MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Khi nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại, nhiều kết quả tính toán lý
thuyết không phù hợp với kết quả thực nghiệm. Điều này có thể là do trong tinh thể còn tồn tại
tạp chất, sai hỏng mạng hoặc do các tính toán lý thuyết được xây dựng đối với các mô hình gần
đúng.
Các phương pháp gần đúng trong tính toán lý thuyết có những giới hạn sử dụng của chúng,
chẳng hạn như trong lý thuyết nhiễu loạn không dễ dàng nhận thấy một số hiện tượng vật lý như
sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha trạng thái… Điều đó đòi hỏi phải có những phương
pháp mới không nhiễu loạn như phương pháp phiếm hàm mật độ, phương pháp hàm Green,
phương pháp ab initio, phương pháp đại số biến dạng, phương pháp thống kê mômen,… mà
chúng bao hàm tất cả các bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn và giữ được các yếu tố phi tuyến
của lý thuyết.
Trong thời gian gần đây, nghiên cứu ứng dụng đại số biến dạng đã thu hút được sự quan
tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết vì các cấu trúc toán học mới của đại số biến dạng phù hợp với
nhiều lĩnh vực của vật lý lý thuyết như thống kê lượng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn…
Lý thuyết đại số biến dạng đã có những ứng dụng trong lý thuyết trường và hạt cơ bản, đặc biệt là
trong vật lý hạt nhân. Lý thuyết đại số biến dạng đã thành công trong giải thích các vấn đề liên
quan đến boson. Trong luận án này, chúng tôi lựa chọn lý thuyết đại số biến dạng để nghiên cứu
hệ fermion. Cụ thể là chúng tôi dùng lý thuyết này để nghiên cứu nhiệt dung và độ cảm thuận từ
của khí điện tử tự do trong kim loại ở nhiệt độ thấp.
Nghiên cứu màng mỏng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu do những ứng dụng
to lớn của nó, khi vật liệu có kích thước nanomet thì tính chất của nó khác biệt so với vật liệu
khối. Ngày nay, màng mỏng được sử dụng rộng rãi trong khoa học, công nghiệp và đời sống hàng
ngày như công cụ cắt, cấy ghép y tế, các yếu tố quang học, mạch tích hợp, thiết bị điện tử...
Trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của màng mỏng kim loại có nhiều phương pháp lý thuyết
khác nhau. Mặc dù các phương pháp đó đã thu được một số kết quả nhất định nhưng chúng cũng
còn một số các hạn chế nhất là chúng chưa xem xét đầy đủ đến hiệu ứng phi điều hòa của dao
động mạng. Trong những năm gần đây, phương pháp thống kê mômen (PPTKMM) đã thành
công trong nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể ở dạng khối khi tính đến
ảnh hưởng phi điều hòa của dao động mạng. Trong luận án này, lần đầu tiên chúng tôi áp dụng

tác theo độ dời của hạt khỏi vị trí cân bằng để xác định năng lượng tự do Helmholtz của hệ hạt
trong MMKL có các cấu trúc LPTD và LPTK. Từ đó xây dựng các biểu thức giải tích để xác định
các ĐLNĐ của MMKL như hệ số dãn nở nhiệt, hệ số nén đẳng nhiệt, hệ số nén đoạn nhiệt, nhiệt
dung đẳng áp, nhiệt dung đẳng tích, mô đun đàn hồi đẳng nhiệt của màng mỏng có kể đến ảnh
hưởng của hiệu ứng phi điều hòa, hiệu ứng bề mặt, hiệu ứng kích thước ở các nhiệt độ và áp suất
khác nhau.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
 Kết quả nghiên cứu hệ các hạt Fermion bằng thống kê Fermi – Dirac biến dạng đã tìm
được nhiệt dung và độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại ở nhiệt độ thấp. Từ giá
trị chung của tham số biến dạng q cho mỗi nhóm kim loại, chúng tôi tính nhiệt dung cho một loạt
các KLK và KLCT.
 Bước đầu xây dựng lý thuyết thống kê mômen (TKMM) để tính các đại lượng nhiệt động
của MMKL; hệ số dãn nở nhiệt, hệ số nén đẳng nhiệt, hệ số nén đoạn nhiệt, nhiệt dung riêng
đẳng tích và đẳng áp, mô đun đàn hồi đẳng nhiệt và đoạn nhiệt.
 Khảo sát sự phụ thuộc của các đại lượng nhiệt động vào bề dày, nhiệt độ và áp suất của
màng mỏng các kim loại Al, Cu, Au, Ag, Fe, W, Nb, Ta.
 Cho phép tiên đoán nhiều thông tin về các TCNĐ của các MMKL ở áp suất khác nhau,
cũng như các vật liệu màng mỏng khác như Ni, Si, CeO2, ...
 Sự thành công của luận án đã góp phần hoàn thiện và phát triển lý thuyết TKMM trong
nghiên cứu TCNĐ của MMKL. Tuy nhiên cũng có thể áp dụng lí thuyết này để nghiên cứu tính
chất đàn hồi cho các MMKL cũng như các màng mỏng có cấu trúc tinh thể khác.
5. Những đóng góp mới của luận án
Xây dựng được các biểu thức giải tích về nhiệt dung và độ cảm thuận từ của khí điện tử tự
do trong kim loại theo lý thuyết biến dạng.
Phát triển lý thuyết TKMM chúng tôi nghiên cứu TCNĐ của MMKL. Xây dựng được các
biểu thức giải tích xác định các ĐLNĐ của MMKL có các cấu trúc LPTD (Al, Au, Ag, Cu) và
LPTK (Fe, W, Nb, Ta) phụ thuộc vào nhiệt độ, bề dày và áp suất.
2



khá nhiều thành công trong việc nghiên cứu và giải thích các vấn đề liên quan đến các hạt Boson.
Đầu thế kỷ XX, Einstein sau khi xây dựng xong thống kê Bose – Einstein trên cơ sở đặc điểm của
hệ các hạt đồng nhất Bose là số hạt ở trong một trạng thái có thể tùy ý như photon, π-meson, Kmeson... Ông đã tiên toán có tồn tại một trạng thái đặc biệt đó là trạng thái ngưng tụ Bose –
Einstein. Từ thực nghiệm các nhà vật lý đã tìm được nhiệt độ chuyển pha của một số vật liệu siêu
dẫn. Năm 2001 ba nhà vật lý người Mỹ đã bằng thực nghiệm tạo ra trạng thái ngưng tụ với kim
loại kiềm, cả ba nhà vật lý đã được trao giải Nobel, phát minh này đã mở ra các công nghệ mới
cho khoa học.
3


Năm 1927, sử dụng các khái niệm cơ học lượng tử cho hệ vi mô, Sommerfeld là người đầu
tiên đưa ra mô hình khí điện tử tự do đối với kim loại, trong đó sử dụng thống kê Fermi – Dirac
thay cho thống kê cổ điển Maxwell – Boltzmann, đối với các hạt có spin bán nguyên (gọi là các
hạt Fermion) như electron, proton, neuton, positron… thì chỉ có 0 hoặc 1 hạt cùng nằm trên một
mức năng lượng (nói cách khác là tất cả các Fermion đều phải có năng lượng khác nhau), hạn chế
này gọi là nguyên lý loại trừ Pauli, các hạt Fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Nhóm
lượng tử và đại số lượng tử được khảo sát thuận lợi trong hình thức luận dao động tử điều hòa
biến dạng. Lý thuyết biểu diễn của đại số lượng tử với một tham số biến dạng dẫn đến sự phát
triển của đại số dao động biến dạng q trong hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng. Đại
số lượng tử SU(2)q phụ thuộc vào tham số lần đầu tiên được đưa ra bởi N. Y. Reshetikhiu khi
nghiên cứu phương trình Yang-Baxter lượng tử để khảo sát những hệ khả tích lượng tử khác.
Việc nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng được kích thích thêm do sự quan tâm ngày
càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê Bose-Einstein và thống kê
Fermi-Dirac, đặc biệt là thống kê para Bose và thống kê para Fermi với tư cách là những thống kê
mở rộng. Các hạt thống kê para được gọi là các hạt para. Kể từ khi xuất hiện lý thuyết thống kê
para đã có nhiều cố gắng mở rộng các hệ thức giao hoán chính tắc. Tuy nhiên cho đến nay cách
mở rộng đáng chú ý nhất là trong khuôn khổ của sự phát minh ra đại số lượng tử. Một điều thú vị
là việc nghiên cứu các dao động tử biến dạng đã chỉ ra rằng dao động tử para boson có thể xem
như sự biến dạng của dao động tử boson. Đại số para Bose cũng có thể xem như sự biến dạng của
đại số Heisenberg. Mặt khác, một điều tự nhiên nảy sinh ra là nghiên cứu các thống kê đặc biệt

1.2.1. Các công thức tổng quát về mômen
Xét một hệ lượng tử chịu tác dụng của các lực không đổi ai theo hướng toạ độ suy rộng Qi .
Toán tử Hamilton Hˆ của hệ có dạng:
ˆ =H
ˆ −
H
∑ai Qˆ i ,
0

(1.1)

trong đó Hˆ 0 là toán tử Hamilton của hệ khi không có ngoại lực tác dụng.
Bằng một số phép biến đổi, các tác giả đã thu được hai hệ thức quan trọng sau:
Hệ thức liên hệ giữa giá trị trung bình của toạ độ suy rộng Qˆ k và năng lượng tự do ψ của
hệ lượng tử khi có ngoại lực a tác dụng:
∂ψ
< Qˆ k > a = −
×
∂ak

(1.2)

Hệ thức liên hệ giữa toán tử bất kì Fˆ và toạ độ Qˆ k của hệ với toán tử Hamilton Hˆ :
1 ˆ ˆ 
F , Qk 
+
2 

a



,

(1.4)

a

trong đó θ = k BT , B2m là hệ số Bernoulli.
Từ hệ thức (1.3) người ta viết được công thức truy chứng đối với mômen:
Kˆ n+1

a

= Kˆ n

a

Qˆ n +1

a

2m
∞
∂ < Kˆ n >a
B2 m  ih 
∂Kˆ n(2 m )
+θ
−θ ∑
 ÷
∂an+1


,

(1.6)

dα .

(1.7)

hệ thức này tương đương với công thức
α

ψ ( α ) =ψ0 − ∫ V
0

5

α


CHƯƠNG 2
THỐNG KÊ FERMI - DIRAC BIẾN DẠNG q VÀ
ỨNG DỤNG
2.1. Thống kê Fermi – Dirac và thống kê Fermi – Dirac biến dạng q
2.1.1. Thống kê Fermi – Dirac
Để xây dựng thống kê Fermi – Dirac, ta có thể sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng
tử. Ta xuất phát từ biểu thức tính trị trung bình của một đại lượng vật lý F (tương ứng với toán tử
Fˆ ) theo phân bố chính tắc lớn

ˆ =


}

)

(2.1)

1
với k B là hằng số Boltzmann và
kBT

T là nhiệt độ tuyệt đối của hệ. Khi chọn gốc tính năng lượng là E0 =

hω
thì
2

Hˆ n = hω n hay

Hˆ = ε Nˆ với ε là năng lượng của một lượng tử năng lượng, chú ý rằng

( )

ˆ n = f ( n) n .
TrFˆ = ∑ n Fˆ n , f N
n

Ta thu được số hạt trung bình trên cùng một mức năng lượng là
ˆ =
N

(2.2)

(2.3)

Thực hiện tính toán (2.3), kết quả là số hạt trung bình ở một trạng thái lượng tử có dạng
Nˆ = n (ε ) = f (ε ) =

1
ε −µ

.

e k BT +1

(2.4)

Biểu thức (2.4) là hàm phân bố Fermi – Dirac. Nó biểu diễn xác suất tìm thấy điện tử trên
mức năng lượng ε tại nhiệt độ T.
2.1.2. Thống kê Fermi – Dirac biến dạng q
 Dao động tử fermion biến dạng q
q số tương ứng với số thông thường x được định nghĩa bởi

[ x] q

q x − q −x
=
,
q − q −1

(2.5)

}

ˆ ˆ + = Nˆ +1
, bb
.
q

(2.8)

Đối với fermion biến dạng q,

{ n} q

q −n − (−1) n q n
=
.
q + q −1

(2.9)

 Thống kê Fermi – Dirac biến dạng q
Để xây dựng thống kê Fermi – Dirac cho các dao động tử fermion biến dạng q, ta cũng xuất
phát từ biểu thức tính giá trị trung bình của một đại lượng vật lý F (2.1). Số hạt trung bình trên

{ }

cùng một mức năng lượng được xác định theo (2.3), nhưng ở đây ta thay Nˆ bằng Nˆ q . Kết quả
thu được hàm phân bố thống kê Fermi – Dirac biến dạng q

Nˆ


0

∞

E = ∫ ερ (ε ) n (ε )d ε .

(2.13)

0

Ở đây, n (ε ) là số hạt trung bình có năng lượng ε , ρ ( ε ) =

g(ε)V
4π h
2

3

( 2m )

3/ 2

ε 1/ 2 là mật độ

trạng thái với g ( ε ) là bội suy biến của mỗi mức năng lượng ε . Vì mỗi mức năng lượng ε ứng
với hai trạng thái s = ±

h
nên g ( ε ) = 2 s + 1 = 2.


+ ( q − q )e

0

e
e

2

ε −µ
k BT

−1
−1

∞

E = α ∫ ε 3/ 2

ε −µ
k BT

ε −µ
k BT

ε −µ
k BT

d ε = α I1/2 ,

e

2

ε −µ
k BT

ε −µ
k BT

−1

+( q −q

−1

)e

ε −µ
k BT

−1

( ε < µ0 ) ,
( ε > µ0 ) .

1
=
0



(2.18)

.

Năng lượng toàn phần của khí điện tử tự do ở T = 0K có dạng
µ0

E0 = α ∫ ε

e

3/ 2

0

e

ε −µ
2
k BT

ε −µ
k BT

µ0

−1
−1


e
e

2

ε −µ
k BT

ε −µ
k BT

∞

−1

+ ( q − q −1 )e

8

ε −µ
k BT

d ε = ∫ g (ε ) f (ε )d ε ,

−1

0

(2.20)


F (q) = 2
q (q − 1)∑ 2 + (1 + q )∑ 2 − q ∑ 3 + ∑ 3
q +1 
k
k
k =1 k
k =1
k =1 k
k =1

(2.22)

.


(2.23)

Từ (2.21), (2.22), (2.17) và (2.19) suy ra kết quả gần đúng
2


F ( q ) ( k BT )
µ ≈ µ0 1 −
+
×
×
×
,
µ02


F ( q ) ( k BT )  3
F ( q ) ( k BT ) 
E ≈ E0 1 + 5
 = N µ0 1 + 5
×
µ02
µ02

 5



(2.26)

Nhiệt dung đẳng tích của khí điện tử tự do trong kim loại khi có biến dạng q được xác định
Nk B2 F ( q ) T
 ∂E 
C =
= γ LT T ×
÷ =6
µ0
 ∂T V
e
V

(2.27)

2.2.2. Độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do
Theo lý thuyết lượng tử, độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do Pauli có dạng:
I

V  2m  2 12
V  2m  2 12 . Do đó, f ε , T D ε =
ε .
( ) ( ) 2β ( ε −µ )
D( ε ) = 2  2 ÷ ε
2 
2 ÷
β ε −µ
q
e
+ q − q −1 e ( ) − 1 2π  h 
2π  h 
β ε −µ

(

)

(2.29)

Khi không có từ trường, mômen từ tổng cộng của khí điện tử tự do bằng không. Vì ở mỗi
trạng thái có 2 điện tử với spin hướng ngược nhau nên khi đưa hệ vào từ trường, năng lượng điện
tử với spin cùng hướng với từ trường H bị giảm đi một lượng là µ Β H và năng lượng của các điện
tử có spin ngược hướng từ trường H tăng lên một lượng là µ Β H . Đường cong phân bố điện tử bị
dịch chuyển như trên Hình 2.1.

(a)

(b)


(2.32)

Ở nhiệt độ rất thấp và khác không, các tích phân (2.31) và (2.32) được tính gần đúng, từ
(2.30), ta suy ra độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại
10


χ=
V
Thay α = 2
2π

3/ 2

 2m 
 2 ÷
h 

µ2
I
1
2
= αε 1F/ 2 µ B2 − αε F−1/ 2 3B/ 2 F ( q ) ( k B T ) .
H
2
εF

V
,N = 2
3π


(2.34)

CHƯƠNG 3
PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN TRONG NGHIÊN CỨU
TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA MÀNG MỎNG KIM LOẠI
VỚI CÁC CẤU TRÚC LPTD VÀ LPTK
3.1. Tính chất nhiệt động của màng mỏng ở áp suất không
3.1.1. Độ dời của nguyên tử và khoảng lân cận gần nhất trung bình
Xét một MMKL tự do có n* lớp với bề dày d. Giả sử màng mỏng bao gồm 2 lớp nguyên tử
bề mặt ngoài, 2 lớp nguyên tử sát bề mặt ngoài và n* − 4 lớp nguyên tử bên trong như Hình 3.1.
Gọi N ng , N ng1 và N tr tương ứng là số nguyên tử ở lớp ngoài, lớp sát ngoài và lớp trong của màng
mỏng này.

ng

a

ng1

a

Thickness
d

(n*- 4) Layers

tr

a


Như vậy, bằng PPTKMM ta đã xác định được độ dời của hạt khỏi vị trí cân bằng ở nhiệt độ T.
Từ đó, có thể xác định được khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở nhiệt độ T tương ứng với số
lớp theo công thức:
11


atr ( T ) = atr ( 0 ) + y0tr , ang1 ( T ) = ang1 ( 0 ) + y0ng1 , ang ( T ) = ang ( 0 ) + y0ng ,

(3.2)

trong đó, a ( 0 ) là khoảng lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở 0K tương ứng với số lớp và được xác định
từ điều kiện cực tiểu của thế năng tương tác hoặc thu được từ việc giải phương trình trạng thái.
Khoảng lân cận gần nhất trung bình giữa 2 nguyên tử của màng mỏng ở nhiệt độ 0K và ở
nhiệt độ T phụ thuộc vào số lớp theo công thức
a0 =

2ang ( 0 ) + 2ang1 ( 0 ) + ( n* − 5 ) atr ( 0 )
n* − 1

2ang ( T ) + 2ang1 ( T ) + ( n* − 5 ) atr ( T )

a=

n* − 1

,

(3.3)


 2
÷
∑
2
÷
48
i
eq
 ∂uiβ ,tr ∂uiγ ,tr

 ∂4ϕiotr
1
∑
48 i  ∂ui4α ,tr
γ tr =

hωtr
1  ∂ 2ϕ tr
,θ = k B T , ktr = ∑  2 io
2θ
2 i  ∂uiα ,tr

 ∂ 4ϕ tr

+ 6  2 io 2
÷
÷
 ∂u ∂u
eq
 iβ ,tr iγ ,tr


2
= mωng
÷
1,
÷
eq

 ∂4ϕiong1 


∂4ϕiong1
1
6
=
,
γ
=
,

÷

÷
∑
∑
2 ng 1
 ∂ui2β ,ng 1∂ui2γ ,ng1 ÷
48 i  ∂ui4α ,ng1 ÷
48
i

∂
u
∂
u
eq
 iβ , ng1 iγ ,ng1 eq 


yng =< uing >a , xng =

γ ng =

hωng
2θ

, θ = k BT , k ng =

 ∂ 3ϕ ng
1
 3 io
∑
4 i ,α , β ,γ  ∂uiα ,ng

α ≠β

3
2
 0 2 ϕing

aix2 + 0ϕing

3.1.2. Năng lượng tự do của màng mỏng
Năng lượng tự do đối với lớp trong, lớp sát ngoài và lớp ngoài của màng mỏng được xác
định bằng các công thức sau:

(

)

Ψ tr = U + 3N trθ  xtr + ln 1 − e −2 xtr  +
tr
0

6N θ 3
+ tr4
ktr

 4 2  xtr coth xtr
 γ 2tr  1 +
2

3

3 Ntrθ 2 
2γ 1tr  xtr coth xtr
2
2 2
1+
γ 2tr xtr coth xtr −
2
3 

Ψ ng1 ≈ U 0ng1 + 3N ng1θ  xng1 + ln 1 − e ng1  +



3 N ng1θ 2 
2γ 1ng1  xng1 coth xng1  
2
2 2
 γ 2 ng1 xng1 coth xng1 −
1+
÷ +
2
3 
2
kng1 
 


6 N ng1θ 3  4
 xng1 coth xng1 
 xng1 c o th xng1 
2
+ 4  γ 22ng1  1 +
÷ xng1 coth xng1 − 2 ( γ 1ng1 + 2γ 1ng1γ 2 ng1 )  1 +
÷( 1 + xng1 coth xng1 )  ,
2
2
kng1  3



i0

i

−2 xng

)  ,

N ng
r
( ri ng1 ), U 0ng =
2

(3.9)

(3.10)

∑ϕ

ng
i0

r
( ri ng ),

(3.11)

i

Giả sử hệ gồm N nguyên tử với n* lớp và số nguyên tử trên mỗi lớp bằng nhau và bằng N L ,

,

TS
Ψ d 2 − 3a
2a
2a
=
ψ tr +
ψ ng +
ψ ng 1 − C .
N
N
d 2 +a
d 2 +a
d 2 +a

(3.14)
(3.15)

Đối với MMKL với cấu trúc LPTK:

(

d = n* − 1

)

a
3



(3.18)

trong đó V0 là thể tích của hệ ở 0K.
Bằng một vài phép biến đổi trong nhiệt động lực học, ta thu được biểu thức của hệ số nén
đẳng nhiệt của màng mỏng tương ứng với các cấu trúc LPTD và LPTK như sau

13


3

a 
3 ÷
 a0 
χT =
,
∂ 2 Ψng
∂ 2 Ψng1 
a 2  d 2 − 3a ∂ 2 Ψtr
2a
2a
2P +
+
+

÷
2
2
3V  d 2 + a ∂atr2

T

(3.20)

3
2
trong đó V = Nv ( v là thể tích nguyên tử ở nhiệt độ T, v =
( a ) đối với màng mỏng LPTD,

2

( )

3

 ∂2 Ψ 
đối với màng mỏng LPTK). Biểu thức  2 ÷ tương ứng theo số lớp có dạng:
v=
 ∂a T
3 3
4 a

2
 2

 ∂2Ψ 
 1 ∂ u0 hω  ∂ 2 k 1  ∂k   


=


trong đó
tr
ng
ng 1
k B ∂y0 ( T )
k B ∂y0 ( T )
k B ∂y0 ( T )
αtr =
;αng =
;αng1 =
.
a0,tr ∂θ
a0,ng
∂θ
a0,ng 1
∂θ

(3.23)

Ở đây d ng là bề dày của các lớp ngoài, d ng1 là bề dày của các lớp sát ngoài và d là bề dày của
màng mỏng.
3.1.3.3. Năng lượng của màng mỏng
Khi sử dụng hệ thức nhiệt động Gibbs-Helmholtz
 ∂Ψ 
2  ∂  ∂Ψ  
E = Ψ −θ 
÷ = −T 

÷÷ ,

d 3+a

(3.26)

3.1.3.4. Các nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp
Nhiệt dung đẳng tích của màng mỏng tương ứng với các cấu trúc LPTD và LPTK được
xác định bởi
14


CV =

d 2 −3a tr
2a
2a
CV +
CVng +
CVng 1 ,
d 2 +a
d 2 +a
d 2 +a

(3.27)

CV =

d 3 −3a tr
2a
2a
CV +


÷
3V  ∂a T
 ∂V T

(3.30)

có thể thu được phương trình trạng thái của màng mỏng
 1 ∂u0
1 ∂k 
Pv = −a 
+ θ x coth x
.
2k ∂a 
 6 ∂a

(3.31)

Ở đây, các thông số u0 , k , x, ω được xác định theo khoảng lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử của
màng mỏng. Khoảng lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử được xác định ở áp suất P và nhiệt độ T.
Ở nhiệt độ 0K, phương trình (3.31) tương ứng theo số lớp có dạng tổng quát
 1 ∂u0 hω ( 0 ) ∂k 
Pv = −a 
+
,
4k ∂a 
 6 ∂a

(3.32)


15


a0 ( P, 0 ) =

(

)

2ang ( P, 0 ) + 2ang1 ( P, 0 ) + n* − 5 atr ( P, 0 )

(3.35)

,

n −1
*

tr
ng 1
ng
trong biểu thức (3.34), y0 ( P, T ) , y0 ( P, T ) , y0 ( P, T ) là các độ dịch chuyển của các nguyên tử

khỏi vị trí cân bằng tương ứng với lớp trong, lớp sát ngoài và lớp ngoài của màng mỏng và được
xác định tương tự như các biểu thức (3.1).
y0tr ( P,T ) =

2γ ng1θ 2
γ ng θ
2γ trθ 2


trong đó
tr
ng
∂ y0ng1 ( P, T )
k B ∂ y0 ( P , T )
kB
k B ∂ y0 ( P , T )
α tr ( P, T ) =
; α ng1 ( P, T ) =
;α ng ( P, T ) =
. (3.38)
atr ( P, 0)
∂θ
ang1 ( P,0)
∂θ
ang ( P,0)
∂θ

Năng lượng của màng mỏng với cấu trúc LPTD ở áp suất P có dạng
E ( P, T ) =

d 2 − 3a ( P, T )
d 2 + a ( P, T )

Etr ( P, T ) +

2a ( P , T )

d 2 + a ( P, T )


Hệ số nén đẳng nhiệt và môđun đàn hồi đẳng nhiệt của màng mỏng với cấu trúc LPTD ở áp
suất P có dạng
χ T ( P, T ) =

1
=
BT ( P, T )

 a ( P, T ) 
3
 a ( P ) ÷÷
 0

=
2
2

a ( P, T ) d 2 − 3a ( P, T ) ∂ Ψ tr
2a ( P, T ) ∂ 2 Ψ ng1
2a ( P, T ) ∂ 2 Ψ ng
2P +
+
+

2
2
3V  d 2 + a ( P, T ) ∂ atr2
d 2 + a ( P, T ) ∂ ang1 d 2 + a ( P, T ) ∂ ang
3

CV =

d 3 − 3a
d 3 +a

CVtr ( P , T ) +

2a
d 3 +a

CVng1 ( P , T ) +

2a
d 3 +a

CVng ( P , T ) ,

(3.43)

Hệ số nén đẳng nhiệt và môđun đàn hồi đẳng nhiệt của màng mỏng với cấu trúc LPTK ở áp
suất P có dạng
16


χ T ( P, T ) =

1
=
BT ( P, T )


áp của màng mỏng với các cấu trúc LPTD và LPTK ở áp suất P có dạng

CP ( P, T ) = CV ( P, T ) + 9TV α 2 ( P, T ) BT ( P, T ) .

(3.45)

CHƯƠNG 4
KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN
4.1. Nhiệt dung và độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do
4.1.1. Nhiệt dung của khí điện tử tự do
Từ (2.27), ta suy ra
F ( q) =

µ0 γ LT
6 Nk B2

×

(4.1)

Thay số Avogadro NA cho N, thay giá trị của hằng số Boltzmann kB, thay giá trị thực nghiệm của
mức năng lượng Fermi µ0 và hằng số nhiệt điện tử γ LT = γ TN cho mỗi kim loại vào vế phải của
(4.1), ta tìm được giá trị của hàm F (q) . Sau đó, từ giá trị thu được của F (q) và sử dụng phần
mềm Maple, ta tìm được giá trị của tham số bán thực nghiệm q đối với mỗi kim loại. Từ đây, ta
có thể chọn giá trị của q = 0,642 đối với nhóm KLK và q = 0,546 đối với nhóm KLCT.
Chúng tôi sử dụng cùng một giá trị của tham số bán thực nghiệm q cho mỗi nhóm kim loại
và vẽ đồ thị sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung khí điện tử tự do trong kim loại tính theo lý
thuyết biến dạng, tính theo mẫu điện tử tự do và thực nghiệm trên Hình 4.1 và Hình 4.2.
Như vậy theo biểu thức (2.27), ta thấy nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại ở
nhiệt độ thấp theo lý thuyết biến dạng tỉ lệ bậc nhất với nhiệt độ tuyệt đối. Điều này phù hợp với


CV (mJ/mol.K), Na

70

TN
M.e[92]
LT

40

20

10

10
0

0
0

10

20

30

40

50

của tham số bán thực nghiệm q cũng như hàm F (q) nhỏ hơn so với các KLK. Do đó, các KLCT
có đóng góp vào nhiệt dung của các điện tử tự do nhỏ hơn so với các KLK.
4.1.2. Độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do
Chúng tôi xét ở nhiệt độ thấp, thay các giá trị
k B = 1,380622.10−16 erg.K −1 , µ B = 9, 274096.10−21 erg. ( gauss ) ,
−1

N = N A = 6, 022169.1023 ( mol ) , eV = 1, 6021917.10 −12 erg ,
−1

mức năng lượng Fermi ε F = µ 0 , hàm F (q) cho mỗi nhóm KLK hoặc KLCT vào vế phải của
(2.34), xét trong hệ đơn vị CGS, chúng tôi tính được giá trị của độ cảm thuận từ của khí điện tử
tự do theo lý thuyết biến dạng như trong Bảng 4.1. Kết quả tính toán được so sánh với các giá trị
độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong các kim loại tương ứng.
Bảng 4.1. Độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại theo thực nghiệm và lý
thuyết biến dạng
Kim loại
χTN ( ×10-6 cm 3 .mol-1 )

Cs
+29

K
+20,8

Na
+16

Rb
+27


χ ( ×10 cm /mol )

15.5

31

3

15.0

--6

--6

3

χ ( ×10 cm /mol )

16.0

14.5

30

29

14.0

13.5

70

T (K)

Hình 4.3. Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm thuận
Hình 4.4. Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm thuận
từ đối với khí điện tử tự do trong Na

từ đối với khí điện tử tự do trong Cs

4.2. Các ĐLNĐ của MMKL ở áp suất không và dưới tác dụng của áp suất
Để tính số cho các kết quả lý thuyết ở trên, ta chọn thế tương tác Lennard-Jones. Trước hết,
sử dụng phần mềm Maple, ta thu được các khoảng lân cận gần nhất trung bình đối với các
MMKL Al, Cu, Au, Ag, Fe, W, Nb và Ta ở nhiệt độ T áp suất không và dưới tác dụng của áp
suất. Từ đó ta xác định các ĐLNĐ như hệ số nén đẳng nhiệt, môđun đàn hồi đẳng nhiệt, hệ số
dãn nở nhiệt, các nhiệt dung dẳng tích và đẳng áp của các MMKL phụ thuộc vào nhiệt độ, bề dày
(hoặc số lớp) ở áp suất không và dưới tác dụng của áp suất. Các kết quả này được trình bày trong
các bảng và được minh họa bằng các hình vẽ sau đây.
2.715

2.900

10 layers
20 layers
200 layers
bulk [15]

2.895
2.890


2.685

2.855

2.680

2.850

10 layers
20 layers
70 layers
200 layers

2.675

2.845

2.670

2.840
200

300

400

500

600


Theo các Hình 4.5 và Hình 4.6, khoảng lân cận gần nhất trung bình của màng mỏng phụ
thuộc mạnh vào nhiệt độ và bề dày. Ở cùng một bề dày, khoảng lân cận gần nhất trung bình tăng
theo nhiệt độ. Ở cùng một nhiệt độ, khi bề dày tăng thì khoảng lân cận gần nhất trung bình tăng
nhưng không tỉ lệ tuyến tính. Khi bề dày tăng từ 10 đến 30 lớp thì khoảng lân cận gần nhất trung
bình tăng mạnh. Khi bề dày tăng từ 30 lớp trở lên thì khoảng lân cận gần nhất trung bình tăng
chậm và tiến dần tới giá trị khoảng lân cận gần nhất của vật liệu khối.
11.0
10.5
10.0

−12

χΤ (10 Pa)

9.5
9.0
8.5

10 layers
20 layers
70 layers
200 layers
bulk [15]

8.0
7.5
7.0
0

100

9.0

−12

λΤ (10 Pa)

8.5
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0
5.5
5.0
0

100

200

300

400

500

600

700



7.0

--5

−12

χΤ (10 Pa)

1.92
7.5

Al
Cu
Au
Ag

6.5
6.0

1.86
1.84
1.82
1.80

5.5
5.0

1.88



50

60

70

d (nm)

Hình 4.10. Sự phụ thuộc bề dày của hệ số dãn
nở nhiệt đối với các MMKL Al và Ag ở nhiệt
độ 300K

Theo các hình vẽ từ Hình 4.7 đến Hình 4.9, ở cùng một bề dày, khi nhiệt độ tăng thì hệ số
nén đẳng nhiệt tăng nhưng không tuyến tính và tăng mạnh ở vùng nhiệt độ cao. Ở cùng một nhiệt
độ, khi bề dày tăng thì hệ số nén đẳng nhiệt giảm nhưng không tuyến tính. Khi số lớp tăng từ 10
đến 70 lớp thì hệ số nén đẳng nhiệt giảm mạnh. Khi số lớp tăng từ 70 lớp trở lên thì hệ số nén
đẳng nhiệt của màng mỏng giảm nhẹ và tiến dần đến giá trị hệ số nén đẳng nhiệt của vật liệu
khối.
2.8
2.4

10 layers
70 layers
200 layers
bulk [58]

2.6

2.2

1.6

1.8

1.5
200

300

400

500

1.4

600

T (K)

0

100

200

300

400

500

6.0
5.8
5.5
5.6

Cv (cal/mol.K)

Cv (cal/mol.K)

5.0
5.4
5.2
5.0

10 layers
20 layers
70 layers
200 layers
bulk [15]

4.8
4.6
4.4

0

100

200



300

400

500

600

700

800

900

T (K)

T (K)

Hình 4.13. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt
dung đẳng tích đối với màng mỏng Ag tại các
bề dày khác nhau

Hình 4.14. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt
dung đẳng tích đối với các MMKL Al, Cu,
Au và Ag tại bề dày 70 lớp

7.0

7


5

4

2
0

100

200

300

400

500

600

700

800

Al-70 layers
Cu-70 layers
Au-70 layers
Ag-70 layers

3


Hình 4.15. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt
dung đẳng áp đối với màng mỏng Ag tại
các bề dày khác nhau

Sự phụ thuộc nhiệt độ và bề dày của nhiệt dung đẳng áp đối với các MMKL được biểu
diễn trên các Hình 4.15 và Hình 4.16. Theo các hình vẽ này, khi nhiệt độ tăng thì nhiệt dung đẳng
áp tăng mạnh ở vùng nhiệt độ thấp và tăng nhẹ ở vùng nhiệt độ cao. Điều đó là do đóng góp của
hiệu ứng phi điều hòa tăng khi nhiệt độ tăng đặc biệt là ở vùng nhiệt độ cao. Ở cùng một nhiệt độ,
khi bề dày tăng thì nhiệt dung đẳng áp tăng chậm và tiến dần tới nhiệt dung đẳng áp của vật liệu
khối. Nhiệt dung đẳng áp của màng mỏng có cùng dáng điệu và quy luật với nhiệt dung đẳng áp
của vật liệu khối. Khi bề dày tăng đến khoảng 35 nm thì nhiệt dung đẳng áp của màng mỏng tiến
đến nhiệt dung đẳng áp của vật liệu khối.
21


Sự phụ thuộc nhiệt độ và bề dày của môđun đàn hồi đẳng nhiệt đối với các MMKL được
biểu diễn trên các hình vẽ từ Hình 4.17 và Hình 4.18. Trái ngược với hệ số nén đẳng nhiệt, ở
cùng một bề dày khi nhiệt độ tăng thì môđun đàn hồi đẳng nhiệt giảm nhưng không tuyến tính mà
giảm mạnh ở vùng nhiệt độ cao. Điều này phù hợp với quy luật và dáng điệu của môđun đàn hồi
đẳng nhiệt đối với vật liệu khối. Ở cùng một nhiệt độ, khi bề dày tăng thì môđun đàn hồi đẳng
nhiệt tăng nhưng không tuyến tính. Khi số lớp tăng từ 10 đến 100 lớp thì môđun đàn hồi đẳng
nhiệt tăng khá mạnh. Còn khi số lớp tăng từ 100 lớp trở lên thì môđun đàn hồi đẳng nhiệt của
màng mỏng tăng nhẹ.
1.9
14.0

10 layers
20 layers
70 layers

11.0

1.6
1.5
1.4

10.5
1.3

10.0
9.5

1.2

9.0
0

100

200

300

400

500

600

700

được mô tả trên Hình 4.18. Ở đây, môđun đàn hồi đẳng nhiệt tăng theo bề dày và tăng khá mạnh
ở bề dày màng nhỏ hơn 25 nm. Khi bề dày lớn hơn 25 nm thì môđun đàn hồi đẳng nhiệt tăng nhẹ,
nghĩa là ảnh hưởng của hiệu ứng phi điều hòa giảm khi bề dày tăng.
2.3

2.831

2.2
2.830

2.1
2.0

-5

-1

α (10 K )

0

a (A )

2.829

2.828

1.9
1.8
1.7

100

200

300

400

500

600

700

800

900

T (K)

d (nm)

Hình 4.19. Sự phụ thuộc bề dày của khoảng lân cận
gần nhất đối với màng mỏng Al ở nhiệt độ 300K tại
các áp suất khác nhau

Hình 4.20. Sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số dãn
nở nhiệt đối với màng mỏng Au ở các áp suất
khác nhau và bề dày 10 lớp



BT (10 Pa )

9.5

λΤ (10 Pa)

Au-10 leyers,0GPa
Ag-10 leyers,0GPa
Ag-10 leyers,0.24GPa
Ag-10 leyers,0.94GPa
Au-10 leyers,0.24GPa
Au-10 leyers,0.94GPa

15

8.5

13
12
11

8.0
10

7.5

9

7.0

500

600

700

800

900

T (K)

T (K)

Hình 4.21. Sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số nén
đẳng nhiệt đối với màng mỏng Ag ở các áp suất
khác nhau và bề dày 10 lớp

Hình 4.22. Sự phụ thuộc nhiệt độ của môđun đàn
hồi đẳng nhiệt đối với các MMKL Au và Ag ở các
áp suất khác nhau và bề dày 10 lớp

Hình 4.21 và Hình 4.22 cho sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số nén đẳng nhiệt và môđun đàn
hồi đẳng nhiệt ở các áp suất khác nhau đối với các MMKL. Theo Hình 4.21, hệ số nén đẳng nhiệt
tăng theo chiều tăng của nhiệt độ và tăng mạnh ở vùng nhiệt độ cao, giảm theo chiều tăng của bề
dày và áp suất. Sự biến đổi hệ số nén đẳng nhiệt của màng mỏng theo quy luật sự biến đổi hệ số
nén đẳng nhiệt của vật liệu khối. Trái lại ở Hình 4.22, ở cùng một bề dày môđun đàn hồi đẳng
nhiệt giảm theo chiều tăng của nhiệt độ, còn ở cùng một nhiệt độ, môđun đàn hồi đẳng nhiệt tăng
theo chiều tăng của bề dày và áp suất. Sự biến đổi của hệ số nén đẳng nhiệt và môđun đàn hồi
đẳng nhiệt theo nhiệt độ và bề dày dưới tác dụng của áp suất có dáng điệu giống như sự biến đổi

4.6
4.4
0

100

200

300

400

500

600

700

800

5.8
5.6
5.4
5.2

Au-10 layers,0GPa
Ag-10 layers,0GPa
Au-10 layers,0.24GPa
Ag-10 layers,0.24GPa



Hình 4.24. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung
riêng đẳng áp đối với các MMKL Au và Ag ở các
áp suất khác nhau và bề dày 10 lớp

Hình 4.23. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt
dung riêng đẳng tích đối với màng mỏng Ag ở
các áp suất khác nhau

23


1.01

1.01

Cu[TKMM]
Cu[60]

1.00

Ag[TKMM]
Ag[60]

1.00
0.99
0.98

0.98



8

0.91

10

Hình 4.25. Sự phụ thuộc áp suất của tỉ số
V/V0 đối với màng mỏng Cu ở nhiệt độ
300K và bề dày 80nm

0

2

4

6

8

10

P (GPa)

Hình 4.26. Sự phụ thuộc áp suất của tỉ số
V/V0 đối với màng mỏng Ag ở nhiệt độ
300K và bề dày 55nm

Hình 4.23 và Hình 4.24 cho sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung đẳng tích và nhiệt dung

2. Bằng cách sử dụng cùng một giá trị của tham số bán thực nghiệm q cho mỗi nhóm kim
loại kiềm và kim loại chuyển tiếp, chúng tôi tính số đối với nhiệt dung đẳng tích và độ cảm thuận
24


từ của khí điện tử tự do trong kim loại và kết quả tính số cho sự phù hợp tốt với kết quả thực
nghiệm.
3. Xây dựng các biểu thức giải tích của các đại lượng nhiệt động như năng lượng tự do
Helmholtz, độ dịch chuyển trung bình của hạt khỏi vị trí cân bằng, khoảng lân cận gần nhất trung
bình giữa hai hạt, hệ số nén đẳng nhiệt, hệ số dãn nở nhiệt, các nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp,
môđun đàn hồi đẳng nhiệt, ... đối với MMKL với các cấu trúc LPTD và LPTK. Các biểu thức này
tính đến đóng góp của hiệu ứng phi điều hoà của dao động mạng, hiệu ứng bề mặt, hiệu ứng kích
thước và ảnh hưởng của áp suất và nhiệt độ.
4. Sử dụng thế tương tác Lennard – Jones để tính số cho các biểu thức thu được đối với các
đại lượng nhiệt động. Kết quả cho thấy khoảng lân cận gần nhất và các đại lượng nhiệt động phụ
thuộc vào nhiệt độ, áp suất và bề dày của màng mỏng. Các kết quả thu được cho sự phù hợp với
thực nghiệm và kết quả nghiên cứu của các tác giả khác.
Khoảng lân cận gần nhất, hệ số nén đẳng nhiệt, hệ số dãn nở nhiệt, nhiệt dung đẳng tích,
nhiệt dung đẳng áp và môđun đàn hồi đẳng nhiệt của màng mỏng có cùng quy luật biến đổi và
dáng điệu của vật liệu khối.
Khi bề dày của màng mỏng tăng đến khoảng từ 20nm đến 70nm tùy vào mỗi ĐLNĐ thì tính
chất của màng mỏng trở về tính chất của vật liệu khối.
Các công thức giải tích nhận được không chỉ áp dụng cho màng mỏng có các cấu trúc LPTD
và LPTK mà còn sử dụng làm cơ sở lý thuyết để tính toán cho các màng mỏng với các cấu trúc
khác chẳng hạn như màng mỏng bán dẫn với các cấu trúc kim cương và sunfua kẽm,…
Đề tài có thể mở rộng để nghiên cứu TCNĐ của MMKL có chân đế với các cấu trúc LPTD
và LPTK, nghiên cứu tính chất đàn hồi của các MMKL,…
Sự thành công của luận án đã góp phần hoàn thiện và phát triển việc áp dụng PPTKMM để
nghiên cứu tính chất của vật liệu tinh thể. Chúng tôi sẽ tiếp tục mở rộng lí thuyết này để nghiên
cứu tính chất đàn hồi, TCNĐ của màng mỏng có chân đế và màng mỏng bán dẫn trong thời gian