Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

10. MỞ ĐẦU VỀ TÍCH PHÂN
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I. TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
4

1)

∫(x

3

4

)

+ 4 x dx.

2)

1

∫(x + 2

3


x3

dx.

Lời giải:
4

1)

∫(
1
4

2)

∫(
0

4

4

3
 x4
 x4 8 3 
 44 8 3   14 8 3  989
2 
4 − +
1 =
x + 4 x dx =  + 4. x 2  =  +


)

4

0

 x2 3

=  + x. 3 2 x + x 
2 2


4

= 24 − 0 = 24

0

9
9
9
1
1
− 
 21
 2 32
 9 4 3
1 


)

x −1

2

x3

4
4
5
−
 1
 1
 1
x − 2 x +1
2
1
2 − 32 1 −2 
−3 
2
=
−
+
=
−
+
=
−
+

 1
4
1 
4
1  
4
1 
11 1 5
= − +
− 2  = − +
−
−  −1 +
− 2 =− + =

2
3
2 x  1  4 3 43 2.4  
96 6 96
3 13 2.1 
 x 3 x

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
π
4

∫

1) sin 2
0



4

Lời giải:
π
4

π
4

x
1
1
1) sin dx =
(1 − cos x ) dx = ( x − s inx )
2
20
2
0

∫

∫

2

π
4

dx

tan
x
=
(
)
2
∫π
2
π cos x
π
3

tan x dx
4) ∫
=∫
cos 4 x
0
0

0

0

π
3

2

1 π
π 1

π
3

 tan 5 x tan 3 x 
= ∫ ( tan x + tan x ) d (tan x) = 
+

3 
 5
0
4

2

π
3

=

35
33 14 3
+
=
5
3
5

0

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:

1

Lời giải:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1)

4
4
2 x ( x − 1) + x − 1 + 6
2 x2 − x + 5
6 

2
dx =
dx =  2 x + 1 +
 dx = x + x + 6ln x − 1
x −1
x −1
x −1 
2
2
2

4

e

=

1

)

4

= 20 + 6ln 3 − 6 = 14 + 6ln 3

2

1
1
−0=
8.3
24

e
e
 x2
1 1
1 x3 
e2
1 e3  1
1  e3 e 2 1 7



1

3

x 2 + 4 dx.

dx.

x3 + 2

0

0

19

3x 2

∫

3)

4)

∫
0

x dx
3


1

)

x 2 + 4 dx =

x3 + 2

0
19

4)

1

3x 2

∫
∫

)

(

)

dx =

x dx
3


)

(

(

d ( x2 + 8)
3

=

∫ (

x3 + 2

0

) (

3 2
2

1 2
x2 + 4 d x2 + 4 = . x2 + 4
2 5

1
20


9

)

(

)

x3 + 1

2

3

54
= 6.
9

=
0

5 2
2

(x

=

+4


4

19

=

0

27
15
−3=
4
4

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
π
3

π
2

sin x
dx.
1)
cos3 x
0

∫

π

Lời giải:
π
3

π
3

π
3

sin x
tan x
tan 2 x
dx
=
dx
=
tan
x
.
d
tan
x
=
1)
(
)
2
cos3 x
cos 2 x

3)

π
3

=

3
2

0
5

1 1  3 1 9 3
= − .
 = −
5 5  2  5 160

π

14
1 2 3
sin 4 x cos4 x dx = ∫ sin 4 x d ( sin 4 x ) = . sin 2 4 x
40
4 3

∫
0

π


0

π
4

=0

0

π
4

7
3
2

tan x
2
2
2
2
dx
=
tan
x
tan
x
+
1

0

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
ln 2 3

1)

∫
1

e

π
4

x

x

dx.

2)

e 2tan x
dx.
cos 2 x
0

∫


∫

1)

e

x

x

1

π
4

2

ln 3

dx = 2.

∫
1

e

2 x

π
4


e
1 2 tan x
1
dx = e 2 tan x d (tan x) =
e
d (2 tan x) = e 2 tan x
2
2
2
cos x
0
0
0

2)

∫

3)

∫

∫

dx
1 d ( 3ln x + 2 ) 1
∫1 x ( 3ln x + 2 ) = 3 ∫1 3ln x + 2 = 3 ln 3ln x + 2
e



=

(

)

1 2
e −1
2

ln 5 − ln 2 1 5
= .ln
3
3 2
e

=

1

2
3

(1 + ln x )

e
3
1



π
3

x π
3) sin  +  dx
2 3
0

∫
π
6

π
3

∫

4) sin 2 2 x dx

5)

∫ ( cos 2 x − sin x ) dx
2

6)

0

0

dx
4x + 3
1
π
3

−

6
4

4)

π
6

−

dx
1) ∫
4
π sin x
dx
∫0 2 x + 1

3)

sin 2

cot 2 x dx

ln 2 2

ln 3

4)

∫

x2

xe dx

5)

∫
1

1

e

x

x

dx

ln 2

4)

∫

x 2 x 3 + 5 dx

2)

0

∫

4

3)

0

6

4)

2
∫ x 1− x dx
1
2

dx

−1

3


Bài 5: [ĐVH]. Tính các tích phân sau
1

1)

∫
0

1
2

5x

( x2 + 4)

2

dx

2)

∫
0

x dx
1− x 2

3)


2

cos x
dx
x
π

∫

6)

∫

cos x sin x dx

0

4

Bài 6: [ĐVH]. Tính các tích phân sau
π
2

1)

∫

π
2



4

π
3

sin x cos3 x dx

3)

tan 3 x
∫0 cos 2 x dx
π
2

cot x
dx
sin 2 x

6)

3cos x dx

∫ (1 − 5sin x )

2

π
6



∫
π
2

dx

5)

0

π
2

3

e

2

x

sin x dx

∫ 1 + 3cos x
0

π
2



∫
1

e

π
2

2ln x + 3

x

dx

2 + ln x
dx
2x

0

1 + ln 2 x
dx
x
1

π
6

π


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

12. CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. PP ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC
dx = a cos tdt
x = a sin t

→ 2
Nếu f(x) có chứa a 2 − x 2 
2
2
2
2
 a − x = a − a sin t = a cos t
adt

dx =
 a 2 + x 2 x = a tan t 
cos 2 t
Nếu f(x) có chứa 

→
 a 2 + x 2
 a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a



∫
1
4

3

dx
9 + x2
0

d) I 4 = ∫

e) I 5 =

3

∫
2

9 + 3x
dx
x2
2

c) I 3 =

2
2



⇒ I1 = ∫ 1 − x dx = ∫
2

0

0

π
6

π
6

π

1
1
π
3
1
6
1 − sin t cos tdt = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt =  x + sin 2t  = +
20
4
2
0 12 8
0
2


I2 =

1

π

4
4
9 + 3x 2
9 + 9 tan 2 t
dx
=
3
dt
=
3
∫π 3tan 2 t cos2 t
∫π
x2

π

4
dt
cos tdt
=
3
=
3
=

3
4

d (sin t )
1
1 
1
1
1 

3
d
(sin
t
)
3
= 3∫
=
+
=
+
+

 d (sin t ) =

2
2
2
2 
∫

d (sin t ) 3 1 + sin t
= ∫
+ ∫
+ 3∫
= ln
2
2 π 1 − sin t 2 π 1 + sin t
2 1 − sin t
π sin t
6

6

π
4

3
−
sin t

π
6


3 2+ 2
6
=  ln
− ln 3  + 6 −
2 2− 2
2

π
4

π

sin t cos t
1
1 1
4 π 1
I3 = ∫
=∫
dt = ∫
dt = ∫ sin 2 tdt = ∫ (1 − cos 2t )dt =  t − sin 2t  = − .
2
2
cos t
20
2 4
0 8 4
0 1− x
0 1 − sin t
0
0
3dt

2
 dx = cos 2 t = 3 (1 + tan t ) dt
d) Đặt x = 3tan t ⇒ 
9 + x 2 = 9 (1 + tan 2 t )


dx = −

sin 2 t
2

e) Đặt x =
⇒
2
sin t
 x 2 − 4 = 4 cos t = 2 cot t

sin 2 t
π

π

 x = 2 ⇒ t = 2
Đổi cận : 

→ cot t = cot t
x = 4 ⇒ t = π
3
3

4

Ta có I 5 =

3


4 2
24 16

π sin t .sin 2 t .
3
2
3
3
sin 3 t
2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau :
2
2

1
2

a)

∫

1− x 2 dx

b)

∫
0



b)

∫
0

dx
(1 − x 2 )3

1

c)

∫
2
2

1− x 2
dx
x2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 3: [ĐVH]. Tính các tích phân sau :
1

x2

∫

c)

9 − x2

0

dx

Bài 4: [ĐVH]. Tính các tích phân sau :
3
2

a)

∫x

2

2

2

2

b)



x dx

∫

4− x

0

b)

6

x dx

∫

3 + 2x − x

0

Đ/.s: a) I =

π
18

b) I =

1
2


∫
0

dx
(1 + x 2 )3

1

c)

∫x
0

4

xdx
+ x2 + 1

Bài 7: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
1

1

dx
a) ∫ 4
x + 4 x2 + 3
0

dx

dx
x

6

b)

∫
3

1

c)

∫
0

1

(1 + x )

2 3

dx

Bài 9: [ĐVH]. Tính các tích phân sau
3 3

a)


0

x
x +4
2

dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

12. CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. PP ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỈ
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t.
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t.
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng t.
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
7

1. I1 =

∫
0
e

dx
x ln x + 1

∫
1

6. I 5 =

− 2

∫

−2

x2 + 1
x x2 + 1

dx

Lời giải:
 2 xdx = 3t 2 dt
1. Đặt 3 1 + x 2 = t ⇔ 1 + x 2 = t 3 ⇒  2 3
 x = t − 1

 x = 0 ⇒ t = 1
Đổi cận : 

→ I1 =
 x = 7 ⇒ t = 2



3
t
21
4  1 20
1 + x2 2 1
 10

x 2 .xdx

 dx = dt
2. Đặt x − 4 = t ⇒ 
x = t + 4
1

5
1
1
1
 t 22 4t 21 
x = 4 ⇒ t = 0
109
Đổi cận : 

→ I 2 = ∫ x( x − 4) 20 dx = ∫ (t + 4)t 20 dt = ∫ t 21dt + 4 ∫ t 20 dt = 
+
 =
x
=
5


1 + 3 x dx = ∫ x

0
e

4. I 4 = ∫
1

2

2

8

8

1

2
2
1 (t 2 − 1)
1
1  t5 t3 
29
1 + 3x .x dx = ∫
.t.tdt = ∫ (t 4 − t 2 )dt =  −  =
.
12 1 3
36 1

→ I 4 = ∫ 1 + 3ln x ln xd (ln x) = ∫ t.
. tdt = ∫ (t − t )dt = 
−
.
 =
3 3
91
x = 3 ⇒ t = 2
 45 27  1 135
1
1

e3

5. I 5 = ∫
1

ln 2 x
x ln x + 1

e3

dx = ∫
1

ln 2 x
ln x + 1

d (ln x)


=
dt
=
t
−
t
+
dt
=
+t = .
Đổi cận : 
(ln
)
2
(
2
1)
2
 −
5
∫
∫
∫
3
t
3
ln x + 1
5
 1 15
x = e ⇒ t = 2

dt 1
∫ t −1 − 2
5

5

dt  1 t − 1 
∫ t + 1 =  t + 2 ln t + 1 
5
3

5

3

t2
∫ t 2 − 1 dt =
5

t −1 +1
∫ t 2 − 1 dt =
5
3 2

3



∫ 1 + t
5

x+2
3
0 3

2

2

xdx

1. I1 = ∫
0

1

3

3

3
2
4 2
− 6 I 2′
( x − 1) 2 − 6 I 2′ =
3
3
1
3

Để tính I 2′ = ∫

6 
t− 6 

=
2
 =2
1 + 2
 dt = 2  t + 3ln
2
∫
t −6
t −6
t + 6 
0 

0

Do đó: I 2 = 48ln(2 − 3) −
3. I 3 = ∫

)

2 −1

3
3
( x − 7) ( x − 1)dx 3 6 x − 1dx 3
( x − 1)dx
x x − 1dx
=∫

dx

Đổi biến t = 4 x + 1 ⇒ t 2 = 4 x + 1 ⇒ tdt = 2dx
5

tdt
d (t + 1)
d (t + 1) 
1
3
 1 
⇒ I3 = ∫ 2
=∫
−∫
=  ln ( t + 1) + 
  = − + ln
2
12
2
 t +1 3

3 t + 2t + 1
3 (t + 1)
3 (t + 1)
10
dx
4. I 4 = ∫5
= 2 ln 2 + 1 (đổi biến t = x − 1 )
x − 2 x −1
5

2

7. I 7 = ∫
1

3x + 2
2x + 1 + 1

dx. (đổi biến t = 2 x + 1 + 1 )

x2 − 1

( x + 2)

x+2

2

dx =

∫
1

( x + 2)

2

− 4 ( x + 2) + 3
3


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
2 2

∫

8. I 8 =

x

=

2

2

0

1

ex

dx = ∫

ex −1

0

2

2

)
 −
∫1
5
3 1
7
3

t = 1+ x 2

1 + x dx

5

Facebook: LyHung95

0

1

3
1
2

2
=  ( e x − 1) 2 + 2 ( e x − 1) 2  =
e −1 ( e + 2)
3
3


3

dx . Đặt t = e x + 1 ⇒ t 2 = e x + 1 ⇒ 2tdt = e x dx

2

2dt
2
∫ t2 = − t
2

2

= 2 −1
2

3 − 2 ln x
dx
x 1 + 2 ln x
1
dx
x

Đặt t = 2 ln x + 1 ⇒ t 2 = 2 ln x + 1 ⇒ tdt =
2

⇒ I11 =

∫
1

2

2x + 1
dx
1
+
2
x
+
1
0
4

12. I12 = ∫

Đặt t = 1 + 2 x + 1 ⇒ ( t − 1) = 2 x + 1 ⇒ dx = ( t − 1) dt
2

4

4
 t2

t −1
1
⇒ I12 = ∫
( t − 1) dt = ∫  t − 2 +  dt =  − 2t + ln t  = 2 + ln 2
t
t
2

2
2
2
4− x
0
0

4

1

4
1
e2 x 
1 4−t
1  e2 1  1 
2 32 
dt
8
t
t 
=  xe2 x −
−
=
+
−
−





a)

b)

∫
0

1

3

c)

∫

−4

3x − 4
dx
4− x

3

Bài 2: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
3

a)

∫


1 + x 2 dx

0

Bài 3: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
7
3

a)

∫
0

x +1
dx
3
3x + 1

2

b)

∫
0

1

3


b)

∫ x 2 x − 1dx

2

c)

1
2

∫x

4 − x 2 dx

0

Bài 5: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2

a)

23 3
∫ x x − 8dx

2

b)

0

1
dx
1+ x

∫
0

1

1
b) ∫
dx
+
x
1
0

3

c)

∫

( x − 1)

2

x +1

0


∫ (2 x + 3)

c)

−

3

1
2

dx
4 x 2 + 12 x + 5

Bài 8: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2

a)

∫x
1

2

dx
x3 + 1

b)



0

∫

x2 +1

3

(1 − x 2 ) 3 dx

c)

0

∫x
1

2

x2 +1

dx

Bài 10: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2
2

a)


(1 − x 2 ) 3

Bài 11: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
1

a)

ln 3

dx

∫1+ x +

x2 +1

−1

b)

∫
0

e

dx
ex +1

c)

∫

2x

+ 3 x + 1)dx

c)

−1

∫
0

cos 2 x
+ 2 3 tan x
cos 2 x
dx
cos 2 x

Bài 13: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
π
ln 2

a)

∫
0

e x dx
(e x + 1) 3

ln 2

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 3. PP TỪNG PHẦN
b

b

Công thức tích phân từng phần I = ∫ udv = ( uv ) a − ∫ vdu
b

a

a

Thứ tự ưu tiên khi đặt u : Hàm loga, ln → Hàm đa thức→ Hàm lượng giác = Hàm mũ.
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
e

1

ln x
dx
2
1 ( x + 1)

b) I 2 = ∫

a) I1 = ∫ e x sin xdx
0

e

0
1
1
1
cos xdx = dv v = sinx
x
x
Đặt 
⇒
⇒
J
=
cos
xe
dx
=
e
sin
x
−
sin xe x dx = e x sin x 10 − I1
(
)

∫
∫
x
x
'
0

=
−
+
2
∫
x + 1 1 1 x( x + 1)
1 ( x + 1)
 ( x + 1) 2 = dv v = − 1
e

e
e
x +1

x

=−

ln x
x +1

e
1
e

1

x

e

dx

e
e
du = 2ln x
e
e
e
ln 2 x = u 
 x2 2 
dx  x 2 2 
x
2
2
c) Đặt 
⇒
⇒
I
=
x
ln
xdx
=
ln
x
−
x
ln
x
=

u = ln x
1
x2 

x
Xét J = ∫ x ln xdx. Đặt 
⇒
⇒ J =  ln x  − ∫ xdx =  ln x − 
2
4 1
 xdx = dv v = x
 2
1 2 1
 2
1

2
e

 x2
x2
x2 
e2 − 1

→ I 3 =  ln 2 x − ln x +  =
.
2
4 1
4
 2

2 
⇒ I 4 = ∫ x ln(1 + x )dx =  ln(1 + x 2 )  − ∫
=
ln(1
+
x
)
−


x− 2
 dx =
2
∫
x +1
 2
 0 0 1+ x  2
0 0
0
1

2

1

1

1

1

I
=
x
e
dx
=
x
e
−
2
xe x dx = ( x 2 e x ) − 2 J
(
)
5
∫
∫
x
0
0
0
0
e dx = dv v = e

1
1
1
1
x = u
 du = dx 1 x
x

0

0

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2

a) I1 = ∫ ( x − 1) ln xdx
1

e

ln x
dx
x2
1

e

ln 2 x
dx
x2
1

b) I 2 = ∫

c) I 3 = ∫

1


Bài 3: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2

a) I1 = ∫ x ln( x 2 + x)dx
1

x sin x
b) I 2 = ∫
dx
cos 2 x
0

c) I 3 = ∫ 2 x cos 2 x.sin 2 xdx
0

Bài 4: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
1

xe x
dx
( x + 1) 2
0

a) I1 = ∫

HD: Đặt u = xe x

2


4

x + tan x
a) I1 = ∫
dx
2
cos x(tan x + 1)2
0

π
6

tan x + x tan 2 x
dx
cos 2 2 x
0

π

x
dx
1 + sin x
0

b) I 2 = ∫

c) I 3 = ∫

π
4


Bài 7: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
e2

2 x ln x − x
a) I1 = ∫
dx
2ln 2 x
e

π
4

ln(sin x + cos x)
dx
cos 2 x
0

b) I 2 = ∫

Facebook: LyHung95
1 + x 2 ln x
dx
x + 2ln x
1
e

9 
Ta có I = ∫  1 +
−
dx = ( x + 16 ln x − 4 − 9 ln x − 3 ) 1 = 1 + 25ln 2 − 16 ln 3 .
x −4 x −3

1
2

dx

2. I = ∫

5

x + x3
1

1

Ta có:

3

2

x ( x + 1)





xdx

0

( x + 1)3
x
x + 1−1
1
1
Ta có:
=
= ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 ⇒ I = ∫ ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 dx =
0
8
( x + 1)3 ( x + 1)3
1

4. I = ∫ x 5 (1 − x 3 )6 dx
0

Đặt t = 1 − x 3 ⇒ dt = −3x 2dx ⇒ dx =
4

5. I =

3

∫


3

1

1



x 4 .dx

1

x 5 .( x10 + 1)2

2

1 − x7

1

x (1 + x 7 )

t



1

3


1 128 1 − t
dx . Đặt t = x 7 ⇒ I = ∫
dt
7
7
7 1 t (1 + t )
1 x .(1 + x )

Ta viết lại I dưới dạng I = ∫

(1 − x 7 ).x 6

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
3

8. I =

Facebook: LyHung95

dx

∫

6

x (1 + x 2 )


t
+
1


3

∫

3

2

9. I = ∫

1+ x

11+

Ta có:

2

x4

1+ x

2

1+ x

t− 2
1
⇒ I=∫ 2
=
−
.ln
ln 

2=

 dt =
∫
 2 +1
2
2
2
2
t
t
−
t
+
2
2
+
2
2
2
2
t

dx
1

5
2

−1

2

1
1 
dt
= x
. Đặt t = x + ⇒ dt =  1 −  dx ⇒ I = − ∫
.
2
x
1 + x4 x2 + 1
t
+
2
x2 

2
x2
du
5
5
Đặt t = 2 tan u ⇒ dt = 2

2
5
(u2 − u1 ) =
 arctan − arctan 2 
2
2 
2


dx

1

−1
2
1
4
x
Ta có: I = ∫
dx . Đặt t = x + ⇒ I = ln
1
x
5
1
+x
x
2

1



3
3

x2

0

x4 −1

∫

( x 4 − x 2 + 1) + x 2

=

x4 − x2 + 1
( x 2 + 1)( x 4 − x 2 + 1)

+

x2
x6 + 1

=

1
x2 + 1

+

x

xdx

14. I = ∫

2

4

2
0 x + x +1

dx =

1
2

3
3 

∫

0

1
1 
1
π
+

1

2

Ta có:

x +1
4

2

x − x +1
1

⇒ I =∫

0t

Facebook: LyHung95

=

π
6 3

dx
1+

=



+1

. Đặt t = tan u ⇒ dt =

4

du
2

cos u

⇒ I = ∫ du =
0

π
4

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
x2 + 1
∫1 x 4 + 1 dx
3

a)

3

b)


1
∫1 x + x3 dx

c)

x

∫ (1 + 2 x )

3

dx

0

Bài 3: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
3

a)

3

x 2 dx

∫ (1− x )

9

b)


a)

1 − x 2010
∫ x 1 + x 2010 dx
1
2

b)

(

)

x4

3

c)

∫
2

(x

)

−1

2


4

dx

Bài 6: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
1

a)

dx
∫ x4 + x2 + 1
0

4

4

b)

dx
∫ x3 − 4 x
3

c)

dx
2
− 1)

∫ x( x

π

2
sin x.cos2 x
(t − 1)2
dx . Đặt t = 1 + cos x ⇒ I = 2 ∫
dt = 2 ln 2 − 1
1
cos
x
t
+
1
0
2

Ta có: I = 2 ∫

π

3

I = ∫ sin 2 x tan xdx

Câu 2.

0

π



π

I = ∫ sin2 x (2 − 1 + cos2 x )dx

Câu 3.

π

2

π

π

2

Ta có: I = ∫ 2sin xdx − ∫ sin2 x 1 + cos2 xdx = H + K
π

π

2

2

π

π



2

2

2

+ Xét K = ∫ sin2 x 2 cos2 x = − 2 ∫ sin2 x cos xdx = − 2 ∫ sin2 xd (sin x ) =

⇒I =

π
2

2
3

2
3

−

π

I=

Câu 4.

3


Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

I=

3

∫

(1 + t 2 )2 dt
t2

1

3

=

∫

1

Facebook: LyHung95

3

 1
1

0

sin 2 x

( 2 + sin x )

2

dx

π

Ta có: I =

π

2

sin 2 x

∫ (2 + sin x )2
0

3

⇒ I = 2∫

2

t−2


I=

6

sin x

∫ cos 2 x dx
0

π

I=

6

π

6

sin x

sin x

∫ cos 2 x dx = ∫ 2 cos2 x − 1 dx . Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx
0

0

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x =


2t − 2
2t + 2

1
3
2

=

1
2 2

ln

3−2 2
5−2 6

π

2

Câu 7.

2

I = ∫ esin x .sin x.cos3 x. dx

• Đặt t = sin 2 x ⇒ I =



4

sin 4 x

∫

sin6 x + cos6 x

0

dx

π

I=

4

∫

0

sin 4 x
3
1 − sin 2 2 x
4

1
4


∫

0

sin x

( sin x +

3 cos x

)

3

dx


π
Ta có: sin x + 3 cos x = 2 cos  x −  ;
6


Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95


∫
∫


6
16 0
π  16 0
π
cos3  x − 
cos2  x − 
6
6


π

4

Câu 11. I =

∫

−

sin x 1 − cos2 x
cos2 x

π
3



∫

−

π

sin 2 x

4

1 − cos2 x .dx =

3

∫
−

cos2 x

π

0

dx

dx =

π



sin x dx

7π
− 3 −1.
12

3

π

Câu 12. I =

6

∫ sin x +
0

1
3 cos x

dx


π
sin  x + 
1
1
16
3  dx .

2



π
π
1
1
1
Đặt t = cos  x +  ⇒ dt = − sin  x +  dx ⇒ I = ∫
dt = ln 3
2
3
3
2 0 1− t
4


π

Câu 13. I =

2

∫

1 − 3 sin 2 x + 2 cos2 xdx

0


0

3

π

Câu 14. I =

2

sin xdx

∫ (sin x + cos x )3
0

π

Đặt x =

π
2

− t ⇒ dx = −dt ⇒ I =

⇒ 2I =

cos tdt

dx


0

π

0

π

2

2

dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

π

2

Câu 15. I =

7sin x − 5cos x

∫ (sin x + cos x )3 dx


cos xdx

0

( sin x + cos x )

∫

3

.

− t . Ta chứng minh được I1 = I2

2

π

dx

0

( sin x + cos x )

∫

Tính I1 + I2 =

⇒ I1 = I 2 =

1
⇒ I = 7I1 – 5I 2 = 1 .
2
π

Câu 16. I =

2

3sin x − 2 cos x

∫ (sin x + cos x )3 dx

0

π

π

Đặt x =

− t ⇒ dx = −dt ⇒ I =

2

2

π

3cos t − 2sin t


Câu 17. I =

2

2

π

3cos x − 2sin x

∫ (cos x + sin x )3

dx =

0

2

1

∫ (sin x + cos x )2 dx = 1 ⇒

0

I=

1
.
2


(π − t )sin t
1 + cos2 t

π

dt = π ∫

sin t

2
0 1 + cos t

dt − I

π π 
π2
=π  + ⇒ I =
2
4 4
8
0 1 + cos t

dt = −π ∫

d (cos t )

cos4 x sin x

2


2

π

⇒ 2I =

4

π

4

2

cos x sin x + sin x cos x

0

sin3 x + cos3 x

∫

dx =

3

3

2


2



0



1

∫  cos2 (sin x ) − tan

2


(cos x ) dx


− t ⇒ dx = −dt

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
π

Facebook: LyHung95

π

1
π
+
− tan 2 (cos x ) − tan 2 (sin x ) dx = 2 ∫ dt = π ⇒ I = .
Do đó: 2I = ∫ 
2
2
2
 cos (sin x ) cos (cos x )

0
0

π

Câu 20. I =

4

cos x − sin x

0

3 − sin 2 x

∫

dx
π



4

= ∫ dt =
π

π
12

.

6

π

Câu 21. I =

3

sin x

∫

cos x 3 + sin x

0

4 − cos2 x . Ta có: cos2 x = 4 − t 2 và dt =

Đặt t = 3 + sin 2 x =

Câu 22. I = ∫π

sin3 x + sin2 x

2π
3

+) Tính I1 = ∫π

3

2π
3

+) Tính I 2 =∫π

3

π
3

dx + ∫π

sin 2 x

3

Vậy: I =

2π


=

3

2π
3

.dx =

3

15
2

∫

dx =

3

dt
4 − t2

=

sin x cos x
3 + sin2 x
1
4

1 + sin x

u = x
π

du = dx
dx ⇒ 
⇒ I1 =
dx . Đặt 
dv =
v = − cot x
3
sin 2 x

sin 2 x

x

2π

dx
= ∫π3
1 + sin x
3

2π

dx
dx
= ∫π3


2

dx

cos x + 4sin x

2
udu
2sin x cos x
22
2
dx . Đặt u = 3sin 2 x + 1 ⇒ I = ∫ 3
= ∫ du =
u
31
3
1
3sin2 x + 1
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG


π
tan  x − 



4 dx = − tan x + 1 dx . Đặt t = tan x ⇒ dt = 1 dx = (tan 2 x + 1)dx
∫
2
cos 2 x
cos2 x
0 (tan x + 1)
1

⇒ I =−

1

3

∫

0

dt
2

(t + 1)

=

1 3 1− 3
=
.
t +1 0

sin 2 x

dx = − dt

6

⇒ I= 2

3 +1

t −1
dt = 2 ( t − ln t )
t

∫

3 +1

3 +1
3 +1
3

 2

= 2
− ln 3 
 3


3


dt
1 + t2

4

3 (1 + t 2 )2 dt
3 1
1
t3
= ∫ ( + 2 + t 2 )dt = (− + 2t + )
⇒ I= ∫
2
t
3
t2
1
1 t
1
π

Câu 27. I = ∫π2

sin x − cos x
1 + sin 2 x

4

3
=


1
ln 2
2

6

Câu 28. I = 2 ∫ 1 − cos3 x .sin x.cos5 xdx
1

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

6

Đặt t = 1 − cos3 x ⇔ t 6 = 1 − cos3 x ⇒ 6t 5dt = 3cos2 x sin xdx ⇒ dx =
1

2t 5dt
cos2 x sin x

1

 t 7 t13 
12
⇒ I = 2 ∫ t (1 − t )dt = 2  −


2

2

cos x tan x + 2

0

.

Đặt t = 2 + tan 2 x ⇒ t 2 = 2 + tan 2 x ⇒ tdt =
3

⇒ I=

tdt
∫2 t =

tan x
dx
cos 2 x

3

∫ dt =

3− 2

2


0

sin 4 x
2

4

dx

cos x. tan x + 1

π

Ta có: I =

4

∫

0

sin 4 x
4

4

sin x + cos x

dx . Đặt t = sin 4 x + cos4 x ⇒ I = −2

2

π
2

π
3

4) ∫ cos3 x dx

7)

π
2

5) ∫ sin 4 x dx

0

0

π
4

π
4

3
∫ tan x dx



13) ∫ sin 2 x.cos x dx
0

∫ ( 2 cot

14)

2

9)

)

x + 5 dx

1 + sin 2 x
dx
cos 2 x
0

∫

2

x dx

π
4
π

π
3

16)

dx

∫π sin x.cos3 x
4
π
2

19)

π
2

sin x

20)

0

π
2

sin 3 x
22) ∫
dx
2 cos 3 x + 1

π
4

0

π
4

π
2

−

x

0

24)

dx

π
2

sin 2 x

2

27) ∫ sin x cos x (1 + cos x ) dx



4sin 3 x
∫0 1 + cos x dx
π
2

36)

∫ ( sin

3

)

x + cos3 x dx

0

x − sin 4 x ) dx

41) ∫ sin 2 x (1 + sin 2 x ) dx

π
2

39)

∫ ( cos

3


π
2

dx
x.cos3 x

45)

2

3

dx

∫ ( tan x − cot x )

2

π
4

dx

0

1 + sin 2 x + cos 2 x
dx
sin x + cos x
π

dx

4

4

π
2

sin 3 x
32) ∫
dx
2
x
cos
0

∫ ( cos

dx

∫ cos
0

π
4

38)

2

3

π
4
π
2

sin 4 x

∫ 1 + cos

21)

sin 3 x
35) ∫
dx
2
0 1 + cos x

x + cos 6 x ) dx

cos 2 x

∫ 1 + 2sin 2 x dx

0

∫

cos x


18) ∫ sin 4 x cos5 x dx

0

0

π
2

25)

π
2

17) ∫ sin 2 x cos 4 x dx

∫ 1 + 3cos x dx

Facebook: LyHung95

∫

1 − 2sin 2 x
48) ∫
dx
1 + sin 2 x
0
π
2

1 + sin 2 x

π
2

54)

dx

∫

6

1 − cos 3 x sin x.cos5 xdx

0

4
π
2

55)

∫
0

1 − cos 3 x sin x.cos5 x dx

π
3