Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx
Ví dụ:

d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx
Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau
1
d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x )
2
1
d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
3
2
x  1
1
1
xdx = d   = d x 2 = d x 2 ± a = − d a − x 2
 2  2
2
2
 


sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) ) 
→ sin 2 xdx = − d ( cos2 x ) ...
a
a
2
1
1
1
cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) ) 
→ cos 2 xdx = d ( sin 2 x ) ...
a
a
2
1
1
1
eax +b dx = e ax +b d ( ax + b ) = d e ax +b 
→ e2 x dx = d e 2 x ...
a
a
2
dx
1 d ( ax + b )
1
dx
1
=
= d  tan ( ax + b )  
→
= d ( tan 2 x ) ...


1 d ( ax + b )
1
dx
1
= − d cot ( ax + b )  
→ 2
= − d ( cot 2 x ) ...
2
a sin ( ax + b )
a
2
sin 2 x

II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM

Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và
được viết là ∫ f ( x)dx . Từ đó ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x)
Nhận xét:
Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết

∫ f ( x)dx = F ( x) + C , khi đó

F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm
của hàm số đã cho.
Ví dụ:
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x
Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx
III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM



Từ đó ta có

Chứng minh:

(

)

′
Tương tự như tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k . f ( x) 
→ ∫ k . f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm.

∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du..

d) Tính chất 4:

Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm,
mà không phụ thuộc vào biến.
IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

Công thức 1: ∫ dx = x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( x + C )′ = 1 ⇒ ∫ dx = x + C
Chú ý:
Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ du = u + C

Công thức 2: ∫ x n dx =

x n +1

x
2 x
u
dx
1
du
1
+) Với n = −2 ⇒ ∫ 2 = − + C ←
→∫ 2 = − + C
x
x
u
u
Ví dụ:
x3
a) ∫ x 2 dx = + C
3
x5
b) ∫ ( x 4 + 2 x ) dx = ∫ x 4 dx + ∫ 2 xdx = + x 2 + C
5
1

c)

∫

3

1



Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
e) I = ∫ (1 − 3x )
f) I = ∫

Facebook: LyHung95

(1 − 3x ) + C
1
2010
u n du
dx = − ∫ (1 − 3 x ) d (1 − 3 x ) 
→I = −
3
2011
du
1 d ( 2 x + 1) u 2
1 1
1
= ∫
→ I = − .
+C =−
+C
2
2 ( 2 x + 1)
2 2x + 1
2 ( 2 x + 1)
2011

2010

5
4
5
.
4
5
4
5
(
)
(
)
(
)
4∫
4 3
8

dx
= ln x + C
x

Chứng minh:
1
dx
Thật vậy, do ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C
x
x
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được

+ 2 x + ln x + C
x
4
x x
x

du
dx
1 d ( 3x + 2 ) u
1
= ∫
→ I = ln 3x + 2 + C
3x + 2 3
3x + 2
3
2x2 + x + 3
3
dx
3 d ( 2 x + 1)
3


c) ∫
dx = ∫  2 x +
= x2 + ∫
= x 2 + ln 2 x + 1 + C
 dx = ∫ 2 xdx + 3∫
2x + 1
2x + 1 
2x + 1

a) ∫  x x + s inx +
= ∫ x 2 dx − cos x + ∫
=
 dx = ∫ x xdx + ∫ sinxdx + ∫
2x −1 
2x −1
2 2x −1

5

2x 2
1
=
− cos x + ln 2 x − 1 + C
5
2
3 
dx
1
3 d ( 4 x − 3)
1
3

= ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + ∫
= − cos2 x + ln 4 x − 3 + C
b) ∫  sin 2 x +
 dx = ∫ sin 2 xdx +3∫
4x − 3 
4x − 3 2
4



Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

x 1
1
= −2cos − cos2 x − cos3x + C
2 2
3

Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( sinx + C )′ = cos x ⇒ ∫ cosxdx = sinx + C

Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ cosudu = sin u + C
+ ∫ cos ( ax + b ) dx =

1
1
1
cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = sin ( ax + b ) + C 
→ ∫ cos2 xdx = sin 2 x + C
∫
a
a
2


4
2 2

Công thức 6: ∫

dx
= tan x + C
cos 2 x

Chứng minh:
Thật vậy, do ( tan x + C )′ =

1
dx
⇒∫
= tan x + C
2
cos x
cos 2 x

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+)

dx

1

d ( ax + b )


 cos x


1
2 
dx
dx
1 d ( 2 x − 1)
2 d (5 − 4x)
b) I = ∫ 
+
+ 2∫
= ∫
− ∫
 dx = ∫
2
2
2
cos ( 2 x − 1)
5 − 4 x 2 cos ( 2 x − 1) 4
5 − 4x
 cos ( 2 x − 1) 5 − 4 x 
du

1
1
tan ( 2 x − 1) − ln 5 − 4 x + C
2
2
du

sin x

Chú ý:
+) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+)

dx

1

d ( ax + b )

1

du

∫ sin u = − cot u + C
2

dx
1
= − cot 2 x + C
2
2x
2

∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C → ∫ sin
2

2


→ I = − −
cot (1 − 3 x )  + C = cot (1 − 3x ) + C
sin (1 − 3x )
3 sin (1 − 3 x )
3
3

 x
d 
du
dx
2
 x
sin 2 u
c) I = ∫
= 2 ∫   
→ I = −2 cot   + C
x
x




2
sin 2  
sin 2  
2
2


a) ∫  e −2 x +1 − 2 +
dx = ∫ e −2 x +1dx − ∫ 2 + ∫
dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ 2 + 4.2 x

sin 3x
sin 3 x
2
3 sin 3 x
x
x


1
1
= − e −2 x +1 + cot 3x + 8 x + C
2
3

b)

∫ ( 4e

3 x+2

+ cos (1 − 3x ) ) dx = 4 ∫ e3 x + 2 dx + ∫ cos (1 − 3 x ) dx =

4 3x+2
1
e d ( 3x + 2 ) − ∫ cos (1 − 3 x ) d (1 − 3 x )
∫


1 kx + m
1
a d ( kx + m ) = a kx + m + C
∫
k
k

Ví dụ:
1 3x
1 2x
23 x
32 x
a u du
2
d
3
x
+
3
d
2
x

→
I
=
+
+C
( ) ∫


• ∫ a x dx =

• ∫ dx = x + C
• ∫ xα dx =
•

x

α +1

α +1

ax
+ C (0 < a ≠ 1)
ln a

• ∫ cos xdx = sin x + C

+ C,

(α ≠ −1)

• ∫ sin xdx = − cos x + C

1

∫ x dx = ln x + C

• ∫ e x dx = e x + C

1

1 ax + b
e
+ C , (a ≠ 0)
a
1

∫ ax + bdx = a ln ax + b + C

LUYỆN TẬP TỔNG HỢP
Ví dụ 1: [ĐVH]. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết rằng
 F ( x) = (4 x − 5)e x
a) 
x
 f ( x) = (4 x − 1)e

 F ( x) = tan 4 x + 3 x − 5
b) 
5
3
 f ( x) = 4 tan x + 4 tan x + 3


 x2 + 4 
 F ( x) = ln  2


 x +3
c) 

x2

∫

x −1
dx = ...................................................................................
x2

( x 2 − 1)2
4) ∫
dx = ..............................................................................
x2

5) ∫

(

)

x + 3 x + 4 x dx = ......................................................................................

2 
 1
6) ∫ 
− 3  dx = ...............................................................................
x
 x

7) ∫ 2sin 2



e− x 
14) ∫ e x  2 +
 dx =.......................................................................................
cos 2 x 

2x 

15) ∫  e3 x +1 +
 dx = ......................................................................................................................
x −1 


Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) f ( x ) = x 3 − 4 x + 5;
c) f ( x ) =
e) f ( x ) =

3 − 5x 2
;
x
x3 − 1
x2

;

g) f ( x ) = sin 2 x.cos x;
i) f ( x ) =

F (1) = 3

F (1) =
1

;

x

3x 4 − 2 x 3 + 5
x2

3
2

F (1) = −2
; F (1) = 2

x
π π
k) f ( x) = sin 2 ; F   =
2
2 4

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x;

π
F  =3
2



 F ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 − 4 x
a) 
. Tìm a, b, c.
 f ( x ) = ( x − 2) x 2 − 4 x

Facebook: LyHung95

 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x
b) 
. Tìm a, b, c.
x
 f ( x ) = ( x − 3)e

Bài 4: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e−2 x
a) 
. Tìm a, b, c.
2
−2 x
 f ( x ) = −(2 x − 8x + 7)e

 F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e − x
b) 
. Tìm a, b, c.
2
−x
 f ( x ) = ( x − 3 x + 2)e

Bài 5: [ĐVH]. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):


 1

2) I 2 =  7 − 3 3 x 5  dx
x


 1
2 x
− 4 x 3 + 2  dx
4) I 4 = 
 5
x 
 x

∫

∫(

∫

3) I 3 =

1 

5) I 5 = ∫  x +
dx
x



8) I 8 = ∫ ( 2 x − 1) dx
2

3

11) I11 = ∫

9) I 9 = ∫

x2 − x x − x
dx
x

(x

3

16) I16 = ∫

(

x − 24 x

)( x − x ) dx

2

1 

14) I14 = ∫  x + 3  dx

2

(

2 x − 3 3x

15) I15 =

∫

18) I18 =

∫ ( x − 3)

x
x +1

4

)

2

dx

dx

Bài 9: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
x
 x π

x
24) I 24 = ∫ sin 2 dx
2

Bài 10: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
26) I 26 = ∫

dx
cos 2 4 x

29) I 29 = ∫ tan 4 x dx

27) I 27 = ∫

dx
cos ( 2 x − 1)
2

30) I 30 = ∫ cot 2 x dx

28) I 28 = ∫ ( tan 2 x + 2 x ) dx
31) I 31 = ∫

dx
sin ( 2 x + 3)
2

Bài 11: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
32) I 32 = ∫


dx
4x + 3

Bài 12: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
x
dx
6 − 5x
3x 3 + 2 x 2 + x + 1
41) I 41 = ∫
dx
x+2

38) I 38 = ∫

x 2 + x + 11
dx
x+3
4 x3 + 4 x 2 − 1
42) I 42 = ∫
dx
2x + 1

39) I 39 = ∫

Bài 13: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
44) I 44 = ∫ e −2 x + 3 dx

49) I 49 = ∫ ( 21− 2 x − e 4 x + 3 ) dx

Bài 14: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau:
50) I 50 =

∫

1
dx
2x

51) I 51 =

∫

2x
dx
7x

∫

52) I 52 = 32 x +1 dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95


2 x

3. sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x)

8. e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x )

4. cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x)

9.

5.

dx
= d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x )
cos 2 x

( x) = d(

)

(

x ± a = −d a − x

)

dx
= d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x )
x



2
2
2
 
a) Sử dụng các công thức vi phân 
 du
 u = d ( ln u )

( )

2

( )

(

(

x 2 dx
x3 + 1

)

)

2
2
du
x

d



 n +1


Ta có I1 =

∫

∫

∫

(

( )

∫ (

Ta có I 2 = x 1 + x

2

)

10

1


 3 3
c) Sử dụng các công thức vi phân 
 du
2 u = d u


(

)

+ C.

)

( )

3
3
1 d ( x + 1) 2 d ( x + 1) 2 x3 + 1
=
∫ x 3 + 1 3 ∫ 2 x3 + 1 = 3 + C.
x3 + 1 3
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
a) I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx
b) I 5 = ∫
2x −1

Ta có I 3 = ∫

=
d



 n +1


( )

(

)

(1 − x )

2 3

1
1
1
1
Ta có I 4 = ∫ x 1 − x dx = ∫ (1 − x 2 ) 2 d ( x 2 ) = − ∫ (1 − x 2 ) 2 d (1 − x 2 ) = −
2
2
1
1

dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )
b) Sử dụng các công thức vi phân 

 n +1

Ta có I 5 = ∫

3

1
(5 − 2x)
1
1
1 2 (5 − 2x )2
⇒ I 6 = ∫ 5 − 2 x dx = ∫ 5 − 2 x d ( 2 x ) = − ∫ ( 5 − 2 x ) 2 d ( 5 − 2 x ) = − .
+C = −
+ C.
2
2
2
3
3
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 x3
ln 3 x
dx
a) I 7 =
dx
b) I 8 = ∫
c)
I
=
9

 x4 
4
d
4
 
5
1
3
5 5 x4 − 5
5
x
−
5
−
4
2x
1
1


4
4
5
⇒ I7 =
dx = 2
=
x −5 d x −5 = .
+C =
5 4
5 4

(

)

)

4

+ C.

( 3 − 2 x ) + C.
dx
1
5
b) Ta có I 8 = ∫
= − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = −
5
(3 − 2 x)
2
12
6

dx
ln 3 x
ln 4 x
= d ( ln x ) ta được I 9 = ∫
dx = ∫ ln 3 x d ( ln x ) =
+ C.
x
x


−2009

3 dx
2010

=−

cos u du = d ( sin u )

b) Sử dụng các công thức vi phân  dx
=d x

2 x

+C =

3
4018 ( 4 − 2 x )

2009

+ C.

( )

( )

cos x
cos x


cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = −

∫

2 ( cos x ) 2

3
Ví dụ 5: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
sin x
a) I13 = 3 sin x cos x dx
b) I14 = ∫
dx
cos5 x
Lời giải:
sin u du = −d ( cos u )
a) Sử dụng các công thức vi phân 
cos x dx = d ( sin x )

=−

2 cos3 x
+ C.
3

∫

Ta có I 3 =

∫

+C
4

( cos x ) + C = 1 + C.
sin x
d (cos x)
dx = − ∫
=−
5
5
cos x
cos x
−4
4 cos 4 x
cos x dx = d ( sin x )

c) Sử dụng các công thức vi phân  n
 u n +1 
u
du
=
d



 n +1

−4

b) Ta có I14 = ∫

Lời giải:
sin x dx = −d (cos x)

a) Sử dụng các công thức  du
 ∫ u = ln u + C
d ( cos x )
sin xdx
Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫
= −∫
= − ln cos x + C.
cos x
cos x
1
1
b) Ta có I17 = sin 4 x cos 4 x dx =
sin 4 x cos 4 x d ( 4 x ) =
4
4

∫

∫

∫

sin 4 x d ( sin 4 x )

3

1 2 ( sin 4 x ) 2

Lời giải:
cos xdx = d (sin x)

a) Sử dụng công thức vi phân  du
 1
 u2 = d  − u 



2 d ( sin x )
2cos x dx
2 d ( 2 − 5sin x )
2
⇒ I19 = ∫
=∫
=− ∫
=
+ C.
2
2
2
5 ( 2 − 5sin x )
5 ( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )

cos xdx = d (sin x)

b) Sử dụng công thức vi phân  du
2 u = d u

cos x
cos x
c) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản 
2
 u du = u + C

2
d ( cos x )
sin x
dx = − ∫ ln ( cos x )
= − ∫ ln ( cos x ) d ( ln cos x ) =
Ta có I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx = ∫ ln ( cos x )
cos x
cos x
ln 2 (cos x)
ln 2 (cos x)
=−
+ C 
→ I 21 = −
+ C.
2
2
Ví dụ 8: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
tan x
tan 3 x
tan 2 x + 1
a) I 22 =
dx
b)
I

d
tan
x
=
+
C

→
I
=
+ C.
Ta có I 22 =
(
)
22
2
2
cos 2 x
cos 2 x
 dx
 cos 2 x = d ( tan x )
b) Sử dụng các công thức 
 1 = 1 + tan 2 x
 cos 2 x

∫

∫

∫

cos x
cos x cos x
6
4
tan x tan x
tan 6 x tan 4 x
=
+
+ C 
→ I 23 =
+
+ C.
6
4
6
4
1 d (ax) 1
 dx
 cos 2 ax = a cos 2 ax = a d ( tan(ax) )
c) Sử dụng các công thức 
2
 u du = u + C
 ∫
2
tan 2 x + 1
tan 2 x dx
dx
1 tan 2 x d (2 x) 1 d (2 x)
Ta có I 24 =
dx =

cot x
tan x
cot x
a) I 25 = ∫ 2 dx
b) I 26 = ∫
dx
c) I 27 = ∫
dx
3
π
sin x
cos x

cos  x + 
2

Lời giải:
 dx
 sin 2 x = − d ( cot x )
a) Sử dụng các công thức 
2
 u du = u + C
 ∫
2
cot x
dx
cot 2 x
cot 2 x
dx
=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

cos x dx = d ( sin x )

π
 
c) Sử dụng các công thức cos  x +  = − sin x
2
 
 du
1
∫ 2 = − + C
u
 u
cot x
cos x
cos x dx
d (sin x)
1
1
Ta có I 27 = ∫
dx = ∫
dx = − ∫
= −∫
=
+ C 
→ I 27 =
+ C.
2
2
π
sin x. ( − sin x )


c) I 30 = ∫ x.e1− x dx

b) I 29 = ∫

dx

d) I 31 = ∫ ecos x sin x dx

2

( )

 dx
=d x

a) Sử dụng các công thức  2 x
 eu du = eu + C
∫
Ta có I 28 =

∫

3e

x

x

∫

dx
Ta có I 29 = ∫
= ∫ e tan x + 2
= ∫ e tan x + 2 d ( tan x + 2 ) = e tan x + 2 + C 
→ I 29 = e tan x + 2 + C.
2
2
cos x
cos x
1
1

2
2
 x dx = 2 d ( x ) = − 2 d (1 − x )
c) Sử dụng các công thức 
 eu du = eu + C
∫
2
2
2
2
2
1
1
1
Ta có I 30 = ∫ x.e1− x dx = ∫ e1− x x dx = − ∫ e1− x d (1 − x 2 ) = − e1− x + C 
→ I 30 = − e1− x + C .
2
2

2

LUYỆN TẬP TỔNG HỢP
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1. Vi phân nhóm hàm đa thức, hàm căn
• I1 = ∫ x3 (4 − 5 x 4 )dx = ....................................................................................................................................
• I 2 = ∫ 2 x 2 3 1 + 3 x3 )dx = .................................................................................................................................

xdx

• I3 = ∫

• I4 = ∫

4

3 − 2 x2

= ...........................................................................................................................................

x5
dx = ..........................................................................................................................................
1 − 5 x6
3x3


e dx
= ................................................................................................................................................
x2

• I11 = ∫

e3 x dx
= ..............................................................................................................................................
2 x

• I12 = ∫

dx
= ...........................................................................................................................................
x+3 x

2. Vi phân nhóm hàm lượng giác
• I1 = ∫ sin x.cos3 xdx = ...................................................................................................................................
• I 2 = ∫ cos x.sin 5 xdx = ...................................................................................................................................
• I 3 = ∫ sin x. 3cos x + 2dx = .........................................................................................................................
• I 4 = ∫ cos x. 4 5 − 2 sin xdx = ..........................................................................................................................
• I5 = ∫
• I6 = ∫
• I7 = ∫

sin xdx
= ......................................................................................................................................
2 + 5cos x
sin xdx

• I10 = ∫

tan xdx
= ...........................................................................................................................................
3cos 2 x

• I11 = ∫

tan xdx
= ............................................................................................................................................
cos 4 x

• I12 = ∫ sin x.e3cos x − 2 dx = .................................................................................................................................
• I13 = ∫ cos 2 x.e 2 −5sin 2 x dx = .............................................................................................................................
• I14 = ∫

e2cot x −1
dx = ........................................................................................................................................
sin 2 x

• I15 = ∫

dx
= ...........................................................................................................................
sin 2 x 4 cot x − 3

3. Vi phân nhóm hàm mũ, loga
• I1 = ∫
• I2 = ∫
• I3 = ∫


• I7 = ∫

dx
x ( 2 + 3ln x )

2

ln xdx
x 1 − 4 ln 2 x

= ..................................................................................................................................
= ...................................................................................................................................

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
x

1) I1 =

∫ 1+ x

4) I 4 =


16)

∫

∫

2) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx

3) I 3 =

sin x
dx
3
x
dx
4) I 8 = ∫
2x −1

6) I 6 =

5) I 5 =

∫ cos

cos x
dx
x

∫


cos 2 x

x 2 dx

20) I 20 = ∫ x 2 x3 + 5 dx

21) I 21 = ∫

22) I 22 = ∫ x 1 − x 2 dx

23) I 23 = ∫ cos x 1 + 4sin x dx

24) I 24 = ∫ x x 2 + 1 dx

25) I 25 = ∫ ecos x sin x dx

26) I 26 = ∫ x.e x

19)

∫

28) I 28 = x.e1− x dx
2

29) I 29 =

∫ (e

2

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

DẠNG 1. ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỈ ĐƠN GIẢN
Phương pháp giải:
Nếu hàm f(x) có chứa

n

g ( x) thì đặt t = n g ( x) ⇔ t n = g ( x) 
→ n.t n −1 = g '( x)dx

Khi đó, I = ∫ f ( x)dx = ∫ h(t )dt , việc tính nguyên hàm ∫ h(t )dt đơn giản hơn so với việc tính ∫ f ( x)dx.

MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 =

∫

xdx
4x + 1

∫

b) I 2 = x3 x 2 + 2 dx

∫





∫

t 2 − 1 tdt
.
xdx
4
2 = 1 (t 2 − 1)dt
=
t
8
4x + 1

∫

∫

b) Đặt t = x 2 + 2 ⇔ t 2 = x 2 + 2 
→ x 2 = t 2 − 2 ⇔ 2 xdx = 2tdt 
→ x3 dx = x 2 .xdx = (t 2 − 2).tdt

(

)

(

5

→ I3 =
= −2
2 
2
t
1− x
 x = 1 − t
 (1 − x)5 2 (1 − x)3

2
 t 5 2t 3

= −2 1 − t 2 dt = −2 t 4 − 2t 2 + 1 dt = −2  −
+ t  + C = −2 
−
+ 1− x  + C


3
5
3
5




∫ (

∫


∫ (

)

x 2 + 2 .x 3 dx = t. t 2 − 2 tdt =

∫ (t

4

− 2t 2

)

t5
t3
dt = − 2. + C =
5
3

(x

2

+2

)

5


∫

ln 2 x dx
x 3 2 − ln x

c) I 6 =

∫

ln x 3 + 2ln x dx
x

Lời giải:

(

)

ln x = t − 1
t 2 − 1 .2tdt
ln x dx

→  dx

→ I4 =
=
a) Đặt t = 1 + ln x ⇔ t 2 = 1 + ln x 
t
1 + ln x x
 = 2tdt


ln x = 2 − t 3
ln 2 x
(2 − t 3 ) 2 .3t 2 dt
dx

.
b) Đặt t = 3 2 − ln x ⇔ t 3 = 2 − ln x 
→  dx

→
I
=
=
5
2
3
t
2 − ln x x
 = 3t dt
 x
 3 (2 − ln x)8 4 3 (2 − ln x)5

 t 8 4t 5

= 3∫ ( t 7 − 4t 4 + 4t ) dt = 3  −
+ 2t 2  + C = 3 
−
+ 2 3 (2 − ln x)2  + C


dx
1
= ln x 3 + 2ln x .
= 
 .t.tdt =
x
x
2
 2 

∫


1  t5
t5 t3
=  − t3  + C = − + C =
2 5
10 2


∫

( 3 + 2 ln x )5
10

( 3 + 2ln x )3

−

2


b) I8 =

e −1
x

e 2 x dx

∫

(e

x

)

+1

∫x

c) I 9 =

3

dx

d) I10 =

x +4
2

2dt
(t + 1) − (t − 1)
dt
dt
Khi đó I 7 =
=
= 2
=
=
dt =
−
2
x
(
t
−
1)(
t
+
1)
(
t
−
1)(
t
+
1)
t
−
1


2

)

− 1 .2tdt
t3

=2

∫

ex −1 − 1

+ C 
→ I 7 = ln

e x = t 2 − 1
b) Đặt t = e + 1 ⇔ t = e + 1 
→ x

→ I8 =
e dx = 2tdt
2

x

∫

x


)

+1

3

=

∫

(t

2

)

− 1 .2tdt
t3

 x
t2 −1
dt 
1 

 1
dt
=
2
dt


 x2 = t 2 − 4
 x 2 = t 2 − 4

→
←
→  dx xdx
c) Đặt t = x + 4 ⇔ t = x + 4 
tdt
2 xdx = 2tdt
 = 2 = 2
x
t −4
x
dx
1
dx
1 tdt
dt
1 (t + 2) − (t − 2)
1  dt
dt 
Khi đó, I 9 =
=
= . 2
= 2
=
dt = 
−


4

∫

∫

x2 + 4 − 2
x2 + 4 + 2

∫

+ C 
→ I9 =

1
ln
4

x2 + 4 − 2
x2 + 4 + 2

∫

+ C.

 x4 = t 2 − 1
4
2

x

4
t 2(t − 1) 2 t − 1 4 (t + 1)(t − 1)
x x +1
x +1 x

∫

∫

∫

∫

∫

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
1  dt
dt  1
1 t −1
1
= 
−
+ C = ln
 = ( ln t − 1 − ln t + 1 ) + C = ln
4  t −1
t +1 4
4 t +1

4 + x2

3

x dx

∫1−

2 + x2

1 + 4ln 2 x ln x
dx
x

∫

Lời giải:
2tdt
5
dx
2 t dt
2 1+ t −1
2 
1 
2
Khi đó, I11 =
=−
=−
dt = − 1 −
 dt = − ( t − ln t + 1 ) + C

1 − (1 − t )
d (1 − t )
 1

Khi đó, I12 =
=
=
dt = 
− 1 dt = −
− dt = − ln 1 − t − t + C
2
1− t
1− t
1− t
1− t 
1− 2 + x

∫

∫

∫

∫

∫

∫




3
2
3 ( t − 4 ) t dt 3 4
= ∫
= ∫ ( t − 4t ) dt =
t
2
4 + x2 2

x 3 dx

3

3
3  t5
2
−
2
t
+
C
=


2 5


d) Đặt t = 1 + 4 ln 2 x ⇔ t 2 = 1 + 4ln 2 x ←
→ 2tdt = 4.2ln x.


ln x dx
tdt 1 2
t3
1 + 4ln 2 x
= t.
=
t dt = + C =
x
4 4
12

∫

3

)

(1 + 4 ln x )

3

2

12

+ C.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
4 − 3x

1+ e −1
x

dx
1 + 3x

6) I 6 = ∫ x 3 1 − x 2 dx
8) I 8 = ∫ x 2 3 − 2 x dx
10) I10 = ∫

1+ x
dx

13) I13 = ∫

xdx
2x + 1

2) I 2 = ∫

dx

x x3 + 1
1 + 3ln x ln x
12) I12 =
dx
x

∫


2
2
2
 a − x = a − a sin t = a cos t

Nếu hàm f(x) có chứa

adt

dx = d (a tan t ) = cos 2 t
a 2 + x 2 thì đặt x = a tan t 
→
 a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a

cos t

MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 =
c) I 3 =

∫

∫

dx
2

; ( a = 2)

2
2
2
2cos t
4− x
 4 − x = 4 − 4sin t = 2cos t
x
 x
Từ phép đặt x = 2sin t ⇔ t = arcsin   
→ I1 = arcsin   + C
2
2
dx = d (sin t ) = cos t dt
b) Đặt x = sin t 
→
2
2
 1 − x = 1 − sin t = cos t
1 + cos 2t
1
1
t 1
Khi đó I 2 = 1 − x 2 dx = cos t.cos t dt =
dt =
dt +
cos 2t dt = + sin 2t + C
2
2
2
2 4

1 − cos2t
1 1
Khi đó, I 3 = ∫
=∫
= ∫ sin 2 t dt = ∫
dt = t − sin 2t + C
2
cos t
2
2 4
1− x

→ I2 =

cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2
Từ x = sin t ⇒ 

→ sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2
t = arcsin x
arcsin x 1

→ I3 =
− x 1 − x2 + C
2
2
 dx = d (3sin t ) = 3cos t dt
d) Đặt x = 3sin t 
→
2
2

 81  t 1

dt −
cos4t dt  =  − sin 4t  + C

4 2
2
 4 2 8


∫

∫


x2
2
cos t = 1 − sin t = 1 −
x2
2x

9
Từ x = 3sin t ⇒ 

→ sin 2t =
1−
3
9
t = arcsin  x 



4
2
6
9 
9 



Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 =

∫

dx
; ( a = 1)
2
x +1

b) I 2 =

∫

c) I 3 =

x 2 + 2 x + 5 dx

∫

x 2 dx

1 + x = 1 + tan t

Từ giả thiết đặt x = tan t ⇔ t = arctan x 
→ I1 = arctan x + C.

b) Ta có I 2 =

∫

x 2 + 2 x + 5 dx =

∫

t = x +1
( x + 1) 2 + 4 d ( x + 1) 
→I =

∫

t 2 + 4 dt

2du

 dt = d (2 tan u ) = cos 2 u
2du
cos u du
du
→

→ I2 = ∫

→
=
1
+

→
sin
u
=
1
−
c
os
u
=
1
−
=
2
cos 2 u
4
4 + t2 4 + t2
t
x +1
1+
1+
1 1 + sin u
1
4 + t 2 + C = 1 ln
x 2 + 2 x + 5 + C.

=
4
∫ cos4 t
∫ 1 − sin 2 t 2
cos3 t
2 1 + tan 2 t
(
)
Từ phép đặt t = 2 tan u ⇔ tan u =

Đặt u = sin t 
→ I 3 = 4∫

2

 1 (1 + u ) − (1 − u ) 
 u 
du = 4 ∫ 
du = 4 ∫ 
 du
2 
2 2
1
−
u
2
(1
+
u
)(1

 du = ∫
2
2
2
2
1
−
1
+
(1
−
)
(1
+
)
(1
−
)(1
+
)
(1
−
)
(1
+
)
(1 − u )(1 + u )
u
u
u

1+ u
1− u
1− u 1+ u
1+ u 1− u 
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1
1
u −1
1
1
u −1
1
1
sin t − 1
−
+ ln
+ C 
→ I3 =
−
+ ln
+C =
−

Từ giả thiết x = 2 tan t ⇔ tan t = 
1
tan
1
os
sin
2
cos 2t
4
4 + x2
4 + x2
x
−1
2
x
1
1
4
x
+
⇔ sin t =

→ I3 =
−
+ ln
+ C.
x
x
x
4 + x2


2

∫

dx
x − 2x − 2
2


 1  − cos t dt
− cos t dt

 dx = d  sin t  = sin 2t
dx
1
− cos t dt



 dx = sin 2 t

→
←
→

→ I1 = ∫
=∫ 2
a) Đặt x =
2

sin t
x

x2 − 1
1
x2 − 1
x

→ I1 = ln
+ C.
x
2
x2 − 1
1−
x
1+


 2  −2cos t dt
−2 cos t dt

dx =
dx = d  sin t  = sin 2 t

2




sin 2 t

sin t

∫

∫

∫

2
4

→ cos 2t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t =
sin t
x
dx
d ( x − 1)
t = x −1
c) I 3 =
=

→ I3 =
2
2
x − 2x − 2
( x − 1) − 3
Từ x =

∫

∫

sin
u
sin
u
3





→
←
→
sin 2 u
Đặt t =
sin u
 2
 2
3
−3
 t − 3 = 3 cot u
 t −3 =
2
sin u


→ I3 = ∫
=

1


2

t2 − 3
x2 − 2x − 2
+
1
t2 − 3
3
3
1
1
t
x −1
⇒ cos 2u = 1 − 2 ⇔ cos t =

→ I 3 = ln
+ C = ln
+ C.
Từ t =
2
2
sin u
t
t
2
2
t −3
x − 2x − 2
1−

2
∫ x 2 ± a = ln x + x ± a + C.

∫x

2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1) I1 = ∫
4) I 4 =

∫

x 2 dx
x2 + 4
1
3x − 2 x
2

2) I 2 = ∫
dx

5) I 5 =

∫

1 − x2
dx
x2


Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số.
I. MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤT

Khi đó Q(x) = ax + b.
Nếu bậc của P(x) lớn hơn thì ta chia đa thức.
Khi P(x) là hằng số (bậc bằng 0) thì ta có I = ∫

P( x)
k
k d (ax + b) k
dx = ∫
dx = ∫
= ln ax + b + C.
Q( x)
ax + b
a
ax + b
a

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 =

∫

4
dx
2x − 1

b) I 2 =


dx
2 

b) I 2 =
dx =
dx = 1 +
= x + 2ln x − 1 + C.
 dx = dx + 2
x −1
x −1
x
−
1
x
−1


1
5
− (3 − 4x ) +

2x + 1
5
1
5
dx
1
5 d (3 − 4x )
2
2 dx =  − 1 +

∫

∫

∫

∫

∫

1
5
1
5
= − x − ln 3 − 4 x + C 
→ I 3 = − x − ln 3 − 4 x + C.
2
8
2
8
2
d ( x + 3) x 2
x +x+4
10 

= ∫ x − 2 +
dx
=
x
−

49 

1 2 5

x3 − x + 7
21
5
21 
49
dx
1
Khi đó I 5 = ∫
dx = ∫  x − x + − 8  dx = ∫  x 2 − x +  dx − ∫
2x + 5
4
8 2x + 5 
4
8 
8 2x + 5
2
2


1 x3 5 x 2 21
49 d ( 2 x + 5 ) x 3 5 x 2 21x 49
= . − . + x− ∫
= −
+
− ln 2 x + 5 + C.
2 3 4 2

x3 − x + 7
dx
2x + 5

b) I 6 = ∫

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!