1
PHÁT TRIỂN LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP
DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN (Phần 1)

I. NGƢỜI GIÁO VIÊN TOÁN DẠY HỌC TRONG BỐI CẢNH HIỆN NAY
1.1. Dạy học trong bối cảnh mới
Vấn đề tri thức (trong đó có tri thức toán học) cũng lâu đời như chính con người
vậy. Thời đại nào cũng thế, và ở đâu cũng vậy, con người không thể sống được nếu không
có tri thức. Đúng như Francis Bacon nói, tri thức là sức mạnh, là quyền lực của con người.
Ngày nay, vấn đề tri thức được đặt lại hoàn toàn mới, do sự phát triển như vũ bão
của khoa học và biến đổi cách mạng trong đời sống của con người. Xây dựng nền kinh tế
tri thức, tiến tới xã hội tri thức, đang là chủ đề quan trọng trong các chương trình phát
triển của các quốc gia trên thế giới. Tri thức ngày nay đã trở thành nhân tố hàng đầu của
tăng trưởng kinh tế, là động lực thực sự của phát triển kinh tế - xã hội. Đương nhiên, tri
thức mà ta nói ở đây khác hẳn về chất với tri thức cần cho con người trong xã hội nông
nghiệp và xã hội công nghiệp. Ta đã hiểu rằng khoa học là hệ thống các tri thức về tự
nhiên mà con người thu nhận được thông qua kinh nghiệm và trực cảm, suy luận logic, và
được kiểm chứng bằng thực nghiệm, tức là thu được bằng các “phương pháp khoa học”.
Những tri thức khoa học đó là những tri thức đúng đắn một cách khách quan, hoàn toàn có
thể tin cậy được để làm cơ sở cho con người nhận thức đúng đắn các đối tượng thực tế
trong tự nhiên và xã hội, phát triển các công nghệ trong sản xuất, xây dựng các kế hoạch
trong quản lý kinh tế, hoạch định các giải pháp trong việc xử lý các mối quan hệ xã
hội,.v v.
Xã hội ngày nay là một xã hội liên tục biến đổi. Đó là một xã hội phức tạp và hỗn độn,
của các tương tác bất định và phi tuyến, của những trật tự dễ bị xói mòn và sụp đổ, và cả những
sự sụp đổ lòng tin vào quyết định luận và khả năng tiên đoán của con người,v v. Môi trường
phức tạp và chứa nhiều bất định có nghĩa là nó không còn thuần nhất, không đoán trước được,
mà chỉ có thể biết được các bối cảnh tức thời của nó
Dạy học nói chung, dạy học bộ môn Toán nói riêng là một khoa học thực sự. Việc

Đó là những điều mà chúng tôi suy nghĩ chưa chín chắn lắm, bởi do thời gian và
năng lực có hạn. Nhưng với niềm tin cần thay đổi cách nhìn về giáo dục, về dạy học theo
quan điểm mới mạnh hơn bây giờ.
Trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ II BCH Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam
khoá VIII có đoạn viết: "Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối
truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp
dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm
điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học…".
Điều này đã có tác động đến phong trào đổi mới phương pháp dạy học. Song, trên thực tế
việc chuyển biến theo sự mong muốn của Nghị quyết còn rất chậm, chưa rõ nét.
1.2. Một số quan điểm dạy học bộ môn Toán
Theo quan điểm giáo dục hiện đại, hoạt động dạy trong bộ môn Toán là cần thiết
phải ưu tiên sử dụng các phương pháp dạy học tích cực, tổ chức và hướng dẫn học sinh 3
thực hiện các hành động nhận thức để họ tái tạo lại kiến thức, kinh nghiệm xã hội biến
chúng thành tài sản của mình và biến đổi bản thân, hình thành và phát triển ở họ những
phẩm chất, năng lực chuyên môn, nghề nghiệp. Muốn vậy, cần quán triệt các quan điểm
sau:
1.2.1. Quan điểm thứ nhất
Dạy học thực chất là dạy tự học.
Bản chất cốt lõi của hoạt động dạy là phải hình thành và phát triển tính tích cực trong
hoạt động họccủa học sinh và rèn luyện cho học sinh có được những kỹ năng cơ bản của năng
lực tự học, làm cho sinh viên biết chiếm lĩnh „„toàn bộ bộ máy khái niệm của môn học, cấu trúc
lôgich của môn học đó, các phương pháp đặc trưng của khoa học, ngôn ngữ của khoa học đó
và biết ứng dụng những hiểu biết đó vào việc tiếp tục học tập và lao động’’. Dạy học thực chất
là dạy tự học. Đây là hai hoạt động có mối quan hệ biện chứng với nhau. Không thể có một
hoạt động học mà không có hoạt động dạy. Ngược lại, hoạt động dạy chỉ tồn tại trong hoàn
cảnh có hoạt động học đang được triển khai. Nắm vững quan điểm này người giáo viên Toán

thức toán học và kiến thức để sống, rèn kỹ năng đặc thù của môn khoa học Toán học, dạy cho
học sinh biết hoạt động theo phương pháp nhận thức của môn Toán học, đồng thời vận dụng,
rèn luyện những kỹ năng nghề dạy Toán cho ngay chính bản thân người giáo viên Toán. Với
vai trò người cố vấn, tổ chức hướng dẫn học sinh hoạt động nhận thức, trước hết giáo viên
Toán phải nắm chính xác, sâu sắc kiến thức cần dạy, lựa chọn được logic giảng dạy thích hợp
để chuyển tri thức khoa học thành tri thức dạy học phù hợp với trình độ đối tượng.
1.2.3. Quan điểm thứ ba
Việc dạy học môn Toán phải xuất phát từ kiến thức trình độ, kinh nghiệm của người
học sinh. Cần dạy theo cách sao cho học sinh nắm vững tri thức, kỹ năng thực hành và sẵn
sàng vận dụng vào thực tiễn. Muốn vậy, cần tổ chức cho học sinh học Toán trong hoạt
động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và tự do sáng tạo, thực hiện trong hoạt
động độc lập hay trong giao lưu. Quan điểm dạy học này dựa trên tư tưởng cho rằng con
người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động. Với quan điểm này áp
dụng cho học sinh, có thể tổ chức dạy học theo cách dự án, giao cho học sinh nghiên cứu
trình bày chuyên đề phù hợp đối tượng, dạy học theo phương pháp dự án, phương pháp
điều phối,
Ngay khi trong dạy học Toán ở phổ thông để phù hợp với đối tượng, cũng có nhiều
định lý mà sách giáo khoa chỉ trình bày công nhận, không có chứng minh. Đối với những
định lý này giáo viên cũng tìm cách dẫn dắt cho học sinh hiểu và nắm vững định lý, tránh
sự áp đặt. Chẳng hạn, các định lý: Lagrange (Giải tích 12); Bolzano – Cauchy (Đại số và
Giải tích 11);, không thể chứng minh được một cách chặt chẽ đối với trình độ học sinh
Trung học phổ thông. Tuy nhiên, như ta biết hai định lý này có vai trò cực kỳ quan trọng
trong chương trình môn Toán, bởi vậy không thể không đưa hai định lý này vào. Nhưng với
giải pháp là: nêu nội dung định lý; không chứng minh mà chỉ minh họa bằng đồ thị để học
sinh hiểu vì sao có định lý ấy.
Theo quan điểm dạy học dựa trên tư tưởng cho rằng học sinh phát triển trong hoạt
động và học tập diễn ra trong hoạt động, nên khi dạy các định lý nói trên cũng cần tạo ra cơ
hội để học sinh được hoạt động. Dạy định lý Lagrange: “Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn
còn nghiên cứu phương pháp đặc thù của môn học. Mặt khác, như đã phân tích ở các mục
trên, Toán học nếu nhìn dưới góc độ trình bày lại kết quả đã đạt được thì đó là một khoa học
suy diễn, nhưng nếu xét trong quá trình hình thành và phát triển thì trong phương pháp
nghiên cứu vẫn có dự đoán, “thực nghiệm” và quy nạp. Vì vậy, trong giảng dạy toán học, 6
cần chú ý cả hai khía cạnh đó, đặc biệt khía cạnh thứ hai giúp ích rất nhiều việc phát triển
năng lực tư duy Toán học của học sinh.
Về các tình huống ứng dụng toán học: Một trong các đặc điểm của toán học là
những tri thức toán học không nhất thiết bao giờ cũng được ứng dụng trực tiếp trong đời
sống, mà nhiều khi phải thông qua những nấc trung gian. Vì vậy, dạy các ứng dụng toán
học vào thực tiễn không phải chỉ đưa ra các ứng dụng trực tiếp trong đời sống, hoặc các
ứng dụng thông qua các môn học khác, mà phải chú ý khai thác cả các ứng dụng ngay
trong nội bộ toán học.
- Xây dựng động cơ học tập cho học sinh, bởi vì “động cơ hoạt động học quyết định
kết quả học tập của học sinh”.
Hoạt động học nhằm mục tiêu cải tạo, phát triển chính học sinh là hoạt động không
ai có thể làm thay. Vì thế, đòi hỏi học sinh phải tự giác, tích cực, sáng tạo, phải có động
cơ học tập. Các nghiên cứu về dạy học phát triển đã cho kết quả rằng trong quá trình phát
triển của mỗi cá nhân đều có tính tích cực bên ngoài và tính tích cực bên trong. Tính tích
cực bên ngoài thể hiện ở ý chí quyết tâm thực hiện các yêu cầu học tập của giáo viên, nhà
trường. Các thao tác hành vi bên ngoài có thể kiểm soát được. Tính tích cực bên trong thể
hiện ở chỗ người học sinh có động cơ học tập, mục đích học tập tiếp thu các tác động bên
ngoài để biến thành nhu cầu nhận thức, tích cực đào sâu suy nghĩ một cách chủ động tự
giác, tự lực. Tính tích cực bên trong dẫn đến sự độc lập phát triển của mỗi cá nhân học
sinh, là cơ sở cho năng lực tự học suốt đời. Người giáo viên Toán cần quán triệt tư tưởng
dạy học là sự hợp tác giữa giáo viên và học sinh.
Có thể có một số cách xây dựng động cơ học tập cho học sinh phổ thông trong học
toán như sau:

bốn yếu tố: khả năng, tự nỗ lực, yêu cầu cao của nhiệm vụ và sự may mắn. Học sinh đạt
được thành công bằng các cách khác nhau tùy thuộc vào việc họ cho là nguyên nhân của
sự thành công. Chẳng hạn, nếu cách dạy của giáo viên làm cho học sinh cảm thấy thường
là may mắn mới đạt kết quả thì học sinh sẽ không hài lòng, động cơ tự học sẽ yếu đi, bởi
vì sự may mắn là yếu tố không kiểm soát được. Trước các kỳ thi, có những giáo viên
thường cho học sinh một số các bài tập mẫu để giải, hoặc hạn chế các kiến thức cần thi,
điều đó tất yếu dẫn đến học tủ, học thuộc và chủ yếu là bắt chước, sự tự nỗ lực thấp, dẫn
đến không hình thành động cơ học tập cho học sinh.
(6) Làm cho học sinh nhận thức rõ ý nghĩa của nhiệm vụ học tập: Cần thừa nhận
rằng: Bất kỳ một ai đó có muốn tham gia vào một hoạt động hay không đều phụ thuộc vào
hoạt động đó có ý nghĩa như thế nào với họ. Ý nghĩa của nhiệm vụ học tập và động cơ học
tập có liên quan chặt chẽ với nhau.
(7) Làm cho học sinh nâng cao tính chủ động và hợp tác: Theo quan điểm triết học,
để tồn tại và phát triển, con người phải hoạt động và đồng thời làm chủ các hoạt động của
mình và hợp tác với người khác. Trong hoạt động học cũng vậy, học sinh thường muốn có
quyền kiểm soát những hoạt động mà họ thực hiện. Giáo viên cần tạo cho học sinh cơ hội
lựa chọn quyền ý nghĩa này. Qua việc hướng dẫn học sinh lập kế hoạch học mà rèn các kỹ 8
năng xây dựng, lựa chọn các mục tiêu, nhằm nâng cao tính chủ động và tính quyết đoán.
Điều này có ý nghĩa đến việc phát triển năng lực tư duy cho học sinh như đã nêu ở các
mục trên.
(8) Quan tâm đến học sinh và đặt yêu cầu cao: Sự quan tâm sẽ làm cho học sinh
gắn bó với học tập, gắn bó với nhà trường, học sinh cảm thấy yên tâm và mạnh dạn hơn
trong học tập. Đặt và duy trì yêu cầu cao đối với học sinh là một cách để giáo viên bộc lộ
sự quan tâm đến học sinh. Người giáo viên khẳng định khả năng của học sinh bằng cách
đặt yêu cầu cao hợp lý. Nếu học sinh càng được yêu cầu cao, họ càng tự nỗ lực để đạt
được những yêu cầu đó. Muốn phát triển năng lực tư duy cho học sinh thì người giáo
viênToán luôn đặt yêu cầu cao đối với học sinh của mình của mình. Nếu như học sinh chỉ

Trước khi em đó trình bày lời giải, thầy có thể khuyến khích: Em hãy trình bày cách
suy nghĩ của em về bài toán này và cách để giải bài toán này.
Học sinh có thể trình bày, để giải bài này, em thấy ẩn x ở số mũ nên đấy là phương
trình mũ, ta có thể đi đến đặt ẩn phụ, em lại thấy các scơ số là 25; 15; 9 không giống nhau,
nhưng 25 và 9 là số chính phương, còn 15 = 3.5, nên có nhận xét là:
2
22
525
x
x
,
22
3.515
2 xx
x
,
22
2
39
xx
, vì thế em có suy nghĩ đến việc chia hai vế cho
2
9
x
ta được
015
9
15
34
9

(loại) , tư đó
3
5
3
5
2
x
x = ± 1
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = - 1
Ngày 04 tháng 7 năm 1776, Thomas Jefferrson, người sau này trở thành vị Tổng
thống Mỹ thứ 3 đã mở đầu bản Tuyên ngôn Độc lập của Hợp chủng quốc Hoa Kỳ bằng sự
khẳng định: "Chúng tôi coi những chân lý sau đây là hiển nhiên, rằng tất cả mọi người
sinh ra đều bình đẳng, rằng tạo hóa cho họ những quyền không ai có thể xâm phạm được;
trong những quyền ấy có Quyền được sống, Quyền tự do và Quyền mưu cầu hạnh phúc".
Trong Tuyên ngôn độc lập ngày 2 tháng 9 năm 1945 của nước Việt Nam Dân chủ
Cộng hòa, Chủ tịch Hồ Chí Minh đã trích dẫn lại câu nói đó và khẳng định thêm: "Lời bất
hủ ấy trong bản Tuyên ngôn Độc lập năm 1776 của nước Mỹ. Suy rộng ra, câu ấy có
nghĩa là: tất cả các dân tộc trên thế giới đều sinh ra bình đẳng, dân tộc nào cũng có
quyền sống, quyền sung sướng và quyền tự do".
Dạy học sinh tƣ duy phê phán
Một trong những việc quan trọng nhất một giáo viên có thể thực hiện trong lớp
học, không kể môn học nào hay lớp nào, là làm cho học sinh của mình ý thức được các
quá trình siêu nhận thức (metathinking) riêng của họ - dạy học sinh kiểm tra cái mà họ
đang nghĩ về, phân biệt và so sánh, để thấy lỗi trong cách mà họ tư duy và họ tư duy như
thế nào về nó, và để tự kiểm tra sữa lỗi.
Nhiều người cho rằng tư duy có phê phán là một hình thức của trí thông minh và
có thể dạy được. Những người đề xuất đứng đầu của trường phái này là Mathew Lipman,
Robert Sternberg và Robert Ennis.
Lipman tìm kiếm để phát triển khả năng sử dụng của học sinh về các khái niệm,
cách khái quát hóa, các mối quan hệ nhân quả, cách suy diễn logic, tinh nhất quán và mâu

3. Sắp xếp trình tự các quá trình thành một chiến lược tối ưu
4. Quyết định việc thể hiện thông tin như thế nào
5. Phân phối các nguồn lực vật chất và tinh thần để giải quyết vấn đề
6. Giám sát và đánh giá việc xử lý các giải pháp
7. Phản ứng lại một cách đầy đủ hồi âm từ bên ngoài
8. Nhập mã các thành phần kích thích một cách có hiệu quả 11
9. Suy diễn các mối quan hệ giữa các thành phần kích thích
10. Lập bản đồ quan hệ giữa các mối quan hệ
11. Ứng dụng các mối quan hệ cũ vào các tình huống mới
12. So sánh các thành phần kích thích
13. Phản ứng một cách có hiệu quả đối với các nhiệm vụ và các tình huống mới
14. Tự động hóa có hiệu quả việc xử lý thông tin
15. Điều chỉnh có hiệu quả cho phù hợp với với môi trường trong đó mình đang
sống
16. Lựa chọn các môi trường cần để đạt được sự phù hợp tốt hơn những khả năng và
hứng thú của con người
17. Tạo các môi trường cần để tăng cường việc sử dụng có hiệu quả các khả năng và
hứng thú của học sinh.
(Nguồn: Robert J. Sternberg, “How can we teach intelligence?“ Educational
Leadership (Sternberg 1980)
Robert Ennis xác định mười ba đặc điểm của người có tư duy phê phán: Những
người có tư duy phê phán có xu hướng (1) cởi mở, (2) giữ quan điểm (hoặc thay đổi quan
điểm) khi chứng cứ yêu cầu, (3) xem xét toàn bộ tình hình, (4) tìm kiếm thông tin, (5) tìm
kiếm sự chính xác trong thông tin, (6) xử lý các phần của tổng thể phức tạp theo thứ tự,
(7) tìm các sự lựa chọn khác, (8) tìm kiếm các lý do, (9) tìm kiếm sự khẳng định rõ ràng
của vấn đề, (10) giữ trong đầu vấn đề cơ bản, (11) sử dụng các nguồn có uy tín, (12) phù
hợp với điểm đang nói về, và (13) nhạy cảm với những tình cảm và trình độ kiến thức của

trọng hơn như bắt đầu một công việc hay gặp một người mới, có rất ít với cách mà anh ta
tư duy trong lớp và với các bài kiểm tra về tư duy phê phán. Nhưng các tình huống trong
cuộc sống như vậy là những vấn đề rất quan trọng. Trong khi nhấn mạnh vào các kỹ năng
nhận thức, các nhà giáo dục có xu hướng là bỏ qua thực tế của cuộc sống. Có nhiều yếu tố
khác liên quan đến kết quả của cuộc sống, và nhiều kết quả có liên quan rất ít tới tư duy có
phê phán, thậm chí cả với trí thông minh nữa. Do đó, chúng ta phải lưu ý đến các thành
phần đạo đức, tâm lý và xã hội của học, cũng như của “sự may mắn‟‟ – hay cái mà một số
người chúng ta gọi là các tham biến không lường đến trong các kết quả của cuộc sống.
Một phần của lý do tại sao tư duy có phê phán lại quan trọng là, các bạn, những
giáo viên không thể dạy được cho học sinh mọi thứ mà chúng cần biết. Ngay cả khi chúng
ta là những giáo viên giỏi nhất, tuyệt vời nhất, thì học sinh ra trường vẫn thiếu kiến thức
cơ bản. Công việc của người giáo viên là không phải dạy cho học sinh mọi thứ, mà giúp
cho học sinh tạo dựng và bảo đảm kiến thức của họ.
Theo cách nói của Janet Astington: Trong một xã hội đang thay đổi nhanh chóng,
chúng ta không thể dạy học sinh tất cả các thực tế chúng sẽ cần đến trong cuộc sống của
chúng. Nhưng chúng ta có thể dạy chúng đánh giá trạng thái tri thức như thế nào, tìm ra
những vấn đề cho chính mình như thế nào, và đánh giá các nguồn thông tin mâu thuẫn ra
sao. Nhấn mạnh vào lớp học hiện đại được đặt vào việc ghi nhớ các thực tế ít hơn là vào
việc thu được các kỹ năng nhận thức – tư duy và lập luận. Một khi trọng tâm thay đổi thì
việc tìm hiểu của đứa trẻ về trí tuệ trở nên quan trọng. 13
Lý thuyết về trí tuệ mà các trẻ em thu được trong các năm học trong nhà trường
cung cấp cơ sở khái niệm cho các kỹ năng siêu nhận thức chúng yêu cầu ở nhà trường.
Bằng việc giới thiệu một cách có ý thức và sử dụng ngôn ngữ tư duy trong lớp học, người
giáo viên có thể hướng dẫn học sinh suy nghĩ và phát biểu rõ tư duy của họ. Nói chuyện
siêu nhận thức giúp đưa nhận thức vào ý thức. Nó tạo khả năng cho sự hiểu biết về xã hội
phức tạp mà học sinh có được về con người khi các cơ thể sống có tư duy được đưa vào
đời sống lớp học, nơi mà nó thông báo cho sự hiểu biết của họ về việc họ phải học và tư

14
thay đổi ; các khả năng giải quyết vấn đề theo cách mới ; và cách thể hiện của cá nhân
thông qua nghệ thuật. Trong các cuốn sách mô tả các công trình nghiên cứu về cuộc đời
của những người sáng tạo. Howard Gardner và Mihali Csikszentmihalyi thấy sáng tạo là
một khả năng tạo dựng hoặc thay đổi một quan điểm về thế giới mới thông qua công việc
hay ý tưởng của mình. Hai ông này cũng đưa ra những ý kiến về hai thuật ngữ „„sự sáng
tạo‟‟ và „„tính sáng tạo‟‟, bao gồm cả để chỉ các khả năng từ giải quyết vấn đề đến những
thể hiện nghệ thuật của cá nhân, hai ông đã không xem những khả năng này là những khả
năng mà họ không tìm thấy trong công trình nghiên cứu của họ về những người có đầu óc
sáng tạo cao. Hai ông cũng chỉ ra rằng hai thuật ngữ talent (tài năng và genius (thiên tài)
thường được dùng như là những từ đồng nghĩa với cụm từ các khả năng sáng tạo. Những
cá nhân có đầu óc sáng tạo cao là kết quả của thời gian, nền văn hóa, và sự sáng tạo cá
nhân.
Lecne.I.Ia. cho rằng: “Sự sáng tạo là quá trình con người xây dựng cái mới về chất
bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem như là hệ thống các thao tác hoặc hành
động được mô tả thật chính xác và được điều hành nghiêm ngặt” . Theo R.L. Solsor: “Sự
sáng tạo là một hoạt động nhận thức đem lại một cách nhìn nhận hay giải quyết mới mẻ
đối với một vấn đề hay một tình huống”. Theo Nguyễn Cảnh Toàn: “Người có óc sáng tạo
là người có kinh nghiệm về phát hiện và giải quyết vấn đề đã đặt ra”. Từ điển Tiếng Việt:
“Sáng tạo là tạo ra những giá trị mới về vật chất hoặc tinh thần; hay: tìm ra cái mới, cách
giải quyết mới, không bị gò bó, phụ thuộc vào cái đã có”
(2) Quá trình sáng tạo: Theo Phạm Gia Đức - Phạm Đức Quang đã nêu rất rõ và chi
tiết quá trình sáng tạo trải qua 4 giai đoạn theo Wallas: Giai đoạn I: Giai đoạn chuẩn bị cho
công việc có ý thức; Giai đọan II: Giai đoạn ấp ủ; Giai đoạn III: Giai đoạn bừng sáng; Giai
đoạn IV: Giai đoạn kiểm chứng. “Trong bốn giai đoạn kể trên của quá trình sáng tạo thì hai
giai đoạn ấp ủ và bừng sáng là quan trọng nhất, vì chính giai đoạn bừng sáng mới phát hiện
ra cái mới; mới giải quyết được vấn đề và cũng chính hai giai đoạn này chưa được nghiên
cứu đầy đủ, còn nhiều tranh cãi.”
(3) Hiểu thế nào là tư duy sáng tạo: Nếu tư duy bắt chước là tư duy lặp lại những gì
đã có trước đó, thì tư duy sáng tạo là tư duy tìm một cách giải quyết mới trong quá trình đi

sáng tạo, trí thông minh và sự thông thái. Mặc dù chúng là các phạm trù khá tách biệt,
nhưng chúng là các cấu trúc có liên hệ với nhau. Thông thái có quan hệ với trí thông minh
rõ ràng hơn là tính sáng tạo, nhưng khác với trí thông minh ở chỗ nó nhấn mạnh vào việc
đánh giá chín chắn và vào việc sử dụng kinh nghiệm trong các tình huống khó khăn. Sáng
tạo chồng chéo với trí thông minh nhiều hơn với thông thái, nhưng nó bao gồm trí tưởng
tượng và các phương pháp không theo quy ước nhiều hơn. Trí thông minh xử lý các cấu
trúc logic và phân tích.
Theo Carl Rogers, bản chất của tính sáng tạo là sự mới mẻ và do đó chúng ta không
có tiêu chí để đánh giá nó. Trong thực tế sản phẩm càng độc đáo bao nhiêu, thì nó càng có
xu hướng bị những người đương thời đánh giá là ngu ngốc bấy nhiêu. Cá nhân sáng tạo ra
lúc đầu bởi vì sáng tạo là một cách tự thỏa mãn và bởi vì hành vi hay sản phẩm có tính tự
hiện thực (đây là khía cạnh con người của sáng tạo, mặc dù quá trình và trí tuệ tham gia
vào trong khi sáng tạo về bản chất có tính nhận thức). 16
Erich Fromm định nghĩa quan điểm sáng tạo như là sự tự nguyện để bị là bối rối
(làm quen chính mình với một cái gì đó chưa được biết đến với sự khó chịu), khả năng tập
trung, khả năng trải qua kinh nghiệm như là người tạo nguồn cho các hành động, sự tự
nguyện chấp nhận mâu thuẫn và sự căng thẳng do sự thiếu kiên nhẫn gây ra cho các ý
tưởng sáng tạo.
Như vậy, từ các quan điểm nêu trên chỉ ra rằng có rất ít sự nhất trí về định nghĩa về
sáng tạo, trừ việc cho rằng nó là một phẩm chất của trí tuệ và có quan hệ với trí thông
minh.
Cái mới là tiêu chí rõ nhất của tư duy sáng tạo. Không những sản phẩm là mới, mà quá
trình tư duy cũng mới, thể hiện ở chỗ quá trình tư duy đổi mới, chuyển đổi quan điểm, khắc
phục những thói quen không phù hợp trong phương thức tư duy.
Tư duy sáng tạo có hai loại: Một loại là tư duy sáng tạo của các nhà khoa học, nhà
nghệ sĩ, nhà phát minh sáng chế. Những sản phẩm mới, tư tưởng mới do họ sáng tạo ra là
mới đối với xã hội, mới đối với nhân loại, có tính mở đường. Một loại nữa là tính tư duy

cảm này đối với việc các cá nhân khác nhau như thế nào, cho nên các trường học thường
hạn chế sự phát triển của một quan niệm tự thân tích cực trong nhiều học sinh có đầu óc
sáng tạo. Các tài năng tiềm tàng của nhiều học sinh có đầu óc sáng tạo bị mất bởi vì việc
chúng ta cố định vào các kiểu kiến thức cụ thể và bị hạn chế.
Đối với người giáo viên nói chung, giáo viên toán nói riêng, khi bồi dưỡng tính
sáng tạo cho học sinh qua dạy học, định nghĩa về tính sáng tạo phải ở cấp độ nào, xuống
tới bao nhiêu ý tưởng để có thể vận dụng được. Quá trình sáng tạo mà ta đề cập đến là quá
trình hữu thức và vô thức, vừa có thể quan sát được, vừa có thể không quan sát được. Các
quá trình vô thức không thể quan sát được, khó xử lý trong lớp học, cho nên thường có
hiểu nhầm giữa giáo viên và những học sinh sáng tạo. Giáo viên thường yêu cầu học sinh
có tư duy „„phản ứng‟‟ (reactive thinking) ; nghĩa là các thầy, cô chờ đợi học sinh phản
ứng lại các câu hỏi, các bài tập, hay các mục trong bài kiểm tra và đưa ra câu trả lời mong
đợi ưa chuộng hơn. Giáo viên thường không có xu hướng khuyến khích học sinh của mình
tư duy „„ngược‟‟ (proactive), nghĩa là tạo ra các câu hỏi và câu trả lời mới. Các trường Sư
phạm đào tạo giáo viên đang đào tạo theo kiểu này, giáo viên thường cảm thấy không vui,
không thoải mái khi không nhận được câu trả lời đúng của học sinh. Giáo viên phải thực
sự phát triển tư duy phê phán cho học sinh, muốn thế họ phải vượt ra khỏi tư duy phản
ứng và thậm chí ra khỏi tư duy phê phán và khuyến khích học sinh tạo ra các ý tưởng. Xã
hội cần các nhà tạo tư tưởng để lập kế hoạch, để ra quyết định, và để xử lý các vấn đề
công nghệ và xã hội. Giáo viên cần phải để học sinh biết rằng có câu hỏi đúng và câu trả
lời đúng không phải lúc nào cũng quan trọng, rằng hiểu sâu mới là điều quan trọng, rằng
các hoạt động khác nhau, yêu cầu các khả năng khác nhau. Giáo viên cần phải hiểu rằng
hầu hết mọi học sinh đều có tiềm năng của tư duy sáng tạo.
Để khuyến khích tư duy sáng tạo, giáo viên phải kích thích học sinh tập luyện tư
duy logic, luyện tập suy diễn, khuyến khích tư duy trực giác, các thủ thuật dự đoán, tìm
kiếm, khám phá.
(4) Tích cực tìm tòi, phát hiện tri thức mới để bồi dưỡng tư duy sáng tạo 18

bài toán cụ thể, có học sinh liên tưởng được nhiều kiến thức, phương pháp, định lý, bài
toán đã giải quyết, giúp cho việc giải quyết vấn đề, giải bài toán, Có em chỉ liên tưởng
được số ít, thậm chí không có liên tưởng nào. Sức liên tưởng và huy động kiến thức phụ
thuộc vào tiềm năng tích lũy kiến thức, phương pháp và sự nhạy cảm trong khâu phát hiện
vấn đề. Năng lực liên tưởng và huy động kiến thức ở người học sinh luôn luôn phát triển 19
(giáo viên Toán phải có tác động sư phạm vào quá trình phát triển này). J.A. Komenxki:
“Dạy học là một quá trình từ từ và liên tục, những điều hôm nay phải củng cố cái hôm qua
và mở ra con đường cho ngày mai”.
Không có năng lực liên tưởng và huy động kiến thức thì sẽ không có trực giác và
năng lực giải toán sẽ hạn chế, sẽ nghèo nàn về ý tưởng. Nhưng, để liên tưởng và việc huy
động kiến thức có hiệu quả thì phải có sự sàng lọc liên tưởng.
Ví dụ 42: Chẳng hạn, xét bài toán: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài của ba cạnh
của tam giác thì a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ac). Ta nhận thấy, bài toán có đề cập đến mối
quan hệ giữa các cạnh của một tam giác, học sinh phải huy động định lý, tính chất đã biết
về quan hệ giữa các cạnh của một tam giác:
a > b – c (1) a < b + c (2)
a
2
= b
2
+ c

nhận thấy vai trò a, b, c là bình đẳng, bởi thế sau khi có được a
2
> b
2
+ c
2
– 2bc thì ta rút ra
các kết quả tương tự b
2
> c
2
+ a
2
– 2ac, c
2
> a
2
+ b
2
– 2ab. Cộng theo vế của bất đẳng thức
này ta có: a
2
+ b
2
+ c
2
> 2(a
2
+ b
2

< b
2
+ c
2
+ 2bc, tương tự
ta cũng có b
2
< c
2
+ a
2
+ 2ac, c
2
< a
2
+ b
2
+ 2ab. Cộng theo vế a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(a
2
+ b
2
+ c
2
)

ab
a
b
b
ab
ln

Nếu biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh thành bất đẳng thức tương đương với nó
lần lượt qua từng bước:
a
ab
a
b
b
ab
ln

a
ab
ab
b
ab
lnln
aab
ab
b
1lnln1

Đến đây có thể liên tưởng đến định lý Lagrange, nhờ đó có thể giải được bài toán
bằng cách: Xét hàm số f(x) = lnx trên [a; b], trên [a; b] hàm f(x) liên tục và có đạo hàm, do