ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ QUANG CHUNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC LỚP 11 – CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI – 2013

1


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện, tác giả đã hoàn thành đề tài nghiên
cứu của mình. Để có được kết quả này, ngoài sự nỗ lực, tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu
của bản thân, tác giả luôn nhận được sự ủng hộ, giúp đỡ nhiệt tình từ các thầy cô, bạn
bè và đồng nghiệp.
Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia
Hà Nội đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi được học tập nghiên cứu trong suốt khóa
học. Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong nhà trường đã truyền thụ cho tôi
vốn kiến thức vô cùng quý báu để tôi có thể hoàn thành tốt đề tài và làm giàu thêm

Trung học Phổ thông
Trang

3


MỤC LỤC
Lời cảm ơn ......................................................................................................
Danh mục các ký hiệu, chữ cái viết tắt ...........................................................
Mục lục ...........................................................................................................
Danh mục các bảng .........................................................................................
MỞ ĐẦU

Trang
i
ii
iii
vii
1

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.........................................

5

1.1. Xung quanh khái niệm năng lực giải toán ...............................................

5

1.1.1. Nguồn gốc của năng lực ........................................................................


1.2.3. Chức năng .............................................................................................

10

1.3. Nội dung dạy học chủ đề Phương trình lượng giác trong môn Toán –
(Chương trình nâng cao) ở trường THPT .......................................................
1.3.1. Nội dung cụ thể của chủ đề Phương trình lượng giác trong chương

11

trình toán 11 – Chương trình nâng cao ...........................................................
1.3.2. Mục tiêu của dạy học chủ đề Phương trình lượng giác – Chương trình

11

nâng cao lớp 11................................................................................................
1.3.3. Những chú ý khi dạy học giải Phương trình lượng giác ở trường

11

THPT ...............................................................................................................
1.4. Dạy học giải Phương trình lượng giác theo tư tưởng G.Polya .................

12

1.5. Tìm nhiều cách giải cho một bài Toán .....................................................

15

12

2.1.2.2. Nguyên tắc sử dụng hệ thống bài tập .................................................

25

2.2. Hệ thống bài tập chủ đề “Phương trình lượng giác” Toán 11 ................

26
26

2.2.1. Phương trình lượng giác cơ bản ............................................................
sin x = a ( a ∈ ¡ )
2.2.1.1. Phương trình
..........................................................
cos x = a ( a ∈¡ )
2.2.1.2. Phương trình
.........................................................
tan x = a ( a ∈ ¡ )
2.2.1.3. Phương trình
.......................................................
cot x = a ( a ∈ ¡ )
2.2.1.4. Phương trình
........................................................
2.2.2. Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản ....................................
2.2.2.1. Phương trình chứa một hàm số lượng giác của cùng một cung .........
2.2.2.2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x .....................................
2.2.2.3. Phương trình đẳng cấp theo sin và cosin của cùng một cung .....
2.2.2.4. Phương trình đối xứng và gần đối xứng ...........................................
2.2.3. Sử dụng phương pháp biến đổi lượng giác giải phương trình lượng

25

.....................................................................................
2.2.4.2. Biến đổi phương trình về phương trình tích nhờ hằng đẳng thức

72

au + bv = ab + uv ⇔ (u − b)(v − a) = 0 .............................................................
2.2.4.3. Biến đổi phương trình về phương trình tích nhờ định lý Viet ..........
2.2.5. Sử dụng phương pháp so sánh giải Phương trình lượng giác .............
2.2.5.1. Phương pháp tổng hai số không âm ..................................................
2.2.5.2. Phương pháp phản chứng ...................................................................
2.2.5.3. Phương pháp đối lập .........................................................................
2.2.6. Phương pháp xét biến thiên hàm số ......................................................
2.2.7. Ứng dụng phương trình lượng giác vào giải phương trình và hệ

75
77
79
79
80
80
82

phương trình đại số ........................................................................................
2.3. Những kết luận sư phạm về phát triển năng lực giải toán cho học sinh

83
85

5



90
91
91
93

PHẠM ............................................................................................................
3.1. Tổng kết kinh nghiệm ............................................................................
3.1.1. Quá trình tích lũy để xây dựng hệ thống bài tập ...................................
3.1.2. Quá trình xây dựng và hoàn thiện hệ thống bài tập ..............................
3.1.3. Hiệu quả thực tế của việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh

94
94
94
96

thông qua hệ thông bài tập Phương trình lượng giác .....................................
3.2. Thực nghiệm sư phạm ..............................................................................
3.2.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm .......................................
3.2.2. Đối tượng và địa bàn thực nghiệm ......................................................
3.2.3. Kế hoạch thực nghiệm ..........................................................................
3.2.3.1. Thời gian thực nghiệm .......................................................................
3.2.3.2. Nội dung và tổ chức thực nghiệm ......................................................
3.2.4. Kết quả dạy thực nghiệm .....................................................................
Kết luận Chương 3 .........................................................................................
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ...............................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................

97

thành công thì yếu tố con người là quyết định. Do đó đất nước đang rất cần những
người lao động tự chủ sáng tạo có năng lực giải quyết các vấn đề thường gặp qua đó
góp phần thực hiện thắng lợi các mục tiêu đề ra.
Luật Giáo dục của nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã ghi
“Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của
người học, bồi dưỡng năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và
ý chí vươn lên”. (Chương I- điều 5)
Với mục tiêu đó, trong những năm gần đây ngành giáo dục đã và đang tích cực
tiến hành đổi mới nhằm nâng cao chất lượng dạy và học. Một trong những khâu
then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học.
Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường Trung học Phổ
thông, việc phát triển năng lực giải toán cho học học sinh có vai trò quan trọng vì đó
là một trong các mục tiêu dạy học ở phổ thông. Việc giải toán là hình thức chủ yếu
của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo. Hoạt động
giải toán là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông.
Phát triển năng lực giải toán cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng
tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ
năng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải
quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn
phương pháp tự học tối ưu.
Về nội dung môn Toán, trong hệ thống kiến thức đưa vào giảng dạy cho học
sinh Trung học Phổ thông, kiến thức về lượng giác nói chung và phương trình lượng
giác nói riêng là một nhóm kiến thức cơ bản và quan trọng, điều đó đã và đang
được thể hiện qua các kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng,... . Hệ thống bài tập về
phương trình lượng giác rất phong phú và đa dạng, trong các kỳ thi chúng ta
thường bắt gặp các phương trình lượng giác và những bài phương trình lượng giác
này đã gây không ít khó khăn đối với nhiều học sinh vì có nhiều công thức biến đổi
lượng giác nên học sinh không biết sử dụng công thức nào để biến đổi phương trình
đã cho. Tuy nhiên, nếu học sinh hệ thống được các dạng bài tập phương trình lượng


3. Mục tiêu nghiên cứu
Phát triển năng lực giải toán cho học sinh Trung học Phổ thông thông qua dạy
học giải Phương trình lượng giác.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

9


Nghiên cứu một số vấn đề về giải toán, năng lực và năng lực giải toán.
Xây dựng hệ thống bài tập về phương trình lượng giác nhằm phát triển năng lực
giải toán cho học sinh.
Thực nghiệm sư phạm.
5. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các dạng bài toán giải Phương trình lượng giác - lớp 11 Trung học
Phổ thông (Chương trình nâng cao).
6. Mẫu khảo sát
Học sinh lớp 11D và 11E (học chương trình Toán nâng cao) của trường Trung
học Phổ thông Văn Giang – Hưng Yên, năm học 2013 – 2014.
7. Vấn đề nghiên cứu
Làm thế nào để phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học chủ
đề Phương trình lượng giác.
8. Giả thuyết nghiên cứu
Trong dạy học Phương trình lượng giác, nếu ta xây dựng được hệ thống bài tập
và đề xướng các hướng giải cho từng loại bài tập, đồng thời đề xuất các biện pháp
sư phạm phù hợp sẽ phát triển được năng lực giải toán cho học sinh, giúp học sinh
khắc sâu kiến thức đã học, linh hoạt và nhạy bén hơn trong việc giải phương trình
lượng giác, phát huy tính tích cực trong tiếp thu kiến thức mới, góp phần nâng cao
chất lượng dạy và học trong trường Trung học Phổ thông.
9. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận

sống với người hàng ngàn năm vẫn không có năng lực như con người vì chúng
không có các tư chất bẩm sinh di truyền là tiền đề cho sự phát triển năng lực).
Thứ hai: Năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử. Muốn một
người của thế hệ sau được phát triển trong thế giới tự nhiên, xã hội đã được các thế hệ
trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó trong môi trường văn hóa xã hội. Con
người khi lọt lòng mẹ đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực
tương ứng, nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát triển được...
Thứ ba: Năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và sản phẩm của hoạt động.
Sống trong môi trường xã hội do các thế hệ trước tọa ra và chịu sự tác động của nó,
trẻ em và người lớn thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích ứng với các
thàn tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn chiếm lĩnh chúng và quan trọng hơn là
cải tạo chúng để không chỉ đạt được các kết quả “ vật chât ” mà còn tạo ra tiền đề cho
hoạt động tiếp theo.
Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực, tài năng là hiện tượng có bản
chất phức tạp, xã hội, các tố chất và hoạt động của con người tương tác qua lại với
nhau để tạo ra các năng lực, tài năng. Vậy đào tạo có hiệu quả nhất là đưa học sinh
vào các dạng hoạt động thích hợp.
1.1.2. Năng lực
1.1.2.1. Khái niệm về năng lực
Theo nhà tâm lí học Nga nổi tiếng V.A.Cruchetxki thì “ Năng lực được hiểu
như là : Một phức hợp các đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng những
yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động
đó”.[1, tr. 15]

12


Thông thường, một người được coi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri
thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kết quả tốt hơn,
cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạt động



- Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng quan hệ toán
học và các phép toán.
- Năng lực rút gọn quy trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán
tương ứng, năng lực tư duy bằng các cấu trúc được rút gọn.
- Tính linh hoạt của các quá trình tư duy trong hoạt động toán học.
- Khuynh hướng vươn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm, hợp lí của lời
giải bài toán.
- Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của quy trình tư
duy, năng lực chuyển từ tiến trình tư duy thuận sang tiến trình tư duy đảo – trong
suy luận toán học.
- Trí nhớ toán học, tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học, đặc điểm
về loại, các sơ đồ suy luận và chứng minh, các phương pháp giải toán và các nguyên
tắc đường lối giải toán.
- Khuynh hướng toán học của trí tuệ.
1.1.2.3. Năng lực giải toán
Năng lực giải bài tập toán học là một thể hiện của năng lực toán học. Đó là
đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải
toán và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán đó. Năng lực giải
bài tập toán học là khả năng vận dụng những kiến thức toán học đã được lựa chọn
vào hoạt động giải bài tập toán học.
Tri thức toán học không phải được cho sẵn mà phải được kiến tạo, xây dựng
bắt đầu từ hoạt động giải toán. Học sinh tự mình xây dựng các kiến thức toán học
thông qua hoạt động giải các bài tập toán học. Quá trình học sinh xây dựng và
chiếm lĩnh kiến thức toán học, hình thành nên năng lực giải bài tập toán học của
mình.
Theo Nguyễn Bá Kim : “Bài tập toán học là giá mang hoạt động học tập của
học sinh ”. Giải bài tập toán là mục đích của việc dạy học toán. Bài tập còn là
phương tiện để giáo viên cài đặt các nội dung cần dạy hoặc cần bổ sung cho phần lý

phần do học sinh có ý thức tự tăng thêm năng lực cho mình, một phần do các thầy cô
giáo hướng dẫn và bồi dưỡng. Chính vì vậy chúng tôi rất đề cao các bài ôn tập, bởi
chúng đã góp phần không nhỏ trong việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh.
Tóm lại, để phát triển năng lực giải toán cho học sinh, phương pháp tốt nhất
là đưa ra một hệ thống bài tập nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư
duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn.
Trong phạm vi Luận văn chúng tôi xây dựng hệ thống bài tập về Phương
trình lượng giác theo các dạng và theo các phương pháp giải khác nhau nhằm phát

15


triển năng lực giải toán cho học sinh.
1.2. Ý nghĩa, vai trò và chức năng của hệ thống bài tập
G.Polya cho rằng: “ Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn
rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách
tra cứu thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường
chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà
quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến mức độ nào đó nắm vững môn học.
Vậy thế nào là nắm vững môn toán? Đó là biết giải toán!” [13, tr. 82] Trên cơ sở đó
ta có thể thấy rõ hơn vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường THPT .
1.2.1. Vị trí và vai trò của bài tập toán
Trong dạy học toán ở trường THPT, bài tập toán có vai trò vô cùng quan
trọng, theo Nguyễn Bá Kim: “ Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán
học. Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động học
toán. Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và
không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững những tri thức, phát
triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt
động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở
trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải bài tập toán có vai

1.2.3. Chức năng
Chức năng dạy học: Giúp học sinh củng cố những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở
những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, làm sáng tỏ và khắc sâu những
vấn đề lý thuyết. Thu gọn, mở rộng bổ sung cho lý thuyết trên cơ sở thường xuyên
hệ thống hóa kiến thức mà nhấn mạnh phần trọng tâm của lý thuyết. Đặc biệt hệ
thống bài tập còn mang tác dụng giáo dục kỹ thuật tổng hợp thể hiện qua việc giúp
học sinh: Thói quen đặt vấn đề một cách hợp lí, ngắn gọn, tiết kiệm thời gian và
phương pháp tư duy; Rèn luyện kỹ năng tính toán, sử dụng đồ thị, bảng biến thiên
và cuối cùng là rèn luyện kỹ năng thực hành toán học.
Chức năng giáo dục: Giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện
chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới, rèn luyện cho học
sinh đức tính kiên nhẫn, chính xác, chu đáo trong học tập, từng bước nâng cao hứng
thú học tập môn toán, phát triển trí thông minh sáng tạo.
Chức năng phát triển: Giúp học sinh ngày càng nâng cao khả năng độc lập
suy nghĩ, rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, suy diễn, quy nạp,

17


tương tự... Thông thạo một số phương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và giải
quyết vấn đề một cách thông minh sáng tạo.
Chức năng kiểm tra: Thông qua hệ thống bài tập, giáo viên có thể kiểm tra,
đánh giá kết quả học tập của học sinh trong quá trình dạy học. Kiểm tra, đánh giá
nhằm cung cấp cho giáo viên và học sinh những thông tin về kết quả dạy và học: Về
kiến thức, kỹ năng, năng lực giải toán... và hiệu quả dạy học của giáo viên.
1.3. Nội dung dạy học chủ đề Phương trình lượng giác trong môn Toán –
(Chương trình nâng cao) ở trường THPT
1.3.1. Nội dung cụ thể của chủ đề Phương trình lượng giác trong chương trình
Toán 11 – Chương trình nâng cao
Chủ đề Phương trình lượng giác được giảng dạy trong 15 tiết của chương 1Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác. Có thể nói rằng chủ đề có yêu cầu

1.3.3. Những chú ý khi dạy học giải Phương trình lượng giác ở trường THPT
Đây là lần đầu tiên học sinh làm quen với phương trình trình lượng giác. Khi
dạy học sinh giáo viên cần lưu ý một số điểm sau:
Cách viết nghiệm của phương trình và biểu diễn nó trên đường tròn lượng giác.
Muốn có kỹ năng giải phương trình lượng giác học sinh phải có kỹ năng biến
đổi lượng giác.
Phần lớn các sai lầm mà học sinh mắc phải trong nội dung này là do đặt
ĐKXĐ sai hoặc thiếu và khi so với ĐKXĐ lại so một cách không chính xác.
1.4. Dạy học giải Phương trình lượng giác theo tư tưởng G.Polya
Trong môn toán ở trường THPT có nhiều bài tập toán giải bằng thuật toán,
cũng có nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải và cũng không có một
thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài toán, chúng ta chỉ có thể thông qua
việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách
thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán.
Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là người thầy cung cấp cho học
sinh lời giải của bài toán. Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng việc làm thế
nào để giải được bài toán, vì vậy cần trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các
suy nghĩ tìm tòi và phát hiện cách giải của bài toán.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát và gợi ý chi tiết của G.Polya về cách thức
giải toán, phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán được tiến hành theo bốn
bước sau:
* Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Để giải bài toán trước hết phải hiểu đề bài và ham thích giải bài toán đó. Vì

19


vậy chú ý gợi động cơ, khêu gợi chí tò mò hứng thú của học sinh và giúp các em
hiểu bài toán, phải tìm hiểu bài toán một cách tổng thể để bước đầu hiểu toàn bộ bài
toán tránh vội vàng đi ngay vào chi tiết.



(?) Cho biết các hàm số lượng giác có trong phương trình?
[!] Trong phương trình có hàm số sin và cos .
(?) Cho biết trong phương trình có những cung nào? Các cung đó có quan hệ gì với
nhau?
[!] Trong phương trình có ba cung x; 2 x; 3x , các cung có mối quan hệ

3x + x
= 2x
2
.

(?) Cần sử dụng công thức nào?
[!] Sử dụng công thức biến tổng (hiệu) thành tích:

sin a − sin b = 2cos

a +b
a −b
sin
2
2

ta có được : sin 3x − sin x = 2cos 2 x sin x , từ đó đưa phương trình về dạng tích.
Bước 3: Trình bày lời giải
Ta có
sin 3x + cos 2 x − sin x = 0
⇔ 2cos 2 x sin x + cos 2 x = 0
⇔ cos 2 x ( 2sin x + 1) = 0


⇔ 4sin 3 x + 2sin 2 x − 2sin x − 1 = 0
1
 2
cos 2 x = 0,
sin x = 2
⇔
⇔
sin x = − 1 .
sin x = − 1

2

2

21


Nghiên cứu sâu lời giải:
+) Biến đổi phương trình lượng giác về dạng tích nhờ công thức biến đổi tổng thành
tích, biến đổi tích thành tổng hoặc biến đổi hỗn hợp. Nhưng để biến đổi lượng giác
phải dựa vào những nhận xét đặc điểm của phương trình đã cho.
+) Nhờ đặc điểm các cung nhân đôi ( 2 x = 2.x ), nhân ba ( 3x = 3.x ) có trong phương
trình mà liên hệ đến công thức lượng giác đã có để đưa phương trình về một hàm
số lượng giác.
1.5. Tìm nhiều cách giải cho một bài Toán
Do đặc thù của bộ môn Toán nên hoạt động giải toán là hoạt động không thể
thiếu được của người học toán, dạy toán, nghiêm cứu về toán. Trong cuốn “Sáng tạo
toán học” G.Plolya đã viết “...quá trình giải toán là đi tìm kiếm một lối thoát ra
khỏi khó khăn hoặc một con đường vượt qua trở ngại, đó chính là quá trình đạt tới


⇔ 16sin 6 x − 24sin 4 x + 9sin 2 x − 4sin 2 x ( 1 − sin 2 x ) − sin 2 x = 0
⇔ sin 2 x ( 4sin 4 x − 5sin 2 x + 1) = 0
1
sin 2 x = .
⇔ sin x = 0 hoặc sin x = 1
4
2

Từ đó ta có nghiệm của phương trình là

x=k

π
π
, x = ± + kπ ( k ∈ ¢ ) .
2
6

Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức đại số và công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:
(3) ⇔ ( sin 3 x − sin x ) ( sin 3x + sin x ) − sin 2 2 x = 0
⇔ (2cos 2 x sin x)(2sin 2 x cos x) − sin 2 2 x = 0
⇔ 2sin 2 2 x cos 2 x − sin 2 2 x = 0 ⇔ sin 2 2 x = 0 hoặc 2cos 2 x = 1.
Từ đó ta có nghiệm của phương trình là
x=k

π
π
, x = ± + kπ ( k ∈¢ ) .
2

2
6

23


Cách 5: Sử dụng công thức hạ bậc và một phép nhóm hợp lý đưa phương trình về
dạng tích, ta có
(3) ⇔ 1 − cos 6 x − 1 + cos 4 x − 1 + cos 2 x = 0
⇔ ( cos 4 x + cos 2 x ) − ( 1 + cos 6 x ) = 0
⇔ 2cos3 x cos x − 2cos 2 3 x = 0 ⇔ cos3x = 0 hoặc cos3x = cos x.
Từ đó ta có nghiệm của phương trình là
x=k

π
π
, x = ± + kπ ( k ∈¢ ) .
2
6

Nhận xét. Từ các cách giải như trên học sinh sẽ nhận ra cách giải 4 là tối ưu hơn.
1.6. Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải Phương trình lượng giác
Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết, song điều quan
trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm đó, bởi vì “ con
người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình”.[5, tr. 204]
Việc thấy được những sai lầm đặc biệt có giá trị về mặt phương pháp, vì
chúng giúp học sinh quán triệt xúc tích hơn, chống lối hiểu hình thức mà đặc trưng
cho lối hiểu hình thức này là trong khi thu nhận và ghi nhớ một sự kiện toán học,
học sinh thường phạm sai lầm là biểu hiện quen thuộc bên ngoài của sự kiện (lời
văn, ký hiệu hay hình ảnh) lấn át hẳn nội dung, bản chất của sự kiện đó.[G.Polya]

π
π
π

+ cos 4 x sin = 1 ⇔ sin  x + ÷ = 1 ⇔ x = + k ( k ∈¢ ) .
3
3
3
24
2


Nguyên nhân sai lầm: Khi chia hai vế của phương trình cho 2, ta đã quên chia vế
phải cho 2. Đây là một sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình bậc
nhất đối với sin và cos của cùng một cung.
Lời giải đúng:
(1) ⇔ (3sin x − sin 3x) cos3x + (cos3 x + 3cos x)sin 3x + 3 3 cos 4 x = 3
⇔ sin x cos3 x + sin 3 x cos x + 3 cos 4 x = 1
⇔ sin 4 x + 3 cos 4 x = 1
Chia cả hai vế của phương trình cho 2, ta được
1
3
1
π
π 1
sin 4 x +
cos 4 x = ⇔ sin 4 x cos + cos 4 x sin =
3
3 2
2

π
= 1 ⇔ tan(3x − 2 x) = 1 ⇔ x = + kπ (k ∈ ¢ ).
1 + tan 3x tan 2 x
4

Sai lầm là:
Với

x=

π
π
+ kπ
x = + kπ
4
4
thì cos 2 x = 0 ⇒ tan 2 x không xác định, nên
là nghiệm

ngoại lai.
Lời giải đúng:
cos 2 x ≠ 0
π
π
π
π
⇔ x≠ +m

x
≠