BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Nga

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2007


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Văn Tiến, người
đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến,
TS. Đoàn Hữu Hải, PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain
Birebent đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản
và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để
thực hiện việc nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Chí Thành đã nhiệt tình giúp tôi dịch
luận văn này sang tiếng Pháp.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:
- Ban chủ nhiệm và các thầy cô, đồng nghiệp trong Khoa Toán - Tin học
Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi và luôn động viên, giúp đỡ để tôi

SGV

: Sách giáo viên

CLHN

: Chỉnh lý hợp nhất

TCTH

: Tổ chức toán học

bt

: bài tập

[a]

: Elementary Mathematics, V.V.Zaitsev, V.V.Ryzhkov

[b]

: Toán học cao cấp, tập 2, Nguyễn Đình Trí

[c]

: Vật lý đại cương, tập 2, Lương Duyên Bình

F1


P3

: Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, bộ 2

E3

: Sách bài tập Đại số và giải tích 11, bộ 2


MỞ ĐẦU
1.

Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Hàm số là một đối tượng luôn chiếm vị trí quan trọng trong chương trình toán
ở trường Trung học cơ sở (THCS) và Trung học phổ thông (THPT). Trong các loại
hàm số, chúng tôi quan tâm đặc biệt tới hàm số tuần hoàn với các lí do sau:
+ Thuật ngữ tuần hoàn, gắn liền với khái niệm hàm số tuần hoàn, không chỉ
được đề cập trong toán học, mà còn xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực khác như vật
lí, hóa học, đời sống thường ngày,... Điều này kéo theo nhiều câu hỏi cần thiết được
đặt ra:
 Khái niệm tuần hoàn trong toán học và trong các khoa học khác có gì
giống và khác nhau?
 Ở trường phổ thông, khái niệm tuần hoàn có xuất hiện trong các môn
học ngoài toán học không?
 Có sự nối khớp nào giữa khái niệm tuần hoàn trong toán học và trong
các môn học đó?
+ Chủ đề hàm số tuần hoàn luôn xuất hiện trong cuốn sách nhan đề “Kiến thức
giới hạn ôn thi tốt nghiệp môn Toán THPT” của Bộ GD&ĐT. Nói cách khác, nó là
một chủ đề có thể xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT.
Tuy nhiên, trong chương trình và SGK Toán phổ thông Việt Nam, vị trí của

Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi sẽ vận dụng các yếu tố công cụ của lí
thuyết Didactic toán. Cụ thể, đó là các khái niệm của lí thuyết nhân chủng học
(chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức, tổ
chức toán học), của lí thuyết tình huống (hợp đồng didactic, đồ án didactic) và cách
đặt vấn đề sinh thái học.
Việc nghiên cứu các khái niệm tuần hoàn, chu kì và hàm số tuần hoàn ở cấp độ
tri thức khoa học đặt cơ sở trên việc phân tích các giáo trình ở bậc đại học, mà
chúng tôi xem như một “xấp xỉ” của tri thức khoa học.
Trong phạm vi lí thuyết nêu trên, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu
của mình như sau:
- Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm
số tuần hoàn và các khái niệm gắn liền với nó có những đặc trưng gì? Vai trò và
chức năng của chúng?
- Mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số tuần hoàn đã được xây dựng và
tiến triển ra sao trong thể chế dạy học ở trường phổ thông? Đặc trưng của những tổ
chức toán học (TCTH) gắn liền với khái niệm này? Các TCTH đó tiến triển ra sao
qua các thời kỳ đổi mới SGK? Có những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế
trên khái niệm này và các khái niệm gắn liền với nó? Có những quy tắc hợp đồng


nào được hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy và học về hàm số tuần
hoàn?
- Có sự tương đồng và khác biệt nào có thể ghi nhận giữa mối quan hệ thể chế
với khái niệm hàm số tuần hoàn ở bậc đại học và bậc phổ thông?
- Có thể xây dựng và triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép học sinh tiếp
cận và vận dụng các đặc trưng của hàm số tuần hoàn trước khi định nghĩa của khái
niệm này chính thức được giảng dạy?
3.

Phương pháp nghiên cứu

liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn.
- Kết quả phân tích tri thức khoa học và phân tích thể chế dạy học toán ở Pháp
sẽ là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế dạy học phổ thông ở Việt Nam. Cụ
thể, chúng tôi sẽ phân tích khái niệm tuần hoàn, chu kỳ và hàm số tuần hoàn trong
các SGK Hóa học, Sinh học, Vật lí và Toán học.
- Những kết quả đạt được ở trên cho phép đề ra các câu hỏi mới và các giả
thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được kiểm chứng bằng các thực
nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất nghiên cứu quan hệ cá nhân của học sinh đối với đối
tượng tuần hoàn và hàm số tuần hoàn. Từ đó, chúng tôi sẽ xây dựng và triển khai
một tiểu đồ án didactic cho phép học sinh lớp 10 tiếp cận với các đặc trưng của hàm
số tuần hoàn và vận dụng chúng một cách ngầm ẩn trong việc giải toán.
4.

Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương.
+ Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đến việc
chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lí thuyết tham chiếu, phương pháp
nghiên cứu và cấu trúc của luận văn.
+ Trong chương 1, chúng tôi trình bày việc phân tích khái niệm hàm số tuần
hoàn ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể là đề cập một vài nét lịch sử liên quan đến
khái niệm tuần hoàn, phân tích cách trình bày khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần
hoàn trong một số giáo trình toán và vật lí ở bậc đại học.
+ Mở đầu chương 2 là sự phân tích một bộ SGK Toán của Pháp. Tiếp đó,
chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế của thể chế dạy học ở trường phổ thông
Việt Nam với khái niệm tuần hoàn, chu kỳ và hàm số tuần hoàn.
+ Chương 3 trình bày hai thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất trên học sinh
lớp 10 nhằm tìm hiểu quan hệ cá nhân của họ đối với khái niệm tuần hoàn và hàm
số tuần hoàn. Thực nghiệm thứ hai là triển khai tiểu đồ án didactic đã xây dựng.
+ Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1,
2, 3 của luận văn và đề cập đến những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận

khác nhau.
Bằng cách quan sát con lắc, người ta thấy sự đều đặn, cân đối của chuyển
động. Galilée nhận ra rằng con lắc dường như dao động “tuần hoàn”. Ông gọi chu
kỳ T là khoảng thời gian mà con lắc dao động một vòng. Ông là người đầu tiên diễn


tả ý tưởng về sự đẳng thời của những dao động nhỏ (bằng cách quan sát những đèn
chùm ở nhà thờ) nghĩa là chu kỳ dao động thì không phụ thuộc vào biên độ góc của
con lắc.
Năm 1658 – 1659, Christiaan Huygens nghiên cứu lí thuyết về dao động của
con lắc. Ông có ý tưởng điều tiết các đồng hồ bằng một con lắc để làm cho việc đo
thời gian chính xác hơn. Đồng hồ quả lắc của ông được điều chỉnh theo một cơ chế
với một sự tuần hoàn tự nhiên của dao động cao tần. Huygens đã khám phá ra quả
lắc cầu mà chu kỳ dao động của nó không phụ thuộc vào biên độ. Còn Robert
Hooke đã cải thiện lò xo uốn khúc, cơ sở của đồng hồ lò xo nhíp hiện đại.
Ở một cấp độ khác, sự phát triển các kĩ năng sử dụng và sự tinh tế trong việc
thiết kế các dụng cụ âm nhạc - từ bọc gỗ và đồng thau đến các dụng cụ bàn phím và
đại phong cầm - đã thúc đẩy các nhà khoa học nghiên cứu sự rung của các dụng cụ
âm nhạc như đàn violon, kèn khí,...Tất cả các hiện tượng này là tuần hoàn, theo
nghĩa lặp đi lặp lại một cách đều đặn.
Như vậy, trong khoa học và kĩ thuật, người ta thường gặp các hiện tượng tuần
hoàn, tức là các hiện tượng mà cứ sau một khoảng thời gian T xác định, mọi yếu tố
được lặp lại hoàn toàn. Các hàm số mô tả các hiện tượng tuần hoàn là các hàm tuần
hoàn, đặc trưng bởi đẳng thức f(x + T) = f(x) với mọi x.
Đại lượng sinxôit Asin( t   ) là hàm tuần hoàn đơn giản nhất, trong đó,  là
2
tần số và T =
là chu kỳ. Hàm Asin( t   ) biểu diễn một dao động điều hòa,

cũng gọi là dao động hình sin.

nguyên dương).
f(x) = A0 +



 ( A cos nx  B
n 1

n

n

sin nx)

Lí thuyết Fourier ra đời đã đánh dấu một thành tựu quan trọng của giải tích thế
kỉ XIX. Trong giải tích, chuỗi Fourier là một công cụ cơ bản trong việc nghiên cứu
các hàm số tuần hoàn. Lí thuyết chuỗi Fourier thiết lập một sự tương ứng giữa hàm
số tuần hoàn với các hệ số Fourier. Do đó, phân tích Fourier có thể xem như một
cách thức mới để nghiên cứu các hàm số tuần hoàn. Việc xây dựng một hàm số tuần
hoàn là nghiệm của một phương trình hàm có thể dẫn đến việc xây dựng các hệ số
Fourier tương ứng.
Đặc biệt, lí thuyết Fourier chỉ ra rằng chỉ với hàm số sin và cosin là đủ để
nghiên cứu tất cả các hiện tượng tuần hoàn.
Chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng trong khoa học và kĩ thuật. Nhìn từ góc độ
toán học thì nó được áp dụng nhiều nhất trong các lĩnh vực nghiên cứu và giải
phương trình vi phân, tính toán xấp xỉ,...
 Kết luận:
+ Trong lịch sử, thuật ngữ “tuần hoàn” xuất hiện từ việc nghiên cứu các hiện
tượng lặp đi lặp lại trong vật lí, trong âm nhạc,… Một hiện tượng tuần hoàn là hiện
tượng được lặp lại như cũ sau một khoảng thời gian xác định T, gọi là chu kỳ.

Mir publishers Moscow, a review course Translated by George Yankowsky (kí hiệu
là [a])
- Toán học cao cấp, tập 2: Giải tích, Nguyễn Đình Trí (1995), NXBGD (kí
hiệu là [b]).
Mục đích của việc lựa chọn hai giáo trình này là do việc trình bày các vấn đề
liên quan đến hàm số tuần hoàn trong hai giáo trình này là tương đối phong phú hơn
các giáo trình khác. Hơn nữa, việc so sánh giữa hai giáo trình sẽ cho phép làm rõ
các cách khác nhau trong việc trình bày khái niệm hàm số tuần hoàn và chu kỳ cũng
như các đặc trưng của chúng ở cấp độ đại học. Điều này sẽ làm phong phú hơn cơ
sở tham chiếu để chúng tôi thực hiện phân tích SGK phổ thông ở chương 2.
1.2.1. Hàm số tuần hoàn trong giáo trình [a]
Trong giáo trình này, hàm số được đề cập ở chương 4. Nhưng ở đó, [a] chỉ
trình bày định nghĩa và đồ thị hàm số, tính chẵn lẻ, tính đơn điệu và đặc trưng đồ thị
của các hàm số có các tính chất đó, còn tính chất tuần hoàn hoàn toàn không được
đề cập đến.
Mãi đến chương 8, nhan đề “Hàm số lượng giác của một góc”, định nghĩa hàm
số tuần hoàn mới xuất hiện trong mục “Tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn của các hàm
số lượng giác”. Điều này cho thấy, trong toán học, tính tuần hoàn là một tính chất
đặc trưng của các hàm số lượng giác và luợng giác là nơi khởi đầu cho việc nghiên
cứu khái niệm tuần hoàn.
Định nghĩa hàm số tuần hoàn được cho ở trang 292 như sau:
“Một hàm số f(x) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ T (T  0) nếu cho bất kỳ giá
trị của x, điều kiện sau được thỏa mãn:


Nếu hàm số xác định tại điểm x hoặc tại x + T thì nó xác định tại điểm còn lại
và giá trị của nó tại cả hai điểm đều bằng nhau: f(x) = f(x + T).
Số T được gọi là chu kỳ của hàm số f(x)”.
Như vậy, khái niệm hàm số tuần hoàn được định nghĩa trên tập xác định D của
hàm số. Chu kỳ của hàm số được định nghĩa là mọi số T  0 thỏa mãn 2 điều kiện:

 x  [ x]

F(x) =  1
 2

khi 2n  x  2n  1
khi

2n  1  x  2n  2

(n = 0, 1,  2,... )”


Có lẽ [a] giới thiệu 3 ví dụ này để chứng tỏ sự đa dạng của các hàm số tuần
hoàn, cũng như chu kỳ và chu kỳ cơ sở của chúng. Hơn nữa, ví dụ 1 và ví dụ 2 là
các hàm số rất đặc biệt. Ví dụ 3 minh hoạ cho việc chuyển đổi một hàm số không
tuần hoàn thành một hàm số tuần hoàn. Tuy nhiên, kĩ thuật chuyển đổi đó không
được đề cập một cách tường minh.
Một điều đáng lưu ý là tất cả các hàm số được nói đến trong 3 ví dụ này đều có
kèm theo minh hoạ đồ thị, thể hiện đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn: đó là sự
lặp lại hình dạng của đồ thị trên từng khoảng có độ dài bằng chu kỳ. Thật vậy, ở ví
dụ 3, đồ thị hàm số F(x) có sự lặp lại giống nhau trên các khoảng cách đều còn đồ
thị hàm số f(x) thì không có tính chất đó.
Sau khi trình bày định nghĩa tổng quát và các ví dụ, [a] nhấn mạnh:
“Một trong những tính chất quan trọng của các hàm số lượng giác là tính chất
tuần hoàn. Bây giờ ta sẽ chứng minh định lí sau về tính chất tuần hoàn của các hàm
số lượng giác.
Định lí. Hàm số lượng giác sin  , cos  , tan  , cot  , sec  và cosec  là
các hàm số tuần hoàn. Chu kỳ cơ sở của các hàm số sin  , cos  , sec  và cosec
 bằng 2  (3600) và chu kỳ cơ sở của các hàm số tan  và cot  bằng  (1800)”

2

2

 2 n, n  0,  1,  2, ... Như vậy, ta phải có


2

A


2

 2 n tức là

A = 2  n. Điều này mâu thuẫn với 0 < A < 2  . Như vậy, định lí được chứng minh
cho hàm số sin  . Chứng minh tương tự cho các hàm số lượng giác khác”.
Về mặt đồ thị, đồ thị của các hàm số lượng giác chỉ được đề cập trong mục
107: Hàm số lượng giác của một biến số. [a] không trình bày tính chất đồ thị của
hàm số tuần hoàn tổng quát mà khảo sát tính chất và vẽ đồ thị của từng hàm số
lượng giác cụ thể. Chẳng hạn, đối với hàm sin x, sau khi đưa ra tính chất tuần hoàn
với chu kỳ cơ sở là 2  (tính chất 3) và tính chất lẻ (tính chất 4) của hàm số, [a] đưa
ra kết luận về việc vẽ đồ thị như sau:
“Dựa trên tính chất 3 và 4, chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số y = sin x trên đoạn
[0;  ] và sau đó tiếp tục vẽ trên đoạn [-  ; 0] bằng tính chất hàm số lẻ. Sau đó, với
đồ thị trên đoạn [-  ;  ], ta có thể dùng tính chất tuần hoàn để tiếp tục vẽ nó trên
toàn bộ trục số”.
Ở đây, [a] đã đề cập đến một lợi ích của tính tuần hoàn và chu kỳ trong việc
nghiên cứu hàm số y = sin x. Với hàm số này, người ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị


3

13


3
 sin(2.2  )  sin 
3
3
3
2

13

 1
 cos(2.2  )  cos 
3
3
3 2


13
 tan(4  )  tan  3
tan
3
3
3

cos

bằng chu kỳ”. Chức năng này không được đề cập tường minh cho một hàm số tổng
quát trong [a].


● Tổ chức toán học gắn liền với hàm số tuần hoàn có mặt trong [a]
Kiểu nhiệm vụ T1: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = f(x).
Chẳng hạn, bài tập (bt) 6 trang 297:
“Chỉ ra các hàm số tuần hoàn trong số những hàm số sau:
y = cos2x, y = cos x2, y = x tan x, y = cos

1
, y = sin x + cos x, y = 2 cot x + 3,
x

y = 4, y = log cos x.”
Kĩ thuật  1 :
+ Chỉ ra số T  0 sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định D. Kết
luận hàm số là tuần hoàn.
+ Hoặc, chứng minh không tồn tại số T như vậy. Kết luận hàm số không tuần
hoàn.
Công nghệ 1 : Định nghĩa hàm số tuần hoàn.
Kiểu nhiệm vụ T2: Tìm chu kỳ cơ sở của hàm số y = f(x) (nếu nó tồn tại).
Ví dụ (bt 7 trang 297):
“Tìm chu kỳ cơ sở (nếu tồn tại) của những hàm số sau:
y=

sin x
x
, y = sin 2x, y = sin , y = cos x + cot x, y = 2 tan x + 3 cos x,
2

x
, y = x cos , y = sin  x 2 , y = 2log2 cos x .”
2
2

Xem xét số lượng ví dụ và bài tập, chúng tôi nhận thấy kiểu nhiệm vụ T3
chiếm vị trí quan trọng nhất với các kĩ thuật tương ứng sau:
Kĩ thuật  31 :
+ Tìm mối quan hệ giữa hàm số được đề nghị với các hàm số đã biết đồ thị,
chẳng hạn như các hàm số lượng giác cơ bản.
+ Sử dụng các phép biến đổi đồ thị để suy ra đồ thị hàm số được yêu cầu.
Công nghệ 31 : Các phép biến đổi đồ thị.
Ví dụ 1 trang 317: Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin x
Giải. Đồ thị hàm số y = 2sin x nhận được từ đồ thị hàm số y = sin x bằng cách
nhân mỗi tung độ của nó với 2. Số 0 của hàm số sin x tương ứng với số 0 của hàm
số 2sin x. Suy ra đồ thị của hàm số y = 2sin x.
Kĩ thuật  32 :
+ Tìm tập xác định của hàm số
+ Chứng minh hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn
+ Tìm chu kỳ cơ sở của hàm số
+ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ cơ sở
+ Tịnh tiến phần đồ thị đó song song với trục Ox theo các vectơ có độ dài
bằng chu kỳ để suy ra toàn thể đồ thị hàm số.
Công nghệ 32 : Đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn.
Ví dụ 1 trang 318: Vẽ đồ thị hàm số y = log sin x
Giải:
+ Tập xác định của hàm số gồm những giá trị x mà sin x > 0
+ sin x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là 2  . Do đó, với mọi giá trị x
mà log sin x xác định ta có log sin(x + 2  ) = log sin x, nghĩa là hàm số này cũng có
chu kỳ 2  . Từ tính tuần hoàn, chỉ cần khảo sát hàm số trên đoạn nào đó dài 2  ,

đã cho thấy rõ hơn sự lặp lại giá trị của hàm số tuần hoàn tại những điểm cách nhau
1 số lần chu kỳ. Tuy nhiên, chức năng “cho phép tính giá trị hàm số khi biết giá trị
của nó trên một khoảng có độ dài bằng chu kỳ” của khái niệm tuần hoàn và khái
niệm chu kỳ đã không được nêu lên một cách tường minh.
Tiếp đó, đặc trưng đồ thị của hàm số tuần hoàn cũng chỉ được đề cập ngầm ẩn
thông qua nhận xét sau:


“Từ đẳng thức (*) suy ra đồ thị của hàm tuần hoàn chu kỳ T có thể suy ra từ
 T

T

đồ thị của hàm đó trong một khoảng dài T, chẳng hạn [0; T] hay   ;  bằng
 2 2
những phép tịnh tiến song song với trục Ox những đoạn  kT”.
Như vậy, [b] đã nhấn mạnh lợi ích của việc xem xét tính tuần hoàn của hàm số
khi vẽ đồ thị của nó. Điều đó có nghĩa là chức năng thứ hai của khái niệm tuần hoàn
và chu kỳ (chức năng “cho phép vẽ đồ thị của hàm số khi biết đồ thị của nó trên một
khoảng có độ dài bằng chu kỳ”) đã được đề cập tường minh trong phần lí thuyết.
Chức năng thứ nhất (giới hạn khoảng khảo sát và vẽ đồ thị hàm số) không được đề
cập tường minh mà chỉ thể hiện ngầm ẩn qua đoạn trích trên.
Tiếp đó, khi đề cập đến những hàm sơ cấp cơ bản, [b] đã đưa vào các hàm
lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x. Tính tuần hoàn, chu kỳ và đồ thị
của các hàm số này chỉ được trưng ra mà không có bất cứ giải thích nào kèm theo.
● Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hàm số tuần hoàn có mặt trong [b]
Trong giáo trình [b], chỉ có 1 bài toán liên quan đến hàm số tuần hoàn và chu
kỳ thuộc vào hai kiểu nhiệm vụ sau:
T1: Xét tính tuần hoàn của hàm số.
T2: Tìm chu kỳ của hàm số.

Các phương trình (1), (2), (3) chứng tỏ độ dời x, vận tốc v và gia tốc a đều là
2
[…].”
những hàm tuần hoàn của t với chu kỳ T0 =

Ở đây, hàm số tuần hoàn (cụ thể là hàm cosin và hàm sin) được sử dụng để mô
tả dao động điều hòa. Việc kết luận độ dời x, vận tốc v và gia tốc a đều là những
2
hàm số tuần hoàn với chu kỳ T0 =
được giải thích như sau:

“Quả vậy, dễ dàng nhận thấy rằng:
x(t + T0) = x(t), v(t + T0) = v(t), a(t + T0) = a(t) [...].”
(4)
Như vậy, để kết luận T0 là chu kỳ của các hàm số trên, [c] không đề cập đến
tính dương và nhỏ nhất của T0 mà chỉ giải thích do T0 thỏa mãn các đẳng thức (4).
Từ đó, [c] gọi T0 là chu kỳ dao động của con lắc.
Ta thấy, chu kỳ của hàm số tuần hoàn mô tả độ dời, vận tốc, gia tốc của con
lắc (chu kỳ theo nghĩa toán học) chính bằng chu kỳ dao động của nó (chu kỳ theo
nghĩa vật lí). [c] đã đồng nhất hai khái niệm chu kỳ này là một, sau đó mới đưa vào
định nghĩa tổng quát về chu kỳ dao động như sau:
“Chu kỳ của một dao động là thời gian ngắn nhất để hệ biến đổi từ một trạng
thái chuyển động nào đó lại trở lại trạng thái ấy”.
Tương ứng với giáo trình [b] (Toán học cao cấp, Nguyễn Đình Trí), chu kỳ
được định nghĩa là số T dương bé nhất sao cho giá trị của hàm số lặp lại (f(x + T) =
f(x) với mọi x thuộc D thì trong [c], chu kỳ dao động là thời gian ngắn nhất để trạng
thái của vật lặp lại như cũ. Nói cách khác, định nghĩa chu kỳ của hàm số trong [b]
hoàn toàn tương thích với định nghĩa chu kỳ dao động trong [c].

Kết luận chương 1

dài bằng chu kỳ.
• Cho phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có
độ dài bằng chu kỳ.
Trong giáo trình [a], các chức năng thứ nhất và thứ hai được nhấn mạnh trong
việc khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số. Ngược lại, trong giáo trình [b], chức năng
thứ nhất và thứ ba chỉ thể hiện ngầm ẩn. Chức năng thứ hai được đề cập tường minh
trong phần lí thuyết nhưng nó không thể hiện trong phần bài tập cũng như khi
nghiên cứu các hàm số lượng giác cơ bản.
- Liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn và các khái niệm gắn liền với nó,
chúng tôi thấy sự xuất hiện của những kiểu nhiệm vụ sau:
T1: Xét tính tuần hoàn của hàm số.
T2: Tìm chu kỳ cơ sở của hàm số (nếu nó tồn tại).
T3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.


Trong đó, kiểu nhiệm vụ T3 chiếm ưu thế và là kiểu nhiệm vụ quan trọng nhất
trong [a]. Tuy nhiên, nó lại hoàn toàn vắng mặt trong [b]. Như vậy, chỉ có trong [a],
khái niệm tuần hoàn và chu kỳ mới được đề cập với vai trò công cụ trong việc giải
toán.
- Trong giáo trình [c] (Vật lí đại cương), hàm số tuần hoàn được sử dụng để
mô tả các dao động điều hòa : dao động mà độ dời là một hàm số sin của thời gian t:
x = A cos ( t   ), A > 0. Do đó, chu kỳ dao động là khoảng thời gian ngắn nhất để
hệ biến đổi từ một trạng thái nào đó lại trở lại trạng thái ấy. Như vậy, chu kỳ dao
động này tương ứng với chu kỳ (toán học) đã được định nghĩa trong [b]. Chu kỳ dao
động chính bằng chu kỳ của hàm số mô tả dao động.
Những kết quả đã đạt được ở chương 1 sẽ là cơ sở cho việc phân tích SGK mà
chúng tôi sẽ thực hiện trong chương 2 tiếp theo của luận văn.


Chương 2: KHÁI NIỆM HÀM SỐ TUẦN HOÀN


“Như đã thể hiện ở tựa đề, chương này được xây dựng xung quanh 2 chủ đề

chính:
+ Đưa vào những khái niệm đơn giản nhưng quan trọng của lượng giác trong
phạm vi gần gũi với tam giác vuông. Chúng ta định nghĩa một đơn vị đo mới, được
ưu tiên về mặt toán học: radian, sau đó, chúng ta sẽ đo góc định hướng, từ đó cho
phép đưa vào cosin, sin và tang của một số thực.
+ Nghiên cứu các hàm số lượng giác: sin và cosin sẽ làm phong phú hơn “bộ
sưu tập” của chúng ta về các hàm số thông thường và dẫn đến đưa vào một khái
niệm mới: tính tuần hoàn.”
Một trong hai mục tiêu chính của chương là giới thiệu các hàm số lượng giác
và từ đó đưa vào tính chất tuần hoàn của hàm số. Như vậy, hàm số lượng giác (đặc
biệt là hàm sin và cosin) cho một tiếp cận đầu tiên khái niệm tuần hoàn. Điều này
phù hợp với kết quả phân tích trong lịch sử và trong giáo trình [a] (Elementary
mathematics) đã trình bày ở chương 1.
Trước khi xuất hiện định nghĩa hàm số tuần hoàn, khi đề cập đến tính chất cơ
bản của hàm số sin và cosin, SGK đã đưa vào tính chất :
“Với mọi số thực x và mọi số nguyên k ta có: sin(x+k2  ) = sinx, cos(x+k2  )

= cosx”.
Tính chất này chính là cơ sở đề cập tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác.
Quả thực, xuất phát từ nhận xét: Với mọi x, sin(x+2  ) = sin x, cos(x+2  ) =
cos x, SGK đề cập đến tính tuần hoàn và chu kỳ của chúng như sau:
“Ta nói rằng các hàm số này là tuần hoàn và 2  là một chu kỳ ”.

Còn định nghĩa tổng quát về hàm số tuần hoàn xuất hiện ngay sau đó:
“Cho f là hàm số xác định trên R và T là một số thực khác 0.
Ta nói rằng f là tuần hoàn, chu kỳ T nếu với mọi x, f(x+T) = f(x).
Chú ý rằng T là một chu kỳ của f thì tất cả các bội của T cũng là chu kỳ của f.”

toàn khi người ta biết những giá trị của nó trên một khoảng có độ dài T ([0; T)
chẳng hạn).
+ Từ quan điểm đồ thị: Cho f là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ T và Cf là
đường biểu diễn của nó. Nếu M(x; y) là một điểm trên Cf (nếu y = f(x)), thì M’(x+T;
y) cũng nằm trên Cf vì y = f(x) = f(x+T). Vì vậy, đường cong Cf là bất biến một cách


toàn bộ bởi phép tịnh tiến theo vectơ T i . Điều đó cho phép tạo ra toàn thể đồ thị
khi biết dạng của nó trên một khoảng có độ dài T”.
Từ quan điểm số ta thấy, chức năng của khái niệm tuần hoàn và chu kỳ là:“cho
phép tính giá trị của hàm số khi biết giá trị của nó trên một khoảng có độ dài bằng
chu kỳ”. Đó chính là chức năng thứ ba của nó như đã được đề cập ở chương 1. Tuy
nhiên, ở cấp độ tri thức khoa học, chức năng này chỉ thể hiện ngầm ẩn qua những ví
dụ cụ thể còn trong SGK này, nó đã được nhấn mạnh một cách tường minh.
Chức năng này sẽ dẫn đến một sự “tiết kiệm” công việc gì?