

2
x

y

5

0

y 1

Gọi B’ l điểm đối xứng với B qua đường phân giác góc C, khi đó B` thuộc AC v H
l trung điểm BB` nên ta có:



f 1  0 và f m2  2n2   f  m    2  f  n   với mọi m, n  N . Tính các giá trị của f  2 
2

2

và f  2013 .
Đ t f  2   a . Cho m  n  0  f  0   3  f  0    f  0   0 .
2

Cho m  1; n  0  f 1   f 1   f 1  1 . Cho m  n  1  f  3  3.
2

 

0,25

Cho n  0  f m2   f  m   , m  N nên f  4   a 2 .
2

M t khác với mỗi số tự nhiên

0,25


k  3   k  1  2  k  2    k  3  2k 2
2

2


 f  n  1  2  f  n  2    f  n  3   2  f  n 
  f  n  1    n  3  2n  2  n  2    n  1  f  n  1  n  1
2

2

2

2

2

2

2

2

Do đó f  n   n, n  N  f  2013  2013.

2

0,5


Câu 1: Giải các bất phương trình sau: a)

2x  5
1


b) x2  x  4 x  6  0

x2  x  3  x2  x  1

2

1  cos x  1  cos x 
b) Chứng minh rằng :

1
(sin x  0) .

  2cot x
sin x  sin 2 x

Câu 5: Cho đường tròn  C  : x2  y 2  4 x  4 y  1  0 và đường thẳng  : 3x – 4y – 2 = 0. Viết

phương trình đường thẳng  ' song song với  cắt  C  tại hai điểm phân biệt A và B sao cho
AB  2 5
1
3
. Tính A  2
sin a  sin a cos a  cos 2 a
3
b) Cho tan   3 . Tính giá trị biểu thức A  sin 2   5cos2 

Câu 6: a) Cho cota =

Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC với A(1; 2), B(2; –3), C(3; 5).

b)


5 3

;
   2 . Tính cos  ; tan  ; sin     ; tan 2 .
4
3 2


4 3

, 0  a  . Tính sin2a, cos 2a, tan2a
3
4
a. Hãy tính góc giữa 2 đường thẳng d1 và d 2 biết: (d1 ) : 2 x  3 y  1  0 và

b) Cho tan a  cot a 
Câu 3:

 x  2  4t
(d 2 ) : 
(t  R)
y 1 t

* b. Cho đường tròn (C): x2  y 2  4 x  8 y  5  0 . Viết phương trình tổng quát của đường
thẳng (d) biết (d) song song với (  ): 4x – 3y + 5 = 0 và chắn trên đường tròn (C) một dây cung
có độ dài bằng 8.
Câu 4: a) Cho elip (E): 16 x2  49 y 2  784. Hãy xác định độ dài trục lớn; độ dài trục nhỏ; tiêu cự;




6



 4



vào x
Câu 7: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng : cos A  cos B  cos C 

3
2

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của m làm cho bất phương trình
f ( x)  (m  1) x2  2(m  2) x  m  6  0 có tập nghiệm T  
Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng, (d1 ) : x  y  2  0;(d2 ) : 2 x  y  5  0 và điểm
M(-1;4)
a) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm M và tiếp xúc với đường thẳng (d1)
b) Viết phương trình đường thẳng () cắt (d1) ; (d2) lần lượt tại A và B sao cho M là trung
điểm của đoạn thẳng AB
Câu 10: Cho phương trình: x4  2mx2  3m  2  0 . Tìm m để phương trình cho có 4 nghiệm phân
biệt


Câu 1 : Giải phương trình : a.


b) Rút gọn biểu thức A =

1+ 2sinxcosx
(1+ tanx)(1+ cotx)

c) Chứng minh biểu thức C  cos2 (a  x)  cos2 x  2cos a.cos x.cos(a  x) độc lập đối với x
Câu 6: Chứng minh đẳng thức sau :
cos a  cos3a  cos5a
 cot 3a
sin a  sin 3a  sin 5a



 1
c) sin a.sin   a  .sin   a   sin 3a
3

3
 4

a)

e) 96 3 sin


48

cos



một điểm A(0; 1).
a. Viết PTTQ của đường thẳng (d’) qua A và song song với (d) .
b. Tìm điểm M thuộc d sao cho AM ngắn nhất.
Câu 8 :Viết phương trình chính tắc của elip (E) , biết elip (E) đi qua hai điểm

 2
3
7 
M 1;
;
 ; N 

 2 
 2 2 2

Câu 9:
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2  y 2  2 biết tiếp tuyến có hệ số góc là
1
b) Viết ptrình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2  ( y  1)2  25 biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng 3x – 4y +1 = 0
Câu 10 :
a) Cho đường thẳng (d): x – 2y + 15 = 0. Tìm trên (d) những điểm M (xM ; yM ) sao cho x2M
+ y2M nhỏ nhất--b) Cho đường tròn (C): x2  y 2  2 x  4 y  1  0 và đường thẳng (d): 4x – 3y + m = 0. Tìm m
để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AIB  1200 , với I là tâm của đường tròn (C)



Câu 1 : Giải phương trình : a) 3 – 5x +

x2  x  2 = 0

cos 2   cot 2 
 x  2  2t
Câu 7: a) Cho đường thẳng (d) : 
và điểm A(3; 1). Lập ptrình tổng quát của đường thẳng ()
 y  1  2t
qua A và (d).
 x  1  2t
b) Tính góc giữa 2 đường thẳng sau : () : 2x  3 y  1  0 và ( ') : 
(t  R)
 y  1  t

b) Rút gọn biểu thức sau : M =

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) : x2  y 2  4 x  2 y  4  0 biết tiếp tuyến qua
A(-1 ; 2)
Câu 8: a) Lập chính tắc của elip (E), biết một tiêu điểm của (E) là F1(–8; 0) và điểm M(5; –3 3 ) thuộc
elip.
5
b) Lập phương trình chính tắc của (E) có tâm sai e 
và hình chữ nhật cơ sở có chu vi là 20.
3
Câu 9: Viết phương trình đường tròn (C) biết:
a. (C) qua A(0, 2); B(-1, 1) và có tâm I nằm trên đường thẳng 2x + 3y = 0
b. (C) qua A(5, 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: x + 3y + 2 = 0 tại điểm M (1, -1).
Câu 10 : Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1 ;-3) và đường thẳng (d ) : x  2 y  2  0 . Tìm tọa độ của B, C
tren (d) sao cho tam giác ABC vuông cân tại B


Câu 1 : Giải các bất phương trình và hệ bất phương trình sau :
2


c) Rút gọn biểu thức: B  sin(  x)  cos 
 x   tan 
 x   cot(2  x)
2
2




d) Chứng minh biểu thức M = cos6x + 2sin6x + sin4x.cos2x + 4sin2x.cos2x – sin2x không phụ
thuộc vào x.
Câu 5: Chứng minh các đẳng thức sau:
1  sin 2 x
tan x  1
a)
b)

2
2
sin x  cos x tan x  1
sin3 x(1  cot x)  cos3 x(1  tan x)  sin x  cos x

 
 3
c) cos 2 x  sin   x  sin   x  
6
 6
 4


x
1

2
( x  3)
x3

b)  x2  6 x  5  4 x 2  32 x  64
Câu 2: Giải các phương trình sau:
a. 21  4 x  x2  x  3
b. x2  3x  2  2 x 2  4 x
Câu 3: Tìm điều kiện của m để bất phương trình sau : mx2 – 2(m – 2 )x + m – 9 > 0 có nghiệm đúng với
mọi x thuộc R.
Câu 4: a) Tìm các giá trị lượng giác của cung  biết: sin  
b) Rút gọn biểu thức sau: B=

1
5

và


2

  .

1  2sin 2 
2cos 2   1

cos   sin  cos   sin 

b) Tìm tọa độ điểm N trên d sao cho tam giác AON vuông tại A.
c) Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và cách điểm B(– 1 ; 5) một khoảng cách là 2 .
Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ABC với A(1; 2), B(2; –3), C(3; 5).
a) Viết phương trình đường tròn tâm B và tiếp xúc với đường thẳng AC.
b) Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với AB và tạo với 2 trục toạ độ một tam giác có
diện tích bằng 10.
1
Câu 8: Viết phương trình chính tắc của elip  E  biết (E) có tiêu cự là 8 , tâm sai e 
2
Câu 9 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC với B(2; -7), phương trình đường cao AA’: 3x +
y + 11 = 0 ; phương trình trung tuyến CM : x + 2y + 7 = 0 . Viết phương trình tổng quát của đường
thẳng AB và AC.
Câu 10 : Viết pt đường tròn đi qua điểm A(1;3) và tiếp xúc với hai đường thẳng 1: x + 2y + 2 = 0 và 2
: 2x – y + 9 = 0